(最新整理)高三数学解答题限时训练及答案 (9)
高三数学限时训练(解三角形、数列)(含答案)
高三数学限时训练(解三角形、数列)考试时间:60分钟 1-10每题6分 11-12每题20分1.已知锐角△ABC 的面积为33,BC =4,CA =3,则角C 的大小为A .75°B .60°C .45°D .30°2.在200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30o和60o,则塔高为A .3m B .3m C .4003m D .2003m 3.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a =5,b =3,sin B =22,则符合条件的三角形有A .1个B .2个C .3个D .0个4.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2-b 2=3bc ,sin C =23sin B ,则A 等于A .30°B .60°C .120°D .150°5.在△ABC 中,cos 2B 2=a +c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边),则△ABC 的形状为A .等边三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形6. 已知c b a ,,为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量(),1,3-=m(),sin ,cos A A n=若,n m⊥且,sin cos cos C c A b B a =+则角A ,B 的大小分别是 A .3,6ππ B .6,32ππ C .6,3ππ D . 3,3ππ7.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a , b , c , 且b =3,c =1,A=2B ,则a= .8.在△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积等于 . 9. 如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ,B ,灯塔B 位于灯塔A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A 的北偏西75°,与A 相距32海里的D 处;乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向,与B 相距5海里的C 处.则两艘轮船之间的距离为 海里.10. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边,a =2,且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为 .班级:_______________________ 姓名:________________11. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是c b a ,,,已知3,2==C c .(1)若△ABC的面积等于3,求a ,b ;(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求△ABC 的面积.12.已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+na 1我们知道当a 取不同的值时,得到不同的数列,如当a =1时,得到无穷数列:.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a (1)求当a 为何值时a 4=0;(2)设数列{b n }满足b 1=-1, b n+1=)(11*N n b n ∈-,若a 取数列{b n }中的任一个数,都得到一个有穷数列{a n }吗?请说明理由(3)若)4(23≥<<n a n ,求a 的取值范围.高三数学限时训练(解三角形、数列)参考答案1-6 BCB ABC 7.32 8. 32;349. 1310.11.解:(1)由余弦定理及已知条件,得422=-+ab b a . 又因为△ABC 的面积等于3,所以3sin 21=C ab ,得4=ab . 联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==.2,2b a故2a ==b(2)由题意,得A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++,得A A A B cos sin 2cos sin =.因为),0π(,∈B A ①当0cos =A ,即2π=A 时,6π=B ,334=a ,332=b , 此时△ABC的面积12S bc ==. ②当0cos ≠A 时,得A B sin 2sin =,由正弦定理,得a b 2=.联系方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得342=a此时△ABC 的面积33223221sin 212=⋅⋅==a C ab S . 综上,△ABC 的面积332sin 21==C ab S . 12. (1)解法1:14321111121,,0,1,,;123n n n n a a a a a a a a a ++=+∴==∴=-=-==-- 解法2:1123441121322,1,.,,0,113n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++==+∴====∴=-++(2)都是得到一个有穷数列{a n },理由如下:1111,1,{},1n n n n n n n b b a b b a b b b ++=∴=+=- 若取数列的一个数即, 132121111111,11,,n n n n b a b a b a b ---=+=+==+=+= 2则a 0111,111=-+=-==+n n a b a 所以数列{}n a 只能是有穷数列. (3)因为)4(223≥<<n a n ,所以)5(2a 11231≥<+<-n n , 解得2a 11<<-n ,又()2,1()2,23(⊆, 故必需只须2234<<a 时,都有)4(223≥<<n a n a a a a +=+=1112,aa a a a a ++=++=+=121111143 aaa a a a 213221111134++=+++=+= 由2122323<++<a a ,得0>a 所以a 的取值范围0>a .。
同角三角函数基本关系式及诱导公式 限时训练--2025届高三数学二轮复习【原卷版】
同角三角函数基本关系式及诱导公式一、单项选择题1.(★)(2023·扬州模拟)sin 1 050°等于( ) A.12 B. -12 C. 32 D. -322.(★)(2023·昆明模拟)已知sin(3π+α)=35,且α在第三象限,则cos α等于( )A .-45B .-35 C.35 D.453.(★)(2024·徐州模拟)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,tan θ=12,则sin θ-cos θ等于( )A .-255 B.255 C .-55 D.554.(★)(2024·泸州模拟)直线2x +y -3=0的倾斜角是θ,则sin π-θ+cos 2π-θsin π+θ-cos π+θ的值是( ) A .-3 B .-1 C .-13D .15.(★★)(2024·上海模拟)若实数α满足cos α=tan α,则1sin α+cos 4α的值为( )A .2 B. 3 C. 2 D .16.(★★)如图所示,在半径为1的扇形AOB 中(O 为原点),A (1,0),∠AOB =2π3,点P (x ,y )是AB ︵上任意一点(含端点),则xy +x +y 的最大值为( )A.34-12 B .1 C.334+12 D.2+12二、多项选择题7.(★)2sin x 1-cos 2x +cos x 1-sin 2x 的值可能为( ) A .0 B .1 C .2 D .38.(★)(2023·金华一中模拟)已知 sin θ+cos θ=15,θ∈(0,π),则( ) A. sin θcos θ=-1225 B. sin θ-cos θ=1225 C. sin θ-cos θ=75D .tan θ=-43三、填空题9.(★)(2023·衡阳模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6-α=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6,则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6的值为________.10.(★)(2024·合肥模拟)已知sin α=2m -3m +2,cos α=-m +1m +2,且α为第二象限角,则sin()α+2 024π+cos()α+2 023πcos⎝⎛⎭⎪⎫α+2 021π2=________.四、解答题11.(★)已知3sin2α-4sin αcos α+1=0.(1)求tan α的值;(2)求sin αcos α1+cos2α的值.12.(★★)已知-π<x<0,sin(π+x)-cos x=-15,求sin 2x+2sin2x1-tan x的值.。
