小波分析课件.ppt

W
k f
b
1 2k
R
f
x
x 2k
dx
f 2k b
这时，逆变换公式是
（12）
f x
R
W
k f
b
2k
2k x b db
（13）
k
重构小波
其中 x的Fourier变换满足
2k
2k
1
k
（14）
称为二进小波 x 的重构小波，比如可取：
2k
2
k
（15）
1.4. 正交小波和小波级数
1
0
t
t0
t1
2.2. 时-频分析
(Time-Frequency Analysis）
时-频分析本质上是信号描述、分析和处 理的一种方法，它给信号的“最优描述问题”
提供一种解决方案。R.Balian(1981)早
在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：
在通讯理论中，人们对于在给定的时 间内，把一个信号表示成“每一个都 同时具有足够确定的位置及频率的谐 波”的叠加这种信号的描述方法极感 兴趣
局限
遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：
Gabor 变 换 没 有 “ 好 ” 的 （ 即 可
以构成标架或者正交基）离散形式 ；
Gabor 变 换 没 有 快 速 算 法 ： 比 如 没有类似于离散Fourier变换之 FFT的快速数值算法；
Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时-频窗口
§1.小波和小波变换
(Wavelet and Wavelet Transform)
几点约定:
我们的讨论范围只是函数空间 L2（R）； 小写 x 是时间信号，大写 是其Fourier变换；
尺度函数总是写成 x（时间域）和 （频率
域）；
小波函数总是写成 x （时间域）和 （ 频
率域）。
1.1 小波(Wavelet)
连续变换和离散变换形式统一； 连续变换和离散变换都适合全体信号；
§2. 小波分析和时-频分析
(Time-Frequency Analysis )
2.1 窗口Fourier变换和Gabor变换
(Windowed Fourier Transform and Gabor Transform)
D.Gabor在1946年开创时-频分析的先河提出
是：
R gxdx 1
Gabor Transform
D.Gabor取
gx
2
1
exp
x2
4
(22)
是Gaussian函数，对应的变换称为Gabor 变换(1946)。对于Gabor变换，存在如下 的频率再分割公式：
F 0 R S f x0 ,0 dx0
(23)
物理解释
Gabor变换S f x0 ,0 是信号f x L2R在x=x0
k, j k, j x
(18)
k j
其中小波系数 k, j 的算法是
k, j f , k, j R f x k, j xdx
(19)
连续和离散统一
小波系数是信号f(x)的小波变换 W f a, b 在
二进离散点
2k , 2k j
(20)
上的取值，因此，小波系数 k, j 实际上是 信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是 小波变换迷人的风采之一：
(Orthonormal Wavelet)
设小波为 x ，对于任意的整数k 和j，记
k
k, j x 2 2 2k x j
(16)
如果函数族
k
,
j
x
2
k 2
2k x
j
;
k,
j
Z
Z
(17)
构成空间 L2R的标准正交基，则称 x是正
交小波。
小波级数
这时，逆变换公式就是小波级数
f x
点“附近”的频率为 0 的频率成分；
只要把信号 f x L2R 在各个时间点“附近”
的频率为 0 的频率成分全部累加起来，理 所当 然就应该是这个信号的频率为 0 的频
率成 分；
Gabor变换 S f x0 ,0 可以认为是信号f(x)的
另一种等价描述(因为Fourier变换是信号的
等价描述)
x
db
da a2
（9）
1.3.二进小波和二进小波变换
(Dyadic Wavelet Transform)
如果小波函数 x 满足稳定性条件
A 2 B
(10)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
j
则称 x为二进小波，对于任意的整数k,记
2k
x
1 2k
x 2k
(11)
逆变换
对于任意的 f x L2R，其二进小波变换为：
最优描述问题
有用的信息总是同时被所发射信号的频率 特性与信号的时间结构所传递，最好的例 子是演奏音乐； 把信号表成时间的函数其频率特征无法突
R2
W
f
a
,
b
a
,b
x
dadb a2
（6）
性质
吸收公式：当吸收条件
2
2
0 d 0
d
（7）
成立时，有吸收的Plancherel恒等式
1
2 C
f xgxdx
0
Wf
a,
bWg
a,
bdb
da a2
（8）
性质
吸收的逆变换公式
f x 2
C
0
W f
a, b a,b
小波就是空间L2(R)中满足下述条 件的函数或者信号 :x
R x 2 dx
（1）
2
C R* d （2）
这时， x 也称为小波母函数，(2) 称为容 许性条件。
函数：
连续小波
a,bx
1 x b
a a
（3）
为由小波母函数 x 生成的依赖
于 参 数 （ a,b ） 的 连 续 小 波 ， 简 称为小波。
对于任意的函数或者信号 f x L2R，其
小波变换为
W f a, b R f x a,bxdx
1 f x x b dx （4）
aR
a
性质
这样定义的小波变换具有下列性质：
Plancherel恒等式：
C
R
f
xgxdx
R2 W
f
a, bWg
a, b
dadb a2
小波变换的逆变换公式：
（5）
f x 1 C
注释
注释：如果小波母函数 x 的Fourier
变换 在原点 0 是连续
的，那么公式(2)说明 0 0 ，
于是
R xdx 0
这说明函数 x 有波动的特点，公式(1) 又说明函数 x 有衰减的特点，因此， 称函数 x 为“小波”。
1.2 小波变换(Wavelet Transform)
Gabor Transform
一般的时-频分析是
Windowed Fourier Transform Short-Time Fourier Transform
Windowed Fourier Transform
具体地
S f x0,0 R f xgx x0 exp i0 xdx (21)
称为信号 f x L2R 的窗口Fourier变换，其 中的函数 gx L2R 称为窗口函数，一般要求