高中数学必修二——平面与平面平行的判定

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8.5.3平面与平面平行-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

2．解读平面与平面平行的性质定理 (1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行，则线线平行”. (2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件： ①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a； ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b. 以上三个条件缺一不可.
【对点练习】❹ 如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－
A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的
位置关系是
()
A
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
[解析] ∵E1 和 F1 分别是 A1B1 和 D1C1 的中点， ∴A1D1∥E1F1，又 A1D1⊄平面 BCF1E1，E1F1⊂平面 BCF1E1， ∴A1D1∥平面 BCF1E1．又 E1 和 E 分别是 A1B1 和 AB 的中点， ∴A1E1 BE，∴四边形 A1EBE1 是平行四边形， ∴A1E∥BE1，又 A1E⊄平面 BCF1E1，BE1⊂平面 BCF1E1， ∴A1E∥平面 BCF1E1，又 A1E⊂平面 EFD1A1，A1D1⊂平面 EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1， ∴平面 EFD1A1∥平面 BCF1E1．
易错警示应用定理条件不足，推理论证不严密致误
典例 4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、 BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.
[错解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD，同理可证，HG∥平面ABCD.

高中数学必修二《平面与平面平行的判定》PPT

问题与探究
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何？
根据平面与平面平行的定义可知，判定面面平行的关键在于判定它们有没有公共点。若一个平面内的所有直线都与另一平面平行，那么这两个平面一定平行。否则，这两个平面就会有公共点，这样在一个平面内通过这个公共点的直线就不平行另一平面了。
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D.
规律总结：
判断两个平面平行的方法有四种：
（1）利用定义；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用面面平行判定定理的推论；（4）利用面面平行的传递性。对于考查定义的问题，只需要找出一个反例就行，没必要把每个选项都正面推导一次。
直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记为：线面平行，则面面平行。因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面平行即可．面面平行判定定理的推论：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这两个平面平行．
【例2】如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1//平面C1BD。 .
【分析】
只要证一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可
跟踪练习2
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱 A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.

专题2：平面与平面平行的判定与性质基础知识与典型例题2020-21学年高中数学平行和垂直证明常见题型

专题2：平面与平面平行的判定与性质平面与平面的位置关系：平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线: 符号α∩β=a1．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

简记为：线面平行，则面面平行.符号：,,a ba b Aa bαααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭1．如图所示，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面//PBC平面EFO；2．如图，正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，P，Q分别是BC，11C D，1AD，BD的中点.（1）求证：平面PQB //平面11CB D ；3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为11A D ，11B C 的中点.（1）求证：平面1//AB E 平面1BD F ；4．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）平面EF A 1∥平面BCHG .（2）5．如图，三棱锥P ABC -中，,,PC AC BC 两两垂直，1BC PC ==，2AC =，,,E F G 分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 面PCB ；6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .7．如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G 是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG ，平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

高中数学必修2《平面与平面平行的判定》教学案

结论 2：
②平面内有两条相交直线与平面平行,情况又如何呢?
结论 3：（四）归纳总结，形成定理：平面与平面平行的判定定理：
教师板书定理.
同学小组讨论分析
4. 同学展示对定进一步加深
理的理解.
对定理的理解.
5.小组讨论，交
流认识，归纳总
结，展示成果.
巩固定理,加
深理解.
6. 教师板书写
出证明过程.组织
讨论、交流、纠正，
强化步骤的规范
过程.
学生作答，给出总结出具体的
答案.
解题思路.
符号表示：你能画出定理的图形表示吗？定理细究：判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由
(1)若 a ,b ,则 / / (2)若内有无数条直线都平行于 ,则 / /
选做：学案第 114 页 B 组第 6 题
评价目的
评价方法
小组讨论总结让学生练习对
面面平行的判知识的总结提小组评价
定定理
炼，抓准里面
评价工具评价表
4
课堂检测
的要点精华更好的掌握所
测试评价学知识
当堂检测
一、判定定理：
2.2.2 平面与平面平行的判定
二、典型例题：
三、练习过程.
通过实验探
D1 C1
A1 B1
究,逐步接过判定定理的真实面目.
D C
A
B
探究(1):平面内有一条直线与平面平行吗?请举例说明.
结论 1:
探究(2): 平面内有两条直线与平面平行吗?请举例说明.
思考：你会选择什么样的两条直线？
①如果这两条直线平行,平面与平面平行吗?

