《含绝对值不等式的解法》导学案
含绝对值不等式的解法辅导教案
【例2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围．
(1)不等式有解；
(2)不等式的解集为R；
(3)不等式的解集为∅.
规律方法本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
三、易错题型
绝对值三角不等式的应用
【典例】设不等式|x－2|＜a(a∈N*)的解集为A，且 ∈A， ∉A.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
[反思感悟]本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
8．若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围为________．
9．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
绝对值不等式-导学案
高考选修专题二绝对值不等式【高频考点解读】1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a+b|≤|a|+|b|;②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.3.会用绝对值不等式、平均值不等式求解或证明一些简单问题；【重点知识梳理】一、绝对值不等式的解法1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为 ，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法：(1)零点分区间法；(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．3．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．二、绝对值不等式的证明证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法：1．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．2．利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．3．转化为函数问题，数形结合进行证明．三、绝对值不等式的综合应用1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题．2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.【高考考点突破】考点一、绝对值不等式的解法例1．解不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0.【变式探究】解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x 2＋1.【方法技巧】含绝对值不等式的常用解法：考点二、绝对值不等式的证明例2、设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【变式探究】已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.考点三、绝对值不等式的综合应用例3．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．【高考风向标】1. 【2015陕西，文24】已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x <<(I)求实数,a b 的值； (II)+.2. 【2015新课标1，文24】已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.《真题随堂练》1．（2014·福建卷）已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.2．（2014·广东卷）不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．3．(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________．4．[2014·江西卷]对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4。
《含绝对值不等式的解法》优秀教案
含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。
二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。
（见()002≥>++c bx ax ()002≤<++c bx ax 02=++c bx ax c bx ax y ++=2xx 3232->-392+≤-x x 032<-x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x ⎩⎨⎧⇔2x +<3x 433≤≤-=x x 或32<≤x {}342-=≤≤x x x 或)3(2≤+-x x ≥42423≤≤-=⇔x x 或{}342-=≤≤x x x 或3,9221+=-=x x y x y（2,3,432=-=x x 21y y ≤x 433≤≤-=x x 或{}342-=≤≤x x x 或1-<x 01,03<+<-x x 1)1()3(<++--x x φ∈⇒x31<≤-x 1)1()3(<+---x x ⇒21>x }321|{<<x x 3≥x 1)1()3(<+--x x ⇒R x ∈⇒}3|{≥x x }21|{>x x ⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x ⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x ⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x 21≥2121a x x >+++1212+++x x ()1,∞-()521-+-++=x x x x f ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+-<≤+≥-=1,6321,852,45,63x x x x x x x x x f ()62min ==x f x 时x)(,)]1([)1(222b a x b ax x b x a ≠-+≥-+2222222222()()2()()()0()0001a b x b a b x a b bx b a b x x a b a b x x x -+≥-+-+⇒--≤≠∴->∴-≤≤≤则{01}x x ≤≤故原不等式的解集为210{51}ax bx x x ++≥-≤≤的解集为a b 求、的值0<a 012=++bx ax ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=-∴54515141)5(b a a a b b a ,54,51--a 2a 2a a 2+a 2a 2a 2a 2a 2x0)2)(2(>--ax x )(1)2()1(2R m x m x m y ∈--+-=m x x 01)2()1(2=--+-x m x m m x y ∆m 01>∆≠且m 0≠m 1≠m 2)1(2)2(1122221≤-+-=+m m x x 10<<m 21≤<m 34=m 54=m {2x x <-3}x >）=2－（m 3）3m ，比较系数，得m =2，∴a =8 此时，原不等式的解集为{|2≤≤3}备：例6、关于的不等式⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解的集合为{－2}，求实数的取值范围解：由2－－2＞0可得＜－1或＞2∵⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解为=－2， 又∵方程22（25）5=0的两根为－和－25①若－＜－25，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；②若－25＜－，则应有－2＜－≤3 ∴－3≤＜2综上，所求的取值范围为－3≤＜2三、小结：1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意义，掌握其基本类型。
绝对值不等式-导学案
高考选修专题二绝对值不等式【高频考点解读】1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:hc|+|c-b|.①|a+b| w|a|+|b|;② |a-b| w3.会用绝对值不等式、平均值不等式求解或证明一些简单问题;【重点知识梳理】、绝对值不.等式的解法1.|ax + b| W, |ax + b|駅c>0)型不等式的解法⑴ 若 c>0,则 |ax + b| W等价于—cWax + bWc, |ax + b| C等价于 ax+ b丸或 ax+ b<- c⑵若cv 0,则|ax+ b| W的解集为0 , |ax + b| c的解集为R.2.|x— a|+ |x — b| 駅或 Wc)(c>0), |x — a|— |x— b| W或Wc)(c>0)型不等式的解法:(1)零点分区间法;(2)利用绝对值的几何意义由于|x — a|+ |x— b|与|x— a|— |x— b|分别表示数轴上与 x对应的点到a, b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x— a汁|x — b | W(c>0)或|x — a|— |x— b| c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|> g(x), |f(x)|v g(x)(g(x)> 0)型不等式的解法(1)|f(x)|> g(x)?f(x) > g(x)或 f(x)v— g(x). (2)|f(x)|v g(x)? — g(x)v f(x) v g(x).