打卡第三天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)解析版
【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练(新高考通用)新高考真题限时训练打卡第三天一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.(2020·海南·高考真题)设集合A ={2,3,5,7},B ={1,2,3,5,8},则A B ⋂=()A .{1,3,5,7}B .{2,3}C .{2,3,5}D .{1,2,3,5,7,8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2,3,5,7},B ={1,2,3,5,8},所以{}2,3,5A B = 故选:C【点睛】本题考查的是集合交集的运算,较简单.2.(2020·海南·高考真题)()()12i 2i ++=()A .45i +B .5iC .5i-D .23i+【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选:B【点睛】本题考查的是复数的计算,较简单.3.(2020·海南·高考真题)要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有()A .2种B .3种C .6种D .8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组,然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步,将3名学生分成两个组,有12323C C =种分法第二步,将2组学生安排到2个村,有222A =种安排方法所以,不同的安排方法共有326⨯=种故选:C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.4.(2019·全国·高考真题)设α,β为两个平面,则//αβ的充要条件是A .α内有无数条直线与β平行B .α内有两条相交直线与β平行C .α,β平行于同一条直线D .α,β垂直于同一平面【答案】B【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件,由面面平行性质定理知,若//αβ,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件,故选B .【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,,//a b a b αβ⊂⊂,则//αβ”此类的错误.5.(2020·山东·统考高考真题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP AB ⋅ 的取值范围是()A .()2,6-B .(6,2)-C .(2,4)-D .(4,6)-【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征,得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-,利用向量数量积的定义式,求得结果.【详解】AB的模为2,根据正六边形的特征,可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-,结合向量数量积的定义式,可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积,所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-,故选:A.【点睛】该题以正六边形为载体,考查有关平面向量数量积的取值范围,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,属于简单题目.6.(2019·全国·高考真题)关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A .①②④B .②④C .①④D .①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+,研究它的性质从而得出正确答案.【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 为偶函数,故①正确.当2x ππ<<时,()2sin f x x =,它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减,故②错误.当0x π≤≤时,()2sin f x x =,它有两个零点:0,π;当0x π-≤<时,()()sin sin 2sin f x x x x =--=-,它有一个零点:π-,故()f x 在[],-ππ有3个零点:0-π,,π,故③错误.当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时,()2sin f x x =;当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时,()sin sin 0f x x x =-=,又()f x 为偶函数,()f x \的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确,故选C .【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象,由图象可得①④正确,故选C .二、多选题(本题共2小题,每小题5分,共10分。
高考模拟试题(九)数学(后附参考答案解析)
绝密★启用前高考模拟试题(九)数学时间:120 分钟 分值:150 分注意事项:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i R a ai z ,∈-=(23为虚数单位),若i z 23212-=,则=a ()A.1B.2C.21D.232.若61)4tan(=-πθ,则=θtan ()A.1B.75-C.65-D.573.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 做直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数)(x f ,则)(x f y =在],0[π的图象大致为()BA CD4.已知平面向量a )1,2(=,b ),2(x =,且(a +2b )⊥(a —b ),则=x ()A.21-B.21 C.—1 D.15.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.18B.21C.318+ D.321+6.设集合}1)2()(|),{(}1)4(|),{(2222=+-+-==+-=at y t x y x B y x y x A ,,如果命题“ØB A R t ≠∈∃ ,”是真命题,则实数a 的取值范围为()A.34,(-∞ B.]34,0[ C.)2,34[ D.),2(+∞7.两所学校分别有2名,3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率为()A.51 B.41 C.32D.528.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现,因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称该数列为“兔子数列”,斐波那契数列}{n a 满足:11=a ,12=a ,21--+=n n n a a a (3≥n ,*N n ∈),记其前n 项和为n S ,设t a =2018(t 为常数),则=-+2015201720182S S S ()A.2tB.tC.t2 D.t39.作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+341043y x y x ,,表示的平面区域,过该区域上任意一点P 作圆122=+y x 的两条切线,切点分别为B A ,,则PAB ∠cos 的最大值为()A.23 B.32 C.31 D.2110.已知函数)(x f '是函数)(x f 的导函数,ef 1)1(=(e 是自然对数的底数),对任意实数x ,都有0)()(>'-x f x f ,则不等式2)(-<x e x f 的解集为()A.),(e -∞ B.),1(+∞ C.),1(e D.),(+∞e 11.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,准线为l ,B A 、是抛物线上的两个动点,且满足32π=∠AFB ,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则ABMN 的最大值是()A.3B.23 C.33 D.4312.体积为3的三棱锥ABC P -的顶点都在球的球O 面上,⊥PA 平面ABC ,。
