压杆稳定

2
压杆失稳的现象： 1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态；
临界力
压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
3
§9-2 临界载荷的欧拉公式
(0.7l)
2
6
3 两端固定
Pcr
C，D为拐点
AD
Fcr

2EI
(0.5l)
2
l
C
B
7来自百度文库
4 一端固定,另端自由
Fcr

2EI
(2l)2
l 2l
8
9
欧拉公式 的统一形式
F
cr

2 EI (l)2
为压杆的长度系数; l 为相当长度。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
两杆的临界压力分别为：
Fc r1


2E l12
I
，
Fcr 2

2E
l22
I
F
要使F最大，只有 FN1、FN 2都达
长度 l 。
2 l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度
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F
cr

2 EI (l)2
为长度系数 l 为相当长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I
应取最小的形心主惯性矩。 2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别
1.6a
(1)
(2)
(3)
(l)1 2a (l)2 1.3a (l)3 0.7 1.6a 1.12a （1）杆能承受的压力最小，最先失稳；
（3）杆能承受的压力最大，最稳定。
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例：图示各细长压杆材料和截面均相同，试比较各杆的 承载能力。
细长压杆，可用欧拉公式求临界压力 Fcr 2EI /(l)2

适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
4
例题1
解： 截面惯性矩
临界力
269103 N 269kN
5
二、其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 两端绞支
2EI

F l cr
2
Pc
r
2 一端固定另端绞支
A
l
C
B
C为拐点
Fcr

2EI
§9-1 压杆稳定的概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
1
F
F（较小） F（较小） F（特殊值） F（特殊值）
QQ
QQ
轴压
压弯
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
压弯
失稳
曲线平衡 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
5m
5m
5m
7m
9m
3m
5m
5m
(a)
μl=1×5=5
(b)
0.7×7=4.9
(c)
0.5×9=4.5
(d)
2×3=6
(e)
上1×5=5 下0.7 ×5=3.5
(f)
上0.7×5=3.5 下0.5 ×5=2.5
承载能力依次为：d<a=e<b<c<f
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例题3 已知：图示细长压杆EI,求：临界压力
a\2
计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对
中性轴的惯性矩。
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例题 2： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承 受的压力最大， 哪一根的最小？
F F
F 因为 l1 l2 l3
又
Fcr

2EI
l 2
可知
Fcr1 Fcr2 Fcr3
a 1.3 a
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 30
z
y
Fcr

2Im (1l
E in )2

24.17200 (0.70.5)2
67
.14
kN
图(b)：P393查表，得
(4545 6) 等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
Fcr

2 IminE (2l)2
F
解： lAB 0.7 a 0.7 a
c
lBC 1 0.5a 0.5a
B
F AB cr

2EI
(0.7a)2
A
FBC cr

2EI
0.5a 2
a
故取
2EI
Fcr 0.7a2
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例4 由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在xy平面 内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，z = 1，长度为 l1 。在 xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定 y = 0.6 ，长度 为 l2 。试用欧拉公式求 Fcr。
Fy

0 : [F ]
F BC cr
1.5 2

0
F
[F ] 2.82(KN)
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例8：图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆。 确定使载荷 F 为最大值时的θ角（设0<θ<π/2）。
F
① 90 ②

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解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
FN1 F cos ，FN 2 F sin

20.389200 (20.5)2
76
.8kN
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例7、图示三角架结构，BC杆为细长压杆，已知：AC=1.5m， BC=2m，d=2cm，E=200GPa，求不会使刚架失效的载荷F。
解： 1）计算压杆BC的临界力
F
F BC cr

2EI
L2
3.76(KN)
2）计算许可载荷[P]

6223
F
cr 2

I 2E y
( yl 2)2

I 2E y
(1l 2)2
F F F cr min{ ,cr1 } cr2
6 12
z 24
6 y 22
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例5 求下列细长压杆的临界力。
y
y
z L1 L2
x
z
h
b
解：①绕 y=轴1.0，，两端铰支I y ：b132h ,
Fcry
6 12
z 24
6 y 22
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解：
在xy平面内失稳时，z为中性轴
Iz

1 12
12

243

2

(1 12

22

63)
2(22 6 152)
F
cr1

I 2E z
( zl1)2

I 2E z
(1l1)2
在xz平面内失稳时，y为中性轴
Iy

1 12
(24123)

2

1 12


2 EI y L2
2
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
=0.7，
bh3 I z 12 ,
Fcrz

2EIz
(0.7 L1 ) 2
③压杆的临界力 Fcr min( Fcry , Fcrz )
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例6 求下列细长压杆的临界力。 解：图(a)
L L
F 图(a)
F
I
m
in
5010 12