二、绝对值不等式的证明证明绝对值不等式|a|—|b|| W||钊+ |b|主要的三种方法:1.利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明.2.利用三角不等式||a|—|b|| a±)| W| |b|进行证明.■3.转化为函数问题，数形结合进行证明.三、绝对值不等式的综合应用1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题.2. f(x) v a 恒成立？ f(X)max V a. f(x)>a 恒成立？ f(x)min > a.【高考考点突破】考点一、绝对值不等式的解法例 1 解不等式 |2x + 1|-2|x — 1|>0.【变式探究】解不等式|x+ 3|— |2x —1|< 2+ 1.【方法技巧】含绝对值不等式的常用解法:考点二、绝对值不等式的证明 例2、设不等式一2v|x — 1|— |x + 2|v 0的解集为 M , a, b € M.1< 1 ；⑵比较|1—43&与2|a -m 的大小，并说明理由•【变式探究】已知x ，y € R ,且1x+y| ^6,|x -y|扌，求证：区+5y| <1. (1)证明: 1 13a +6b考点三、绝对值不等式的综合应用例 3.已知函数 f(x)=|2x— 1汁 |x— 2a|.⑴当a= 1时，求f(x) w3勺解集；⑵当x€ [1,2]时，f(x) W姮成立，求实数 a的取值范围.【高考风向标】 1.【2015陕西，文24】已知关于x的不等式x+a cb的解集为{x|2vxv4}(I)求实数a, b的值； (II)求J at +12 +V b?的最大值.x+1 -2 x-a ,a >0 ・.2.【2015新课标1,文24】已知函数f(x) =(I)当a =1时求不等式f(x)：＞1的解集；(II)若f(x)图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.《真题随堂练》1.（2014 •福建卷）已知定义在 R 上的函数f （x ） = |x + 1| + |x — 2|的最小值为a.2 2 2（1）求a 的值；（2）若p, q, r 是正实数，且满足 p+ q+ r = a,求证：p + q + r 》3. （2014广东卷）不等式|x — 1|+|x+ 2|>5的解集为C. 3 2. 3. （2014湖南卷）若关于 x 的不等式|ax — 2|v 3的解集为k — 3< XV ，贝U a =4. [2014江西卷]对任意 X, y€ R , |x — 1|+|x|+ |y — 1|+|y+ 1|的最小值为（ ）。
高三数学第一轮复习 -含绝对值的不等式的解法教案
芯衣州星海市涌泉学校一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目的：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕，难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：〔一〕主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的间隔；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的间隔 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或者者ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．〔二〕主要方法：1．解含绝对值的不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕进展求解；2．去掉绝对值的主要方法有：〔1〕公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或者者x a <-． 〔2〕定义法：零点分段法；〔3〕平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．〔三〕例题分析：例1．解以下不等式：〔1〕4|23|7x <-≤；〔2〕|2||1|x x -<+；〔3〕|21||2|4x x ++->．解：〔1〕原不等式可化为4237x <-≤或者者7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． 〔2〕原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． 〔3〕当12x≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．〔1〕对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，那么a 的取值范围是(,3)-∞； 〔2〕对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，那么a 的取值范围是(4,)+∞．解：〔1〕可由绝对值的几何意义或者者|1||2|y x x =++-的图象或者者者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；〔2〕与〔1〕同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．〔高考A 方案考点3“智能训练第13题〞〕设0,0ab >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或者者2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或者者2()2a b x x a b +≤⇒≤+②， 当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或者者2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b -∞+． 例4．{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，务实数a 的取值范围．解：当0a≤时，A φ=，此时满足题意； 当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．〔高考A 方案考点3“智能训练第15题〞〕在一条公路上，每隔100km 有个仓库〔如以下列图〕，一一共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存的．如今想把所有的货物放在一个仓库里，假设每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，那么五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，那么所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-， 当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<； 当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x=时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元． 〔四〕稳固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．假设关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，那么a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，那么x ∈(1,)+∞．五．课后作业：高考A方案考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．。
〖2021年整理〗《含绝对值不等式的解法》优秀教案
课时4 含绝对值不等式的解法任远一、教学目标（一）核心素养充分运用观察、类比、猜想、分析证明数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想（二）学习目标1理解并掌握a x <和a x >型不等式的解法。
2充分运用观察、类比、猜想、分析证明数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想 3能解常见的含绝对值不等式。
（三）学习重点含绝对值不等式的解法（四）学习难点理解并运用含绝对值不等式的解法二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页至第19页，填空：||1x <⇔ ，||1x >⇔ ；分别有怎样的几何意义？（2）想一想：解含绝对值不等式的最基本的思想方法是什么？【答案】零点分段法，对绝对值进行讨论2．预习自测（1）代数式|+2|x 的几何意义是表示【知识点】绝对值的几何意义【数学思想】数形结合思想【解题过程】代数式|+2|x 的几何意义是表示数轴上的一点到-2所对应的点的距离【思路点拨】注意绝对值的几何意义【答案】数轴上的一点到-2所对应的点的距离．（2）不等式||2x ≤的解集是（ ）A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞D ．[2,2]-【知识点】绝对值的几何意义【数学思想】数形结合思想【解题过程】||2x ≤表示数轴上的一点到0所对应的点的距离不大于2，所以22x -≤≤【思路点拨】注意绝对值的几何意义【答案】D ．（3）不等式|4||6|2x x -+-≥的解集为（ ）A ．(,4]-∞B ．[6,)+∞C ．RD ．(,4]6,)-∞+∞【知识点】绝对值三角不等式【解题过程】|4||6||(4)6|2y x x x x =-+-≥---=（），所以不等式恒成立【思路点拨】注意绝对值三角不等式的应用【答案】C二课堂设计1.知识回顾（1）绝对值的意义。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
绝对值不等式的解法》教案
绝对值不等式的解法》教案教学目标：1.理解和掌握解xa型不等式的方法。