高中数学课件两个平面平行的判定与性质ppt课件.优秀文档PPT

（2）重学生学习体验。 (1)判定两个平面平行的主要途径有那些.
定义
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
提问：能否加上某些条件，从而由“线线平行”推出“面面平行”。
形式：讲述、提问、讨论
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过程分析 ——设计思路
问题：（1）若两条直线平行，则分别经过这两条直线的
(2)平面 BC CB内的直 BC 和线 BC有什么关系？为
(3)若AA12，直A线 A和平A面 B所 C 成 NhomakorabeaC
3
的角6是 0，则两个平A行 B和 C平面A 2
B
ABC的距离是多少？
4C
1
A
B
课时小结
a
1.两个平面平行的性质
（1）一个结论 / /,a a/ /
面面平行
线面平行
（2）性质定理a/,/ba//b
②一条直线和两个平行平面相交,则此直线和两个平
面成等角;
③一条直线和两个平面成等角,则此两个平面平行;
④夹在两个平行平面间的两条线段长相等,那么这两
条线段平行.
A1 B2 C3 D4
巩固与拓展
3且.一不个为平零面,则上这不两同个的平三面点到另一个平面的距离( B相等)
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重合
9.5.2两个平面平行的判定和性质
珲春一中崔星
复习与引入
1.两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 (1)两个平面平行——没有公共点 (2)两个平面相交——有一条公共直线．
l
符号表示 //
l
2.两个平面平行的判定
（1）判定定理：如果一
个平面内有两条相交直线

人教版高中数学必修22.2.2 平面与平面平行的判定

同理可证,HG∥平面AC. 又EF⊂平面EG,HG⊂平面EG, 所以平面EG∥平面AC. 错因分析:错解中,EF与HG是平面EG内的两条平行直线,不是相交直线,不符合面面平行的判定定理的条件,因此证明不正确. 正解:因为E,F分别是AA1和BB1的中点, 所以EF∥AB.又EF⊄平面AC,AB⊂平面AC, 所以EF∥平面AC.同理可证EH∥平面AC. 又EF⊂平面EG,EH⊂平面EG,EF∩EH=E, 所以平面EG∥平面AC.
题型一题型二
题型二
易错辨析
易错点:不满足面面平行的判定定理的条件而致错【例2】
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,BB1,CC1,DD1 的中点,求证:平面EG∥平面AC.
题型一题型二
错解:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB.又EF⊄平面 AC,AB⊂平面AC,所以EF∥平面AC.
题型一题型二
【变式训练边形,点
M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平
面MNQ∥平面PBC.
题型一题型二
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP. 因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC. 又底面ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥ 平面PBC.
题型一题型二
反思判定平面与平面平行的常用方法有: (1)根据定义:证明两个平面没有公共点,通常要采用反证法. (2)根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面. 判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则, 即先在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行,若找不到再作辅助线.

