平面向量的线性运算教案
平面向量线性运算教案
适用学科高中数学适用年级高一适用区域 苏教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。
能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。
通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】教学过程一、导入高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解（考1）点向1 量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。
运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
0 位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。
第1页（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。
于是 (a) a 。
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。
所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ; (2) ( )a a a ; (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。
平面向量的线性运算教学设计
平面向量的线性运算教学设计设计思路：本文基于平面向量的线性运算教学设计，主要内容包括向量的加法、减法、数乘以及线性组合等方面。
通过理论知识的介绍、示例的演示和互动练习等方式，让学生能够深入理解线性运算的概念与性质，提高解决实际问题的能力。
【引言】平面向量的线性运算是数学中重要的内容之一，它在几何、物理、工程等学科中都有广泛的应用。
正确理解和掌握平面向量的线性运算，对于学生培养逻辑思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将通过教学设计，帮助学生深入理解平面向量的线性运算，并能够灵活运用于实际问题中。
【教学设计】一、理论知识的引入1. 引入向量的概念与性质：向量的定义、向量的模、向量的方向等。
2. 平面向量的表示方法：坐标表示法、位置矢量表示法等。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：向量相加的几何意义，向量相加的运算法则。
2. 向量的减法：向量相减的几何意义，向量相减的运算法则。
三、向量的数乘与线性组合1. 向量的数乘：向量与实数相乘的几何意义，向量数乘的运算法则。
2. 向量的线性组合：向量线性组合的概念与性质。
四、实例演示与解析1. 实例1：平面向量的相加减计算。
通过具体的示例，引导学生学会进行向量的相加、相减运算。
2. 实例2：向量的数乘与线性组合应用。
结合实际问题，让学生理解向量的数乘与线性组合在几何、力学等方面的应用，如力的合成与分解等。
五、互动练习与巩固1. 设计小组练习题目：编写一些向量加减或数乘题目，供学生进行小组讨论与解答。
2. 出示练习题目进行课堂检测：出示一些题目，要求学生即时回答，并解析答案，加深学生对知识点的理解与掌握。
【教学反思】通过本教学设计，学生在学习过程中通过理论知识的介绍、实例演示以及互动练习等方式，有助于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，使学生对平面向量的线性运算有更深入的理解和应用。
同时，教学过程中注重互动，培养学生的合作意识和团队精神，增加学习的趣味性。
平面向量的线性运算教学设计
《平面向量的线性运算》复习教学设计高中数学北师大版西安交通大学第二附属中学刘正伟§5.1平面向量的线性运算【教学目标】知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观；1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义；2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件；了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。
【教学重点、难点】重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件；难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。
【教具准备】多媒体课件【教学方法】启发引导式；讲练结合【教学设计】（一）．复习导入问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？学生：速度，加速度，位移，力力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题（二）知识要点1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；(1)λ(μa)＝(λμ)a；积的运算 (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb2.向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1.题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 (1)A (2)A解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.题型二根据向量线性运算求参数例2 (1)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 答案 (1)12(2)D解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23 答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.思想方法 感悟提高1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线作业布置 练出高分1.步步高P241-2422.预习平面向量基本定理及坐标表示课后反思本节课按课前预设完成了教学任务，但教学理念陈旧，课堂上没有充分发挥学生的主动性和积极性，教师不能大胆放手让学生去探索，造成了课堂上教师讲的多。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。
本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。
二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。
2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。
- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。
3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。
(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。
- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。
(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。
- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。
(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。
四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。
平面向量的线性运算教案
平面向量加法及其几何意义教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.一、引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c . 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量a 与b 相等，记作a ＝b ； （2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 7.对向量概念的理解AB 的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 向量共线定理8.向量b 与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa． 二、1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即 a b AB BC AC+=+=(1)BB特殊情况：aabbba +ba +AABBC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 00a a a +=+=探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 三、例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h 。
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
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教学准备
教学目标
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;
教学重难点
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学工具
投影仪
教学过程
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二(P94—95)略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第2、3题
课后小结
1、向量加法的几何意义;
2、交换律和结合律;
3、注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号. 课后习题
作业：
P103第2、3题
板书
略。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算教学案数学教学案