2.运用数学思维方法，掌握绝对值三角不等式公式的运用。
教学重点和难点：重点：绝对值三角不等式的含义和运用。
难点：绝对值三角不等式的推导和取等条件。
教学过程：一、复引入：在初中课程中，我们已经研究了不等式和绝对值的基础知识。
请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
即：如果x>0，x=x；如果x=0，x=0；如果x<0，x=-x。
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
二、新课研究：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。
主要的依据是绝对值的几何意义。
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型：设a为正数。
根据绝对值的意义，不等式x<a的解集是{x|-a<x<a}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间(-a,a)，如图所示。
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型：设a为正数。
根据绝对值的意义，不等式x>a的解集是{x|x>a或x<-a}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(-∞,-a)和(a,∞)的并集，如下图所示。
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
3、ax+b≤c和ax+b≥c型不等式的解法。
ax+b≤c ⇔ -c≤ax+b≤cax+b≥c ⇔ ax+b≤-c或ax+b≥c例如：解不等式3x-1≤2.例如：解不等式2-3x≥7.4、x-a+x-b≤c和x-a+x-b≥c型不等式的解法。
例如：解不等式x-1+x+2≥5.思考：从例5的解题过程中，我们可以看到，上述三种方法各有特点。
人教B版高中数学选修4 5131绝对值不等式的解法第一课时导学案
人教B版高中数学选修4-5《1.3.1 绝对值不等式的解法》(第一课时)姓单是否采用多媒体是一、教材分析《含绝对值的不等式解法》是人教B版高中数学选修4-5第一章第三节的内容，它是在学习了一元一次不等式，一元二次不等式以及简单的分式不等式的基础上，通过对初中解形如|x|=a(a>0)的绝对值方程的进一步学习，深刻体会绝对值的几何意义，来更进一步研究形如|x|<a与|x|>a(a>0)型的不等式的求解问题。
不等式是中学数学的基本内容，其性质及解法在求函数的定义域、单调性、最值等有关问题中经常体现。
绝对值不等式是不等式中的重要类型之一，可通过它了解数形结合、分类讨论、转化化归的数学思想方法，因此它是本章的重点之一，在整个高中学科课程中占有重要地位,也是高考中不等式选做中重要题型之一。
二、学情分析《含绝对值的不等式解法》是学生在初中学习了|x|=a(a>0)的绝对值方程的解法以及高中学习的一元一次不等式、一元二次不等式及简单的分式不等式的基础上更进一步学习|f(x)|>a与|f(x)|<a(a>0)渗透“未知－已知－未知”、“具体－抽象－具体”的辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质和学习习惯。
四、教学目标1.知识与能力：(1)掌握|x|<a(a>0)与|x|>a(a>0)型的绝对值不等式的解法．(2)掌握|f(x)|>a与|f(x)|<a(a>0)型的绝对值不等式的解法2. 过程与方法：通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力。
通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力。
3. 情感、态度与价值观：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，以及逻辑推理能力，考察学生思维的积极性和全面性，领悟分类讨论、转化化归和数形结合的数学思想方法，逐步培养学生的数学理解能力，化归能力及运算能力，使之初步学会用数学思想指导数学思维。
绝对值不等式导学案
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：绝对值不等式【教学目标】1.理解绝对值的几何意义，并能利用含有绝对值不等式的几何意义和代数法证明绝对值不等式的性质定理。
2.会利用绝对值不等式的性质定理证明简单的不等式。
【重点、难点】重点：含有绝对值不等式的应用。
难点：含有绝对值不等式的证明及应用。
【学法指导】1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论；3.预习p6-p7,【自主探究】1，绝对值的几何意义：（1）a 的几何意义:它表示实数 在数轴上对应的点与 的距离。
（2）x a -的几何意义:它表示实数 在数轴上对应的点与 的距离。
2，绝对值不等式的定理：（1）a b - a b + a b +（2）a b - a b - a b +（3）12...n a a a +++ 123...n a a a a +++3,下面四个式子中①121a a -+-≥;② 2a b a b a ++-≥;③a =;④1()2a b +≥成立的有A ， 1,B ， 2 ,C ， 3,D ， 4【合作探究】1，已知,46a a x y <<，求证；23x y a -<2，已知,22x A y B εε-<-<，求证，()()x y A B ε---<【巩固提高】1,若a<b<0,则下列结论正确的是（ ）A, 不等式11a b >和 11a b >均不成立 B ，不等式11a b a >-和11a b >均不成立；C ，不等式11a b a >-和2211()()a b b a +>+均不成立； D, 不等式11a b >和2211()()a b b a+>+均不成立 2,已知,,,a b a b a b m n a b a b -+≠==-+则m,n 之间的大小关系是 。
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含绝对值的不等式的解法教案
含绝对值的不等式的解法（第2课时）教学目标：1. 掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法。
2. 会用零点分段法解含两个绝对值的不等式。
3. 提高学生在解决问题过程中熟练运用“等价转化”与“数形结合”的思想。
教学重点、难点：重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式难点：含绝对值不等式解法及绝对值几何意义的应用教学方法：启发，引导，探索发现，讲练结合教学方式：复习回顾、巩固练习、新知探究、本节小结教学过程：一. 知识点回顾 1.)0(>>+c c b ax 或)0(><+c c b ax 的解法||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 2.)()(x g x f >或)()(x g x f <的解法()f x >()g x ⇔()f x >()g x 或)()(x g x f -<；()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<< 3.)()(x g x f >或)()(x g x f <的解法 )()()()(22x g x f x g x f >⇔>)()()()(22x g x f x g x f <⇔< 4.b x a x -±-的几何意义数轴上的动点x 到两个定点a,b 的距离之和（差）主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式进行求解；巩固练习：解下列不等式：① 332>-x ② 532<-x二. 典型例题例1． 解下列关于x 的不等式：① 5323<-<x② 43222-->--x x x x分析：①由于原不等式等价于332>-x 且532<-x ，因此可先分别解出两个绝对值不等式的解集，然后求其交集。
天津市南开中学高二数学必修5导学案：3.2.3绝对值不等式的解法
方程│x │＝2的解集？观察、思考：不等式│x │<2的解集? 归纳：如果 a ＞0，则引伸：如果把|x|<2中的x 换成“x -1”,也就是 | x-1 | <2如何解？如果把|x|>2中的x 换成“3x -1”,也就是 | 3x-1 | >2如何解？归纳：型如| f(x)|<a, |f(x)|>a (a>0)不等式的解法:◆ 典型例题例 1 解不等式|x 1||x 2|=|OA| =|OB| ax a a x <<-⇔<ax a x a x >-<⇔>或()()f x a a f x a<⇔-<<()()f x a f x a a >⇔<->或f(x)532<-x例 2 解不等式 ＞5◆ 动手试试求下列不等式的解集① |2x+1|<5② 3|1-4x|>9③ |4x|<-1④ |2x -5x|>-6⑤ 3<| 2x+1 | <5引伸：型如 | f(x)|<a, |f(x) |>a 的不等式中“a”用代数式替换，如何解？例3:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x32 x练习：把下列绝对值不等式转化为同解的非绝对值不等式。
1、|2x-3|<5x2、3、| x-1 | > 2( x-3)5、| 2x+1 |> | x+2 |类型2 例：4、 22+>+x x x x |x 2-3x-4|>4x a x b c x a x b c-+-≥-+-≤和125x x -++≥练习：解不等式（1）（2）2、不等式 22x x xx --> 的解集是（ ） A. (02)， B. (0)-∞，C. (2)+∞，D. (0)∞⋃+∞（-，0），不等式组3、⎩⎨⎧≥≤--161|2|42x x 的解集为237x x ++-<24337x x ++-<三、学习小结如果 a ＞0，则a x a x a x >-<⇔>或()()f x a a f x a <⇔-<<()()f x a f x a a >⇔<->或f(x)。
绝对值与绝对值不等式导学案(学生版)