高中数学- 直线与平面平行、平面与平面平行的判定

∵AM BDFE，DF BDFE，
∴AM∥平面BDFE，又∵AM∩MN=M, 故平面MAN∥平面EFDB.
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1.如何理解线面平行的判定定理？
直线和平面平行的判定和性质是本学案的一个重点，判定定理使我们可以通过直线间平行推证直线与平面平行.其
线面平行.在运用时，应注意“内”
（平面内的直线）、“外”（平面外的直线）二字；直线与平面平行的性质定理可简记为“线面平行，则线线平行”.它告诉我们：（1）在平面内作一直线与平面外直线平行，可通过作过平面外一直线的平面，与已知平面相交得到交线；（2）判定平面外一直线与平面内一直线平行的方法.有了此定理，我们便可以根据直线与平面平行来解决直线间的平行问题，但要防止误认为“一条直线平行于一个平面，则此直线就平行于此平面内的任一直线”.
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如图2-2-4所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1 的中点,试判断BD1与平面AEC的位置关系,并证明. BD1∥平面AEC. 证明如下:
如图所示,连接BD交AC于O,连EO,
∵E是DD1的中点,∴EO∥BD1,
又EO AEC,BD1 AEC,
∴BD1∥面AEC.
图2-2-4
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学点一线面平行的证明已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E， F，G分别是AB,BC,CD的中点.求证:平面EFG和AC平行,也和BD平行.
【分析】欲证明AC∥平面 EFG,根据直线和平面平行的判定定理只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线, 由图可知,只需证明AC∥EF.
言表示为 aβ,b β,a∩b=P, ,
a∥α,b∥α β∥α
.
用图形表示为
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数学高中必修二知识点总结必看

数学高中必修二知识点总结必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，练，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些数学高中必修二知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。

高一年级数学必修二知识点总结【两个平面的位置关系】(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

【两平面垂直】两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)。

高二数学必修二知识点归纳一、直线与圆：1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。

高中数学必修2课件2.2.1直线和平面平行与平面和平面平行的判定

2
一、直线和平面 1.直线和平面的位置关系： ①直线在平面内 —— 如果一条直线和一个平面有两个公共点，那么这条直线就在这个平面内. ②直线和平面相交—— 一条直线和一个平面有且只有一个公共点，叫做直线与平面相交. 这个公共点叫做直线与平面的交点。 ③直线和平面平行 —— 一条直线与一个平面没有公共点叫做直线与平面平行。 a
P b
a
a
线线平行，则面面平行

8
4.结论：平行于同一平面的两个平面平行.
// , // //
两个平面平行的判定方法:
⑴ 定义法

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⑵ a // , b // , a b P // a 、b ⑶ a // a, b // b
11
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小结:
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线线平行，则线面平行直线和平面平行的判定: 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
l // m, l , m
l
l //

m
12
两个平面平行的判定方法:
⑴ 定义法 ⑵ a // , b // , a b P // a 、b ⑶ a // a, b // b
D
C
又EF 平面BCD, BD 平面BCD，
EF // 平面BCD
5
二、两个平面 1.两个平面的位置关系: 两个平面平行—— 如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行. 两个平面相交—— 有一条公共直线.