2.2 平面向量的线性运算第1课时向量加法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C 点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同．②力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．2．归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a．平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[问题思考](1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．(3)式子＝0正确吗？[课前反思](1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：．[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则．[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示， (平行四边形法则)，(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.讲一讲1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.(2)如图ⓑ，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝a＋b.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．练一练1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．作＝a＋b＋c.[思考] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．讲一讲2．化简下列各式：解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB 的中点，化简下列三式：讲一讲3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[尝试解答] 如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有＝800＋800＝1 600 (km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 3 km处．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3．求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1 求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2 向量加法运算4．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝aA．2 5 B．45C．12 D．66．根据图示填空．解析：由三角形法则知7．已知正方形ABCD 的边长为1，＝a ，＝c ，＝b ，则|a ＋b ＋c |为________．解析：|a ＋b ＋c |＝＝＝2 2.答案：22 8．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，根据图示计算： 解：(1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以题组3 向量加法的应用 9．若a 等于“向东走8 km ”，b 等于“向北走8 km ”则|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析：如图所示，设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，且△ABC 为等腰直角三角形，则||＝8 2 km ，∠BAC ＝45°.答案：8 2 km 北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ，现在有风，风使雨滴以433m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB ，就是雨滴下落的实际速度． 在Rt △OAC 中，||＝4，||＝433，∴∠AOC ＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是833m/s ，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a ＝，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.A ．①②B ．①③C ．①③⑤D ．③④⑤解析：选C a ＝＝0，∴①③⑤是正确的．2．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，3．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则＝( )4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足，则下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P P 在△ABC 的外部解析：选D ，根据平行四边形法则，如图，则点P 在△ABC 外．答案：6．若P 为△ABC 的外心，且，则∠ACB ＝________． 解析：∵，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心，因此∠ACB ＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且||＝＝0，cos ∠DAB ＝12.求 又cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， ∴∠ DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形．8．已知船在静水中的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt△ACD中，＝|v水|＝10 m/min，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．第2课时向量减法运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a＋(－a)＝0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b 吗？提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．2．归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a．①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．(2)向量的减法①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则_＝a －b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[问题思考](1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：①长度相等；②方向相反．(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．[课前反思](1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：．讲一讲(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．练一练1．化简下列各式：[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．[思考2] a－b的几何意义是什么？名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．讲一讲2．(1)四边形ABCD中，若( )A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[尝试解答] (1)＝a＋c－b.(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．练一练2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.如图所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作▱OBEC，连接OE，连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.讲一讲3．如图，解答下列各题：利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；③注意在封闭图形中利用多边形法则．练一练—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．课下能力提升(十五)[学业水平达标练]题组1 向量的减法运算1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )A．①② B．①③C．①③④ D．②③题组2 向量减法及其几何意义4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )解析：选B 由减法法则知B正确．A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝( )7．已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模．题组3 利用已知向量表示未知向量8．如图，向量，则向量可以表示为( ) A．a＋b－c B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c解析：选C ＝b－a＋c.故选C.9．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝a－b＋c.10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝b－c.答案：b－c11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量[能力提升综合练]1．有下列不等式或等式：①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，一定不成立的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b ＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A．8 B．4 C．2 D．14．平面上有三点A，B，C，设若m，n 的长度恰好相等，则有( )A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C 由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|＝2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i＝1，2，3，则b1－b2＋b3＝________．解析：将a i顺时针旋转30°后得a i′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵b i与a i′同向，且|b i|＝2|a i|，∴b1－b2＋b3＝0.答案：07．设O是△ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．证明如下：∵，∴，∴，∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．