北京大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷

北京大学高等数学 A 期末考试试卷

2016~2017学年第 2 学期

考试科目：高等数学 A 考试类型：(闭卷)考试

考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

、填空题(本大题共 5小题，每小题 3分，共15分)

1．二元函数 z ln(y 2

2x 1) 的定义域为 。

2. 设向量 a (2,1,2) ，b (4, 1,10) ， c b a ，且 a c ，则 3．经过(4,0, 2)和(5,1,7)且平行于 x 轴的平面方程为 。

4．设 u x ，则 du 。

1

5．级数 ( 1)n 1

p ，当 p 满足

条件时级数条件收敛。

n 1 n

二、单项选择题 (本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分)

1．微分方程 2(xy x)y' y 的通解是

( )

A ． y Ce 2x

2 2x

B ． y

C e

C ． y

2

e

2y Cx

D ． e

2y Cxy

2．求极限 lim 2 xy 4

(

)

(x,y) (0,0)

xy

1 1 1 1

A ．

B ．

C ．

D ．

4

2 4 2

3．直线 L : x y z 和平面 :3x 2y 7z 8 0 的位置关系是 (

)

32 7

A．直线L 平行于平面B．直线L在平面上

三、计算题(本大题共 7小题，每小题 7分，共49分)

1. 求微分方程 y' y e x

满足初始条件 x 0， y 2的特解。

xy

2. 计算二重积分 2 2 dxdy ，其中 D {( x, y) x 2 y 2 1,x y 1} D x y

3．设 z z(x,y)为方程 2sin( x 2y 3z) x 4y 3z 确定的隐函数，求 xy

C ．直线 L 垂直于平面

D ．直线 L 与平面 斜交

4．D 是闭区域 {( x, y)|a 2 x 2

y 2 b 2

} ，

则 x 2 y 2d

D

3 3

2 3 3 4 3 3

A ． (b a )

B ． (b a )

C ． (b a ) 2 3 3 5．下列级数收敛的是

1 1 n 1 A ．

1

B ． 12

n

C ．

1

n 1 (n 1)(n 4) n 1 n 1 n 1 2n 1

D ．3

(b 3

a 3

)

2

D ．

n1

1 3

n(n 1)

4.求曲线积分(x y)dx (x y)dy ，其中L沿x2 y2 a2(x 0, y 0) ，逆时针方

L

向。

5. 计算y51 x2y6dxdy ，其中D是由y 3 x，x 1及y 1所围成的区域

D

n

6．判断级数( 1) n 1的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛n 1 n 1 n

(1 x)(2 x)展开成x的幂级数，并求其成立的区间

四、解答题 (本大题共 3 小题，每小题7 分，共21 分)

1．抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

7．将函数

nn

2. 求幂级数( 1) nx的和函数n 1 (n 1)!

3. 设函数f(x)和g (x)有连续导数，且 f (0) 1，g(0) 0 ，L为平面上任意简

单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为 D ，已知

xydx [yf(x) g(x)]dy yg(x)d ，

L

D

求 f (x)和g(x) 。

sin cos

1.5CM 参考答

案

一、填空题(本大题共 5小题，每小题 3分，共15分)

1．{( x,y)|y 2

2x 1 0} 2．3

3．9y z 2 0 4． yzx yz 1

dx zx yz

ln xdy yx yz

ln xdz 5．0 p 1

二、单项选择题 (本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分)

1．C 2．C 3．C 4．B 5． A

三、计算题(本大题共 7小题，每小题 7分，共49分) 1. 求微分方程 y' y e x

满足初始条件 x 0， y 2的特解。

解：先求 y' y 0的通解，得 y C 1e x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 采用常数变易法，设 y h(x)e x

，得 y' h'(x)e x

h(x)e x

⋯⋯⋯3 分 代

入原方程得 h'(x)e x h(x)e x h(x)e x e x

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分

得h(x) 1e 2x C ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 2

故通解为 y 1

e x

Ce x

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分

2

将初始条件 x 0，y 2带入得C 23

，故特解为 y 1

2e x 3

2

e x

7分

2. 计算二重积分 x

2 y

2 dxdy ，其中 D {( x,y):x 2

y 2

D x y

1,x y 1} 。

解：设 x r cos , y r sin 1分 所以

x 2

y

2 D x 2 y 2

dxdy 2 d

sin cos

2

(sin cos 1)d

4

7分

r cos r sin

rdr 5分

6分

3分