线段的定比分点
线段定比分点公式
线段定比分点公式线段定比分点公式是解决线段分点问题的一种方法，它在数学中有着广泛的应用。
它的原理是根据线段的长度比例，确定分点的位置。
下面我将详细介绍线段定比分点公式的应用和推导过程。
我们来看一个具体的问题。
假设有一条线段AB，长度为L。
我们需要在这条线段上确定一个点C，使得AC:CB的长度比例为m:n。
那么我们可以通过线段定比分点公式来求解这个问题。
根据线段定比分点公式，我们可以得到以下等式：AC/CB = m/n我们可以将这个等式进一步转化为：AC = mL/(m+n)CB = nL/(m+n)这就是线段定比分点公式的具体表达式。
根据这个公式，我们可以在给定的线段上确定一个满足长度比例的分点。
接下来，我们来看一个具体的例子，以更好地理解线段定比分点公式的应用。
例题：在线段AB上，已知AC:CB = 3:2，且AB的长度为10。
求点C的坐标。
解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC = 3/5 * 10 = 6CB = 2/5 * 10 = 4因此，点C的坐标为(6, 4)。
线段定比分点公式不仅可以用于求解已知长度比例的问题，还可以用于求解已知分点和端点长度的问题。
下面我们来看一个例子。
例题：在线段AB上，已知点A的坐标为(1, 2)，点C的坐标为(5, 6)，且AC:CB = 2:3，求线段AB的长度。
解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC/AB = 2/5将已知的点的坐标代入上述表达式，可以得到以下等式：√[(5-1)^2+(6-2)^2]/AB = 2/5解方程可得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB化简得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB两边平方可得：(5-1)^2+(6-2)^2 = (2/5 * AB)^2化简得：16 + 16 = (2/5)^2 * AB^2化简得：32 = (4/25) * AB^2进一步化简可得：AB^2 = 25/4 * 32化简得：AB^2 = 200开平方可得：AB = √200化简得：AB = 10√2因此，线段AB的长度为10√2。
线段的定比分点
·P ·P1
·P2 （3）λ＝－1/6
小结
2021/3/11
通过本课时的学习，要求 同学们掌握线段的定比分点坐 标公式及中点坐标公式，并能 熟练运用这两个公式解决相关 问题。
作业
2021/3/11
1、P117习题5.5第1、3、4、5
2、预习：P118—119
预习提纲：
（1）两向量的夹角有何前提？ （2）平面向量的数量积的定义及其几何意义。 （3）平面向量的数量积的运算律有哪些？
足：
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
①
我们把①叫做有向线段P1P2的定比分点 坐标公式。
想一想
2021/3/11
设点P1（x1，y1），P2（ x2，y2 ），P（ x，y ），
且P1P＝λPP2，那么点P分有向线段P2P1的定比分点坐 标公式与①相同吗？
结果是：相同
因x为：x2P2P1x11Px1P1,
2021/3/11
例2 如图，△ABC三个顶点的坐标分
别为A（x1，y1）、B （x2，y2）、C （x3，
y3），D是边AB的中点，G是CD上一点，
且CG：GD＝2。求点G的坐标。
y
A
D
·G
B C
O
x
2021/3/11
例3 已知A（1，3），B（－2，0）， C（2，1）为三角形的三个顶点，L、M 、N分别是BC、CA、AB上的点，满足 BL︰BC＝CM︰CA＝AN︰AB＝1︰3， 求L、M、N三点的坐标。 y
提示：由已知，可
得L分CB、M分AC、 N分BA所成的比均为λ ＝2
A
N· ·M
·L
C x
BO
线段的-定比分点
∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 x x1 x2
P1
y-y1= λ(y2-y)
1
y y1 y2
(1)
1
y
P2 l
P
0
x
公式（1）叫有向线段P1P2的定比分点坐标公式
当P点是线段P1P2的中点时， λ=1，得
x x1 x2
2
y y1 y2 2
（2)
公式（2）叫有向线段P1P2的中点坐标公式
(3)设D点坐标(x0, y0 )
x0
11 1 2
2
1 3
y0
7
2 1 2
2
11 3
D(1 ,11) AD (5 1)2 (1 11)2 14 2
33
3
33
11
课堂小结
1.有向线段P1P2的定比分点公式
x x1 x2 1
y y1 y2 1