第3课时向量数乘运算及其几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 87～P 90的内容，回答下列问题．(1)已知非零向量a ，根据向量的加法，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你认为它们与a 有什么关系？提示：a ＋a ＋a ＝3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相同；(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a 的长度是a 长度的3倍，且方向相反．(2)λa 与a (λ≠0，a ≠0)的方向、长度之间有什么关系？ 提示：当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反，且λa 的长度是a 长度的|λ|倍．(3)若a ＝λb ，则a 与b 共线吗？提示：共线．2．归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反Ｗ. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0．(2)向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．(3)共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．[问题思考](1)向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如λ＋a，λ－2b无法运算．(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同．数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向．实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向．(3)λ＝0时，λa＝0；a＝0时，λa＝0，这两种说法正确吗？提示：不正确，λa＝0中的“0”应写为“0”．[课前反思](1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：．[思考] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．讲一讲1．化简下列各式：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[尝试解答] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．练一练1．设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j . 讲一讲2.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若，试用e 1，e 2表示[尝试解答] ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴MN 綊12BD . 用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用．练一练2.如图所示，四边形OADB 是以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示 [思考1] 如何证明向量a 与b 共线？名师指津：要证向量a 与b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa (a ≠0)即可．[思考2] 如何证明A ，B ，C 三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3．(1)已知e 1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x＋y的值．∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．练一练3．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N 三点共线．证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴M，A，N三点共线．—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用．2．掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3．本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立．4．要掌握用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．5．注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作▱ABCD，且则对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1 向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B 原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n .A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④解析：选B ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．题组2 用已知向量表示未知向量A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p＝－12p ＋32q .4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且则t 的值为( )A.13B.23C.12D.535．如图所示，在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则＝________．(用a ，b 表示)＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )． 答案：14(b －a ) 6．如图所示，已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别为K 、L，且＝e 1，＝e 2，试用e 1，e 2表示⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2. ②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2， 解得x ＝23(2e 2－e 1)，即＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1， 同理得y ＝23(－2e 1＋e 2)， 即＝－43e 1＋23e 2.题组3 共线向量定理的应用7．对于向量a ，b 有下列表示：①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2； ④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中，向量a ，b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④解析：选A 对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－12b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．8．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：选A＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2，所以A ，B ，D 三点共线．9．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．解析：由题设知k 22＝1－52k 3， 所以3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13. 答案：－2或1310．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，＝a ，＝b .(1)用a ，b 分别表示向量(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[能力提升综合练]2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a ，b 共线的是( )①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④已知梯形ABCD ，其中A ．①②B ．①③C ．②D ．③④解析：选A 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；λa －μb ＝0，λa ＝μb ，故②可以；x ＝y ＝0，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析：选B 如图，在△ABC 中，以BM ，CM 为邻边作平行四边形MBDC ，依据平行四边形法则可得两向量有公共点M ，则A ，M ，D 三点共线，设BC ∩MD ＝E ，结合MD 是平行四边形MBDC 的对角线可知，AE 是△ABC 的中线，同理可证BM ，CM 也在△ABC 的中线上，即M 是△ABC 的重心．以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABFC ，依据向量加法的平行四边形法则可得4．如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．③④到λx ＋(1－x )λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，故选A. 答案：236．已知两个不共线向量e 1，e 2，且＝e 1＋λe 2，＝3e 1＋4e 2，＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．又＝e 1＋λe 2，且A ，B ，D 三点共线，所以存在实数μ，即e 1＋λe 2＝μ(5e 1－3e 2)，又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧5μ＝1，－3μ＝λ，则λ＝－35. 答案：－357．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设＝a ，＝b ，试用a ，b 分别表示解：∵ABCD 是平行四边形，BF ＝MC ＝14BC ， ∴FM ＝BC －BF －MC ＝12BC . ∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH . ∴FM 綊AH .∴四边形AHMF 也是平行四边形．8．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点， (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．。
