高考数学(理,浙江专版)一轮复习课件：8.5 椭圆

对称性 顶点
A1(－a,0) ，A2 (a,0) B1(0，－ b) ，B2 (0，b)
A1(0，－a) ，A2(0，a) B1 (－b,0) ，B2 (b,0)
性轴 质 焦距
离心率
长轴A1A2的长为 2a
短轴B1B2的长为 2b
|F1F2|＝ 2c
e＝
c a
，e∈(0,1)
a，b，c 的关系
c2＝ a2－b2
以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方
程为 A.x82＋y22＝1 C.1x62 ＋y42＝1
B.1x22 ＋y62＝1 D.2x02 ＋y52＝1
()
[自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭 圆长轴长的 2 倍，即 4 3.
(2)由离心率为 23得，a2＝4b2，排除选项 B，双曲线 的渐近线方程为 y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的 面积为 16 可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项 A、C、D，知选项 D 正确．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 xa22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
性 范围 质
对称性
－a ≤x≤ a－ b ≤y≤ b
b－ ≤x≤b－a ≤y≤ a
对称轴： x轴、y轴
对称中心：(0,0)
标准方程
xa22＋by22＝ 1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎 样的关系？
提示：离心率e＝ac越接近1，a与c就越接近，从而b＝ a2－c2 就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭 圆就越接近于圆．
[自测·牛刀小试]
1．椭圆1x62 ＋y82＝1的离心率为
A.13
B.12
()
C.
3 3
D.
2 2
解析：∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8，∴e＝ac＝
[备考方向要明了]
考什么
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标 准方程及简单性质．
2. 能解决直线与椭圆的位置关系 问题．
3.(理解数形结合的思想． 4.(理)了解椭圆的简单应用.
怎么考
2012·解答题T20 2011·填空题T17 2010·解答题T21 2009·解答题T21
1．椭Байду номын сангаас的定义
[归纳·知识整合]
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不
能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2
＝1(m>0，n>0).
1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心
率为
3 2
，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之
和为12，则椭圆G的方程为______________．
解析：设椭圆方程为
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)，根据椭圆定义
2a＝12，即a＝6，又
c a
＝
3 2
，得c＝3
3 ，故b2＝a2－c2
＝36－27＝9，故所求椭圆方程为3x62 ＋y92＝1.
答案：3x62 ＋y92＝1
2．已知F1、F2是椭圆C：
2 2.
答案：D
2．已知F1，F2是椭圆
x2 16
＋
y2 9
＝1的两焦点，过点F2的直线
交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是
10，则第三边的长度为
()
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故 所求的第三边的长度为16－10＝6.
答案：A
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左、右焦
点，P为椭圆C上一点，且 PF1 ⊥ PF2 .若△PF1F2的面积 为9，则b＝________.
解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF1F2
|PF1|＋|PF2|＝2a， 是一个面积等于9的直角三角形，有|PF1|·|PF2|＝18，
(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆
①在平面内；
②与两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数； ③常数大于 |F1F2| .
(2)焦点：两定点． (3)焦距：两 焦点 间的距离．
[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|， 则动点的轨迹如何？
提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当 2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．
倍，则m的值为
()
1
1
A.4
B.2
C．2
D．4
解析：由题意知a2＝
1 m
，b2＝1，且a＝2b，则
1 m
＝4，得
m＝14.
答案：A
4．若椭圆1x62＋my22＝1过点(－2， 3)，则其焦距为(
)
A．2 3 C．4 3
B．2 5 D．4 5
解析：把点(－2， 3 )的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所 以c2＝16－4＝12，所以c＝2 3，故焦距为2c＝4 3.
(1)已知△ABC的顶点B、C在椭圆
x2 3
＋y2＝1
上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在
BC边上，则△ABC是周长是
()
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
(2) (2012·山东高考)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离
心率为 23.双曲线 x2－y2＝1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，
答案：C
5．设F1、F2分别是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1的左、右焦点，P为椭圆
上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦
点的距离为________．
解析：由题意知|OM|＝
1 2
|PF2|＝3，则|PF2|＝6.故|PF1|＝
2×5－6＝4.
答案：4
[例1]
椭圆的定义、标准方程
|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.
第一式两端平方并把第二、三两式代入可得4c2＋36＝4a2， 即a2－c2＝9，即b2＝9，故b＝3.
答案：3
椭圆的几何性质及应用 [例 2] (2012·安徽高考)如图，F1，F2 分别 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另 一个交点，∠F1AF2＝60°.
[答案] (1)C (2) D
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用待定系数法求椭圆方程的一般步骤
(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴
上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)或
x2 b2
＋ay22＝1(a>b>0)．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组.