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高中数学人教A版必修二教师用书19-20 第8章 8.5.3 平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能应用这两个定理解决问题．( 重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．( 难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习,培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.1．平面与平面平行的判定( 1)文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行．( 2)符号语言:a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒β∥α.( 3)图形语言:如图所示．2．平面与平面平行的性质定理( 1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行．( 2)符号语言:α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b.( 3)图形语言:如图所示．( 4)作用:证明两直线平行．思考:如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗?[提示]不一定．它们可能异面．1．已知平面α内的两条直线a,b,a∥β,b∥β,若要得出平面α∥平面β, 则直线a,b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．垂直A[根据面面平行的判定定理可知a,b相交．]2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面A[因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]3．已知平面α∥平面β,直线l∥α,则( )A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交C[假设l与β相交,又α∥β,则l与α相交,与l∥α矛盾,则假设不成立,则l∥β或l⊂β.]4．已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD＝EF,平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′,则EF与E′F′的位置关系是( ) A．平行B．相交C．异面D．不确定A[由面面平行的性质定理易得．]平面与平面平行的判定【例11111A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证:( 1)E、F、B、D四点共面;( 2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究]( 1)欲证E、F、B、D四点共面,需证BD∥EF即可．( 2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AN∥平面BDFE即可．[详解]( 1)连接B1D1,∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点,∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．( 2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点,∴MF∥A1D1,MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形,∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE,DF⊄平面BDFE,∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M,∴平面MAN∥平面EFDB.平面与平面平行的判定方法:( 1)定义法:两个平面没有公共点．( 2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．( 3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.( 4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.1．如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形．点M,N,Q分别在P A,BD,PD上,且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.[证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD,∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q,∴平面MNQ∥平面PBC.平面与平面平行的性质[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些?[提示]必须具备三个条件:①平面α和平面β平行,即α∥β;②平面γ和α相交,即α∩γ＝a;③平面γ和β相交,即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．线线、线面、面面平行之间有什么联系?[提示]联系如下:【例2】如图,已知平面α∥平面β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且P A＝6,AC＝9,PD＝8,求BD的长．[详解]因为AC∩BD＝P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为α∥β,α∩平面PCD ＝AB ,β∩平面PCD ＝CD ,所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PBBD ,即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.1. 将本例改为:已知平面α∥β∥γ,两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6,DE DF ＝25,则AC ＝ .15 [由题可知DE DF ＝ABAC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15.]2．将本例改为:若点P 在平面α,β之间( 如图所示),其他条件不变,试求BD 的长．[详解] 与本例同理,可证AB ∥CD . 所以P A PC ＝PB PD ,即63＝BD －88,所以BD ＝24.3．将本例改为:已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ,直线a 与这三个平面依次交于点A、B、C,直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证:ABBC＝EFFG.[证明]连接AG交β于H,连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ,平面ACG∩β＝BH,平面ACG∩γ＝CG,所以BH∥CG.同理AE∥HF,所以ABBC ＝AHHG＝EFFG.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤:平行关系的综合应用【例3】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M 是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:GH∥平面P AD.[证明]如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.∵ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴P A∥MO,而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,∴P A∥平面BMD,又∵P A⊂平面P AHG,平面P AHG∩平面BMD＝GH,∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD,GH⊄平面P AD,∴GH∥平面P AD.1．证明直线与直线平行的方法( 1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等,两直线平行;三角形中位线的性质;平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．( 2)基本事实4.( 3)线面平行的性质定理．( 4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法:( 1)线面平行的判定定理．( 2)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.求证:CD∥平面EFGH.[证明]由于四边形EFGH是平行四边形,∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD＝CD,∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,∴CD∥平面EFGH.1．三种平行关系的转化.2．常用的面面平行的其他几个性质( 1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．( 2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．( 3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．( 4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例．( 5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．1．判断正误( 1)α内有无数多条直线与β平行,则α∥β.( )( 2)直线a∥α,a∥β.则α∥β.( )( 3)直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,则α∥β.( )( 3)α内的任何直线都与β平行,则α∥β.( )[答案]( 1)×( 2)×( 3)×( 4)√2．a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交D[如图①②③所示,a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③3．若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D[由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确．] 4．用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若A1A>A1C1,则截面的形状可以为．( 填序号)①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形．②⑤[当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形．]5．如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱AB,AC上的点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD .求证:BC＝2EF.[证明]因为平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG＝EG,平面ABD∩平面BCD＝BD,所以EG∥BD,又G为AD的中点,故E为AB的中点,同理可得,F为AC的中点,所以BC＝2EF.11。

高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质

两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．答案 A5．(2012·衡阳质检)在正方体________．解析如图．连接AC、BD交于ACE.答案平行在四棱锥PABCD中，底面求证：PB∥平面ACM.[审题视点] 连接MO，证明证明连接BD，MO.中点，所以PB∥MO.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．在正方体ABCDA1B1C1D1求证：平面MNP∥平面[审题视点] 证明MNMP∥C1B.(1)面面平行的定义；下面给出证明：如图，取BB1的中点则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接结论成立的充分条件，规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几在四棱台ABCDA1B1C1D1BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)如图，连结AC，A1C1设AC∩BD＝E，连结EA1因为四边形ABCD为平行四边形，明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．如图，在多面体ABCDEF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；β=b）平行的直线②④β=则,bm不平行于平面又∵AE∥CD且∴FM綉AE，即四边形证明如下：如图，取。