平面向量的线性运算教学设计
平面向量的线性运算【教学目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．【教学重点】1．了解向量的实际背景；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．理解向量的几何表示．【教学难点】1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【高考动向】1．本节课是高考考查的重点和热点；2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角函数、解析几何交汇命题时，则出现在解答题中，难度一般不大，属中低档题．【教学过程】一、近三年平面向量真题展示（5.3复习资料P82，略）二、知识讲解1. 平面向量的两种表示：①向量的几何表示：常用表示；②向量的字母表示：（1）印刷体；（2）手写体．2. 平面向量的概念：⃗⃗⃗⃗⃗ 的也就是向量的长度（或模）．①向量的长度（模）：向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ |或|a⃗|．记作：|AB②两个特殊向量：（1）零向量：长度（模）为的向量，记作：0⃗；（2）单位向量：长度（模）为个单位的向量；（3）平行向量（又叫共线向量）：方向或的非零向量，记作：a⃗//b⃗ //c⃗；（4）相等向量：长度且方向的向量，记作：a⃗=b⃗ =c⃗．规定：0⃗与任一向量平行．3. 【露他一小手儿】 例1. 下列说法中：① 相等向量一定是平行向量； ② 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 也是单位向量； ③ 向量的模是一个非负实数； ④ 共线向量一定在同一直线上． 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 变1. 下列结论中，正确的是（ ） A ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的长度相等，且方向相同或相反B ． 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ //b ⃗D ． 由于零向量的方向不定，故零向量不能与任一向量平行 变2. 下列说法正确的是（ ）A ．若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B ．向量a⃗ 与b ⃗ 平行，则a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 C ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 D ．若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 变3. 下列说法正确的是（ ） A ．平行向量不一定是共线向量B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．共线向量都相等D ．模为0的向量与任意一个向量平行 4.向量的两个法则 ①向量加法三角形法则口诀：尾首相连，由起点指向终点.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =②向量加法平行四边形法则 口诀：起点相同，对角为和.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ③向量减法三角形法则口诀：共起点，连终点，方向指向被减向量.OA⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A5.重要结论在∆ABC 中，若D 为BC 边的终点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6. 【露他一小手儿】例2.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A ．34AB ⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗ C ．14AB ⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗ D ．14AB ⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗ 变1. 在∆ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A ．23b ⃗ +13c B ．53b ⃗ −23c C ．23b ⃗ −13c D ．13b ⃗ +23c 7.向量共线定理向量a ⃗ （a ⃗ ≠0⃗ ）与b ⃗ 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 ．即a ⃗ 与b ⃗ 共线⇔ （a ⃗ ≠0⃗ ）．8. 【露他一小手儿】例3.设a ⃗ 与b ⃗ 是两个不共线，且a ⃗ +λb ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，则λ= ． 变1. 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线向量，且3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与m e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 共线，则m = ． 9. 平面向量基本定理如果e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a⃗ ，有且只有一对实数λ1，λ2使 ．其中，不共线的两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 叫做一组 ．10. 【露他一小手儿】例4.已知向量e 1⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，e 2⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，λ∈R ，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则下列关系一定成立的是( )A ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗B ．e 2⃗⃗⃗ =0⃗C ．λ=0D ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ 或λ=0变1.已知向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 不共线，实数x ，y 满足（2x −3 y ）e 1⃗⃗⃗ +(3x −4y )e 2⃗⃗⃗ =6e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，则x = ，y= ．ＡＢＣＤＡＢＣＤ。
平面向量的概念及线性运算教案
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。
教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。
3. 运用线性运算解决平面向量的问题。
教学难点：1. 点乘的概念和应用。
2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。
2. 学生准备：纸笔、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。
2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。
二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。
2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。
四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。
2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。
五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。
2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。
六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。
2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。
教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。
2.掌握平面向量的线性运算方法。
3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。
二、教学重点平面向量的线性运算。
三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。
四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。
五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。
六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。
2.新课讲解（1）向量加法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。
如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。
向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案本教案将介绍平面向量的线性运算，内容包括平面向量的加法、减法、数量乘法等运算规则和性质。
通过本教案的学习，学生将能够正确运用线性运算来解决与平面向量相关的问题。
一、引入平面向量是向量的一种特殊形式，具有大小和方向。
平面向量可以用一个有序数对表示，也可以用箭头表示。
我们用向量的加法、减法和数量乘法来进行平面向量的线性运算。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规则：1. 两个向量的加法满足交换律，即A + A = A + A。
2. 三个向量的加法满足结合律，即(A + A) + A = A + (A + A)。
3. 对于任意向量A，存在一个零向量A，使得A + A = A。
三、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
如果要计算A - A，可以先将A取负，即-A，然后进行加法运算。
即A - A = A + (-A)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量。
数量乘法满足以下运算规则：1. 数量乘法满足分配律，即A(A + A) = AA + AA，(A + A)A = AA+ AA，其中A、A为实数。
2. 数量乘法满足结合律，即(AA)A = A(AA)，其中A、A为实数。
3. 数量乘法与向量加法满足交换律，即A(A + A) = AA + AA，(A +A)A = AA + AA。
