平面向量的线性运算教案

平面向量的线性运算教案

海伊教育学科教师辅导讲义

学员编号：年级：九年级课时数：

学员姓名：张鸿敬辅导科目：数学学科教师：高老师

课

题

平面向量的线性运算

授课时间：2013 年10月18日备课时间：2013 年10月16日

教学目

标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。

2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。

3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。

4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。

5.学会分析问题和创造地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。

6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。

重点、难

点1.向量加法的运算及其几何意义。

2.对向量加法法则定义的理解。

3.向量的减法运算及其几何意义。

4.对向量减法定义的理解。

5.实数与向量积的意义。

6.实数与向量积的运算律。

7.两个向量共线的等价条件及其运用。

8.对向量共线的等价条件的理解运用。

授课方

法

联想质疑——交流研讨——归纳总结—

—实践提高

教学过程

一、情景设置（知识导入）

二、探索研究

【知识点总结与归纳】

一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：

(1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；

(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。

二、1. 向量的加法定义

向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

2. 向量加法的法则：

（1）向量加法的三角形法则

在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特

别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。

（2）平行四边形法则

向量加法的平行四边形法则

如图4，以同一点O为起点的两个已知向量A.b为邻边作平行四边形，则以O为起点的

对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

3. 向量a，b的加法也满足交换律和结合律：

①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。

②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。

③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；

当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；

当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。

④如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。

因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。

如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，

AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。

特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。

三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后

回扣物理问题，解决问题。

四、向量也有减法运算。

由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。

于是-(-a)=a。

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.

任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。

所以，如果A.b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。

1. 平行四边形法则

图1

如图1，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。

又b+BC=a，所以BC=a-b。

由此，我们得到a-b的作图方法。

图2

2. 三角形法则

如图2，已知A.b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以

表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。

与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作-a。

（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)，

即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

规定：零向量的相反向量是零向量。

(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。

五、我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

(1)|λa|=|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。由(1)可知，λ=0时，λa=0。

根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。

实数与向量的积的运算律