高中数学人必修二课件平面与平面平行的判定

高中数学人必修二课件平面与平面平行的判定
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目录
01
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04
平面与平面平行的判定定理的应用
02
平面与平面平行的判定方法
05
平面与平面平行的判定定理的证明方法
03
平面与平面平行的性质
定义法
两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。
两个平面平行的判定方法：如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面平行。
应用场景：在几何、物理等领域中，常常需要判定一个点是否与平面共面。
判定定理：如果一个点在平面内，且与平面内其他三个点构成的向量共面，则该点与平面共面。
判定方法：利用向量叉积为零的性质，判断该点与平面内任意两
向量构成的向量是否共线。
注意事项：在三维空间中，点与平面的位置关系有三种：点在平面内、
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平行公理的推论
如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面平行。如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面平行。如果两个平面都与第三个平面相交，那么这两个平面不平行。
判定两平面是否平行
定理：如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面平行
平行公理的应用：平行公理是平面几何中的基本公理之一，可以用来证明其他几何命题。平行公理的局限性：平行公理在非欧几何中并不成立，因此需要引入其他公理来代替。
反证法
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点；
a. 假设两个平面不平行 b. 推导出矛盾 c. 得出结论：两个平面平行
例子：在几何图形中，如果已知一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，

平面与平面平行-高中数学知识点讲解

平面与平面平行
1．平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理 1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理 2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理 3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
1/ 1。

面面平行的判定教案

平面与平面平行的判定一、教材分析1.1教材所处地位与作用本节课是人教版数学必修（2）第二章第二节第2课内容——平面与平面平行的判定。

本节课是在学生学习了线线、线面关系后，已具有一定的空间几何知识和一定的数学能力和方法的基础上进行的。

两个平面平行的判定定理是立体几何中的一个重要定理。

它揭示了线线平行，线面平行，面面平行的内在联系，体现了转化的思想。

通过本课的学习不仅能进一步培养学生的空间想象能力，逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后继的知识学习中去，为以后学习平面与平面的垂直打下基础。

1.2教学重点、难点1.2.1教学重点平面与平面平行的判定定理的理解1.2.2教学难点平面与平面平行的判定定理的应用（新教材将线面平行的性质安排在面面平行的判定之后，使得定理无法用理论推理来完成。

因此，我采用观察感知，操作发现的研究方法来解决这一难点。

通过讨论加深印象，设计更多的例子练习直线与直线的平行。

）根据上述教材内容分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我将教学目标分为三部分进行说明：1.3目标分析1.3.1知识技能目标1、了解面面平行判定定理的发现过程。

2、理解证明过程必须的三个条件。

3、运用定理进行证明和解决生活中有关的实际问题。

1.3.2过程与方法1、学生通过观察、探究、思考，得出两平面平行的判定定理，体验如何把语言文字描述为数学符号。

2、通过问题的提出与解决，培养学生探究问题、解决问题的能力。

通过对例题的推证，培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力。

进一步增强学生空间想象能力、空间问题平面化的思想。

1.3.3情感态度价值观1、通过主动参与探究活动，体验在科学发现中获得成功的喜悦，体验生活中的数学美，激发学习兴趣，养成勇于开拓和创新的科学态度。

2、在师生对图形分析的过程中，培养学生积极进行教学交流，乐于探索创新的科学精神。

3、通过同学之间讨论、互动，培养互帮互助的合作精神。

平面与平面平行的判定定理

平面与平面平行的判定一、学习内容分析本节课选自《普通高中标准实验教科书—数学必修二》（人教版）第二章点、直线、平面之间的位置关系第二节直线、平面平行的判定及其性质，主要研究平面与平面平行的判定方法。

根据课标要求和学生情况，本节课分为四个课时，今天学习第二课时。

本节课是建立在学习空间中直线与直线、直线与平面位置关系基础上的一节课，并为后续学习平面与平面平行性质奠定基础。

教材首先通过观察三角板所在平面与桌面位置关系引入课题，然后将两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，体现数学中的转化思想。