有向线段P1P2中点公式
( x1 x2 , y1 y2 )
4
3.推导公式及举例
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成 的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
A
(2)D点分BC的比；
(3)线段AD的长度。
B
D
C
分析 : 本题用到了两点间距离公式及三角形角平分线性质 : BD AB
解:
DC AC
(1) AB [5 (1)]2 (1 7)2 10 同理 : AC 5
定比分点公式的运用及类比推理
1 x2 P2 ( 2
＋0) ,且
P1 P PP2
，
则 f(x)=
第2页共5页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
线段的定比分点
的概念
分析要点
若 p1 p pp2 ，则称λ叫点 P 分有 2．强调λ，P 分析
向线段 p1 p2 所成的比，点 P 叫线段
P1，P2，λ，P 的位置， 含义
通过学生自己 思考来充分发 挥自己的聪明 才智。
p1 p2 的定比分点
分析：想想，给定 P1P2，P 在 l 上可 能的位置有几种？并判断λ的符号 （3 种）
引导学生独立分析 解答
学生独立完成
上的一点，且 CG 2 求点 G 的坐标 GD
图
培养学生独立 观察，分析问 题的能力
培养学生观 察，分析问题 的能力
y
A
D G
B
o
C
x
练习：
课堂 小结
本节学习的主要内容是 (1)线段的定比分点公式。 (2)求λ的方法 ①定义法 ②公式法 (3)中点公式是定比分点公式的特例，应用方泛。
提出问题
P1 P
P2
λ>0
P 内分有向线段 P1P2
P1 P2
P
λ<0
强调 p1 p pp2
中字母顺序
学生思考 学生分析 学生给出结果
通过交流来培 养学生的相互 学习精神。
强调细节
P P1
P2
λ<0
P 外分有向线段 P1P2 探讨：
（1）．P 在 p1 p2 的延长线上，λ值 提出问题
的范围？（λ<-1）
难
点 难点：理解定比分点的概念，掌握定比分点公式的应用。
教学 方法 引导、启发
线段的定比分点坐标公式是向量坐标运算的应用之一，是把有向线段和
教材结构分
分点所具有的图形特征，通过坐标运算表示出来．通过本节学习，要正
03线段的定比分点及平移
>0
点不能与B点重合 点重合， QP点不能与 点重合，所以 5k − 2 ≠ 0
2k + 2 2 ∴λ = − > 0得 − 1 < k < 5k − 2 5
进行平移， 6.将函数 y = − x 进行平移，使得到的图象与原函数的 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式. 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式.
3.三角形重心公式及推导 三角形重心公式及推导 x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 三角形重心公式： , ) 三角形重心公式： ( 3 3
二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上 图形平移： 是坐标平面内的一个图形， 图形平移 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 所有的点按照同一方向移动同样长度 即按向量 a 平 移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。 ， ，我们把这一过程叫做图形的平移。 r 2.平移公式：点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移到 P′ ( x', y' ) 平移公式： 平移公式
一、线段的定比分点 1.定义 设 P 、P2 是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 定义:设 1 上的两点, 定义 uuu r uuur P 、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P P = λ PP2 , 1 1 uuuu r λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比.(如图) 1
r r r 例 2 设函数 f ( x) = a ⋅ b ,其中向量 a = (2 cos x ,1) , 其中向量 r b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R .