高三数学参考答案
高三数学参考答案1.ʌ答案ɔ㊀Cʌ解析ɔ㊀由图可知,阴影部分表示的集合的元素为集合A 中的元素扣掉集合A ɘB 的元素构成;而A =x -5ɤx ɤ1{},B =x x >-2{},故所求集合为x -5ɤx ɤ-2{},故选C .2.ʌ答案ɔ㊀D ʌ解析ɔ㊀依题意,P 163<X <175()=1-0.2ˑ2=0.6,故选D .3.ʌ答案ɔ㊀D ʌ解析ɔ㊀依题意,a =log 37=log 949,故a >b ;而a <2<c ,故b <a <c ,故选D .4.ʌ答案ɔ㊀C ʌ解析ɔ㊀直线l 过定点(0,2),而(0,2)又在圆C 上,而直线l 的斜率显然存在,故公共点的个数为2,故选C .5.ʌ答案ɔ㊀B ʌ解析ɔ㊀设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则a 1q ㊃a 1q 2=2a 1,a 1q 3=2,又a 4+2a 7=52,所以a 1q 3+2a 1q 6=52,a 1q 3+2a 1q 6a 1q 3=54,q 3=18,q =12,a 1=16,S 5=16(1-125)1-12=31,故选B .6.ʌ答案ɔ㊀Bʌ解析ɔ㊀依题意,13㊃2π+18π+2π㊃18π()㊃h =104π3,解得h =4;四面体ABCD 的外接球即为圆台O 1O 2的外接球,设其半径为R ,OO 1=d ,则OO 2=4-d ,故R 2=2+d 2=18+4-d ()2,解得d =4,故R 2=18,故四面体ABCD 的外接球表面积为72π,故选B .7.ʌ答案ɔ㊀Aʌ解析ɔ㊀由图可知,AB =3π8,设A ,B 两点在曲线y =2sin x 中对应的点为Aᶄ,Bᶄ,易知AᶄBᶄ=3π4,故ω=2;而x 1-x 2的值不受φ的影响,故f x 1()=-f x 2()=-12,可简单化为2sin2x 1=-12,则sin2x 1=-14,cos2x 1=154,同理sin2x 2=14,cos2x 2=154,则cos(2x 1-2x 2)=cos2x 1cos2x 2+sin2x 1sin2x 2=154ˑ154-14ˑ14=78,故选A .8.ʌ答案ɔ㊀Aʌ解析ɔ㊀已知直线l :y =kx +43,设直线OM ,ON 的方程分别为y =k 1x ,y =k 2x ;记点1,1()到直线OM 的距离为r ,则k 1-11+k 21=r ,整理得1-r 2()k 21-2k 1+1-r 2=0,同理可得,1-r 2()k 22-2k 2+1-r 2=0,故k 1,k 2是方程1-r 2()x 2-2x +1-r 2=0的两根,故k 1k 2=1,设M x 1,y 1(),N x 2,y 2(),则y 1y 2x 1x 2=1,故y 1y 2=x 1x 2;联立y =kx +43,y 2=4x ,ìîíïïïï故3ky 2-12y +16=0,故y 1y 2=163k ,则x 1x 2=y 21y 2216=169k 2,故169k 2=163k,解得k =13,故选A .9.ʌ答案ɔ㊀BCʌ解析ɔ㊀依题意,x -3()2=-3,故x =3ʃ3i,则z 1,z 2是共轭复数,实部相同,虚部互为相反数,故A 错误,B 正确;而z 1=3ʃ3i =23,故C 正确;z 1+z 22-i=62-i =125+65i,故z 1+z 22-i 在复平面内所对应的点125,65()位于第一象限,故D 错误;故选BC .10.ʌ答案ɔ㊀BCDʌ解析ɔ㊀依题意,m ㊃n =b c tan A +b c tan B =13cos A ,则sin A cos A +sin B cos B =sin C3sin B cos A,由正弦定理,sin A +B ()cos A cos B =sin C3sin B cos A;因为sin A +B ()=sin π-C ()=sin C ,且sin C ʂ0,故3sin B =cos B ,故tan B =33,因为B ɪ0,π(),故B =π6,故A 错误;则R =b2sin B=4,故其外接圆面积为16π,故B 正确;而AM =3MC =3,记øBAC =øABM =θ,所以øBMC =2θ,AM =BM =3,MC =1,AC =4,在әABC 中,由正弦定理,BC sin θ=ACsinøABC,即BC =8sin θ,在әBMC 中,由余弦定理,BC 2=BM 2+CM 2-2BM ㊃CM ㊃cos2θ=10-6cos2θ,故64sin 2θ=10-6cos2θ,解得sin 2θ=113,因为θɪ0,π2(),则sin θ=1313,BC =8sin θ=81313,故C㊁D 正确;故选BCD .11.ʌ答案ɔ㊀ACDʌ解析ɔ㊀f f -2()[]=f 8()=-32,故A 正确;作出函数f x ()的图象如右图所示,观察可知,0<λ<4,而f λ()ɪ0,4(),故y =f x (),y =f λ()有3个交点,即函数g x ()有3个零点,故B 错误;由对称性,b +c =4,而a ɪlog 315,0(),故a +b +c ɪ4+log 315,4(),故C 正确;b ,c 是方程x 2-4x +λ=0的根,故bc =λ,令3-a -1=λ,则a =-log 31+λ(),故abc =-λlog 31+λ(),而y =λ,y =log 31+λ()均为正数且在0,4()上单调递增,故abc ɪ-4log 35,0(),故D 正确;故选ACD .12.ʌ答案ɔ㊀-30ʌ解析ɔ㊀要想产生y 2x ,则-x 2出1个,1㊀x3出2个,y 出2个,故所求系数为C 15㊃-1()㊃C 24=-30.13.ʌ答案ɔ㊀23ʌ解析ɔ㊀在AD 上取点G ,使得NG ʊAS ,由AM AB =DN DS,设AM =xAB ,DN =xSD ,其中0<x <1,由AB =AS =2,BC =4,SA ʅ平面ABCD ,可得SD =AS 2+AD 2=25,AM =2x ,DN =25x ,BM =2-2x ,因为NG ʊAS ,故NG ʅ平面ABCD ,在әASD 中,GN AS =DNSD,则GN =2x ,则әBCM 的面积为12BM ㊃BC =4-4x ,故V C -BMN =V N -BCM =831-x ()x ɤ23,当且仅当x =12时等号成立.14.ʌ答案ɔ㊀3ʌ解析ɔ㊀设椭圆的长半轴长为a 1,椭圆的离心率为e 1,则e 1=c a 1,a 1=ce 1,双曲线的实半轴长为a ,双曲线的离心率为e ,则e =c a ,a =ce,设MF 1=x ,MF 2=y (x >y >0),则4c 2=x 2+y 2-2xy cos60ʎ=x 2+y 2-xy ,当点M 被看作是椭圆上的点时,有4c 2=(x +y )2-3xy =4a 21-3xy ,当点M 被看作是双曲线上的点时,有4c 2=(x -y )2+xy =4a 2+xy ,两式联立消去xy 得4c 2=a 21+3a 2,即4c 2=c e 1()2+3c e()2,所以1e 1()2+31e()2=4,又1e 1=e ,所以e 2+3e2=4,整理得e 4-4e 2+3=0,解得e 2=3或e 2=1(舍去),所以e =3,即双曲线的离心率为3.15.(13分)ʌ解析ɔ㊀(1)依题意,f ᶄx ()=2x e x -2ax =2x e x -a (),故f ᶄ0()=0,(2分) 而f 0()=-2,故切点为0,-2(),(3分) 则所求切线方程为y =-2;(5分) (2)由(1)可知,f ᶄx ()=2x e x -e 2(),(6分) 当x ɪ1,2[)时,f ᶄx ()<0,函数f x ()在1,2[)上单调递减,(8分) 当x ɪ2,3(]时,f ᶄx ()>0,函数f x ()在2,3(]上单调递增,(10分) 而f 1()=-e 2,f 2()=-2e 2,f 3()=4e 3-9e 2,(12分) 故所求最大值为4e 3-9e 2,最小值为-2e 2.(13分) 16.