绝对值与绝对值不等式导学案（0830)1.绝对值的几何意义:在数轴上,一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大,离原点的距离越近,绝对值越小.2.数轴上两点之间的距离若A,B是数轴上的两个点,它们表示的数分别为x1,x2,则A,B两点之间的距离为AB=|x1-x2|.3.两个绝对值不等式:(1)|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a;(2)|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x<-a或x>a.4.绝对值不等式的解法(1)|ax+b|<c(c>0)⇔-c<ax+b<c⇔ax+b>−c,ax+b<c.(2)|ax+b|>c(c>0)⇔ax+b<-c或ax+b>c.(3)|x-a|+|x-b|<c(c>0)的解法:先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值,再将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,最后讨论每个绝对值符号内的式子在每个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含绝对值的不等式再求解.这种方法称为零点分段法.例1解方程:3|2x-1|-1=5.例2(1)不等式|x|<2的解为.(2)已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|<a有解,则实数a的取值范围是.例3.对任意实数x,若不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立,则实数a的取值范围是().A.a<3B.a<-3C.a≤3D.a≤-3例4解不等式:(1)|2x-5|>2;(2)|4x-3|>2x+1;(3)|x+2|+|x-1|<5.5.不等式|x-2|≤|x|的解是.6.若有理数x,y满足2021(x-1)2+|x-12y+1|=0,则x2+y2=.7.若a,b,c均为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,则|c-a|+|a-b|+|b-c|的值为.≥1的实数解为.8.不等式|r1||r2|9.解下列不等式:(1)120;(2)|2x+5|>7;(3)|2x|-1<-3|x|+4;(4)4<|1-3x|≤7.绝对值与绝对值不等式练案1．在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是(）A．{3|x x ≤-或3}x ≥B．{|33}x x -≤≤C．{|3}x x ≤-D．{|3}x x ≥2．若不等式211x a x -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．3．解下列绝对值不等式：（1）33215x x -++<（2）03232x x x x x >⎧⎪--⎨>⎪++⎩（3）3425x x ++>（4）2314x x≤-4．解绝对值不等式35x x +>-5．求下列绝对值不等式的解集：（1）|12|3x -≥（2）2|1|0x --≤.6．求下列绝对值不等式的解集：（1）|2|30x -≥（2）|12|2x -<．7．已知绝对值不等式：│x+1│+│x-1│>a 2－5a+4（1）当a=0时，求x 的范围；（2）若对于任意的实数x 以上不等式恒成立，求a 的范围8．已知函数()f x =2x a x ++-.(Ⅰ)当3a =-时，求不等式()f x ≥3的解集；(Ⅱ)若()f x ≤4x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.9．已知()21f x x x =++-．(1)解不等式()5f x x ≤+；(2)若关于x 的不等式()22f x m m ≥-在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．10．已知()|||2|f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；(2)若关于x 的不等式2()44f x a a -≥+恒成立，求实数a 的取值范围．11．已知()120f x x x a =++-+ (1)当5a =-时，求()f x 定义域；(2)若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围.12．已知函数()3f x x a x =-+-.(1)当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()1f x a ≥+，求a 的取值范围.13．（选做）x 的不等式：211x x +>+14．（选做）已知函数()2f x x m x =+--，m R ∈.(1)若3m =，求不等式()1f x >的解集；(2)若对x R ∀∈，不等式()224f x x +-≥都成立，求实数m 的取值范围.15.（选做）已知()35f x x x =+--.(1)解不等式()21f x x <-；(2)若不等式()268f x a a ≤-恒成立，求实数a 的取值范围16．（选做）已知函数()21f x x x a =---．(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若不等式()2f x a x a ≤++-恒成立，求实数a 的取值范围．。
含绝对值不等式的解法教案
我今天讲的是普通高中课程标准实验教科书选修4-5不等式选讲中的第一讲第二个问题——绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法一、教学目标（1）掌握|x|<a与|x|>a（a>0）型的绝对值不等式的解法．（2）掌握|ax+b|<c与|ax+b|>c（c>0）型的绝对值不等式的解法．（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；二、教学重点：|x|<a与|x|>a（a>0）型的不等式的解法；三、教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题．四、教学过程设计（一）、导入新课提问:正数的绝对值是什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？|a|的几何意义是在坐标轴上表示坐标为a的那个点到原点的距离。
（二）、新课讲授设问1：解绝对值不等式|x|<1，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？根据绝对值的意义，由下面的数轴可以看出，不等式|x|<1的解集就是表示数轴上到原点的距离小于1的点的集合，即（-1,1）．不等式|x|<1的解集表示为{x|-1<x<1}即（-1,1）设问2：解绝对值不等式|x|>1，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？根据绝对值的意义，由下面的数轴可以看出，不等式|x|>1的解集就是表示数轴上到原点的距离大于1的点的集合，即(,1)(1,)．-∞∞不等式|x|>1的解集为{}{}|1|1x x x x <-> 或表示为{x|x<-1或x>1}设问3：如果a>0解绝对值不等式|x|<a ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？根据绝对值的意义，由下面的数轴可以看出，不等式|x|<a 的解集就是表示数轴上到原点的距离小于a 的点的集合，即（-a,a ）．不等式|x|<a （a>0）的解集表示为{x|-a<x<a}设问4：当a>0时解绝对值不等式|x|>a ，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？根据绝对值的意义，由下面的数轴可以看出，不等式|x|>a 的解集就是表示数轴上到原点的距离大于a 的点的集合，即(,)(,)a a -∞∞ ．不等式|x|>a （a>0）的解集表示为{x|x<-a 或x>a }因而，|x|<a ⇔-a<x<a ；|x|>a ⇔x<-a 或x>a.故 不等式|x|<a 的解集是（-a,a ）；不等式|x|>a 的解集是(,)(,)a a -∞∞ .上述绝对值不等式是解其它不等式的基础，即其它绝对值不等式的解一般可以通过转化为上述不等式而得到。
《2.绝对值不等式的解法》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《绝对值不等式的解法》导学案学习目标：1. 掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法；2. 理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化知识情景：1．绝对值的定义：a R ∀∈，||a ⎧⎪=⎨⎪⎩2. 绝对值的几何意义：1. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A .2. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，那么||a b -的几何意义是__________________________________.3.绝对值三角不等式：①0a b ⋅>时， 如下图， 易得：||||||a b a b ++.②0a b ⋅<时， 如下图， 易得：||||||a b a b ++.③0a b ⋅=时，显然有：||||||a b a b ++.综上，得 定理1 如果,a b R ∈， 那么||||||a b a b ++. 当且仅当_______时， 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈， 那么||||||a c a b b c --+-. 当且仅当______时，等号成立.建构新知：含绝对值不等式的解法1．设a 为正数， 根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是_________________. 它的几何意义就是数轴上_________的点的集合是开区间____________，如图所示.2．设a 为正数， 根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是_________________,它的几何意义就是数轴上_____________的点的集合是开区间__________，如图所示.3．设a 为正数，则1.()f x a <⇔； 2.()f x a >⇔； 3. 设0b a >>， 则()a f x b ≤<⇔. 4．1. ()f x ≥()g x ⇔___________________________________________________； 2. ()()f x g x <⇔ _________________________________________________.案例学习：例1解不等式(1)213+<-x x ； (2)x x ->-213.例2 解不等式(1)52312≥-++x x ； (2)512≥-+-x x .例3 解不等式(1) |2||1|x x -<+；(2)4|23|7x <-≤.例4 (1)(03北京春)若不等式26ax +<的解集为()1,2-，则实数a 等于( ).A 8 .B 2 .C 4- .D 8-(2) 不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______.例5 已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.。
