042954_弹性力学,期末试题

1 2 ur E A 1 1 r 2Cr 1 1
3.确定常数A、C： 利用边界条件则有：当 r a 时， r r a q
即得：
2016年2月7日
当 r b时， ur r b 0
2 h 2 h 2

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x x 0
0,
x x0 ydy M , xy x0 dy P
9
2 h 2 h 2
2
《弹性力学与有限元法》
0, xy y h 0, x x 0 dy P cos , （2） y y h 2 2 h 2 ydy P cos , h xy x 0 dy P x x 0 2 2 0 q0 , r 0 0, a 0, r a 0 a 0, r a 0 , a q sin , r a q cos 2 2 2 2 2 2
2016年2月7日 《弹性力学与有限元法》 12
2.应力分量的表达式为：
x2 3 2 x (6 Ay 2 B) x(6 Ey 2 F ) 2 Ay 2 By 6 Hy 2 K 2 3 2 y Ay By Cy D （3） xy x(3 Ay2 2 By C ) (3Ey2 2 Fy G ) Px P g Px 其中，特解取 ,而 。由对称性可知，正应力（剪应力） x E F G 0 3）简化为： 应是 的偶（奇）函数，因此， 。式（ x2 3 2 x (6 Ay 2 B) 2 Ay 2 By 6 Hy 2 K 2 3 2 y Ay By Cy D xy x(3 Ay2 2 By C ) Px
x x x2 f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) 2
（1）
代入双调和方程后得：
1 d 4 f ( y ) 2 d 4 f1 ( y ) d 4 f 2 ( y) d 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy d 4 f ( y) d 4 f1 ( y ) d 4 f 2 ( y) d 2 f ( y) 0, 0, 2 0 （2） 4 4 4 2 dy dy dy dy f ( y ) Ay3 By2 Cy D, f1 ( y ) Ey3 Fy2 Gy A 5 B 4 f 2 ( y ) y y Hy3 Ky 2 10 6 x2 A 5 B 4 3 2 3 2 ( Ay By Cy D) x( Ey Fy Gy) y y Hy3 Gy 2 2 10 6
o x o x
y xy
x
y
y xy
xy
x
x xy
y
x
y
图5
y
图6
3
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《弹性力学与有限元法》
四、设图7所示简支梁只受重力作用。梁的密度为ρ ，试求应 力分量。（15分）
ghl
g
o h
l
ghl
x
q
l
y
图7
图8
五、设有一刚体，如图8所示，具有半径为b的圆柱形孔道，孔 道内放置外半径为b、内半径为a的圆筒，圆筒受内压力q，试 求圆筒的应力。（20分）
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《弹性力学与有限元法》
4
六、试用虚位移原理求图9所示梁的挠曲线，并求出 a l 2 处 的挠度值(忽略剪切变形的影响)。设挠度曲线为：
nx w an sin l n 1

a
o
P x
l
图9
（15分）
z
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《弹性力学与有限元法》
5
模拟试题答案
一、解答题： 1.答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不 同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相 同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所 受的影响可以不计。这就是圣维南原理。如图a所示柱形构件， 在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P。如果把 一端的拉力变换为静力等效的力，如图b，只有虚线划出的部 分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以 不计的。
力情况，假设部分和全部应力分量为某种形式的函数，从而推
出应力函数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，
2016年2月7日 《弹性力学与有限元法》 8
以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应 力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方 程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某 一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。 半逆解法基本步骤：
l2 1 2P P B D K 0, A 2 , C , H P 2 h 2 h 10 2 6P 2 4 P 3 P M 4 y 3 2 3 x 2 l x y 2 y y y P y 2 h h 5 J 5 h P 4 y2 y 1 y 2 2 h 1 y2 QS xy 6 P 4 h2 x Jb
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主应力方向如图c。
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《弹性力学与有限元法》
（2）主应力和主应力方向为：
1 2500 500 2 691 2 MPa 500 2 1809 2 2
tan 1 691 1000 0.618, 1 314 500
应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性 体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的 应力函数可以解决什么问题。 逆解法基本步骤：
设定
代入 应力分 量公式 求出 应力分量 代入 确定 求出 面力（合力） 解决 什么问题
y
x
xy
应力边 界条件
半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受
《弹性力学与有限元法》
2
三、已求得一点的应力状态，试求主应力与主应力方向，并图 示。(15分） （1）已知 x 100MPa, y 50MPa, xy 10 50MPa, 见图5所
示。
（2）已知 x 1000 MPa, y 1500 MPa, xy 500MPa, 见图 6所示。
o
1
主应力方向如图d。
o
1
y
x
2 xy
y
x
2 xy
x
y
xy
2
x
y
图c
1 1
x xy 2
y
y
图d
1
x 1
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《弹性力学与有限元法》
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四、解：1.用半逆解法，设 y f ( y) ，则： 2 y 2 f ( y ), xf ( y ) f1 ( y )
2016年2月7日 《弹性力学与有限元法》 14
五、解：由题可知本题为一个轴对称问题，故环向位移 u 0 。 另外还要考虑位移的单值条件，因此，应力分量和位移分量 分别如下： A 1.应力分量为： r 2 2C
r A 2C r2
2.平面应变问题的位移分量为：
1.图1、2所示悬臂梁（用直角坐标形式）。（10分）
2.图3所示三角形悬臂梁（用极坐标形式）。（5分） 3.图4所示楔形体（用极坐标形式）。（5分）
2016年2月7日
《弹性力学与有限元法》
1
P
M
x q0 l
q0
h

P
o
y
l
0
x
o
y
h
x
l
图2
图1
q0
y
o
q

2 2
o
y

0
x
0
x
图3 图4
2016年2月7日
设定 应力分 导出 满足 应力边 得到 满足 量公式 4 0 是 应力表达式 界条件 边界条件 是 正确解答 否 否
h y 2
二、（1） y
h 2 h 2

q0 x
l
, xy y h 0, y y h 0, xy y h 0
P P P
P/2 P/2
图b
图a
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《弹性力学与有限元法》
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2.答：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面 力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。这种问题称 为平面应力问题。很长的柱体，在柱面上承受平行于板面并 且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿长 度变化。这种问题称为平面应变问题。
h 2 h 2 h
h 2 h 2
（3） （4）
三、（1）主应力和主应力方向为：
1 100 50 100 50 2 150 2 MPa 10 50 2 0 2 2


150 100 0.707,1 3516 10 50 1 tan 2 1.4142 , 2 5444 tan1 tan1
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《弹性力学与有限元法》
4 4 4 3.逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程 4 2 2 2 4 0 x x y y 2 2 2 的应力函数 ，用公式 x 求出 Xx , Yy , y xy 2 2
模拟试题
一、解答题：（15分）
1.简述圣维南原理，举例说明其应用。（5分）