(15分)ʌ解析ɔ㊀(1)法一:零假设H 0:不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联; (1分)则χα=400ˑ160ˑ60-140ˑ40()2200ˑ200ˑ300ˑ100(3分)=163ʈ5.333<6.635,(5分) 故依据α=0.01的独立性检验,没有充足证据推断H 0不成立,因此可以认为H 0成立,即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;(7分)法二:由题知,K 2=400ˑ160ˑ60-140ˑ40()2200ˑ200ˑ300ˑ100=163ʈ5.333<6.635,故没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;(2)依题意,X ~B 4,34(),P X =0()=14()4=1256,(8分) P X =1()=C 1414()3ˑ34()=12256,(9分)P X =2()=C 2414()2ˑ34()2=54256,(10分)P X =3()=C 3414()ˑ34()3=108256,(11分) P X =4()=34()4=81256;(12分) 故X 的分布列为:X 01234P1256122565425610825681256(13分)则E X ()=4ˑ34=3.(15分)17.(15分)ʌ解析ɔ㊀(1)设BC 中点为E ,连接AE ;因为øCDA =øDCB =2øDCA =90ʎ,且AD =CE ,故四边形ADCE 为正方形;(1分) 而AC =22,AE =2,AB =22,所以BC 2=AB 2+AC 2,所以AB ʅAC ;(3分) 因为SA ʅ平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以SA ʅAC ;(4分) 又SA ,AB ⊂平面SAB ,SA ɘAB =A ,所以AC ʅ平面SAB ;(5分) 因为AC ⊂平面SAC ,故平面SAC ʅ平面SAB ;(6分) (2)以A 为坐标原点,AE ㊁AD ㊁AS 所在直线分别为x ㊁y ㊁z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ;设SA =a (a >0),则C (2,2,0),D (0,2,0),B (2,-2,0),S (0,0,a ),所以SD ң=(0,2,-a ),DC ң=(2,0,0),(8分) 设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃SD ң=0,n ㊃DC ң=0.{即2y -az =0,2x =0,{(9分)令z =2,所以n =(0,a ,2);(10分)由(1)知,平面SAB 的法向量为AC ң=(2,2,0);(12分) 则1-306()2=66=|cos<AC ң,n >|=AC ң㊃n AC ңn=(2,2,0)㊃(0,a ,2)22㊃02+22+a 2,解得a =2=SA.(15分)18.(17分)ʌ解析ɔ㊀(1)依题意,2a =4,b -00-(-c )=b c=33,a 2=b 2+c 2,ìîíïïïïï(3分)联立三式,解得a 2=4,b 2=1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1;(5分)(2)设M x 1,y 1(),N x 2,y 2(),则MF 2=x 1-3()2+y 1-0()2=x 1-3()2+1-x 214=2-32x 1,同理可得,NF 2=2-32x 2,(7分) 易知直线l 与单位圆相切,设切点为B ,MB =x 21+y 21-1=32x 1,同理可得,NB =32x 2,(8分) 故әF 2MN 的周长为2-32x 1+2-32x 2+32x 1+32x 2=4+32x 1+x 2-x 1-x 2();(9分) 当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =1或x =-1,此时әF 2MN 的周长为4或4+23;(10分) 当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y =kx +m ,则原点到直线l 的距离d =m 1+k 2=1,故1+k 2=m 2,联立y =kx +m ,x 24+y 2=1,ìîíïïïï化简可得1+4k 2()x 2+8kmx +4m 2-4=0,故x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k 2,ìîíïïïïï易知x 1x 2=4m 2-41+4k 2=4k 21+4k 2>0,故x 1,x 2同号;(12分) 当x 1+x 2=-8km1+4k 2>0时,即km <0,此时点M 在y 轴右侧,所以x 1>0,x 2>0,此时әF 2MN 的周长为4+32x 1+x 2-x 1-x 2()=4为定值;(13分) 当x 1+x 2=-8km1+4k 2<0时,即km >0,此时点M 在y 轴左侧,所以x 1<0,x 2<0,此时әF 2MN 的周长为4+32x 1+x 2-x 1-x 2()=4-3x 1+x 2()=4+83km 1+4k 2=4+83km m 2+3k 2=4+83m k +3k m;因为km >0,故m k +3k m ȡ23,当且仅当m =62,k =22,ìîíïïïïïï或m =-62,k =-22,ìîíïïïïïï时取等号,从而4<4+83m k +3k mɤ8,故әF 2MN 的周长的取值范围为4,8(];(16分) 综上所述,әF 2MN 的周长的取值范围为4,8[].(17分)19.(17分)ʌ解析ɔ㊀(1)当n =1时,a 1=S 1=2;(1分) 当2ɤn ɤ100时,a n =S n -S n -1=n 2+n -n -1()2-n -1()=2n ;综上所述,数列a n {}的通项公式为a n =2n 1ɤn ɤ100();(3分) 该数列具有 和性质 ;(4分) (2)(ⅰ)依题意,∀k ȡ2,k ɪN ∗,∃p ,q ɪN ∗,使得a k =a p +a q ;因为1=a 1<a 2< <a n ,n ȡ2,所以a p ɤa k -1,a q ɤa k -1,所以a k =a p +a q ɤ2a k -1;(6分) 即a n ɤ2a n -1,a n -1ɤ2a n -2,a n -2ɤ2a n -3, ,a 3ɤ2a 2,a 2ɤ2a 1;(7分) 将上述不等式相加得a 2+ +a n -1+a n ɤ2(a 1+a 2+ +a n -1),则a n ɤ2a 1+a 2+ +a n -1;(8分)由于a 1=1,故2a n ɤ1+a 1+a 2+ +a n -1+a n =S n +1,即a n ɤS n +12;(10分)(ⅱ)因为数列a n {}具有 和性质 ,故a 2=2a 1=2,所以a n {}中的项均为整数;构造a n :1,2,3,6,9,18,36或者a n :1,2,4,5,9,18,36,这两个数列具有 和性质 ,此时S n =75;(11分) 下面证明S n 的最小值为75,即证不可能存在比75更小的S n ;假设S n ɤ75(存在性显然,因为满足S n ɤ75的数列a n {}只有有限个);第一步:首先说明有穷数列a n {}中至少有7个元素,设有穷数列a n {}中元素组合的集合为A ,由(2)可知a 2ɤ2a 1,a 3ɤ2a 2, ,又a 1=1,所以a 2ɤ2,a 3ɤ4,a 4ɤ8,a 5ɤ16,a 6ɤ32<36,所以n ȡ7;(13分) 第二步:证明a n -1=18,a n -2=9;若18ɪA ,设a t =18,因为a n =36=18+18,为了使得S n 最小,在数列a n {}中一定不含有a k ,使得18<a k <36,从而a n -1=18;假设18∉A ,根据 和性质 ,对a n =36,有a p ,a q ,使得a n =36=a p +a q ;显然a p ʂa q ,所以a n +a p +a q =36+36=72;而此时集合A 中至少还有4个不同于a n ,a p ,a q 的元素,从而S n >(a n +a p +a q )+4a 1=76,矛盾,所以18ɪA 且a n -1=18;同理可证:a n -2=9;(15分)根据 和性质 ,存在a p ㊁a q ,使得9=a p +a q ;我们需要考虑如下几种情形:①a p =8,a q =1,此时至少还需要一个大于等于4的a k ,才能得到8,则S >76;②a p =7,a q =2,此时至少还需要一个大于4的a k ,才能得到7,则S >76;③a p =6,a q =3,此时a n :1,2,3,6,9,18,36,S n =75;④a p =5,a q =4,此时a n :1,2,4,5,9,18,36,S n =75;综上所述,S n 的最小值为75.(17分)。