五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
例如，在几何中，可以通过平面向量的减法来计算两点之间的距离和方向；在物理中，可以利用平面向量的数量乘法来计算力的合成和分解等。
六、实例演练为了帮助学生更好地理解平面向量的线性运算，以下是一些实例演练：1. 已知向量A = (2, 3)、A = (-1, 4)，求向量A = 2A - 3A。
2. 已知向量A = (6, -2)、A = (1, -3)，求向量A，使得3A + A = 2A。
高中数学教案：平面向量的线性运算
平面向量的线性运算课程目标知识提要平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括向量的加减运算和向量的数乘运算．平面向量的加减法向量的加法运算向量加法的三角形法则已知非零向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和（或和向量），记作，即．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．向量加法的平行四边形法则以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以为起点的对角线就是与的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．对于零向量和任一向量，我们规定．∙向量加法的运算律交换律：．结合律：．∙向量减法运算已知向量，（如图），作，作，则向量叫做向量与的差，并记作，即如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．由式还可以推知，一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”．与方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作，任一向量与其相反向量的和是零向量，即，零向量的相反向量仍为零向量．向量加上的相反向量，叫作与的差，即．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．作，，以，为邻边作平行四边形，连接．观察图形，不难看出，向量表示向量与的和，也就是向量．平面向量的数乘与平行∙向量的数乘一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar），记作，它的长度规定如下：当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．中的实数，叫做向量的系数．数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或的反方向放大或缩小．∙数乘运算规律设，为实数，那么；；．特别地，，．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．∙平行向量基本定理如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一一个实数，使．平面向量的分解∙平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数、，使．我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base），记做．叫做向量关于基底的分解式．平面向量的正交分解及坐标表示如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数、，使得．这样，平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对叫做向量在基底的坐标，记做，其中叫做在轴上的坐标分量，叫做在轴上的坐标分量．精选例题平面向量的线性运算1. 如图，在四边形中，设，，，则用，，表示为．【答案】【分析】2. 已知点是的重心，过作的平行线与，分别交于点，，若，则．【答案】3. 已知平面向量，满足且与的夹角为，则的取值范围是．【答案】【分析】如图所示，，，，，则，当时，最小，此时，所以得取值范围是．4. 已知下列四个命题：①对任意两向量，，均有；②若，则是线段的中点；③在四边形中，若，则为平行四边形；④若中，，则．其中正确命题的序号是．【答案】②③【分析】若两向量，方向相反，则①不对；由向量平行四边形法则可知②对；③中向量等式化简后为，说明平行且等于，所以③对；由向量平行四边形法则可知④不对．5. 如图，在中，若，，，则实数．【答案】【分析】因为，，所以，．所以．又因为，所以．6. 已知在中，，分别为，上的点，且，，若，，则以，为基底表示．【答案】【分析】因为．7. 给定两个平面单位向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是．【答案】【分析】由题设可知及和的夹角为，所以．由及图形可知，，从而，则，从而，即．当且仅当时，得最大值．8. 与是两个非零向量，，若，，则与共线向量（填‘‘是”或“不是”）．【答案】是9. 在中，，若，则的值为．【答案】【分析】因为，则，所以，所以，，则的值为．10. 在中，，，分别是角，，所对的边，且，则．【答案】【分析】在中，有，又，消去得，从而，，故．11. 如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，试用基底，表示向量．【解】易得，，由，，三点共线知存在实数，满足，由，，三点共线知存在实数，满足，所以，由于，为基底，所以解得所以．12. 如图所示，平行四边形中，为的中点，是的中点，设，，，．(1)试以，为基底表示；【解】．(2)试以，为基底表示．【解】，所以由①②消去，得．13. 设，不共线，求证：点在直线上的充分必要条件是且．【解】必要性：因为点在直线上，所以存在实数使得，所以，所以存在，满足条件．充分性：由且可得，所以，，三点共线．14. ，，分别为的边，，上的中点，且，，给出下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号为．【分析】如图，，，，，，所以应填①②③④．【解】①②③④15. 如图，在中，，分别是，的中点，，，．(1)用，分别表示向量，；【解】因为，所以，因为，所以．(2)求证：，，三点共线．【解】由（1）知，，所以．所以与共线．又，有公共点，所以，，三点共线．16. 如图，在平行四边形中，，相交于点，为线段的中点．若，求的值．【解】因为，所以，，所以．17. 若是内一点，且满足，试判断的形状．【解】因为，，所以由，得，即，则．从而为等腰三角形．18. 化简下列各式：(1)；【解】．(2)；【解】或者． (3)．【解】或者．19. 在中，为线段的中点，试问在线段上是否存在一点．使得，若存在，说明点位置；若不存在，说明理由．【解】假设存在点，使得．所以，存在为三等分点（）时，使得．20. 如下图，在梯形中，，且，，分别为线段与的中点，设，，试以，为基地表示向量，，．【解】，，．平面向量的加减法1. 在矩形中，若，，则．【答案】2. 在中，已知，，是的重心，则．【答案】【分析】如图所示：由是的重心，可知，且，所以，由平行四边形法则知，所以．3. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为．【答案】【分析】由，得．由、、三点共线，所以．4. 给出下列运算：①；②；③；④．其中，所有正确的序号是．【答案】①②③5. 如图所示，在梯形中，，与交于点，则．【答案】【分析】．6. 在平行四边形中，，，则；．【答案】；7. 若向量，满足，则与所成角的大小为．【答案】8. 如图所示，已知到平行四边形的三个顶点、、的向量分别为，，，则（用，，表示）．【答案】【分析】．9. 化简：（1）．（2）．【答案】（1）；（2）10. 已知，，且，则．【答案】【分析】，，，．11. 已知数轴上，两点的坐标为，，根据下列各题中的已知条件，求点的坐标． (1) ，；【解】，．(2) ，；【解】，．(3) ，；【解】，或．(4) ，．【解】，．12. 如图，在平行四边形的对角线的延长线上取点、的延长线上取点，使，用向量方法证明：四边形是平行四边形．【解】如图，，，因为四边形为平行四边形，所以，又，所以，从而，所以．即与平行且相等，所以四边形是平行四边形．13. 分别在的边，，上取点，，，使得直线，，交于一点，若，求证：，，是的中线．【解】如图，由，知，在图中作出，则四边形为平行四边形．又是的相反向量，故与共线，即在的延长线上．由平行四边形对角线互相平分知是的中点．同理，，分别是和的中点．所以，，是的中线．14. 已知，，且，求．【解】如图所示，设，，以，为邻边作，则，．因为，即，所以为矩形，故．在中，，，所以．所以．15. 已知菱形的边长为，设，，，求的大小．【解】．16. 设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示，，．【解】由向量的平行四边形法则，得在平行四边形中，因为所以由向量的平行四边形法则，得从而17. 如图在平行四边形中，设，，试用，表示，．【解】解法1：设，相交于点，则有，．，．解法2：设，，则有且，即，，即，．18. 若为的重心，求证：．【解】如图，设三边中点分别为，，．根据三角形重心的性质得，，，得，而，，．19. 如图所示，已知在梯形中，，且，、分别是、的中点，设，，试用，表示、、．【解】因为，，、分别是、的中点，所以，，．20. 一艘船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际的航行方向与水流方向成角，求水流速度和船的实际速度．【解】如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，，．因为四边形为矩形，所以，，所以水流速度为，船的实际速度为．平面向量的数乘与平行1. 在正方形中，边长为，，，则．【答案】【分析】，所以．2. 根据图示填空．（1）；（2）；（3）．【答案】；；【分析】由三角形法则知（1）；（2）；（3）．3. 已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数的取值范围是．【答案】且【分析】假设点，，不能构成三角形，则点，，共线，从而．因为，，所以，解得．于是若当点，，能构成三角形，则．4. 已知向量，，，，且，则．【答案】5. 下列命题：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们起点相同，终点相同；③若，，则；④若，，则；⑤若，则存在实数，使得．其中正确的是．【答案】③【分析】对于⑤，当而时不成立．6. 若，，与共线，则的值为．【答案】7. 在中，若，则的形状是．【答案】直角三角形【分析】因为所以，所以，．8. 已知，其中，，三点共线，则满足条件的有个．【答案】9. 已知点分有向线段所成的比为，且，，那么点的坐标为．【答案】【分析】点分有向线段所成的比为，则．10. 已知在基底下，向量，，若，则的值为．【答案】11. 已知非零向量和不共线．(1)若，，，问、、三点是否共线？并说明理由．【解】由条件知，．可见，，，共线．由于，有一个公共点，所以，，三点共线．(2)已知向量，，是否存在实数，使向量，共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解】假设存在实数，使向量，共线，设（），则，即．因为，，且，是不共线的两个向量，所以解得或．因此，存在实数，使向量，共线．12. 点是边上一点，且，设，，试用向量，表示．【解】．13. 已知，，且满足方程，这里向量的方向为东北方向．求作向量．【解】满足方程，或．当时，，，与同向，且．当时，，，与的方向相反，且．