高中数学 第一章§2.2绝对值不等式的解法导学案 北师大版选修45
2.2 绝对值不等式的解法1．会利用绝对值的几何意义来证明不等式．2．掌握|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的求解及证明方法．1．(1)解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为________、________及不等式的性质．(2)绝对值不等式的解法(同解性)①|x |＜a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ， a②|x |＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ， a ＝， a【做一做1】解下列绝对值不等式：(1)|x |＜3；(2)|x |＞4．2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c ＞0)型不等式的解法：先化为不等式组____________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．(2)|ax ＋b |≥c (c ＞0)的解法：先化为______和______，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集，也可以利用绝对值的几何意义求解．【做一做2－1】不等式|x ＋4|＞9的解集是__________．【做一做2－2】不等式|2x ＋1|＞x ＋1的解集为__________．3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法解法一：可以利用绝对值的________．(简称几何法)解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“____”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的____，进而去掉__________．(简称分段讨论法) 解法三：可以通过________，利用________，得到不等式的解集．(简称图像法)由上可以看出：解含有绝对值的不等式，关键在于利用绝对值的意义设法去掉__________，把它转化为一个或几个普通______或________(即不含绝对值符号)．【做一做3】解不等式|2x －5|－|x ＋1|＜2．答案：1．(1)绝对值的定义 几何意义 (2)①－a ＜x ＜a 无解 ②x ＜－a 或x ＞a x ≠0 x ∈R【做一做1】解：(1)∵3＞0，∴－3＜x ＜3．(2)∵4＞0，∴x ＞4或x ＜－4．2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c ax ＋b ≤－c【做一做2－1】{x |x ＜－13或x ＞5} 由原不等式，得x ＋4＞9或x ＋4＜－9， 解得x ＞5或x ＜－13．【做一做2－2】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23或x >0 原不等式可化为不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x ＋1>x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1<0，－x ＋x ＋1.解得x ＞0或x ＜－23．3．几何意义 零点 符号 绝对值符号 构造函数 函数图像 绝对值符号 不等式 不等式组【做一做3】分析：利用零点分区间法解题．解：令2x －5＝0，得x ＝52．令x ＋1＝0，得x ＝－1． (1)当x ≤－1时，原不等式等价于－(2x －5)＋(x ＋1)＜2，即－x ＋6＜2，即x ＞4，无解．(2)当－1＜x ＜52时，原不等式等价于－(2x －5)－(x ＋1)＜2，即－3x ＋4＜2，即x ＞23．∴23＜x ＜52． (3)当x ≥52时，原不等式等价于(2x －5)－(x ＋1)＜2，即x －6＜2，即x ＜8．∴52≤x ＜8． 综上，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x <8．用分段讨论法解含绝对值的不等式剖析：分段讨论法解含绝对值的不等式时，是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式求解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解．在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x ”的范围(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x ”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集；解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立．不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论．所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然都是用的分段讨论法，但实质上是不同的．这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错．题型一|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法【例1】解不等式2＜|2x －5|≤7．分析：分清楚绝对值不等式的类型，利用绝对值不等式的同解性或几何定义求解． 反思：(1)|ax ＋b |≥c (c ＞0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ；(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c ．在实际问题中，我们应先把x 的系数化为正数后再求解．题型二 |x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法【例2】解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5．分析：这个绝对值不等式比较复杂，我们需要从它的几何意义来分析，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，那么不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．所以我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解集．反思：本例题有三种解题方法，各有特点．解法一可利用绝对值不等式的几何意义，体现了数形结合思想．从中可以发现，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．解法二可利用|x －1|＝0，|x ＋2|＝0的解，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值符号的不等式而求解，体现了分类讨论思想．从中可以发现，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号．解法三可通过构造函数，利用函数的图像，体现了函数与方程的思想．从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考察函数的增减性)是解题的关键．题型三 |x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法【例3】求关于x 的不等式|x ＋4|＋|x －2|≤6的解集．反思：分类讨论法，令|x －a |＝0，|x －b |＝0．从而把数轴分成3部分，在各个小区间上去掉绝对值号求解，最后写出并集即可．答案：【例1】解：解法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|>2，|2x －5|≤7， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>2或2x －5<－2，－7≤2x －5≤7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >72或x <32，－1≤x ≤6. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x <32或72<x ≤6． 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集． 