解三角形中的最值与范围问题 限时训练--2025届高三数学二轮复习【原卷版】
解三角形中的最值与范围问题一、单项选择题1.(★)(2024·湖北联考)已知△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a +b =2c cos B ,则b a +⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2的最小值为( ) A .2 2 B .3 C .2 3 D .42.(★★)(2024·黄山模拟)已知△ABC 为锐角三角形,其外接圆半径为2,C =π3,则AB 边上的高的取值范围为( )A .(0,3]B .(0,3)C .(2,3]D .(2,3)3.(★★)(2023·马鞍山模拟)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若c 2=a (a +b ),则sin 2A sin C -A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,324.(★★★)(2023·河南省实验中学模拟)已知△ABC 中,BC =3,角A 的平分线交BC 于点D ,若BD DC =12,则△ABC 面积的最大值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4二、多项选择题5.(★)(2023·江西师大附中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且B=π3,b=4,则下列判断中正确的是( )A.若A=π4,则a=463B.若a=92,则该三角形只有一解C.△ABC周长的最小值为12D.△ABC面积的最大值4 36.(2023·深圳中学模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C满足sin B+2sin A cos C=0,则下列结论正确的是( )A.△ABC是钝角三角形B.sin2 023A+sin2 023B>sin2 023CC.角B的最大值为π6D.角C的最大值为2π3三、填空题7.(★★)(2023·普宁二中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.8.(★★★)(2024·德州模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若2S=a2-(b-c)2,则b2+c2bc的取值范围为____________.四、解答题9.(★★)(2024·苏州模拟)记△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,3c=3cos B+b sin A.(1)求A;(2)若点A,D位于直线BC异侧,BD⊥BC,BD=1,求AD的最大值.10.(★★)(2023·华南师大附中模拟)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b+c)(sin B+sin C)=a sin A+3b sin C.(1)求角A;(2)求1tan B+1tan C的最小值.。
2019-2020年高三综合练习数学9试题含答案
若不
可能,请说明理由。
(文)已知函数满足,是不为的实常数。
(1)若当时,,求函数的值域;
(2)在( 1)的条件下,求函数 y f ( x), x n, n 1 , n N 的解析式;
(3)若当时,,试研究函数在区间上是否可能是单调函数? 若可能,求出的取值范围;若不可能,请说明理由。
上海市华师大二附中高三年级数学综合练习 [9] 参考答案 1、; 2、; 3、;4、; 5、; 6、 ; 7、; 8、(理);(文); 9、(理);(文); 10、; 11、;12、 60; 13、; 14、; 15、;16、
5、复数(是虚数单位)是方程的一个根,则实数
。
6、在中,角所对的边分别为,若, ,,则
。
7、如图,正四棱柱中, ,则异面直线与所成角为
。
:俄罗斯语、 种。
sin(
8 、(理)若
) cos cos(
22 ) sin
3 ,在第三象限,
则
。
(文)已知∈ (,),sin=,则 tan
。
9、(理)的展开式中,常数项为,则
你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(
1)
个问题;否则就回答第( 2)个问题。 被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,
只需要回答“是”或“不是” ,因为只有被调查本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了
回答。如果被调查的 600 人(学号从 1 到 600)中有 180 人回答了“是” ,由此可以估计在
元(其中工资性收入为 1800 元,其他收入为 1350 元),预计该地区自 xx 年起的 5 年内,农
民的工资性收入将以 6 %的年增长率增长,其他收入每年增加 160 元。根据以上数据, xx 年
新课标高考数学一轮复习限时训练9(含答案)
限时训练(九)一、滚动练习1、已知函数f(x)=xsinx+cosx+x2,则不等式的解集为()A.(e,+∞)B.(0,e)C .D .2、数列{a n}是正项等比数列,{b n}是等差数列,且a6=b7,则有()A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10大小不确定3、设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z4、设a,b是关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m+6=0的两个实根,则(a﹣1)2+(b﹣1)2的最小值是()A .B.18 C.8 D.﹣6二、空间几何体的结构特征、表面积与体积1、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45 ,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是则θ的值可以是()A .B .C .D .3、点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为棱B′B的中点,若AB=1,则下面说法正确的是A.直线AC与直线EC′所成角为45°B.点E到平面OCD′的距离为C.四面体O-EA′B′在平面ABCD 上的射影是面积为的三角形D.过点O,E,C 的平面截正方体所得截面的面积为高三数学(理科)1 / 5高三数学(理科)2 /54、正六棱锥P ABCDEF -中,G 为PB 中点,则三棱锥D GAC -与三棱锥P GAC -体积之比为.5、设甲、乙为两个同底面的圆锥,侧面积分别为1S 、2S ,体积分别为1V 、2V ,若1213S S =,1233V V =,则二者表面积之比为 .6、将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为1∶2,再将它们卷成两个圆锥侧面,则两圆锥体积之比为 .7、棱台上下底面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高的比为8、如图,将边长为a 的正方形剪去阴影部分后,围成一个正三棱锥,则正三棱锥的体积是.9、某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为.10、圆柱被一平面截去一部分后与长方体组成一个几何体,该几何体正视图和 俯视图如图所示,已知该几何体表面积为58+12π,则圆柱的半径r=.11、某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为3,则x 的值为.12、某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.13、一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为.14、已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,求该圆柱的体积.15、体积为43的球与正三棱柱的所有面均相切,求该棱柱的体积.16、三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上,其中△ABC是正三角形,PA⊥平面ABC,PA=2AB=6,则该球的体积为.17、在三棱锥S-ABC中,AB⊥BC, AB=BC=, SA=SC=2,二面角S-AC-B, 若S、A、B、C都在同一球面上,则该球的表面积是18、点,,,在同一个球的球面上,,,若四面体高三数学(理科)3 / 5体积的最大值为, 则该球的表面积为.19、正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为.