综上，时，，方向为东北方向；时，，方向为西南方向．如图，以点为始点，向东北方向和西南方向各画一条有向线段，长度分别等于和即可．14. 判断下列各题中的向量是否共线：(1)；【解】当时，则显然与共线；当时，，所以与共线．(2)，且共线．【解】由于共线，显然易得向量与共线．15. 已知平面中不同的四点，，，和非零向量，，且，，．(1)证明：，，三点共线；【解】因为，所以，所以，因为二者均经过点，所以，，三点共线．(2)若与共线，证明：，，，四点共线．【解】因为与共线，设，所以，．因为，，所以，．所以，所以，所以，，三点共线，又，，三点共线．所以，，，四点共线．16. 已知向量、及求、．【解】将的两边同乘，得，与相加，得，所以．代入，得．故，．17. 已知，，是平面上不共线的三点，直线上有一点，满足，(1)用，表示；【解】，．．所以．(2)若点是的中点，证明四边形是梯形．【解】如图，．故．故四边形为梯形．18. 设，是两个不共线的非零向量．(1)若，，．求证：，，三点共线；【解】．又，有公共点，故，，三点共线．(2)试求实数的值，使向量和共线．【解】若向量和共线，则 ( )，即，又因为，是两个不共线的非零向量．所以，且．解得．19. 设，是不共线的两个向量，已知，，，若，，三点共线，求的值．【解】因为，，三点共线，所以向量，共线，即存在实数，使得，所以得又，不共线，故解得或20. ，，当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？【解】解法1：，．当与平行时，存在实数，使，，当时，，由于，与反向．解法 2：由解法，知，．，，．此时．当时，与平行，并且反向．平面向量的分解1. 已知在中，，点满足，若且，则点构成的图形的长度为．【答案】2. 在中，，，的平分线于边上的中线交于点，若，则的值为．【答案】【分析】如图，设中点，因为在的平分线上，，；所以存在，使；因为，，三点共线，是中点；所以；所以由平面向量基本定理得；解得；所以；又；所以．3. 如图，在中，，分别为，的中点，为边上的点，且，若，，则的值为．【答案】【分析】因为为的中点，所以，故，，．4. 已知，，三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与，，共面，那么．【答案】5. 设向量和是某一平面内所有向量的一组基底，若，则实数的值为．【答案】(1)若，是不共线的向量，且，，，求为何值时，，，三点共线？【解】因为，．因为，，共线，所以，所以，所以，，所以．(2)已知四点，，和，试以，为基底表示．【解】因为，，且．设所以解得所以．7. 证明：若向量，，的终点，，共线，当且仅当存在实数，满足等式，使得．【解】必要性：设，，三点共线，则，共线，于是存在实数，使得而，，所以所以令，有，且充分性：若，且，则于是即所以，共线，从而，，三点共线．8. 已知，不共线，，用，表示．试问中时点在哪儿？时点又在哪儿？点的集合构成什么图形？所有适合条件，的点都在直线上吗？【解】时点与点重合；时点与点重合；时，点组成的图形是线段；时，点组成图形是直线，即所有适合条件的点都在直线上．9. 如图，在中，，，与交于点，，，试用，表示．【解】因为，所以．又因为，所以．又因为，，三点共线，所以存在使得（）．于是有同理设（），所以．于是有解得．10. 如图，在的边，上分别有一点，Q．已知，．连接，在上取一点，满足．(1)用，表示；【解】，．，．，．又，．．(2)证明：在线段上．【解】，又由（1）知，，在线段上．课后练习1. 设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则．2. 非零向量，不共线，使与共线的．3. 已知向量表示“向东航行”，表示“向南航行”，则表示．4. 如图，在四边形中，，为的中点，且，则．5. 化简：．6. 在中，，，设为内部及其边界上任意一点，若，则的最大值为．7. 若为的外心，且，则．8. 如图，向量，若，则．9. 已知从点到平行四边形的三个顶点，，的向量分别为，，，则向量等于．10. 如图，在中，若则．11. 已知点在所在的平面内，若，则与的面积的比值为．12. 中，，交于点，设，，用，表示向量为．13. 若点为的外心，且，则的内角．14. 根据图示填空：（1）；（2）．15. 若等于＂向东走＂，等于＂向北走＂．则，的方向是．16. 若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为．17. 若，，则的取值范围是．18. 设表示"向东走 "，表示"向北走 "，则表示向东北走．19. 设是正六边形，，，那么 (用表示)．20. 已知，，，则．21. 设，是两个不共线的向量，，．若以，为基底表示向量，即，则．22. 若，与的方向相反，且则．23. 在中，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则．24. 已知与共线，且与垂直，则．25. 设，是未知向量，解方程组得处分别为，．26. 设，是平面内所有向量的一组基底，则向量与向量共线的条件是．27. 若为内一点，且满足，则与的面积之比为．28. 设，是两个不共线的向量，则向量（）与向量共线的充要条件是．29. 已知向量，，．若与共线，则．30. 有下列四个命题：①对于实数和向量，，恒有；②对于实数，和向量，恒有；③若，则有；④若（、），则．其中正确命题的序号是．31. 等腰直角三角形中，，，是斜边上一点，且，则．32. 已知平面向量的夹角为，且，在中，，，为边的中点，则．33. 已知四边形中，，，对角线，的中点为，，则向量．34. 已知向量，不共线，且，，，以向量，为基底，则向量可分解为（即写成的形式）．35. 如图，在中，，且，则；36. 在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设，，试用与表示和．37. 已知正方形的边长等于，，，，试作向量：(1)；(2)．38. 如图，在五边形中，若四边形是平行四边形，且，，，试用，，表示向量，，，及．39. 如图，为正六边形的中心，根据图示计算：(1)；(2)；(3)．40. 某人从点出发向西走了，到达点，然后改变方向按西偏北走了到达点，最后又向东走了到达点．(1)作出向量，，（用长的线段代表长）；(2)求．41. 在空间四边形中，连接，，的重心为，，求，，．42. 设是平行四边形，其对角线相交于点，，，试求向量与向量，的关系．43. 已知向量和点，直线过点，且平行于向量，求直线的方程．44. 如图所示，是平行四边形的对角线、的交点，设，，，求证：．45. 已知，，若，求的值．(1)已知，，的模分别为，，，求的最大值．(2)如图，已知在矩形中，，设，，，试求的大小．47. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，为平面内任意一点．求证：．(1)在中，是的重心，试证明：；(2)在任意四边形中，为的中点，为的中点，证明：．49. 在静水中划船的速度是，水流的速度是，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何方？50. 如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，已知，，试用，表示和．51. 若，，试求：(1)的最小值；(2)的最大值．52. 的重心为，为坐标原点，，，，试用，，表示．53. 已知四边形的对角线与相交于点，且，．求证：四边形是平行四边形．54. 已知向量，，是模相等的非零向量，，求证：是正三角形．55. 如图，已知向量，，不共线，求作向量．56. 如果，，（其中，不共线），且，，三点共线，求的值．57. ，分别是的边，的靠近的三等分点．求证：，且．58. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中．(1)若，且，求的坐标；(2)若与的夹角的余弦值为，且，求．59. 已知向量，，若，，且，求实数的值并判断此时与的方向相同还是相反．60. 已知的两边，的中点分别为，，在的延长线上取点，使，在的延长线上取点，使，用向量方法证明：，，三点共线．61. 已知两个非零向量与不共线．(1)若，，，求证：，，三点共线；(2)试确定实数，使和共线．62. 如图，已知在平行四边形中，为的中点，在上，．求证：、、三点共线．63. 如图，在平行四边形中，，与相交于点．求证：．64. 设，不共线，，，，求证：，，三点共线．65. 已知向量，满足，求证：向量与共线，并求．66. 已知线段过的重心，且，分别在，上，设，，，．求证：．67. 如图，对于平行四边形，点是的中点，点在上，且．求证：，，三点共线．68. 如图，已知，点是以为中心的的对称点，是将分成的一个内分点，和交于，设，．(1)用，表示向量，；(2)若，求实数的值．69. 如图所示，在平行四边形中，，．设，，以，为基底表示，，，．70. 在直角坐标系中，，如图所示，分别求出：与的坐标．平面向量的线性运算-出门考姓名成绩1. 在中，点在边上，且，，则．2. 在中，，若，，则的值为．3. 已知平行四边形中，对角线，相交于点，已知，，则．4. 在中，已知是边上一点，点，则．5. 当不共线向量，满足时，与互相垂直．6. 若菱形的边长为，则．7. 已知，，且，，则；与的夹角为．8. 化简．9. 设向量，都不是零向量．（1）若向量与同向，则与的方向，且；（2）如图，在正六边形中，若，则．10. 给出下列命题：若，同向，则有；恒成立；对任意两个向量，总有．若三个非零向量，，满足，则此三个向量围成一个三角形．其中正确的命题是．11. 在中，，，分别是，，边上的靠近，，的三等分点，是平面上的任意一点．若，则．12. 已知为边上一点，且的面积是面积的，则分所成的比为．13. 已知向量，，，若与共线，则．14. 已知，，向量，不共线，则当时，．15. 设是两个不共线的向量，关于向量，，有下列结论：①，；②，；③，；④，．其中能判断，共线的有．（填序号）16. 已知是的外心，，，．设，，若，则．17. 如图，在矩形中，点，分别在线段，上，且满足，，若，则．18. 设为的外心，若，为的内角，则角．19. 在中，已知点、分别在边、上，，，与交于点，且，，用，表示．20. 若向量满足，，为已知向量，则；．21. 已知为四边形所在平面外一点，且向量，，，满足等式．作图并观察四边形的形状，并证明．22. 如图所示，在中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点．求证：．23. 在中，，，与交于点，设，，用，表示．24. 用两种方法化简．25. 已知在矩形中，，设，，，试求．26. 如图所示，为的外心，为垂心，求证：．27. ，（），，当等于什么值时，有最值，并求出最值．28. 已知正方形的边长为，若，，，求作向量，并求出．29. 已知平行四边形，，，用，分别表示向量，．30. 化简：(1) ；(2) ．31. 已知两点，，在直线上求一点，使得．32. 设两个非零向量和不共线，如果，，．(1)求证：三点共线；(2)试确定实数的值，使和共线．33. 已知向量，不共线，，，(1)若，求的值，并判断，是否同向；(2)若，与夹角为，当为何值时，．34. 已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，．(1)用，表示；(2)证明：四边形为梯形．35. 设，是两个不共线的向量，已知，，．若，，三点共线，求的值．36. 已知：梯形，，，分别是，的中点．求证：，且．37. 已知为平行四边形内一点，，，，用，，表示．38. 在空间四边形中，连接，，的重心为，化简．39. 已知在梯形中，，，分别是，的中点．设，，选择基底，求向量，在此基底下的分解式．40. 如图，以向量，为边作平行四边形，交于点，又，，用，表示，，．。
高中数学2.2平面向量的线性运算教案2人教版必修4.doc
平面向量的基本概念与线性运算（一）【教学目标】1.了解平面向量的实际背景。
2. 理解平面向量的概念及向量相等的含义。
