2021年山东省高考数学总复习：三角函数及解三角形

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2021年山东省高考数学二轮解答题专项复习：三角函数及解三

角形

1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

√32sin(A +C)=cos 2B 2． （Ⅰ）求sin B ；

（Ⅱ）若△ABC 的周长为8，求△ABC 的面积的取值范围．

【解答】解：（1）∵

√32sin(A +C)=cos 2B 2且sin （A +C ）＝sin B ∴√32sinB =√32⋅2sin B 2cos B 2=cos 2B 2

，又∵0＜B 2＜π2∴sin B 2＞0， ∴√3sin

B 2=cos B 2， ∴tan B 2=√33，B 2=π6

∴B =π3，

∴sinB =√32．

（2）由题意知：a +b +c ＝8，故b ＝8﹣（a +c ）

∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =−64+16(a+c)−2ac 2ac =12， ∴3ac =−64+16(a +c)≥−64+32√ac ∴，

3ac −32√ac +64≥0，

∴(3√ac −8)(√ac −8)≥0∴，

√ac ≤83或√ac ≥8（舍）

，即ac ≤649 ∴S △ABC =12acsinB =√34ac ≤16√39

（当a ＝c 时等号成立） 综上，△ABC 的面积的取值范围为(0，16√39]．

2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且满足

cosA cosC =a 3b−c ． （1）求sin2A ；

（2）若a ＝1，△ABC 的面积为√2，求b +c 的值．

【解答】解：（1）∵cosA cosC =a 3b−c ，

∴由正弦定理可得：cos A （3sin B ﹣sin C ）＝sin A cos C ，

可得：3sin B cos A ＝sin A cos C +cos A sin C ＝sin （A +C ）＝sin B ，