原不等式可化为(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5≥0，2<2x －5≤7，或 (2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －5<0，2<5－2x ≤7. 解不等式组(1)，得72＜x ≤6． 解不等式组(2)，得－1≤x ＜32． ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x <32或72<x ≤6． 【例2】解：解法一：(几何法)如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，那么A ，B 两点的距离是3，因此区间[－2,1]上的数都不是原不等式的解．为了求出不等式的解，关键要在数轴上找出与点A ，B 的距离之和为5的点．将点A 向左移动1个单位到点A 1，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝5；同理，将点B 向右移动1个单位到点B 1，这时也有|B 1A |＋|B 1B |＝5．从数轴上可以看到，点A 1与B 1之间的任何点到点A ，B 的距离之和都小于5；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到点A ，B 的距离之和都大于5．所以，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法二：(分段讨论法)(1)当x ≤－2时，原不等式可以化为－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集是(－∞，－3]． (2)当－2＜x ＜1时，原不等式可以化为－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，矛盾．所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为． (3)当x ≥1时，原不等式可以化为(x －1)＋(x ＋2)≥5，解得x ≥2，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集是[2，＋∞)．综上所述，原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法三：(图像法)将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0．构造函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|－5，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －6，x ≤－2，－2，－2<x <1，2x －4，x ≥1.作出函数的图像(如图)，它是分段线性函数，函数的零点是－3,2．从图像可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，有y ≥0，即|x －1|＋|x ＋2|－5≥0．所以原不等式的解集是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．【例3】解：令x ＋4＝0，得x ＝－4．令x －2＝0，得x ＝2．(1)当x ≤－4时，原不等式等价于－(x ＋4)－(x －2)≤6，得－2x －2≤6，即x ≥－4．∴x ＝－4．(2)当－4＜x ＜2时，原不等式等价于(x ＋4)－(x －2)≤6，即6≤6成立．∴－4＜x ＜2．(3)当x ≥2时，原不等式等价于(x ＋4)＋(x －2)≤6，得2x ＋2≤6，即x ≤2．∴x ＝2． 综上，知原不等式的解集为{x |－4≤x ≤2}．1下列不等式中，解集为R 的是( )．A ．|x ＋2|＞1B ．|x ＋2|＋1＞1C ．(x －78)2＞－1D ．(x ＋78)2－1＞02不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－x ＞x 2－x的解集是( )． A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |x ＜0或x ＞2} C ．{x |x ＜0} D ．{x |x ＞2} 3不等式|x ＋3|＜4的解集是( )．A ．(－7,1)B ．(1,7)C ．(－4,1)D ．(－3,1)4不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集是__________．答案：1．C 根据a 2≥0，知(x －78)2＞－1在R 内恒成立．2．B 由已知，得x 2－x＜0，解得x ＜0或x ＞2． 故选B ．3．A |x ＋3|＜4⇔－4＜x ＋3＜4⇔－7＜x ＜1．4．{x |x ≥1} |x ＋3|－|x －2|≥3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <2，x ＋3＋x －2≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3.∴x ∈或1≤x ＜2或x ≥2．∴不等式的解集为{x |x ≥1}．。
第一章 第四节含绝对值的不等式解法教案示例 人教版2 教案
第一章第四节含绝对值的不等式解法教案示例1．本小节首先由实际问题引出绝对值的不等式，然后由易到难，顺次介绍｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型、｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c（c＞0）型的不等式的解法．这部分内容的基础是绝对值方程和一元一次不等式，它对下一节学习一元一次不等式和高二不等式都有直接的影响．2．本小节的目的要求是掌握｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c（c＞0）型的不等式的解法．而要掌握这类不等式的解法，则需先掌握｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解法．而掌握｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解法，关键是对绝对值意义的理解，这可能正是学生在学习过程中会遇到的困难．要解决这一困难，可以初中学过绝对值方程和一元一次不等式作铺垫，并充分利用图形计算器和计算机所作出的图形来帮助理解．3．由于｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解法是初中绝对值方程和一元一次不等式向本节教学目的｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c（c＞0）型不等式的解法的桥梁，所以它自然就是本节的重点．由于突破该重点的关键是对绝对值的理解，而这又是许多学生长期以来的一个困难，利用表示x的点在数轴上移动来帮助学生直观地理解应该是一条切实可行之路，在此过程中还可以向学生渗透数形结合的思想方法，培养其观察能力．4．本小节开始讲了一个有关商品质量的例子，这是为了说明含绝对值的不等式是解决实际问题所需要的，教学时还可以适当补充学生熟悉的实例．5．在学习含绝对值的不等式的解法时，可以先复习初中数学学过的不等式的三条基本性质：（1）如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；（2）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；（3）如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．不等式的基本性质是解不等式的基础．6．关于｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解法，教科书是从具体例子入手讲述的．先考虑初中已学过的含绝对值的方程｜x｜＝2的解，根据绝对值的意义，可知方程的解是x＝2或x＝－2，将其表示在数轴上，我们就可以利用图形计算器或计算机，在数轴上任取一点x，移动点x，就可以直观地看到，随着点x的移动，｜x｜的值就发生变化，只有点x在2和－2之间移动才有｜x｜＜2；而只有点x在－2左边和2右边移动才有｜x｜＞2．（此课件的制作可参见本章VI信息技术学习材料“1．‘｜x｜＜2和｜x｜＞2的几何意义’的课件制作”．）教科书这样处理，是想利用信息技术的优势，使学生加深对绝对值意义的理解，容易得到含绝对值不等式｜x｜＜2与｜x｜＞2的解集．在讲上面的例子时，要注意向学生说明符号“∪”与逻辑联结词“或”的关系和意义．7．教科书是从特殊例子归纳出一般结论的：不等式｜x｜＜a（a＞0）的解集是｛x｜－a＜x＜a｝；不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集是｛x｜x＞a，或x＜－a｝．对这个结论，同样可根据绝对值的意义，结合数轴表示来理解．教师可让学生观察数轴来得出，不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）的解集．8．把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）中的x换成ax＋b，就可以得到｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c（c＞0）型的不等式的解法了．教科书中的例1与例2，就是｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c（c＞0）型的不等式．在具体求解时，可以先直接在｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）型不等式的解集中进行替换，这时，原不等式化成了一元一次不等式，然后就可以根据不等式的基本性质求解了．教学时，要注意对－c＜ax＋b＜c（c＞0）型不等式的化简作必要的说明．初学解这类不等式时，为了方便，如果所解｜ax＋b｜＜c与｜ax＋b｜＞c （c＞0）型的不等式中的a是负数，可以先把a化成正数，例如要解不等式｜2－x｜＜5，可以先把它变形成｜x－2｜＜5，再求解．9．教学时，要注意控制教学要求．本小节的例题、练习和习题，只限于绝对值号内为一元一次的代数式，并且是数字系数，只在习题1．