3.理解向量的几何表示。
4. 掌握向量加法，加法的运算，并理解其几何意义。
【教学重难点】1．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
2．掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。
3.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
4.掌握向量减法的三角形法则。
【课前预习】基本知识点：(1) 既有又有的量叫做向量，向量可以用来表示．(2) 向量 AB 的大小，也就是向量AB的(或称) ，记作 AB(3) 长度向量叫做零向量，记作0 ；长度为_ 的向量叫做单位向量．(4) 方向或的两个向量叫做平行向量，也叫做．规定： 0 与平行．(5) 长度且方向的向量叫做相等向量；与 a 长度且方向的向量叫做相反向量．规定： 0 的相反向量是．(6)向量的加法和减法：如图所示，已知在中设 AB a, AD b , 则a b ， a b(7) 向量的分解：已知向量 AB ，O为平面内任意一点，则AB AO OB；AB OB OA。
基本练习：1. （必修 4 课本 57 页）下列结论中正确的是________（ 1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（ 2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（ 3）若a和b都是单位向量，则 a = b ；（4）两个相等向量的模相等。
2.（必修 4 课本 57 页）设 O是正三角形 ABC的中心，则向量AO BO CO是 _________向量（相等，共线，模相等，共起点）3. （必修 4 课本 57 页）判断题：1）长度相等的向量是相等向量。
（） 2 3)平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量。
）相等向量是共线向量。
（）( )建邺高中高三数学讲学稿（一轮复习）平面向量4. 在ABCD 中，BC CD BA5. 在△ABC中，AB c，AC b ．若点D满足BD 2DC ，则 AD ________【典型例题】 B A例 1．如图，设 O是正六边形的中心，分别写出图中与DAC O F的模相等的向量以及方向相同的向量。
高三数学《平面向量的概念及线性运算》教案
课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、双基练习：1.教材习题改编 下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 四、[典例]考点一 平面向量的有关概念 例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二 平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。
人教版高中必修42.2平面向量的线性运算教学设计
人教版高中必修42.2平面向量的线性运算教学设计
一、教学目标
1.知识目标
•熟悉平面向量的概念和性质
•掌握平面向量的线性运算方法，了解向量的数量积和向量积的概念和性质
2.能力目标
•能够应用平面向量的线性运算方法解决几何问题
•能够通过向量的数量积和数量积的计算对平面上的向量进行分类
3.情感态度目标
•培养学生的独立思考和解决问题的能力
•激发学生对数学的兴趣和热爱，培养优秀的数学思维和学习方法
二、教学重点和难点
1.教学重点
•平面向量的线性运算方法和相关概念的掌握
•根据向量的线性运算方法解决几何问题
2.教学难点
•向量的数量积和向量积的概念和性质的理解
•向量的数量积和向量积的应用
1。
平面向量线性运算学案(22份)人教课标版15(教案)
平面向量的线性运算知识梳理一、向量加法. 向量加法的定义如图2-2-1 ，在平面内任取一点，作AB ， BC ，则向量AC 叫做向量与的和，记作，即AB BC AC.图2-2-1.求两个向量和的运算，叫做向量的加法关于零向量与随意愿量，仍旧有.. 向量加法的运算律() 互换律： .() 联合律： ()().二、向量减法的定义与长度相等且方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.求两个向量差的运算叫做向量的减法：() ，即向量减去处量相当于加上向量的相反向量.三、向量数乘. 向量数乘的定义一般地，实数λ 与向量的积是一个向量，这类运算叫做向量的数乘，记作λ ，它的长度与方向规定以下：() λ λ；() 当λ＞时，λ的方向与的方向同样；当λ ＜时，λ 的方向与的方向相反；() 当λ时，λ .. 向量数乘的运算律设λ 、μ 是实数，则有：() λ ( μ )( λ μ ) ； ( 联合律 )()( λ μ ) λμ； (第一分派律)() λ () λ λ. (第二分派律)知识导学要学好本节内容，可从数的加法启迪我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法 . 借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，进而理所应当地接受向量的加法定义. 联合图形掌握向量加法的三角形法例和平行四边形法例. 联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的互换律和联合律. 减法运算是加法运算的逆运算，应在理解相反向量的基础上联合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形作出减向量. 经过探究类比数的运算性质，理解向量的加法互换律和联合律，经过绘图考证的实验方法理解向量加法的互换律和联合律.疑难打破. 向量加法的运算法例.解析：（）向量加法的平行四边形法例：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就表示这两个向量的和.图2-2-2如图2-2-2，认为起点作向量AB，AD ，以AB 、AD为邻边作，则认为起点的对角线AC就是向量与的和，记作向量AC.（）向量加法的三角形法例：依据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则.使用三角形法例特别要注意“首尾相接”.详细做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（此中后边向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和. 简记“首尾相连，首是首，尾是尾” . 如设AB BC CD ,则AB BCCD AD.用三角形法例求两个向量和的步骤是：第一步：将（或）平移，使两个向量的一个起点与另一个终点相连；第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和，也就是“作平移，首相连”.注意：三角形法例和平行四边形法例是向量和的基本方法. 但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法例；而当它们始点同样时，可用向量加法的平行四边形法例.. 对向量加法的理解应当掌握哪几点？解析： () 两个向量的和还是一个向量.() 当两个非零向量与不共线时，的方向与、的方向都不同样，且＜, 这是三角形两边之和大于第三边的向量表示.() 特别地点关系的两向量的和：①向量与共线且方向同样时，的方向与（或）的方向同样，且. 如图 2-2-3().②向量与反向且＜时的方向与的方向同样( 与方向相反 ) ，且；如图2-2-3().图 2-2-3. 怎样从“相反向量”这个角度求作？三角形法例可行吗？平行四边形法例呢？.解析：的作法从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法例和平行四边形法例减法的三角形法例作法：∵() ()，∴在平面内取一点，作OA ,OB ,则 BA ，即能够表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 ( 注意：差向量“箭头”指向被减向量 ). 详细作法如图 2-2-4()( 、不共线 ) 和图 ()( 、共线).减法的平行四边形法例作法：当、不共线时，如图 2-2-4 （）中，在平面内任取一点，作OA，OB' ，则由向量加法的平行四边形法例可得OC （），这是向量减法的平行四边形法例. 若、同向共线，如图() ；若、异向共线，如图().图 2-2-4. 向量数乘的几何意义解析：() 关于向量 ( ≠) 、，假如有一个实数λ，使λ ，那么由向量共线的定义知向量与共线；已知向量与共线，≠，且向量的长度是向量的长度的μ 倍，即μ ，那么当与同方向时，有μ，当与反方向时，有μ .() 判断向量 ( ≠) 与能否共线的方法：判断能否有且只有一个实数μ ，使得μ .() 判断、、三点共线的方法：判断能否有且只有一个实数μ ，使得ACμ AB.() 假如向量与不共线，且λ μ ，那么λ μ .() 向量λ ( μ1aμ ) λ μ1aλ μ能够用平行四边形法例作出，如图2-2-5.图学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。
平面向量的线性运算教学设计
《平面向量的线性运算》复习教学设计高中数学北师大版西安交通大学第二附属中学刘正伟§5.1平面向量的线性运算【教学目标】知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观；1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义；2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件；了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。
【教学重点、难点】重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件；难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。
【教具准备】多媒体课件【教学方法】启发引导式；讲练结合【教学设计】（一）．复习导入问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？学生：速度，加速度，位移，力力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题（二）知识要点1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb2.a是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．3.【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1.题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (2)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 (1)A (2)A解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.题型二根据向量线性运算求参数例2 (1)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 答案 (1)12(2)D解析 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23 答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.思想方法 感悟提高1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线作业布置 练出高分1.步步高P241-2422.预习平面向量基本定理及坐标表示课后反思本节课按课前预设完成了教学任务，但教学理念陈旧，课堂上没有充分发挥学生的主动性和积极性，教师不能大胆放手让学生去探索，造成了课堂上教师讲的多。