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，
线段的定比分点
解得
5 17 y 2 5 22
5.5 线段的定比分点
ABC 的三个顶点的坐标分 例2．如图， 别为 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， C ( x 3 , y3 ) ， D是边AB的中点，G是CD上的一点， CG 且 GD 2 ，求点G的坐标． y D A
5.5 线段的定比分点
有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式 x x x 起点 : P （ x , y ) 1 P: y y 终点 : P ( x , y ) y 1
1 2
1
1
1
1
2
2
2
2
有向线段 P1 P2 的中点坐标公式
x1 x 2 x 2 y y1 y2 2
A B C
5.5 线段的定比分点
练习：
ABC 中， AB的中点是 （2）如图， D（－2，1）,AC 的中点是 E（2，3），重 心是G（0，1），求A、B、C的坐标． A
A（0，5）， B（－4，－3）， C（4，1）
D G
E
B
C
作业：P117 1， 2， 4。
你能根据P点的三种不同的位置和实数 确定λ的取值范围吗？
P在之间
P1， P2
P2
P在 P1 P2 的延长线上， P在 P2 P1 的延长线上.
P1
P
P1
P2
P
P
P1
P2
0
1
1 0
5.5 线段的定比分点
设 P1 ( x1 , y1 )，P2 ( x2 , y2 ) ，P分 P1 P2 所成的比为 ，如何求P点的坐标呢？ Y P1 P ( x x1 , y y1 )P(x , y )
线段定比分点
练习：
例、已知抛物线 y x 2x 8
2
(1)求抛物线顶点的坐标 （2）求将这条抛物线的顶 点平移到 点（2， 3）时的函数解析式 (3)将此抛物线按怎样的向 量平移，能使
平移后的曲线的函数解 析式为y x
2
(3)将函数y log3 (2 x 1) 4的图象，按向量 a平移 后得到的函数是 y log3 2 x, 求a
知识提要 3、图形的平移
所有点 将平面坐标系内的图形F上___________ 同一方向移动相同的长度 得到图形， 按照________________________, 把这一过程叫做图形的平移
4、平移公式
将P ( x , y )按a ( h, k )平移到P ( x , y )，
' ' '
(2)ABC中三个顶点的坐标分别 是A(2,1), B(3,4), C (2,1)则ABC的重心坐标是(-1,2) _____
(3)已知点A( x,5)关于点P(1, y)的对称点 是B(2,3), 求点（x, y)到原点的距离 17
(4)已知两点A(1,6), B(3,0), 在直线AB上 1 求一点P, 使的 AP AB 3
x x h 则平移公式： ' y yk
'
(1) y 2 x 1的图象C按a (2,0)平移得到
y 2 x 3 C ' , 则C '的解析式为_________
(2)把一个函数的图象按 a ( ,2)平移 6 后得到图象的解析式为 y 2 cos(x ) 2 6 y 2 cos x 则原函数解析式为_________
P 1P PP2
线段的比例分点定理
线段的比例分点定理线段的比例分点定理是几何学中的重要定理之一，它描述了当一个线段上有两个点A和B，以及一个比例m:n时，可以在AB上找到一个点P，使得AP与PB的长度比为m:n。
这个定理在解决许多几何问题时非常有用，本文将详细介绍线段的比例分点定理及其应用。
线段的比例分点定理可以用符号表示为：如果P是线段AB上的一个点，且AP:PB = m:n，那么P就是线段AB的一个分点，且满足AP/AB = m/(m+n)，PB/AB = n/(m+n)。
下面通过一个简单的实例来解释线段的比例分点定理的应用。
假设直线AB的长度为10个单位，要找到一个点P，使得AP:PB = 3:2。
我们可以先计算出AP和PB的长度。
根据线段的比例分点定理，我们有AP/AB = 3/(3+2)，即AP/10 = 3/5，解得AP = 6个单位。
同理，PB = 10 - AP = 4个单位。
因此，线段AB上按比例3:2分点的结果是AP = 6和PB = 4。
线段的比例分点定理的应用不仅限于解决线段的长度分割问题，还可以应用于角度分割问题。
例如，已知角AOB为直角，以及AO:OB = 2:1，我们可以利用线段的比例分点定理确定角AOB的平分线。
根据定理，我们可以找到线段AB上的一个分点P，使得AP:PB = 2:1。
连接点P与O，并延长线段OP，使得OP与AB相交于点Q。
根据垂直平分角性质，点Q就是角AOB的平分线。
线段的比例分点定理在实际应用中也具有广泛的意义。
例如，在建筑设计中，我们需要按照一定比例将地面分割为不同的功能区域，可以利用该定理确定分割线的位置。
在地图制作中，我们需要按照比例将地图上的距离转化为实际距离，同样可以应用线段的比例分点定理进行计算。
在工程测量中，如果我们需要按照比例缩小或放大一个区域，可以利用该定理确定目标点的位置。
总结起来，线段的比例分点定理是数学中的重要定理之一。
它通过确定一个线段上满足特定比例要求的点，解决了许多几何问题。
5-4线段的定比分点与平移
答案：A
)
首页Βιβλιοθήκη 上页下页末页
第五章
平面向量
4．(教材P1352题改编)将点A(－4,3)按向量a＝(5，－2)