4的题4，编排了简单的带字母常数的题．10．本小节由于是高中不等式的第一节课，学生对利用信息技术来学习还有一定的适应过程．所以，教科书将信息技术运用的重点放在了加深理解含绝对值不等式解集上，而对练习和习题暂时只作检验的要求．11．教科书在部分章节中，安排了数学实验的内容．这是为了让学生在一定程度上学会走实验－发现－证明的道路，通过自己的亲身实践而获得对数学知识的深刻理解，体验数学思想方法的真谛，领悟数学的本质，从而变革学习方式，改进学习效果．同时，通过数学实验，建立起数学与其它科学、实际问题的联系，引导学生从数学的角度去观察事物，用数学方法探索现实世界的规律，分析和解决现实问题．数学实验的类型多种多样，如和数学外部世界相联系的实验；深入探究某个数学知识的实验；知识综合应用性的实验，等等．教科书紧密结合所学知识，从验证已有结论、易于归纳结论的问题、已有结论的变式等角度提出了实验课题．数学实验主要由学生课外完成，可根据具体内容，由个人独立进行或小组协作进行，实验完成后，要作出实验报告．教师可以对学生的实验进行指导，调动学生参与实验的积极性，引导学生提出问题、展开讨论、寻找答案，并对学生的实验进行评价．实验报告可以包括以下几个部分：背景介绍、实验目的、实验工具、实验过程（数据收集、描述或表示）、结果与分析（数据的分析、问题的补充和回答、结论和思考）．学生完成实验报告后，应该对其实验进行评价．在不忽视实验结果正确性的前提下，应当更多地关注实验过程的评价．评价的方式可以是教师给学生评价、学生自我评价、学生相互评价等等，但应多采取学生自我评价和相互评价的方式，多给学生一些独立思考的机会，让他们在对思维过程进行检验和反思的过程中，提高其数学思维能力．在评价之后，老师还应根据学生在实验中存在的问题，提出建设性的意见，以及进一步探索的建议．12．本小节的数学实验是让学生利用信息技术进行实际操作，直接寻找到含绝对值方程的解和含绝对值不等式的解集．通过该实验，使抽象的绝对值概念在形象的图象变化之中得到表示，使学生对含绝对值不等式意义的理解有一个直观背景的支持．这样做，一方面是为了使学生能够从多角度来理解含绝对值的不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a（a＞0）的解集，建立数与形的联系；另一方面是为一元二次不等式解法等后续教学内容作铺垫．由于图形计算器和计算机可以很方便地作出函数图象，所以我们还可以通过该实验，从方程或不等式两端相关的函数图象上，看出方程的解或不等式的解集．实验中，学生可以在同一坐标系中作出函数y＝｜x｜和y＝2的图象，并通过移动函数y＝｜x｜的图象上任意一点，来观察该点坐标的变化，同时对比函数y＝2的图象上相同横坐标的点的纵坐标，从而看出方程｜x｜＝2的解和不等式｜x｜＜2、｜x｜＞2的解集．（此课件的制作可参见本章VI信息技术学习材料“2．‘含绝对值的不等式解法’的课件制作”．）本小节实验的评价可参考下列双向细目表进行：注：（1）双向细目表的横向是对评价内容不同层次的要求，由D到A层次逐渐提高，并且后一层次的要求包含前一层次的要求．教师可以根据评价的具体内容来确定四个层次的要求．本表格主要是根据大纲的要求，设置了四个层次．（2）双向细目表的竖向是评价的具体内容，这些内容的分项可粗可细，教师可根据评价方式的不同进行调整．对数学知识，主要从了解、理解、掌握和应用等层次进行；对学生思维，主要对思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性等数学思维品质的发展进行评价；对过程设计的评价，主要是反映学生对实验过程设计的合理性，特别是对信息技术的使用和操作的合理性；对实验结果的评价，主要是对学生所采集的数据、计算的结果和得到的结论的质量的反映；对情感态度的评价，主要是反映学生是否积极参与、认真完成整个实验过程．。
第一章 第四节含绝对值的不等式解法教案示例 人教版 教案
第一章第四节含绝对值的不等式解法教案示例●课题§1.4 含绝对值的不等式解法●教学目标(一)教学知识点1.掌握|x|＜a,|x|＞a(a＞0)的解法.2.了解其他类型不等式解法.(二)能力训练要求1.通过求解不等式，加强学生运算能力训练.2.提高学生在解决问题过程中熟练运用“等价转化”的数学思想.(三)德育渗透目标渗透由特殊到一般的思想，能准确寻求事物的一般规律.●教学重点|x|＞a及|x|＜a(a＞0)型不等式的求解.●教学难点1.如何将实际问题转化为不等式问题.2.如何将未解过不等式等价转化为已求解过的不等式.3.正确求得不等式的解时，数形结合的思想运用是必要的.4.分类讨论思想在解含有绝对值两个或两个以上不等式问题中的应用.●教学方法发现式教学法通过复习巩固旧知识，发现新问题，并在已有知识的基础上寻求解决问题的方法.再进一步引导学生深入思考讨论其他类型的含绝对值不等式的解法，从而为解决实际问题奠定理论基础.●教具准备幻灯片四张第一张：第一组问题(记作§1.4A)第二张：第二组问题(记作§1.4B)第三张：第三组问题(记作§1.4C)第四张：第四组问题(记作§1.4D)●教学过程Ⅰ.含绝对值不等式的引入第一组问题——复习巩固提问（幻灯片§1.4A)1.不等式的基本性质有哪些？2.绝对值的定义及其几何意义是什么？3.按商品质量规定，商店出售的标明500 g的袋装食盐，其实际数与所标数相差不能超过5 g，如何表达实际数与所标数的关系呢？上述问题学生基本能够准确回答，教师强调：（1）不等式的基本性质虽是初中所学过的内容，它是解决不等式有关问题的基础，因此必须熟练掌握.（2）绝对值的定义，即|a|=⎩⎨⎧<-≥aaaa是用分类讨论思想定义的，它可以帮助我们理解绝对值的定义，也可以用来去掉绝对值的符号.（3）实数a的绝对值表示在数轴上所对应点A到原点的距离，并且可以得到|a|≥0这一结论.（4）对于问题3，依据条件列出⎩⎨⎧≤-≤-55005500xx，进而利用绝对值定义及其几何意义将其表述成|x-500|≤5，即一个含绝对值的不等式.（让学生通过对旧知识的探索发现新问题，同时使学生理解“理论源于实践”明白学习含绝对值不等式的解法的必要性）.Ⅱ.含绝对值不等式解法的探究第二组问题——类比旧知识，提出新问题（幻灯片§1.4B)1.如何求解方程|x|=2?|x|=2的几何意义是什么？2.能表述|x|＞2,|x|＜2的几何意义吗？其解集是什么？3.请尝试归纳出一般情况下|x|＞a,|x|＜a（a＞0)的几何意义及其解集？上述问题1 学生很容易能答对，教师应引导学生结合绝对值的定义继续思考问题2并总结出：|x|＞2,|x|＜2表示数轴上到原点的距离大于2，小于2的点，其解集分别为{x|x＞2或x＜-2}与{x|-2＜x＜2}.在问题2的基础上学生可类比地得到：一般地，|x|＞a，|x|＜a(a＞0)表示数轴上到原点的距离大于a，小于a的点，其解集为{x|x＞a或x＜-a}与{x|-a＜x＜a}.第三组问题——继续探究，归纳结论（幻灯片§1.4C) 1.以上一般结论中的“x ”应怎样理解？可举例说明吗？ 2.解不等式|x -500|≤5.3.能否归纳一般形式不等式|ax +b |＞c ，|ax +b |＜c (c ＞0)的解法？上述问题学生能够从代数角度理解“x ”代表代数式并能举出一些例子，教师指出，一般情况下，只要求掌握“x ”是一次式时的解法.提醒学生借数学中的整体代换思想理解不等式|x -500|≤5,并求出其解集，进而由特殊到一般归纳出：一般地，|ax +b |＞c ，（c ＞0)的解法是：先化不等式组ax +b ＞c 或ax +b ＜-c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集，|ax +b |＜c (c ＞0)的解法是：先化不等式组-c ＜ax +b ＜c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集.第四组问题——深入探究，解决新问题（幻灯片§1.4D) 1.解不等式|x -1|+|2-x |＞3+x 2.解不等式|x +1|+|x -1|＜13.汽车沿道路AE 行驶，AE 是由AB （长10 km ），BC （长5 km ），CD （长5 km ）,DE (长6 km)组成，根据时刻表，汽车于9时从A 处出发，经过B 、C 、D 等处的时刻分别951时，983，932时，如果汽车以匀速v 行驶，为了使它经过B 、C 、D 等处的时刻与汽车时刻表的差的绝对值之和，再加上从A 到E 的行驶时间不超过51.7分钟，那么汽车行驶的速度v 应是怎样的？对于上述问题1、2，学生可分组讨论，教师提示：绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，所以如何将绝对值符号去掉，使其转化为等价的，不含绝对值符号的不等式是解这一类问题的关键.学生讨论研究可得：欲去掉绝对值符号，需先找出零点，划分区间，利用零点分段讨论，去掉绝对值符号. 1.解：把原不等式变为|x -1|+|x -2|＞3+x 若|x -1|=0，x =1；若|x -2|=0,x =2. 至此，1，2把数轴分成了三部分. （1）当x ≤1时，x -1≤0，x -2＜0 原不等式变为-（x -1)(x -2)＞3+x ，即x ＜0 此时，得{x |x ≤1}∩{x |x ＜0}={x |x ＜0} （2）当1＜x ≤2时，x -1＞0，x -2≤0 原不等式变为x -1-(x -2)＞3+x ，即x ＜-2此时，得{x |1＜x ≤2＝∩{x |x ＜-2}=∅ （3）当x ＞2时，x -1＞0，x -2＞0 原不等式变为x -1+x -2＞3+x ，即x ＞6. 此时，得{x |x ＞2|∩|x |x ＞6}={x |x ＞6}∴取（1）（2）（3）的并集得原不等式解集为{x |x ＜0或x ＞6} (学生口述，教师板书)学生练习2题，教师巡视查看，可能会发现大部分学生都会采取与1题相同的分段讨论法，教师应及时引导学生观察题目本身特征，结合绝对值几何意义去处理，即设数轴上的点P 表示数x ，点A 表示1，点B 表示-1，这样|x +1|,|x -1|分别表示数轴上的线段PB 、PA 的长，而线段AB 的长为2，可直观地发现数轴上找不到这样的P 点，使得PB 、PA 的长度和小于1，故本题的解集为∅.师生共同小结：（1）含绝对值二个或二个以上的不等式，常用零点分段讨论法求解，首先找到绝对值为零的点，然后划分区间，分段讨论，再求各段结果的并集.（2）解含有绝对值的不等式，对于有的问题，利用绝对值的几何意义来处理，有时使问题变得简便、直观、明了.