2014理学院计算方法课程设计报告

《计算方法》课程设计报告

学生姓名:杜珊珊学号：2012309010105

李南飞2012309010116

尹明仁2012309010117 学院:理学院

班级: 信计121

题目: 牛顿法、弦截法及抛物线法求解

非线性方程

指导教师：周硕职称：教授

朱振菊实验师

2014年12月30日

目录

摘要 (1)

一、选题背景 (2)

1.1 背景介绍 (2)

二、算法设计 (2)

2.1 理论基础 (2)

2.2 算法流程图 (4)

三、程序设计及功能说明 (6)

3.1 算法功能设计 (6)

3.2 算法实例 (6)

四、结果分析 (7)

4.1 结果分析 (7)

4.1.1 例题1结果分析 (7)

4.1.2 例题2结果分析 (8)

4.1.3 例题3结果分析 (9)

4.2 误差分析 (11)

五、总结及心得体会 (12)

5.1 总结 (12)

5.2 心得体会 (12)

参考文献 (13)

源程序 (14)

摘要

众所周知，代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。

但直到19世纪才证明了n>5次的一般代数方程是不能用代数公式求解的，或者求解非常复杂。因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程的近似解。

在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程的问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要的基础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得到了许多成熟的求解方法。

本文主要介绍非线性方程的数值解法是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求，主要的方法有牛顿法、弦截法和抛物线法；牛顿法是方程求根中常用的一种迭代方法，它除了具有简单迭代法的优点外，还具有二阶收敛速度（在单根邻近处）的特点，但牛顿法对初始值选取比较苛刻（必须充分靠近方程的根），否则牛顿法可能不收敛。弦截法是牛顿法的一种修改，虽然比牛顿法收敛慢，但因它不需计算函数的导数，故有时宁可用弦截法而不用牛顿法，弦截法也要求初始值必须选取得充分靠近方程的根，否则也可能不收敛。

本文还写出这几种非线性方程的数值解法的算法步骤和例题，最后用三种方法进行计算，得出结果并进行比较。

[关键词] 牛顿法；弦截法；抛物线法；非线性方程;

一、选题背景

1.1 背景介绍

在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题时，很多问题都可以归结为非线性方程f(x)=0的求解问题，无论在理论研究方面还是在实际应用中，求解非线性方程都占了非常重要的地位。迭代法是求解非线性方程f(x)=0根的一种最重要的方法，而迭代法的优劣对于非线性问题求解速度的快慢和结果的好坏都有很大的影响，所以从实际出发，进行高计算效能迭代算法的研究具有重要的科学价值和实际意义。

二、算法设计

2.1 理论基础

(1) 牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为

1()

,0,1,2,...

'()k k k k f x x x k f x +=-= (2.1) 其迭代函数为

()

()'()f x x x f x ϕ=-

(2.2)

牛顿迭代法的收敛速度，当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时，容易证明,'(*)0f x ≠，

''(*)

''(*)0

'(*)f x x f x ϕ=

≠，牛顿迭代法是平方收敛的，且

12''(*)lim 2'(*)k k k e f x e f x +→∞=。 (2.3) 牛顿法几何意义

方程f(x)=0的根x*是曲线y=f(x)与x 轴交点的横坐标,设k x 是根x*的某个近似值,过曲线y=f(x)的横坐标为k x 的点))(,(k k k x f x p =引切线交x 轴于1+k x , 并将其作为x*新的近似值,重复上述过程,可见一次次用切线方程来求解方程f(x)=0的根,所以亦称为牛顿切线法。

图2--1 牛顿法几何意义图

（2）弦截法

将牛顿迭代法中的'()k f x 用()f x 在1k x -，k x 处的一阶差商来代替,即可得弦截法：

111()

()

()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=--- (2.4) 弦截法几何意义

弦截法也称割线法,其几何意义是用过曲线上两点))(,(000x f x P

=，))(,(111x f x P =的割线来代替曲线,用割线与x 轴交点的横座标2x 作为方程的近似根。再过1P 点和点

))(,(222x f x P =作割线求出3x ,再过1P 点和点))(,(333x f x P =作割线求出4x ,余此类推，当收敛时可求出满足精度要求的k x 。

图2--2 弦截法几何意义图

（3）抛物线法

弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替()0

f x =的根。若已知()0f x =的三个近似根k x ，1k x -，2k x -用过1122(,()),(,()),(,())k k k k k k x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根，所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller )法。

（4）确定有根区间的方法

为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法。求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f (x)与x 轴交点的横坐标。由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b ]上的单值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b ]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b ]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。