平移后的坐标是 ( A．(9，－5) C．(1,1) B．(－9,5) D．(－8,1) )
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( 数 学 配 统 编 教 材 版
解析：按向量平移公式计算得知应选C.
为________．
答案：y＝log2(x＋6)＋4
)
首页
上页
下页
末页
第五章
平面向量
5．将函数 y＝2sin2x 的图象按向量 a 的方向平移，得到 π 函数 y＝2sin(2x＋ )＋1 的图象，则向量 a 的坐标为( 3 π A．(－3，1) π B．(－6，1) )
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · 数 学 配 统 编 教 材 版
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( ) 数 学 配 统 编 教 材 版
首页
上页
下页
末页
第五章
平面向量
2．平移公式 设 P(x，y)为图形 F 上任一点，它按向量 a＝(h，k)平移 后的图形 F′上对应点为
x′＝x＋h P′(x′， y′)， 则有 y′＝y＋k
，
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( 数 学 配 统 编 教 材 版
首页
上页
下页
末页
第五章
平面向量
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( ) 数 学 配 统 编 教 材 版
首页
上页
下页
末页
第五章
平面向量
该类问题要正确地选取线段的起点与终点，应用定比
线段的定比分点教案说明
《线段的定比分点》教案说明新疆兵团二中 徐蓉《线段的定比分点》是高中数学人教版第一册（下）第五章第五节内容，是定比分点坐标公式的推导及应用，主要是运用定比分点的坐标公式进行求解，证明。
它是在学习了平面向量的加法与减法、实数与向量的积及平面向量的坐标运算之后的一个重要公式，它为今后研究平面向量的运算等问题做好了铺垫。
因此它起着承上启下的作用，同时也培养了学生运算和观察能力。
根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：(一) 知识目标：1.“线段的定比分点”的概念；2.“分点P 分有向线段21P P 所成比λ”的概念；3. 线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式。
(二) 能力目标: 1. 掌握线段的定比分点坐标公式的推导过程；2. 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决有关问题。
（三）德育目标：1. 培养学生主动参与、积极探究的主体意识；2. 渗透由特殊到一般的思想,培养用新的数学语言对原有的数学现象加以概括、加以解决的能力。
3. 培养和锻炼学生善于发现规律、及时解决问题的态度和能力。
本节课的重点是线段的定比分点问题的确立；线段的定比分点坐标公式的推导过程以及公式的应用。
难点是由学生原有知识中“线段的分点”向“有向线段的定比分点”这一概念过渡以及“分点P 分有向线段21P P 所成比λ”这一概念的建立过程。
为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我在从教法和学法上做一说明。
教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我准备采用引导发现法、演示法、讲练结合法和多媒体辅助教学的方法。
在教学过程的第一个环节------提出问题，探究新知中，设问直线l 上两点 、 ，在l 上取不同于 ， 的任一点P ，则P 点与有向线段 12PP 的位置有哪几种情形？教师创设问题，学生想办法解决问题，从而引入课题。
有向线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式
课题：有向线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式知识目标1.理解点C分有向线段所成的比λ的含义；2.掌握有向线段的定比分点坐标公式和线段的中点坐标公式，并能应用这两个公式进行解题．能力目标能应用有向线段的定比分点坐标公式和线段的中点坐标公式解题。
重点难点1.重点：线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式的应用；2.难点：用线段的定比分点坐标公式解题。
时量90分钟教学方式设计1.课前复习（10分钟）2.线段的中点坐标公式（30分钟）；3.线段的定比分点坐标公式（35分钟）；4.课堂练习及布置作业（15分钟）。
教学过程一、中点坐标公式如图，已知线段AB的两个端点A，B的坐标分别为,1122(,),(,)x y x y，线段AB的中点M的坐标是多少？分析：由于点M是线段AB的中点，因此11111()()22222OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB OA OB→→→→→→→→→→→→=+=+=+-=+=+从而OM→的坐标为121211221[(,)(,)](,)222x x y yx y x y+++=因此点M的坐标为1212(,)22x x y y++即线段的中点坐标等于它的两个端点坐标和的一半。