对于上述问题3是一个利用分类讨论思想处理的实际生活问题，提醒学生：（1）将整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，是解分类讨论问题的实质.（2）解分类讨论问题要做到分类不重复，不遗漏.学生经过思考，利用熟练的基础知识，基本方法及分类讨论思想做指导不难解决实际问题.解：依题意，得v v v v 26|3220||835||5110|+-+-+-≤600517设m =v 5,则|2m -51|+|3m -83|+|4m -32|+526m ≤600517(1)当m ≤101时，不等式为：51 -2m +83-3m +32-4m +526m ≤600517解得,m ≥101.∴m =101,v =50 km/h.(2)当101＜m ≤81时，不等式为2m -51-3m +83-4m +52632+m ≤600517解得，m ≤101,无解.（3）当81＜m ≤61时，不等式为2m -51+3m -83-4m +32+526m ≤600517解得m ≤62077＜81与m ＞81矛盾.无解. （4）当m ＞61时，不等式为2m -51+3m -83+4m -32+526m ≤600517解得m ≤6260631＜61与m ＞61矛盾，无解.综上，v =50 km/h 时满足题意要求.（通过以上实际问题的分析、解决，使学生体会“理论用于实践”，学会数学地处理实际应用问题） Ⅲ.课堂练习 课本P 16练习 1，2 1.解下列不等式 (1)｜x ｜＜5解：由原不等式可得－5＜x ＜5 所以，原不等式解集为{x ｜－5＜x ＜5} (2)｜x ｜＞10解：由原不等式可得 x ＜－10或x ＞10 所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－10或x ＞10} (3)2｜x ｜≤8解：由不等式性质可知：｜x ｜≤4 即 －4≤x ≤4所以，原不等式解集为{x ｜－4≤x ≤4} (4)5｜x ｜≥7解：由不等式性质可知 ｜x ｜≥57即x ≤－57或x ≥57所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－57或x ≥57}(5)｜3x ｜＜12解：由原不等式可得－12＜3x ＜12 由不等式性质可知－4＜x ＜4所以，原不等式解集为{x ｜－4＜x ＜4}(6)｜4x ｜＞14 解：由原不等式可得 4x ＜－14或4x ＞14由不等式性质可知x ＜－27或x ＞27) 所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－27或x ＞27}2.解下列不等式 （1）｜x ＋4｜＞9 解：由原不等式可得x ＋4＜－9或x ＋4＞9整理，得x ＜－13或x ＞5所以，原不等式解集为{x ｜x ＜－13或x ＞5} (2)｜41＋x ｜≤21 解：由原不等式可得 －21≤41＋x ≤21由不等式性质可知－43≤x ≤41所以，原不等式的解集为{x ｜－43≤x ≤41}(3)｜2－x ｜≥3解：由原不等式可得2－x ≤－3或2－x ≥3 由不等式性质可知x ≤－1或x ≥5所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－1或x ≥5} (4)｜x －32｜＜31解：由原不等式可得－31＜x －32＜31 由不等式性质可得31＜x ＜1所以，原不等式解集为{x ｜31＜x ＜1}(5)｜5x －4｜＜6解：由原不等式可得 －6＜5x －4＜6由不等式性质可知－52＜x ＜2 所以，原不等式解集为{x ｜－52＜x ＜2}(6)｜21x ＋1｜≥2解：由原不等式可得21x ＋1≤－2或21x ＋1≥2 由不等式性质可知x ≤－6或x ≥2所以，原不等式解集为{x ｜x ≤－6或x ≥2} Ⅳ.课时小结1.含绝对值不等式解法关键是去掉绝对值符号.2.注意在解决问题过程中绝对值不等式的几何意义.3.其他形式的含有绝对值不等式解法要知道其依据. Ⅴ.课后作业(一)课本P 16习题1.4 1～4 1.(1){x ｜x ＞1}(2)解：由⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x 知x －3（x －2）≥4的解为x ≤1321x+＞x －1的解为x ＜4 原不等式组的解应是上述两不等式解集的交集，故原不等式组的解集为{x ｜x ≤1}(3)解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<++<21512512x x x x 知2x ＜51+x 的解为 x ＜32512-x ＜21+x 的解为x ＞－7 原不等式组的解集应是上述两个不等式解集的交集，故原不等式组的解集为{x ｜－7＜x ＜32} (4)⎪⎩⎪⎨⎧-+≥-+-≤+-)3)(3()1(322211x x x x x x 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-+≥-+-≤+-)3)(3()1(322211x x x x x x 知 不等式1－21+x ≤2－32+x 变形为 21+x ≥31-x 得x ≥－5 不等式x （x －1）≥（x ＋3）（x －3)变形为x 2－x ≥x 2－9其解为x ≤9故原不等式解集为{x ｜－5≤x ≤9} 2.(1){x ｜x ≤－21或x ≥21} (2){x ｜－3511＜x ＜3511} (3){x ｜5.999＜x ＜6.001} (4){x ｜x ≤5或x ≥11}注：将3≤｜8－x ｜变形，｜x －8｜≥3.3.（1）{x ｜－211＜x ＜21} (2){x ｜x ≤－2或x ≥25}(3){x ｜－35＜x ＜7}(4){x ｜x ≤34或x ≥4}(5){x ｜x ＜－314或x ＞－310}(6){x ｜－207≤x ≤203}4.解下列关于x 的不等式 (1)｜x －a ｜＜b （b ＞0） 解：由原不等式可知－b ＜x －a ＜b利用不等式性质 －b ＋a ＜x ＜b ＋a故原不等式解集为{x｜－b＋a＜x＜b＋a}(2)｜x－a｜＞b（b＞0）解：由原不等式可知x－a＜－b或x－a＞b利用不等式性质x＜－b＋a或x＞b＋a故原不等式解集为{x｜x＜－b＋a或x＞b＋a}(二)1.预习内容：课本P17～P202.预习提纲：(1)“三个一次”，即一元一次方程，一元一次不等式，一次函数及其相互关系.(2)“三个二次”，即一元二次方程，一元二次不等式，二次函数及其相互关系.(3)一元二次不等式解法依据及步骤.试举一例说明结论.●板书设计。
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《含绝对值不等式的解法》导学案
学习目标：
1.掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法;
2.理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化
学习重点：简单的含绝对值不等式的解法 学习难点：含参数的绝对值不等式的解法
一、课前准备（请在上课之前自主完成）：
1．绝对值的定义：||a ⎧⎪=⎨⎪⎩
2. 绝对值的几何意义：
（1）实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A 到_____的距离.
（2）任意的两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，
那么
||
a b -的几何意义是 . 3.绝对值三角不等式：
①0a b ⋅>时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++.
②0a b ⋅<时, 如下图, 易得：||||||a b a b ++.
③0=ab 时，易得||
||||
a b a b ++
定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a ++___,当且仅当 时, 等号成立. 定理2 如果,,a b c R ∈, 那么c b b a c a -+--___,当且仅当 时,等号成立. 二、学习过程
知识点1：含绝对值不等式的解法
1.设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 它的几何意义就是数轴上到 的点的集合是开区间 ,如图所示.
2.设a 为正数, 根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是
它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ,如图所示.
3．设a 为正数, 则
(1).()f x a <⇔;
(2).()f x a >⇔
;
(3).设0b a >>, 则()a f x b ≤<⇔.
4．已知)(x g 为正数：
(1). ()f x ≥()g x ⇔ ； (2). ()()f x g x <⇔ . 知识点2：含有一个绝对值不等式的解法
例1：解不等式512≤-x 变式演练：解不等式x x ->-213
例2：解不等式7324≤-<x 变式演练：解不等式423<-≤x
知识点3：含有两个绝对值不等式的解法 (1) 利用两边平方法
例3：解不等式3223+>+x x 变式演练：|2||1|x x -<+
（2）利分段讨论法（即零点分段法）
例4 解不等式512≥-+-x x 变式演练：解不等式52312≥-++x x ;
提示：也可用绝对值的几何意义解题
知识点4：含参绝对不等式的解法
1.(1)若不等式26ax +<的解集为()1,2-，则实数a 等于( ) .A 8 .B 2 .C 4- .D 8-
(2)不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是
2 已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.
小结：去掉绝对值的主要方法有哪些？：
三、当堂检测 1.解下列不等式
(1) 32≥-x (2) 3
132<-x
（3）x x -≥+21. （4）.631≥++-x x
2.对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；
3.设函数()14f x x x =+--．
()1解不等式()2f x >；()2求函数()y f x =的最值．。