高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》难题汇编附答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 •
故选：D
【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
15．已知向量 ， ， ，则当 时， 的最大值为（）
A． B． C．2D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ， ， ，得到 ， ， ，再利用 求解.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
18．已知菱形 的边长为2， ，则 （）
A．4B．6C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形 的边长为2， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
所以 ，
当 时， .
故选：D
【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
16．设 ， 不共线， ， ， ，若 ， ， 三点共线，则实数 的值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
计算 ，得到 ，解得答案.
【详解】
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ， 三点共线，∴ ，即 ，
【详解】
由 ，知 为 的重心，
所以 ，又 ，
所以 ，
，所以 ， .
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
7．下列说法中说法正确的有（）
①零向量与任一向量平行；②若 ，则 ；③ ④ ；⑤若 ，则 ， ， 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算，求得 ，进而得出 ，列式分别求出 和 ，即可求得 .
【详解】
解：已知 、 分别为 、 的中点，
由向量的加减法运算，
得 ，
，
，
又 ，
则 ，
则 .
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
13．已知向量 (1,cosθ)， ，且 ⊥ ，则sin2θ+6cos2θ的值为（）
∴ ，解得 .
故选： .
【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
17．设 ， ，若 ，则实数 的值为（）
A． B．2C． D．-3
【答案】C
【解析】
【分析】
计算 ，根据向量垂直公式计算得到答案.
【详解】
，
∵ ，∴ ，即 ，解得 .
故选： .
【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
【答案】A
【解析】
【分析】
设向量 ， 的夹角为 ，则 ， ，即可求出 ，从而得到向量的夹角；
【详解】
解：设向量 ， 的夹角为 ，
， ，所以 ， ，因为 ，故 或 ，故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.
10．已知平面直角坐标系 中有一凸四边形 ，且 不平行于 不平行于 ．设 中点 中点 ，且 ，求 的取值范围（）
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
14．在边长为2的等边三角形 中，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．
【详解】
在边长为2的等边三角形ABC中，若 ，
则 （ ）• （ ）
＝（ ）• （ ）
本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
20．已知向量 ， 的起点均为原点，而终点依次对应点 ， ，线段 边上的点 ，若 ， ，则 ， 的值分别为（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】
【分析】
求得向量 ， ，根据 和 三点共线，列出方程组，即可求解.
【详解】
由题意，向量 ， ，所以 ，
又由 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
又由 三点共线，所以 ，
联立方程组 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.
A．①④B．①②④C．①②⑤D．③⑥
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若 ，则 ，必须有 ，故②错误；
对于③： ， 与 不共线，故③错误；
对于④： ，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若 ，则 为一个三角形的三个顶点，也可为 ，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
【最新】高考数学《平面向量》练习题
一、选择题
1．如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算求解即可
【详解】
据题意， ．
故选B．
【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
2．已知 ， ， ，则（）
11．已知 中， ，则 （）
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以 为基底，将 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
,
,
.
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
12．在 中， 、 分别为 、 的中点，且 ，则 （）
A． B． C． D．
A． B．2C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ⊥ 可得tanθ，而sin2θ+6cos2θ ，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】
因为向量 (1，cosθ)， (sinθ，﹣2)，
所以
因为 ⊥ ，
所以 ，即tanθ=2，
所以sin2θ+6cos2θ 2.
故选：B.
【点睛】
A． 三点共线B． 三点共线
C． 三点共线D． 三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可.
【详解】
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以
由平面向量共线定理可知, 与 为共线向量,
又因为 与 有公共点 ,所以 三点共线.
故选: B
【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
8．在 中， ，点 为 的中点，过点 作 交 所在的直线于点 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
A．2B． C．1D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ， ，得 ，然后套用公式向量 在向量 方向上的投影 ，即可得到本题答案.
4．已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对 两边平方，求得 ，所以 .画出图像，根据图像确定 与 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，所以 .如图，设 ， ，则向量 与 的夹角为 ，因为 ，所以 ， .故选B.
【详解】
，D是AC的中点，
则 ， ，
向量 在 方向上的投影为 ，
设 ，向量 与 的夹角为 ，
则 ，
∴
，
故夹角为120°，影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
6．在 中， ， ， ，若 ，则实数 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将 、 用 、 表示，再代入 中计算即可.
【详解】
因为点 为 的中点，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
9．已知向量 与向量 满足 ， ， ，则向量 与向量 的夹角为( )
A． 或 B． 或 C． 或 D．
19．已知 ， 是圆 上的两个动点， ， ，若 是线段 的中点，则 的值为（）.
A． B． C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
判断出 是等边三角形，以 为基底表示出 ，由此求得 的值.
【详解】
圆 圆心为 ，半径为 ，而 ，所以 是等边三角形.由于 是线段 的中点，所以 .所以 .
故选：D
【点睛】
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 中点 中点 ，通过向量运算得到 ，从而有 ，用两点间距离公式得到 ，再根据 不平行于 ，由 求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 不平行于 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
3．已知正 的边长为4，点 为边 的中点，点 满足 ，那么 的值为（ ）
A． B． C．1D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．
【详解】
由已知可得：EB=EC= ，
又
所以
所以
故选B．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
5．在 中， ，D是AC的中点， 在 方向上的投影为 ，则向量 与 的夹角为（）
A．45°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，向量 与 的夹角为 ， 在 方向上的投影为 ，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
故选：D
【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
15．已知向量 ， ， ，则当 时， 的最大值为（）
A． B． C．2D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ， ， ，得到 ， ， ，再利用 求解.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
18．已知菱形 的边长为2， ，则 （）
A．4B．6C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形 的边长为2， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
所以 ，
当 时， .
