超晶格能带计算 有效质量理论

具有局域的性质，描述电子局域化特征；而 F 是求和中系数，具有广域的性质，描述电子共有化特征。
代入薛定谔方程：
∑[<
an′
(rr,
r Rl′
)
|
H
|
an (rr,
r Rl
)
>
+U n′l′,nl
−
Eδ
δ nn′
kk′
]Fn
(
r Rl
)
=
0
n,l
U n′l ′, nl
=<
an′
(rr,
r Rl
′
)
|
U
−1
∂Gi−1 ∂z
zi
=
1 mi
∂Gi ∂z
zi
得到：
或写成： 令：
iki−1 ( zi −zi−1 )
⎪⎧A e + B e = A +B i−1
−iki−1 ( zi −zi−1 ) i−1
ii
⎨ ki−1 ⎪⎩ mi−1
[ A eiki−1( zi −zi−1) i−1
−
B e ] −iki−1( zi −zi−1) i−1
r k0
=
0 )，简单地可设抛物型能量色散关系：
写成算符形式：
∑ r
En (k )
=
En (0)
+
α ,β
h2 2
1 ( m∗
)αβ
kα kβ
∑ En (−i∇)
=
En (0)
+
α ,β
h2 2
1 ( m∗
)αβ
(−i
∂ ∂xα
)(−i
∂ ∂xβ
)
-3-
有效质量方程： 波函数：
∑⎡
⎢ ⎢⎣α ,β
= 0 ， ki2
=
2mi h2
(E −Vi )
其解的形式是沿 z 轴正负两个方向平面波的叠加：
-∞ ≤
z
<
z1： G0
=
A eik0 ( z−z1) 0
+
B e −ik0 ( z−z1) 0
z1 ≤ z < z2： ……
G = A e + B e ik1(z−z1)
−ik1( z−z1)
1
1
1
(注意取 z0 = z1)
ΔEc
Ev2 Ec1
ΔEv
Ev2
ΔEv
错开型
Ev1
InAs
不对称型
CdTe
HgTe
Ev1
Ec2, Ev2
设完整晶体单电子哈密顿量： H = h 2 P 2 + V (rr) ，V (rr) 为周期性势场 2m
•
布洛赫表象：
Hψ
n
r (k ,
rr)
=
En
(kr)ψ
n
r (k ,
rr)
∫ψ NΩ
∗ nk
-Lw/2
Lw/2
z
-5-
⎪⎧ΔEc 无应变时：Ve (z) = ⎨
⎪0 ⎩
z > Lw 2
z ≤ Lw 2
应变情形后述。
通过数值求解方法--传递矩阵法和有限差分法，求解有效质量方程和边值条件，从而求 得导带能量色散关系和电子总波函数。
2．导带与其他带相互作用 ----非抛物带模型 Kane 模型
(rr)
|
an
(rr,
r Rl
)
>
利用瓦尼尔函数的定义：
∑ <
an′
(rr,
r Rl′
)
|
H
|
an
(rr,
r Rl
)
>=
1 N
r
δ r r r r
−ik ⋅( Rl −Rl′ )
e E (k ) n
nn′
k ∈BZ
=
r En (Rl
−
r Rl
′
)δ
nn′
得到：
∑ ∑ r
[En′ (Rl
−
r Rl′ )
( rr )ψ
n ′k ′ ( rr )d rr
=
δ δ n n ′ k k ′
∑ψ
∗ nk
(rr
)ψ
∗ nk
(rr′)
=
δ
(rr
−
rr′)
nk
n, k 描写完整晶体单电子状态的量子数
• 瓦尼尔表象：适于处理存在局域势影响下的非完整晶体
∑ an
(rr,
r Rl
)
=
N
−1/ 2
r
e
−
rr
ψ ik ⋅Rl
注意此式中
Fj
(rr)
与
a
j
r (k)ຫໍສະໝຸດ 的关系[?]。-4-
二． 导带的计算
1．导带不参与其他带的耦合
----单带模型的有效质量方程(抛物带模型)
导带底等能面是球面，抛物型能量色散关系为：
En
r (k )
=
En
(0)
+
h2k 2 2m∗
写成算符形式：
r En (k )
=
En (0) −
h2 2m∗
∂2 ( ∂x 2
=
l
k ∈BZ
N
u
n
r (k0
,
rr
)
Fn
(rr)
式中
Fn
(rr)
为缓变函数，称为包络函数，un
r (k0
,
rr)
为带边函数，是在晶格距离上剧烈变化的周期函数，
Fn
(rr)
和
un
r (k0
,
rr
)
描述了晶体中电子的定域化特征和共有化特征；因为是单带，以上各项中可省去下标n。
当导带底或价带顶处在布里渊区Γ点(
∑ ∑ =
l
En
(
r Rl
)[
Fn
(rr)
+
r Rl
⋅ ∇Fn (rr) +
13 R R li l j
2 i, j =1
∂ ∂xi
∂ ∂x j
Fn (rr) + L]
∑ =
En
(
r Rl
)
Fn
(rr
+
r Rl
)
l
从而易得：
∑ ∑ ∑ l
rr
r
E n′ ( Rl − Rl′ ) Fn′ ( Rl ) =
r
e
r −ik
r
ψ ⋅Rl
n
r (k ,
rr
)
k ∈BZ
≈
r
u
n
r (k0
,
rr
)e
r ik ⋅(
rr
−
r Rl
)
k ∈BZ
因而：
∑ ∑ ∑ ψ
(rr)
=
u
n
r (k0
,
rr)
r
e ikr⋅rr
k ∈BZ
1 N
rr
e −ik ⋅Rl
Fn
r (Rl
)
=
un
r (k0
, rr) r
e ikr⋅rr
Fn
r (k )
Fn
(
r Rl
)an
(rr,
r Rl
)
n,l
单带模型、非简并情形下不对求和，可省去下标n。对于半导体，缓变势U (rr) 主要影响导带底附近的电子
态和价带顶附近的空穴态，布洛赫函数取近似：
ψ
n
r (k ,
rr)
=
eikr⋅rr u
n
r (k ,
rr)
≈
eikr⋅rr u
n
r (k0
,
rr)
r k0
是能带边位置，即
=
1 N
rr
e−ik ⋅Rl
r k ∈BZ
r En (k )
以
−
i∇
代替
En
r (k )
中的
r k
，并作数学上的变换和简化后，得到：
∑ ∑ ∑ En (−i∇)Fn (rr) =
l
En
r (Rl
)e
r Rl
⋅∇
Fn
(rr)
=
l
En
r (Rl
)[1
+
∞ s =1
1 s!
(
r Rm
⋅
s
∇)
]Fn
(rr)
-2-
应用上式进行缓变势影响下非完整晶体的计算时，有两种情形： (1) 非简并，单带模型
简化：在非简并情形下，可以略去带间跃迁，即
U
nn′
r (Rl
,
r Rl′
)
=
U
r ( Rl
,
r Rl′
)δ
nn′
若非周期性势场U (rr) 晶格距离上缓慢变化，则：
U
nn′
r ( Rl
,
r Rl′
)
≅
[U
(rr
j′=1
j′=1
αβ
波函数：
∑ ψ (rr) = 6 Fj (rr)u jk0 (rr) j=1
Fj (rr) 满足有效质量方程：
∑ ∑ 6
j′=1
⎡ ⎢E ⎢⎣
j
(0)δ
jj′
+
α ,β
Dαβ jj′
(−i
∂ ∂xα
)(−i
∂ ∂xβ
)
+U
(rr)δ