所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是.21、已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直,且AB=,BC=,AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为22、四面体A﹣BCD中,AB=CD=10,AC=BD=2,AD=BC=2,则四面体A﹣BCD外接球的表面积为.23、高为5,底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底)内,可放置最大球的半径是24、半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直底面),当该正四棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是参考答案高三数学(理科)4 / 5高三数学(理科)5 / 51.1(11)222S =+⨯= 2.C3. D4.2:17.2∶38.31(2129.10.211.12.20 13.21+14.34π15.16.17.18.19.20.21.π 22.200π 23.224.16()。
江苏省扬州2023-2024学年高三下学期3月限时训练 数学含答案
2023~2024学年度第二学期开学检测高三数学(答案在最后)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2340,{ln(1)}M xx x N x y x =--<==-∣∣,则M N = ()A .(1,4)B .[1,4)C .(1,4)-D .[1,4)-2.已知等差数列{}n a ,则2k =是11110k a a a a +=+成立的()条件A .充要B .充分不必要C .必要不充分D .既不充分也不必要3.已知向量(3,5)a = ,(1,21)b m m =-+ ,若a b,则m =()A .8B .8-C .213-D .87-4.星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念,例如:2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值12,m m 和它们对应的亮度12,E E 满足关系式22112.5lg E m m E -=-,则()A .3等星是0.5等星亮度的10倍B .0.5等星是3等星亮度的10倍C .3等星是0.5等星亮度的10倍D .0.5等星是3等星亮度的10倍5.已知(0,π)α∈,若π3sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A .13-B .23C .13D .13±6.已知某圆台的体积为21π,其上、下底面圆的面积之比为1:4且周长之和为6π,则该圆台的高为()A .6B .7C .8D .97.已知一次函数()y f x =在坐标轴上的截距相等且不为零,其图象经过点(1,2)P -,令()1)(n a f n f n =+,*n ∈N ,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,当511n S =时,n 的值为()A .19B .20C .21D .22题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021年高考高三理科数学“大题精练”检测题及解析9
(2)设点 在曲线 上,直线 交曲线 于点 ,求 的最小值.
【解析】(1)将 代入 得, ,所以曲线 的极坐标方程为 .
曲线 的方程可化为 ,
即 ,得 ,所以 的直角坐标方程为 ;
(2)由(1)及题设条件知, , ,其中 ,
所以 ,令 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 , 时等号成立.所以 的最小值为 .
95
200
,
故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.
(2)在抽取的200户家庭的样本中,
按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了5户,则这5户家庭中,生二胎的户数为3,分别记为 ,不生二孩的户数为2,分别记为 .从这5户家庭中随机抽取3户有 , ,
, , , , , , , ,共10种情况,
(1)完成下列 列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;
生二孩
不生二孩
合计
头胎为女孩
60
头胎为男孩
合计
200
(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了5户,进一步了解情况,在抽取的5户中再随机抽取3户,求这3户中恰好有2户生二孩的概率.
∴ .故数列 的“容值区间”长度的最小值为 .
18.(12分)如图,在四棱锥 中,底面 是平行四边形, , , , .
(1)求证: 平面 ;
(2)若 ,点 在线段 上,且三棱锥 的体积为 ,求 .
【解析】(1)由题知: , ,满足
,又 , , 平面 , 平面
∴ 平面
(2)如图,取线段 中点 ,连接 .在 中,由余弦定理可得:
21.(12分)已知函数 , .
高考数学练习题限时训练(9)答案
限时训练(九)答案部分一、选择题二、填空题9. 1-10. 11.312. 乙13. 3614.(2π2+解析部分1. 解析由已知{}02A x x x=或剠,又{}0,1,2B=,所以{}0,2A B=.故选C.2.解析由选项知,y=[)1,-+∞上单调递增;()21y x=-在(),1-∞上单调递减,在()1,+∞上单调递增;122xxy-⎛⎫== ⎪⎝⎭在R上单调递减;()0.5log1y x=+在()1,-+∞上单调递减.故选A.3.解析由题意原曲线的普通方程为()()22121x y++-=,是以()1,2-为圆心,1为半径的圆.即对称中心为()1,2-.结合选项知,B选项正确.故选B.综合选项知,若33k…时,第6步还需进行123591733S=⨯⨯⨯⨯⨯⨯的运算,故判断框内不能填33k….故选D.5.解析若01q<<,如12a=-,12q=,则21a=-,312a=-,414a=-,则{}n a为递增数列,故01q<<不是{}n a为递减数列的充分条件;若{}n a为递减数列,如1-,2-,4-,8-,则11a=-,()20,1q=∉.故01q<<不是{}n a 为递减数列的必要条件.综上,“01q<<”是“{}n a为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6. 解析 因为函数()24xf x x a =++有唯一的零点,所以方程240x x a ++=有唯一实数根,即24x x a =--有唯一解,所以曲线14x y =与曲线22y x a =--有唯一公共点. 如图所示,0x =时,1y 有最小值1,2y 有最大值为a -.则1a -=.即1a =-.故选B.7. 解析 因为P ≠∅,故不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩,可围成一个三角形(不含边界),如图所示,设0x m +=与0y m -=的交点为P ,则(),P m m -需在直线210x y -+=的右下方.即()210x m m --+>,解得13m <. 又P Q ⊆,则点P 在直线220x y --==上或左上方,满足.即220m m ---…,即23m -…. 所以实数m 的取值范围为21,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故选C.8. 解析 如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,设侧棱长为b .因为在侧棱上至少存在一点E ,使得190C EB ∠=,所以以1BC 为直径的球和侧棱1AA 相交或相切.设1BC 的中点为O ,则112OE B C =.显然当OE 最短时,侧棱1AA 最小.此时1AA b =,2221BC a b =+,OE为异面直线1AA ,1BC 的最短距离时最小,即2222524a a OE a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则22222145a b BC OE a +===,所以224b a =,解得2b a =.