第六章 粘性流体绕物体流动

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例1 一平板宽为2m，长5m，在空气中运动的速度为 2.42m/s。试分别求沿宽度方向及沿长度方向运动时的 摩擦阻力。 解:先判别边界层的流动状态 xcr 5 105 3m U 可见，沿宽度方向流动时为层流边界层，沿长度 方向流动时为混合边界层。 沿宽度方向流动时的 沿长度方向流动时的 摩擦阻力： 摩擦阻力：
R f 0bdx
0 L L 0
U 2 0.365U bdx 0.73bLU x UL
Rf
摩擦阻力系数为:
1.462 Cf 1 Re L U 2bL 2
UL 式中: ReL ——平板末端的雷诺数。
问题：摩擦阻力系数随着Re数的增加而减小，摩 擦阻力随来流速度U的增加如何变化？
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边界层具有如下基本特征： 1.边界层很薄，即边界层厚度δ相对于物体的 尺度L是一小量，远小于L。 2.在边界层内，由于流速的急剧变化，粘性切 应力τ不能忽略；而边界层外的流动可当作理想流 体处理。 3.边界层的厚度δ，流速越大，厚度越薄；在 物体前缘为0，愈往下愈厚。 4.边界层中各截面上的压力等于同一截面上外 边界上的压力。 当 Re 104 ,
l 0.01
当 Re 106 ,
l 0.001
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三、边界层的构成
在平板前部是层流边界层，往后一定距离，将 会由过度区转变为湍流边界层，在湍流边界层的底 部，仍然存在层流底层。
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四、边界层的流态
判别边界层内流动状态转变的准则为：离前缘距 Ux Re 离的Re数： ，x为离前缘的距离。据此确定转变 点的位置。 实验测量表明：平板 边界层层流态向湍流态转 捩的雷诺数为: Rexcr 5 105
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重点：边界层、边界层厚度、特征，边界层结构， 离前缘距离的雷诺数、边界层动量损失厚度、边界层 排挤厚度，平板层流边界层的近似计算，边界层分离、 边界层分离的原因、逆压梯度、边界层分离点、卡门 涡街、摩擦阻力、压差阻力、减阻方法、低雷诺数流 动 难点：边界层厚度、平板层流边界层的近似计算、 边界层分离 在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物 体的流动问题。如河流流过桥墩、煤粉颗粒在空气中 的扩散等等。
Re
Cf
UL

3.34 10 5
1.328(or1.462) 2.298 103 Re 1 2 R f C f U BL 2 0.165 N 2
UL Ux 5 Re 10 Re 8.35 8. 35 10 5 0.074 C f 1/ 5 2.8110 3 Re
边界层的名义厚度、排挤厚度、动量损失厚度具 有相同的量级。
层流边界层
1 3 1 8
*
湍流边界层 1 * 7 1 10
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二、平板层流边界层的近似计算
当 L xcr 平板边界层为层流边界层。 应用平板边界层动量积分方程，推导平板切应力分 布 0 0 x ，沿面积积分得到平板所受的摩擦阻力 R f ， 进一步给出摩擦阻力系数 C f 的表达式。 应用动量积分方程求解平板绕流：
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§6-5 绕流物体的阻力
绕流物体的粘性阻力分成摩擦阻力和形状阻力两种：
CD C f Cp
前者用边界层理论求解，后者一般依靠实验。
一、摩擦阻力
是由于流体的粘性引起的，当流体绕流物体时， 在表面上形成了边界层，边界层内速度梯度大，粘性 的牵制作用使物体受到阻力。阻力发生在运动物体表 面上。
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空气和水是我们最常接触到的两种流体，它们的粘性系 数都比较小，如20℃时， 空气： 1.808 105 N s m2 , 0.15 cm2 s , 水： 1.005 103 N s m2 , 0.0101cm2 s , 如果取特征长度和速度分别为1cm与1cm/s,对空气和水的 Re数分别为6.67与100，试验时即使去模型的特征长度和速度 仅为10cm与100cm/s，而空气和水的Re数分别达到6.67×103 与105，已相当大了。对于船舶工程问题，Re数量级很大，在 106～109的范围。 空气运动粘度 1.4 105 m2 s 设汽车
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一、顺压梯度和逆压梯度
以流动绕过 曲壁面为例。 顺压梯度区：BC 流体加速， 由伯努利方程知， 压强减小， 因此： p 0
x
U , p
U , p
逆压梯度区：CE 减速，压强增加。所以
p 0 x
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二、流动分离
顺压梯度区——BC流动不会分离 由于压能减小部分还能够补偿动能增加和由于克 服流动阻力而消耗的能量损失，因此此时边界层内流 体质点速度不会为0，流动不会分离。
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摩擦阻力特点：
1) 阻力系数强烈地依赖于雷诺数； 2) 对相同雷诺数，层流态的阻力明显低于湍流态； 3) 对湍流边界层，光滑壁面的阻力最小，粗糙度增加 使阻力系数增大； 4) 摩擦阻力与壁面面积成正比。
1 R f C f U 2 BL 2 0.202 N 2
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§6-4 边界层的流动分离
流体绕过非线型钝头物体时，较早脱离物体表面， 在物体后部形成较宽阔的尾流区。如：房屋 在边界层内，流体质点在某些情况下向边界层外 流动的现象称为边界层从固体分离。再如：桥墩 分离的原因——粘性 分离的条件——逆压梯度
2. 边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级。 依此应用数量级比较方法，忽略一些高阶小量， 对N-S方程、连续性方程进行简化。得到p238的(65)、 (6-5)式的Prandtl方程。自看，不作要求。
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§6-3 平板边界层动量积分方程及 近似计算
一、平板边界层动量积分方程
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vx y y2 假设平板层流边界层内速度分布为： 2 2 U
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可见，速度分布满足条件： y 0,vx 0; y ,vx U
动量损失厚度：


