2015年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文科）

参考公式：

∙ 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A

B P A P B =+；

∙ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；

∙ 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；

∙ 锥体体积公式1

3

V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年天津，文1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5A = ，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B =

ð（ ）

（A ）{}3 （B ）{}2,5 （C ）{}1,4,6 （D ）{}2,3,5 【答案】B

【解析】{2,3,5}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选B ．

【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．

（2）【2015年天津，文2】设变量,x y 满足约束条件2020280x x y x y -≤⎧⎪

-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最大值为（ ）

（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）14 【答案】C

【解析】解法一：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由3z x y =+得3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，由图像可知当直线3y x z =-+过点A 时，3y x z =-+的

截距最大，此时z 最大．由20280x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得2

3x y =⎧⎨=⎩

，即()2,3A ，代入目

标函数3z x y =+得3239z =⨯+=，即目标函数的3z x y =+的最大值为9，故选C ．

解法二：()()51

32289922

z x y x x y =+=-++-+≤，当2,3x y ==时取得最大值9，故选C ．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的

基本方法．

（3）【2015年天津，文3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C

【解析】由程序框图可知：2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ======，故选C ．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i ，S 的值是解题的关键，

属于基础题．

（4）【2015年天津，文4】设x R Î，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，则“12x <<”是“|2|1x -<”的充分不必要条件，

故选A ．

【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．

（5）【2015年天津，文5】已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一个焦点为()2,0F ，且双曲线的渐近线与圆

()2

223x y -+=相切，则双曲线的方程为（ ）

（A ）221913x y -= （B ）221139x y -= （C ）2213x y -= （D ）22

13

y x -=

【答案】D

【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=，与圆()2

223x y -+=

2c =，由此

可解得1,a b ==22

13

y x -=，故选D ．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出,a b 的值，是

解题的关键．

（6）【2015年天津，文6】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别

经过点,M N ．若2,4,3CM MD CN ===，则线段NE 的长为（ ）

（A ）83

（B ）3 （C ）103 （D ）52 【答案】A

【解析】由相交弦定理可知AM MB CM MD ⋅=⋅，CN NE AN NB ⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三

等分点，所以AM MB AN NB ⋅=⋅，CN NE CM MD ∴⋅=⋅，所以248

33

CM MD NE CN ⋅⨯===，

故选A ．

【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

（7）【2015年天津，文7】已知定义在R 上的函数()2

1x m

f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(lo

g 3)a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为（ ）

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<

【答案】B

【解析】因为函数()2

1x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x

f x =-，所以 221

log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛

⎫===-=-=-= ⎪⎝

⎭ ()2log 52log 5214b f ==-=，

()02(0)210c f m f ===-=，所以c a b <<，故选B ．

【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．

（8）【2015年天津，文8】已知函数()(

)2

22

22x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()32g x f x =--，若函数()()y f x g x =-的零点个数是（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】A

【解析】解法一：当0x <时，()22f x x -=，此时方程()()21f x g x x x -=--+的小于0

的零点为x =，

当02x ≤≤时，()222f x x x -=--=，()()22f x g x x x -=-+=无零点，当2x >时，

()2224f x x x -=--=-，方程()()2

222733f x x x x x -=-+-=--大于2零点有一个，故

选A ．

解法二：()()32g x f x =--，∴()()()()32y f x g x f x f x =-=-+-，由()()320f x f x -+-=，得：

()()23f x f x +-=，设()()()2h x f x f x =+-，若0x ≤，则0x -≥，22x -≥，则()()()222h x f x f x x x =+-=++；若02x ≤≤，则20x -≤≤，022x ≤-≤，则

()()()22222222h x f x f x x x

x

x =+-=

-+--=

-+-+=；若x >，0x -<，20x -<，则

()()()()2

2

222258h x f

x f x x x x

x =+-=-+--=-+．