故选B.9. 解析 因为()()()()12i 2i 12i 225ii 2i 2i 2i 41-----===-++-+,所以复数12i 2i -+的虚部为1-. 10. 解析 因为λ+=0a b ,所以//b a .故λ=b a ,又()2,1=b .所以=b 又1=a ,所以λ11. 解析 如图所示,连接OA ,因为30B ∠=,所以60AOC ∠=,又OA OC =,所以OAC △为等边三角形.又AD 与圆O 相切,所以OA AD ⊥,又1AC =,所以1OA=,在Rt OAD △中,AD =据切割线定理,得23DM DN DA ⋅==.12. 解析 由题意知,若选择甲方案.则用户上网费用固定为70元;若选择乙方案,则超时费用为0.0560618⨯⨯=元,该用户上网费用合计68元;若选择丙方案,则超时费用为0.056036108⨯⨯=元,该用户上网费用合计138元. 综上,该用户应选择乙方案.13. 解析 由题意可两类,第一类,B 与C 不相邻,则有3232A A 12⋅=种摆法;第二类,BNM D CB AOO baED 1DB 1A 1C 1ABC与C 相邻,则有22223222C A A A 24=种摆法. 故共有36种不同的摆法.14. 解析 如图所示,设A ,1P ,2P ,3P ,4P ,B 为圆周的六等分点,将正方形沿圆周顺时针旋转四次,正方形的四个顶点D ,C ,B ,A 分别与1P ,2P ,3P ,4P 重合.若点A 第一次回到点P 的位置,则需将正方形顺时针旋转12次.其中A 走过的路径由9段圆心角均为π6的劣弧组成,且6个劣弧所在圆的半径为1,3,所以点A 走过的路径的长度为(π311π6⨯++=.评注 正方形在顺时针旋转的过程中,正方形的四个顶点依次与圆周上的六个等分点重合,若点A 回到点P 的位置,显然旋转的次数为4与6的最小公倍数12.而且每经历四次旋转,点A 走过的路径一致,则点A走过的路径长度可写成ππ31266⎛⨯⨯⨯+=⎝.P 4P。
浙江新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(九)(含答案详析)
专题限时集训(九)[第9讲 三角恒等变换与解三角形](时间:45分钟)1.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α=35,则tan 2α=( )A.247B.2425 C .-2425 D .-247 2.3cos 10°-1sin 170°=( ) A .4 B .2 C .-2 D .-43.已知sin α=-13,且α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,则sin 2α=( )A.2 23 B .-2 23 C.4 29 D .-4 294.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C =4∶5∶7,则△ABC ( ) A .一定是锐角三角形 B .一定是直角三角形 C .一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若C =120°,c =3a ,则( ) A .a >b B .a <bC .a =bD .a 与b 的大小关系不能确定 6.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =7,b =5,c =8,则△ABC 的面积等于( )A .10B .10 3C .20D .20 37.在△ABC 中,内角A ,B ,C b ,c ,若a =6,b =2,且1+2cos(B +C )=0,则△ABC 的BC 边上的高等于( )A. 2B.62C.6+22D.3+128.已知△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ,且2S =(a +b )2-c 2,则tan C 等于( )A.34B.43C .-43D .-349.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 所对的边,若b =1,c =3,C =23π,则S △ABC =________.10.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 且cos A =35,cos B =513,b =3,则c =________.11.△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 所对的边,若(2a +c )·cos B +b ·cos C =0,则B 的值为________.12.在△ABC 中,已知内角A =π3,边BC =2 3.设内角B =x ,周长为y ,则y =f (x )的最大值是________.13.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin C2sin A -sin C =b 2-a 2-c 2c 2-a 2-b 2.(1)求角B 的大小;(2)设T =sin 2A +sin 2B +sin 2C ,求T 的取值范围.14.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且f (A )=2cos A2sin ⎝⎛⎭⎫π-A 2+sin 2A 2-cos 2A 2.(1)求函数f (A )的最大值;(2)若f (A )=0,C =5π12,a =6,求b 的值.15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,并满足a +c b =sin A -sin Bsin A -sin C.(1)求角C ;(2)求a +b c 的取值范围.专题限时集训(九)1.D [解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α=35,所以cos α=-45,tan α=-34.所以tan2α=2tan α1-tan 2α=2×⎝⎛⎭⎫-341-⎝⎛⎭⎫-342=-247. 2.D [解析] 3cos 10°-1sin 170°=3cos 10°-1sin 10°=3sin 10°-cos 10°sin 10°cos 10°=2sin (10°-30°)sin 10°cos 10°=2sin (-20°)sin 10°cos 10°=-2sin 20°12sin 20°=-4,故选D.3.D [解析] ∵α∈-π2,0,∴cos α=1-⎝⎛⎭⎫-132=2 23,sin 2α=2sin αcos α=-4 29.4.C [解析] 由正弦定理可设a =4k ,b =5k ,c =7k ,则cos C =16k 2+25k 2-49k 22·4k ·5k =-15<0,因此三角形为钝角三角形. 5.C [解析] 因为sin 120°=3sin A ,所以sin A =12,则A =30°=B ,因此a =b .6.B [解析] 因为cos C =49+25-642×7×5=17,sin C =4849=4 37,所以S =12×7×5×4 37=10 3. 7.C [解析] 由1+2cos(B +C )=0得cos A =12,则sin A =32,A =π3,由正弦定理得632=2sin B,sin B =22,B =π4,C =5π12,因此BC 边上的高为2×sin C =2×sin ⎝⎛⎫π4+π6=222×32+22×12=6+22. 8.C [解析] 由2S =(a +b )2-c 2得2S =a 2+b 2+2ab -c 2,即2×12ab sin C =a 2+b 2+2ab-c 2,则ab sin C -2ab =a 2+b 2-c 2,又因为cos C =a 2+b 2-c 22ab =ab sin C -2ab 2ab =sin C2-1,所以cos C +1=sin C 2,即2cos 2C 2=sin C 2cos C 2,所以tan C2=2,即tan C =2tanC 21-tan2C 2=2×21-22=-43. 9.34 [解析] 因为b <c ,所以B <C ,由正弦定理得b sin B =c sin C ,即1sin B =3sin2π3,即1sin B =2,由B 是三角形的内角知,B =π6,于是A =π-π6-2π3=π6,则S △ABC =12bc sin A =12×3×12=34. 10.145 [解析] 因为cos A =35,cos B =513,所以sin A =45,sin B =1213.由正弦定理得a sin A =b sin B ,即a 45=31213,所以a =135.