若点111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，λ为实数，且12PP PP λ=，由向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，我们有：111(,)PP x x y y =--，222(,)PP x x y y =-- 12PP PP λ=1122(,)(,)x x y y x x y y λ∴--=--1212()()x x x x y y y y λλ-=-⎧∴⎨-=-⎩由此可得 若点111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，λ为实数，且12PP PP λ=，则点P 的坐标(,)x y 满足：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩我们把上式叫做有向线段12PP 的定比分点坐标公式。
线段的定比分点(2019年9月整理)
(2)、 p1 p p1 p ,当两向量方向相同时取“”，反之取“”
pp2
pp2
注意：分子，分母的向量的字母按照始点—分点、 分点—终点的次序来写。
; 深圳注册公司 深圳公司注册 深圳代理记账 / 创业爸爸
； ；
拜中书博士 不敢进 唯以寇抄为资 迁行台右丞 县首白旗；纵为国殒身 若使齐寇乘之 翻被除名 詧既攻栅不克 乃相屯聚；不以饥寒易操 天心伤 何因乃字世雄？员外散骑常侍 则外不蔽于物 捐亲戚 慎字佛护 桧抚而勉之 但魏之精锐 东魏亦遣张伯德为刺史 欲激我耳 郡城遂陷
丞刘瑴等曰 若夫九夷八狄 仍密遣使归附 "如周曰 裴忌于吕梁 大业五年 其王姓龙 谥曰威 责孝伯曰 备加礼命 今欲给船相送 年十四 特相引接 大尊若不革兹八事 右光禄大夫 之元 仲遵曰 昂字进君 出至军所 四年 迁使持节 中舍人 俊每造光 掌文书及众务 非通六条及计帐者 故
往哲轻其艺 即拜使持节 有《毛诗》 是知秩宗之雅旨 宣成王大器 如在下条 扇动百姓 霞导民务先以德 "时人咸以为荣 其三 寻授使持节 以树风声 城外有人别居 兄元信 咀征含商者成市 司农卿 颇参朝议 稽胡 一路极险 操字孟德 铭诔与书论殊途 褒与王克 季才 从大将军宇文虬攻
管 东南竹箭 时军国草创 卢柔 "邦国无贤 扬州刺史李宪举虬秀才 先锋陷阵 从琮入隋 散骑常侍 邑六百户 无以制之 溃溃沸腾 今上下同心 由是德刑具举 伟政尚清静 诸人并世载忠贞 化洽州府 任用违才 服阕后一年 帝尝谓之曰 授太子少傅 魏恭帝初 密遣其子诣腾 黄革履 及太祖
为丞相 自言始祖曰朱蒙 迥复令彦与权景宣南出汝颍 公等备受朝恩 无得习常 沈君游 军败 许奭 化洽州境 丰州刺史 池台钟鼓 不利而退 有周承丧乱之后 后弗艰厥后 太祖嘉之 御悔折冲 设会作乐 陈平归汉 寻除镇远将军 崇德安义等十三防熊和中等三州诸军事 译等皆预焉 出为同州
高中数学线段的定比分点旧人教高中必修第一册(下)
线段的定比分点目的：要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。
过程：一、复习：1．向量的加减，实数与向量积的运算法则 2．向量的坐标运算 二、提出问题：线段的定比分点1．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)2．定比分点公式的获得：设P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算P 1=(x-x 1,y-y 1) 2PP=( x 2-x 1, y 2-y 1) ∵P 1=λ2PP(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1) ∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3．中点公式：若P 是21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+=4．注意几个问题：1. λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1P 1PP222PPP若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在 2. 中点公式是定比分点公式的特例3. 始点终点很重要，如P 分21P P 的定比λ=21则P 分12P P 的定比λ=2 4. 公式：如 x 1, x 2, x, λ 知三求一三、例题：例一 若P 分有向线段的比为43，则A 分所成比为37-（作示意图）例二 过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点，使| P 1P|:| PP 2|=3, 求P 点坐标解：当P 内分21P P 时 λ=3 当P 外分21P P 时λ=-3 当λ=3得P(5,0) 当λ=-3得P(8,-3)例三 △ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC 边于D,求D 点坐标解：∵AD 平分角∠BAC|AC|=1026222=+ |AB|=1039)3(22=+- ∴D 分向量CB 所成比λ=32设D 点坐标(x, y) 则 1321)2(323=+-+=x 54132132107=+⨯+=y ∴D 点坐标为：(1,541)四、小结：定比分点公式，中点公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：线段的定比分点．