接着根据两个平面中直线的关系探究两个平面的位置关系，体现分类讨论思想，培养了学生自主探究的能力。

二、学习者分析（1）从已有知识来看，学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系，掌握了直线与平面平行的判定定理；（2）从已有经验来看，学生已经掌握了分类讨论、转化的思想；（3）从已有能力来看，学生已经具有了自主探索、简单的空间想象能力。

但对于高二学生来说，他们初次接触空间立体几何，对于空间的部分问题仍有较大困惑，空间想象能力还不是很强。

三、教学目标（1）知识与技能目标：①通过直观感知，操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理；②理解并掌握两平面平行的判定方法；③能够运用两个平面平行的判定方法解决相关问题。

（2）过程与方法目标：①通过观察相关模型以及实物，培养分析、归纳的能力；②在探究平面与平面平行判定定理的过程中，体会分类讨论、转化的思想。

（3）情感、态度与价值观目标：在发现中学习，提高学习数学的积极性，培养主动探究、合作交流的意识四、教学重难点（1）教学重点：两个平面平行的判定；（2）教学难点：探究平面与平面平行的判定定理以及应用判定定理解决相关问题。

五、教学过程（一）复习旧知，导入新课问题一：①平面几何中，判定两直线平行有哪几种方法？②直线与平面平行有哪些方法？③平面与平面有哪些位置关系？师生活动：教师提出问题，引导学生进行回答。

高中数学必修二平面与平面平行的判定

一、选择题1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面()A．平行B．相交C．垂直D．都可能[答案] D[解析]过直线的平面有无数个，考虑两个面的位置要全面．2．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是() A．平面ABCD∥平面ABB′A′B．平面ABCD∥平面ADD′A′C．平面ABCD∥平面CDD′C′D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′[答案] D3．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定[答案] A[解析]∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1，又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1，又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.4．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是()A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β[答案] D[解析]如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD ⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D 正确．5．下列结论中：(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．正确的序号为()A．(1)(2) B．(3)(4)C．(1)(3) D．(2)(4)[答案] C6．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线 [答案] A[解析] 当直线a ⊂β，B ∈a 上时满足条件，此时过B 不存在与a 平行的直线，故选A.7．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条[答案] D[解析] 如图所示，以E 为例，易证EI ，EQ ∥平面DBB 1D 1. 与E 处于同等地位的点还有F 、G 、H 、M 、N 、P 、Q ，故有符合题意的直线8×22＝8条．以I 为例，易证IE ∥平面DBB 1D 1，与I 处于同等地位的点还有J ，K ，L ，故有符合题意的直线4条．∴共有8＋4＝12(条)．8．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面P AD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面P AD∥平面P AB.其中正确的有()A．①③B．①④C．①②③D．②③[答案] C[解析]把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.同理平面P AD∥BC.二、填空题9．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是________．[答案]平行10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．[答案]平行[解析]假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l ＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.[答案]点M在FH上[解析]∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，∴平面FHN∥平面B1BDD1，又平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴当M∈FH时，MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.12．如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．[答案]①②③④[解析]展开图可以折成如图a所示的正方体．在正方体中，连接AN，如图b所示．∵AB∥MN，且AB＝MN，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴①②正确；如图c所示，连接NF，BE，BD，DM，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．三、解答题13．在三棱锥P －ABC 中，E 、F 、G 分别在侧棱P A 、PB 、PC 上，且PE EA ＝PF FB ＝PG GC ＝12，求证平面EFG ∥平面ABC .[分析] 要证平面EFG ∥平面ABC ，依据判定定理需在平面EFG 内寻找两条相交直线分别与平面ABC 平行，考虑已知条件的比例关系可产生平行线，故应从比例关系入手先找线线平行关系．[证明] 在△P AB 中，∵PE EA ＝PFFB ，∴EF ∥AB ，∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC ，同理FG ∥平面ABC ，∵EF ∩FG ＝F ，且FG ⊂平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面ABC .总结评述：欲证“面面平行”，可证“线面平行”；证“线面平行”，可通过证“线线平行”来完成，这是立体几何最常用的化归与转化的思想．14．如图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1H.[证明]取DD1中点E，连AE、EF.∵E、F为DD1、CC1中点，∴EF綊CD.∴EF綊AB，∴四边形EFBA为平行四边形．∴AE∥BF.又∵E、H分别为D1D、A1A中点，∴D1E綊HA，∴四边形HAED1为平行四边形．∴HD1∥AE，∴HD1∥BF，由正方体的性质易知B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[证明](1)如图所示，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG ＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.16．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?[解析] A 1D 1D 1C 1＝1. 证明如下：如图所示，此时D 1为线段A 1C 1的中点，连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1. 由棱柱的定义，知四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.。