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平面向量的线性运算教案海伊教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：学员姓名：张鸿敬辅导科目：数学学科教师：高老师课题平面向量的线性运算授课时间：2013 年10月18日备课时间：2013 年10月16日教学目标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。
能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。
2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。
掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。
3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。
培养类比、迁移、分类、归纳等能力。
4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。
5.学会分析问题和创造地解决问题。
能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。
6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。
重点、难点1.向量加法的运算及其几何意义。
2.对向量加法法则定义的理解。
3.向量的减法运算及其几何意义。
4.对向量减法定义的理解。
5.实数与向量积的意义。
6.实数与向量积的运算律。
7.两个向量共线的等价条件及其运用。
8.对向量共线的等价条件的理解运用。
授课方法联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高教学过程一、情景设置（知识导入）二、探索研究【知识点总结与归纳】一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：(1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。
二、1. 向量的加法定义向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2. 向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。
运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
（2）平行四边形法则向量加法的平行四边形法则如图4，以同一点O为起点的两个已知向量A.b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
3. 向量a，b的加法也满足交换律和结合律：①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。
②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。
③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。
其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。
一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。
④如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。
因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。
如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。
特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。
三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。
四、向量也有减法运算。
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。
于是-(-a)=a。
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。
所以，如果A.b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。
1. 平行四边形法则图1如图1，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。
又b+BC=a，所以BC=a-b。
由此，我们得到a-b的作图方法。
图22. 三角形法则如图2，已知A.b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。
（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。
与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作-a。
（2）向量减法的定义。
我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
规定：零向量的相反向量是零向量。
(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。
五、我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。
由(1)可知，λ=0时，λa=0。
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。
实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。
向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。
共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。
数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定。
它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。
向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意向量A.b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b三、课堂练习例1 化简：(1)BC+AB(2)DB+CD+BC(3)AB+DF+CD+BC+FA解：(1)BC+AB=AB+BC=AC(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。
例2 若AC=a+b，DB=a-b①当A.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？②当A.b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？③当A.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线。
由平行四边形法则，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b。
由此问题就可转换为：①当边AB.AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB.AD满足什么条件时，对角线相等？(A.b互相垂直)③当边AB.AD满足什么条件时，对角线平分内角？(A.b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。
由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。
四、课后作业1.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a，AC=c，BC=b，则|a+b+c|为( )。
A.0B.3C.2D.222.设a=(AB+CD)+(BC+DA)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的为……( )。
①a ∥b ；②a+b=a ；③a+b=b ；④|a+b|＜|a|+|b|；⑤|a+b|=|a|+|b|。
A.①②B.①③C.①③⑤D.③④⑤3.下列等式中，正确的个数是( )。
①a+b=b+a ②a-b=b ③0-a=-a ④-(-a)=a ⑤a+(-a)=0A.5B.4C.3D.24.如图7，D.E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF -DB 等于( )。
A.FDB.FCC.FED.BE5.下列式子中不能化简为AD 的是( )。
A.(AB +CD )+BCB.(AD +MB )+(BC +CM )C.BM AD MB -+D.OC -OA +CD6.已知A.B.C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的( )。
A.重心B.垂心C.内心D.外心7.31[21(2a+8b)-(4a-2b)]等于( )。
A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b8.设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k 的值为( )。
A.1B.-1C.±1D.09.若向量方2x-3(x-2a)=0，则向量x 等于( )。
A.56aB.-6aC.6aD.56a 10.设向量a ，b 都不是零向量：(1)若向量a 与b 同向，则a+b 与a 的方向_________，且|a+b|_________|a|+|b|；(2)若向量a 与b 反向，且|a|＞|b|，则a+b 与a 的方向__________，且|a+b|_________|a|-|b|。
11.如图17所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则1AC =________。
(用A.B.c 表示)12.在△ABC AE =51AB ，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB =a ，AC =b ，则BF 用A.b 表示的形式是BF =________。
13.在△ABC ，M 、N 、P 分别是AB.BC.CA 边上的靠近 A.B.C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA +OC OB +=31e1-21e2，则OP ON OM ++=________。