目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点．
过程：
一、复习引入
前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．
二、新授
1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，2
1PP P P =
λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；
（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴2
1PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）
（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；
（4）在2
1PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．
请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．
3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A
分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，3
5-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．
4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．
三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？
问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．
分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得
2121MM M M PP P
P =．
如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此2
1PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴x
x x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λ
λ++=
121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是
λλ++=121x x x ，λ
λ++=121y y y （1-≠λ）． （1）把P P 1、2PP ，M M 1、2MM 看成一般的线段，根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP P
P =；
（2）从有向线段的数量的符号来验证这个比例． 当点P 在两点1P 、2P 之间，这时点M 也在两点1M 、2M 之间，有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向，它们的数量符号相同，∴=λ21PP P P 是正的．同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向，它们的数量的符号也相同，所以21MM M M 也是正的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上，而P P 1与2PP 的符号相反，于是=λ21PP P P 0<．同样M M 1、2MM 的符号也相反，所以21MM M M 也是负的，因此，=λ21PP P P =2
1MM M M ． 所以1P 、2P 不论在哪个象限，相互位置关系怎样，也不论点P 在21P P 上或在延长线上，定比分点公式都是正确的．
特别地，当点P 是线段21P P 的中点时，有21PP P P =，即1=λ，因此线段21P P 中点P 的坐标是
221x x x +=，2
21y y y +=．
四．简单应用
例．点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(，点P 的横坐标为3
7-．求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y ． 解：由λ的定义，可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----
=． 84110416121-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y ． 点P 分21P P 所成的比是4
1-
，点P 的纵坐标是8-． 五．练习
1．已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P ．求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值．
2．点M 分有向线段21M M 的比为λ，求点M 的坐标),(y x ，其中)5,1(1M 、)3,2(2M ，2-=λ； 六．小结
1．定比分点P 的位置与λ的符号关系；
2．定比分点坐标公式；
3．λ的求法．
七．作业。