涉及三个连续自然数的整除问题

涉及三个连续自然数的整除问题
陕西省小学教师培训中心王凯成赵熹民
题1 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。

题2 有三个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数。

题1、题2都是涉及三个连续自然数的整除问题。

如何解决这类问题呢？
例1见题1
解：能够被5整除数的特征是：个位数字是0或5。

以中间数的个位数字是0或5为突破口。

谁乘以7的个位数是1或6呢？只有□3×7或□8×7的个位数是1或6。

100÷7=14……2，因为14＞13，用23试验。

23×7=161, 161－1=160是5的倍数，160－1=159是3的倍数。

故159、160、161是符合条件的一组数。

在100至200之间还有没有其它符合条件的三个连续自然数呢？
3、5、7的最小公倍数是105，而100＜159+105k＜200与100＜161+105k＜200的k只能取0，故159、160、161是唯一符合条件的一组数。

例2 见题2
0或5。

解：能被
随便取一个数试验。

88×19=1672，因最小的数要被3整除，但3不整除1670，调整，给1672增加190的若干倍(因1672+190m，仍然能被19整除)，1672+190=1862，3整除1860，但17不整除1861。

再调整，给1862增加190×3=570的若干倍(因1862+570k能被19整除，而1860+570k能被15整除)。

1862+570=2432，此时恰好17整除2431。

故2430、2431、2432是符合条件的一组数。

由15、17、19的最小公倍数是4845知：2430+4845k、2431+4845k、2432+4845k
(k=0,1,2，……) 是符合条件的任意一组数。

例3 有大于400的三个连续自然数，其中最小的能被6整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出一组这样的三个连续自然数。

解：由被5整除数的特征知，最小数、中间数、最大数的个位数依次是4、5、6(为什
么不会是9、0、1呢？)。

从7入手。

只有□8×7的个位数是6。

400÷7=57 (1)
58×7=406，因最小数被6整除，它必被3整除，但3不整除404，调整。

给404加上70的若干倍。

404+70=474，3整除474, 2整除474，故6整除474。

474、475、476是符合条件的一组数。

以上三例体现了解决这类问题的一般方法：
首先，根据题意确定三个连续自然数的个位数字。

其次，从个位数字入手试验，先满足一个整除条件(除数最大)，经试验分析调整，直到满足其它整除条件为止。

涉及三个连续自然数的整除问题都可以转化为孙子问题。

题1可转化为：一个自然数(题1中的最大数)大于100，小于200，它被7除余0，被5除余1，被3除余2。

求此数。

题2可转化为：一个自然数(题2中的最大数)，它被19除余0，被17除余1，被15除余2。

求此数。

对于孙子问题可用孙子定理来解，但对一个具体问题未必简单。

本文发表于中国教育学会主办的《中小学数学小学版》1996年第3期。