0
ux vx y y2 y y2 2 (1 )dy (2 2 )(1 2 2 )dy 0 U U 15
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对于低Re数问题，如大气中的烟尘的沉降、云雾 的水滴、胶体溶液中的胶体大分子、河流中的泥沙、 水洗选矿中的矿尘粉末、原生物的泳动、血液中红细 胞的运动等等，将N-S方程简化求解。一个直径为 10μm的毛细血管，当血流速度为1mm/s时，Re数约为 10-3量级。
本章简单介绍了处理大Re数流动的边界层理论， 主要以流体流过平板为例，介绍物体粘性阻力的问题。 最后一节介绍低雷诺数的流动问题。
v vx o d x ( 1 )dy 2 0 U U dx U 0 3个未知量，补充2个方程，一是边界层 其中 vx 、 、
内流速分布的关系式vx vx y ，二是切应力与边界层厚 度的关系式 0 0 。后者根据流速分布的关系式求解 得到。
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§6-1 边界层概念
一、边界层的定义
在实际流体绕流固体时，固体边界上的流速为0 （固体静止），在固体边界的外法线方向上的流体速 度从0迅速增大，在边界附近的流区存在相当大的速 度梯度，在这个流区内粘性作用不能忽略，边界附近 的流区称为边界层（或附面层），边界层外流区，粘 性作用可以忽略，当作理想流体来处理。（举例：平 板） 边界层定义：绕流物体表面上一层厚度很小且 其中的流动具有很大法向速度梯度的流动区域。
排挤厚度：


0
vx y y2 1 (1 )dy (1 2 2 ) dy 0 U 3
牛顿内摩擦定律（层流）：
dvx 0 dy
y 0
U (
2
2y


2
)
y 0
2
U

o dx U 2
上式中平板壁面切应力是边界层厚度的函数，所以必 须首先求出 x 。 d
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下面计算边界层的厚度δ： o d U 2 将 和 0 2 代入 有： 2 15 dx U 2 d U 2 15 dx U 2
x 0, 0 积分，最终得到：
5.49 x
U
12 x
从而可以确定层流边界层转为湍流边界层转捩 点的位置坐标： xcr 5 105
U
当 L xcr 平板边界层为层流边界层； 当 L xcr 平板边界层为湍流边界层； 设板长为L， 当 L xcr 平板边界层为混合边界层；
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§6-2 边界层微分方程
在大Re数情况下的边界层流动有下面两个主要性 质： 1. 边界层厚度较物体特征长度小得多，即 L
h 1.5m , V 80 km h 22 m s Vh 22 1.5 6 Re 2 . 4 10 1.4 105
6 2 水运动粘度 110 m s 设船：
l 10m , V 10 km h 2.8 m s Vl 2.8 10 7 Re 2 . 8 10 110 6
所以，

2 x 0.732 15 U
0 2
U

0.365U
1 2
U x
可见，0 随ｘ增加而减小， 0 x 。因ｘ增加时 增加， 使壁面速度梯度减小，所以 0 减小。
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பைடு நூலகம்17
下面计算边界层的摩擦阻力及摩擦阻力系数。
假设板长为L，板宽为b，计算平板的单面摩擦力：
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二、边界层的厚度
边界层的外边界：实用上，将流速达到外流速度 的99%的点连接起来组成边界层的外边界。 边界层的厚度δ：离开壁面（内边界）到外边界 的距离，称之为边界层的厚度δ（名义厚度）。
注意：
边界层的外边界线与流线不重合，外流区域中的 流体质点可以连续地穿过边界层的外缘进入边界层内。
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逆压梯度区——CE流动会发生分离
过C点之后，流线逐渐疏散，边界层内流体处于 减速增压的情况，动能转化成压能，同时也用以克服 流动阻力而消耗的能量。在S点处边界层内流体质点速 度下降为0。流体质点在S点停滞下来，继续流来的流 体质点将脱离原来的流线，沿另一流线SS’流去，从 而使边界层脱离了曲面，这样就形成了边界层的分离 现象，S点为分离点。SE段流体倒流，形成旋涡。
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分离点的位置与绕流物的形状、粗糙程度、流动 的Re数和来流与物体的相对方向有关。 在分离点处： 分离实例：
vx y
y 0
0
（确定分离点的位置）
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三、卡门涡街
在圆柱绕流中， 涡旋从圆柱上交替脱 落，在下游形成有一 定规则，交叉排列的 涡列。 Re<5,不分离 300<Re<3×105,湍流涡街 5<Re<40,一对对称漩涡 3×105<Re<3.5×106,涡 40<Re<300, 开始卡门涡 街消失 街 涡周期性脱落，使圆柱体受到周期性变化的侧像 力，使物体产生周期性的振动，破坏物体结构。（避 免与应用）
二维定常沿平板流动，边界层积分方程或卡门 动量积分方程为：
0 d 1 dU (2 ) dx U dx U 2
对于平板边界层，外流速度U=const，其动量积 o d 分方程为：
dx
U 2
0 ——壁面切应力
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vx 其中： ——排挤厚度； 0 (1 U )dy v vx x ( 1 )dy ——动量损失厚度。 0 U U