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小结
证明两个平面平行的一般步骤为：第一步：在一个平
面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用判定定理得出结论．
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2.2.2
跟踪训练 1
如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，E、F、G、P、Q、R 分别是图中棱的中点．
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2.2.2
探究点一问题 1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面与平面平行的判定
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
答两个平面有两种位置关系，分别是平行和相交．问题 2 生活中有哪些平面与平面平行的例子？请举出．
答
问题 3
教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也
2.2.2
2.2.2
[学习要求]
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平面与平面平行的判定
1．理解并掌握两平面平行的判定定理； 2．会用两平面平行的判定定理证明两个平面平行． [学法指导] 通过观察空间中平面与平面平行所用到的实物及模型，归纳抽象出两平面平行的判定定理，培养空间问题平面化的能力，提高应用“化归与转化”数学思想的意识．
∵A1G 綊 EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
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2.2.2
小结
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(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两
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(2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG.
又 D1A⊄平面 C1BD，C1B⊂平面 C1BD，
由直线与平面平行的判定定理，可知 D1A∥平面 C1BD，
同理 D1B1∥平面 C1BD，
又 D1A∩D1B1＝D1，所以，平面 AB1D1∥平面 C1BD.
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问题 6
答
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如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？
平行．因相交直线中的一条平行于另一个平面内的一条直线，由直线与平面平行的判定定理知，这条直线平行于另一个平面，同理相交直线中的另一条直线也平行于另一个平面，即一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所以由平面与平面平行的判定定理知，这两个平面平行．
三角板所在平面与地面平行．
直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．这个定理可简单记为线面平行，则面面平行．
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2.2.2
问题 5 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
答
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符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.
图形表示：
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
1．平面 α 与平面 β 平行是指两平面无公共点．若 α∥β，直
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线 a⊂α，则 a 与 β 的位置关系为 a∥β . 2．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示为 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，
三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角
是平行的．
板或课本所在平面与桌面平行吗？
答
通过试验得出不一定平行．
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2.2.2
问题 4
答
小结
三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又
如何呢？
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当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，这个
平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交
小结
判定定理可得出一个推论：如果一个平面内有两条相
交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．
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2.2.2
探究点二问题
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平面与平面平行的判定定理的应用
平面与平面平行的判定方法有哪些？
答
(1)利用定义：证两个平面没有公共点；
(2)利用面面平行的判定定理； (3)利用判定定理的推论； (4)利用结论：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
条相交直线平行于另一个平面． (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
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跟踪训练 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO?
b∥α⇒β∥α .
3．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．
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2.2.2
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[问题情境] 通过前面的学习，对直线与平面的平行的判定有了一个明确的认识，那么空间中两个平面的平行如何判定呢？本节我们就来研究这个问题．
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例 1 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，求证：平面 AB1D1∥平面 C1BD.
证明因为 ABCD—A1B1C1D1 为正方体，所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1.
又 AB∥A1B1，AB＝A1B1，
所以 D1C1∥AB，D1C1＝AB，所以 D1C1BA 是平行四边形，所以 D1A∥C1B，
求证：平面 PQR∥平面 EFG.
证明
∵PQ∥A1C1∥AC∥EF，∴PQ∥平面 EFG，
同理 PR∥平面 EFG.又 PQ∩PR＝P， ∴平面 PQR∥平面 EFG.
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例2 如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中， E， F，
2.2.2
G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；