故选：D
【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
16．设 ， 不共线， ， ， ，若 ， ， 三点共线，则实数 的值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
计算 ，得到 ，解得答案.
【详解】
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ， 三点共线，∴ ，即 ，
【详解】
由 ，知 为 的重心，
所以 ，又 ，
所以 ，
，所以 ， .
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
7．下列说法中说法正确的有（）
①零向量与任一向量平行；②若 ，则 ；③ ④ ；⑤若 ，则 ， ， 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算，求得 ，进而得出 ，列式分别求出 和 ，即可求得 .
【详解】
解：已知 、 分别为 、 的中点，
由向量的加减法运算，
得 ，
，
，
又 ，
则 ，
则 .
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
13．已知向量 (1,cosθ)， ，且 ⊥ ，则sin2θ+6cos2θ的值为（）
∴ ，解得 .
故选： .
【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
17．设 ， ，若 ，则实数 的值为（）
A． B．2C． D．-3
【答案】C
【解析】
【分析】
计算 ，根据向量垂直公式计算得到答案.
【详解】
，
∵ ，∴ ，即 ，解得 .
故选： .
【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
【答案】A
【解析】
【分析】
设向量 ， 的夹角为 ，则 ， ，即可求出 ，从而得到向量的夹角；
【详解】
解：设向量 ， 的夹角为 ，
， ，所以 ， ，因为 ，故 或 ，故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.
10．已知平面直角坐标系 中有一凸四边形 ，且 不平行于 不平行于 ．设 中点 中点 ，且 ，求 的取值范围（）
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
14．在边长为2的等边三角形 中，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．
【详解】
在边长为2的等边三角形ABC中，若 ，
则 （ ）• （ ）
＝（ ）• （ ）
本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
20．已知向量 ， 的起点均为原点，而终点依次对应点 ， ，线段 边上的点 ，若 ， ，则 ， 的值分别为（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】
【分析】
求得向量 ， ，根据 和 三点共线，列出方程组，即可求解.
【详解】
由题意，向量 ， ，所以 ，
又由 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
又由 三点共线，所以 ，
联立方程组 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.
A．①④B．①②④C．①②⑤D．③⑥
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若 ，则 ，必须有 ，故②错误；
对于③： ， 与 不共线，故③错误；
对于④： ，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若 ，则 为一个三角形的三个顶点，也可为 ，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
【最新】高考数学《平面向量》练习题
一、选择题
1．如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算求解即可
【详解】
据题意， ．
故选B．
【点睛】
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
2．已知 ， ， ，则（）
11．已知 中， ，则 （）
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以 为基底，将 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
,
,
.
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
12．在 中， 、 分别为 、 的中点，且 ，则 （）
A． B． C． D．
A． B．2C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ⊥ 可得tanθ，而sin2θ+6cos2θ ，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】
因为向量 (1，cosθ)， (sinθ，﹣2)，
所以
因为 ⊥ ，
所以 ，即tanθ=2，
所以sin2θ+6cos2θ 2.
故选：B.
【点睛】
A． 三点共线B． 三点共线
C． 三点共线D． 三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可.
【详解】
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以
由平面向量共线定理可知, 与 为共线向量,
又因为 与 有公共点 ,所以 三点共线.
故选: B
【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
8．在 中， ，点 为 的中点，过点 作 交 所在的直线于点 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
A．2B． C．1D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ， ，得 ，然后套用公式向量 在向量 方向上的投影 ，即可得到本题答案.
4．已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对 两边平方，求得 ，所以 .画出图像，根据图像确定 与 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，所以 .如图，设 ， ，则向量 与 的夹角为 ，因为 ，所以 ， .故选B.
【详解】
，D是AC的中点，
则 ， ，
向量 在 方向上的投影为 ，
设 ，向量 与 的夹角为 ，
则 ，
∴
，
故夹角为120°，影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
6．在 中， ， ， ，若 ，则实数 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将 、 用 、 表示，再代入 中计算即可.
【详解】
因为点 为 的中点，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
9．已知向量 与向量 满足 ， ， ，则向量 与向量 的夹角为( )
A． 或 B． 或 C． 或 D．
19．已知 ， 是圆 上的两个动点， ， ，若 是线段 的中点，则 的值为（）.
A． B． C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
判断出 是等边三角形，以 为基底表示出 ，由此求得 的值.
【详解】
圆 圆心为 ，半径为 ，而 ，所以 是等边三角形.由于 是线段 的中点，所以 .所以 .
故选：D
【点睛】
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 中点 中点 ，通过向量运算得到 ，从而有 ，用两点间距离公式得到 ，再根据 不平行于 ，由 求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 不平行于 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
3．已知正 的边长为4，点 为边 的中点，点 满足 ，那么 的值为（ ）
A． B． C．1D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．
【详解】
由已知可得：EB=EC= ，
又
所以
所以
故选B．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
5．在 中， ，D是AC的中点， 在 方向上的投影为 ，则向量 与 的夹角为（）
A．45°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，向量 与 的夹角为 ， 在 方向上的投影为 ，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．