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即9=16925+c 2-2c ,解得c =145(负值舍去).11.2π3[解析] 由正弦定理可将(2a +c )cos B +b cos C =0转化为2sin A ·cos B +sinC ·cos B +sin B cos C =0,即2sin A cos B +sin(B +C )=0,得2sin A cos B +sin A =0,又由A为△ABC 内角,可知sin A ≠0,则cos B =-12,则B =2π3.12.6 3 [解析] △ABC 的内角和A +B +C =π,由A =π3,B >0,C >0得0<B <2π3.应用正弦定理知AC =BC sin A sin B =2 3sinπ3·sin x =4sin x ,AB =BCsin A sin C =4sin ⎝⎛⎭⎫2π3-x .因为y =AB +BC +AC ,所以y =4sin x +4sin ⎝⎛⎭⎫2π3-x +2 3⎝⎛⎭⎫0<x <2π3,即y =4 3sin ⎝⎛⎭⎫x +π6+2 3⎝⎛⎭⎫π6<x +π6<5π6,所以当x +π6=π2,即x =π3时,y 取得最大值6 3.13.解:(1)在△ABC 中,sin C2sin A -sin C =b 2-a 2-c 2c 2-a 2-b 2=-2ac cos B -2ab cos C =c cos B b cos C =sin C cos B sin B cos C ,因为sin C ≠0,所以sin B cos C =2sin A cos B -sin C cos B , 所以2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )=sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,因为0<B <π,所以B =π3.(2)T =sin 2A +sin 2B +sin 2C =12(1-cos 2A )+34+12(1-cos 2C ) =74-12(cos 2A +cos 2C ) =74-12⎣⎡⎦⎤cos 2A +cos ⎝⎛⎭⎫4π3-2A =74-12⎝⎛⎭⎫12cos 2A -32sin 2A =74-12cos ⎝⎛⎭⎫2A +π3, 因为0<A <2π3,所以0<2A <4π3,故π3<2A +π3<5π3,因此-1≤cos ⎝⎛⎫2A +π3<12, 所以32<T ≤94.14.解:(1)f (A )=2cos A 2sin A 2+sin 2A 2-cos 2A2=sin A -cos A =2sin ⎝⎛⎭⎫A -π4.因为0<A <π,所以-π4<A -π4<3π4.当A -π4=π2,即A =3π4时,f (A )取得最大值,且最大值为 2.(2)由题意知f (A )=2sin ⎝⎛⎭⎫A -π4=0,所以sin ⎝⎛⎭⎫A -π4=0.又知-π4<A -π4<3π4,则A -π4=0,所以A =π4.因为C =5π12,所以A +B =7π12,则B =π3.由a sin A =b sin B ,得b =a sin Bsin A =6·sinπ3sin A=3. 15.解:(1)由正弦定理,得a +c b =sin A -sin B sin A -sin C =a -ba -c,化简得a 2+b 2-ab =c 2,所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,而C 为△ABC 的内角,则C =π3.(2)a +b c =sin A +sin B sin C =23⎣⎡⎦⎤sin A +sin ⎝⎛⎭⎫2π3-A =2sin ⎝⎛⎭⎫A +π6.因为A ∈⎝⎛⎭⎫0,2π3,A +π6∈⎝⎛⎭⎫π6,5π6,所以sin ⎝⎛⎭⎫A +π6∈⎝⎛⎦⎤12,1. 故a +b c 的取值范围是(1,2].。
高三数学每日练习第9套(内含详细答案绝对经典)
高三数学每日练习第9套一、单选题1.若(2)(1)i z m m =-++为纯虚数,则实数m 的值为 A .2-B .1-C .1D .22.已知()f x 是定义在R 上的减函数,其导函数()'f x 满足()()1'f x x f x +<,则下列结论正确的是( )A .对于任意R x ∈,()0f x <B .对于任意R x ∈,()0f x >C .当且仅当(),1x ∈-∞,()0f x <D .当且仅当()1,x ∈+∞,()0f x >3.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移6π个长度单位后,所得到的图象关于( )对称. A .y 轴B .原点(0,0)C .直线3x π=D .点5(,0)6π4.在△ABC 中,M 是BC 的中点.若AB =a ,BC =b ,则AM =( ) A .1()2a b + B .1()2a b - C .12a b + D .12a b +5.已知等比数列{}n a 满足582a a +=,678a a ⋅=-,则3q =( ) A .12-B .-2C .12-或-2 D .26.不等式111x ≥-的解集为( ) A .(],2-∞ B .[)2,+∞C .[]1,2D .(]1,27.设双曲线22221(0,?0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为B ,且25AF BF ==,则此双曲线的离心率为( )A .32B .43C .2 D二、解答题8.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PCD⊥平面ABCD ,AB=2,BC=1,PC PD ==E 为PB 中点.(Ⅰ)求证:PD∥平面ACE;(Ⅱ)求证:PD⊥平面PBC;(Ⅲ)求三棱锥E-ABC的体积.9.2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北(潜江)龙虾节”,为了解不同年龄的人对“中国湖北(潜江)龙虾节”的关注程度,某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查,经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2:3。
高三数学试题与解析-选填限时训练9解析版
2024年武汉外国语学校高三上学期数学限时训练9命题人:一、单选题1.下列四组函数中,表示同一个函数的一组是()A .2,y x u v ==B .22,()y x s t ==C .21,11x y m n x -==+-D .211,1y x x y x =+⋅-=-2.若复数z 满足()1i 1i z -=+,则4z =()A .1B .-1C .iD .163.若ln 10,ln2ln5,ln 4e a b c ==⋅=,则a b c 、、的大小关系是()A .c a b <<B .a b c <<C .c b a<<D .b a c<<4.已知向量集合{}(3,4)(1,2),R M a a λλ==+∈ ,{}(4,5)(2,2),R N a a λλ==+--∈,则M N = ()A .{(4,5)}B .{(3,4),(4,5)}C .{(3,4)}D .∅5.函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数,且()f m A =-,()f n A =,则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上()A .是增函数B .是减函数C .可以取到最大值AD .可以取到最小值A-6.已知点P 在抛物线M :24y x =上,过点P 作圆C :()2221x y -+=的切线,若切线长为27,则点P 到M 的准线的距离为()A .5B .29C .6D .307.设{}n a 为等比数列,则“对于任意的*N n ∈,2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件8.如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东30︒方向2km 处,河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km .现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ,那么修建这两条公路的总费用最低是A .(272)a -万元B .5a 万元C .(271)a +万元D .(233)a +万元二、多选题9.函数()()3R mf x x m x=-∈的图象可能是()A .B .C .D .10.有一组样本数据0,1,2,3,4,添加一个数X 形成一组新的数据,且(){}()5C 0,1,2,3,4,532k P X k k ==∈,则新的样本数据()A .第25百分位数不变的概率是316B .极差不变的概率是3132C .平均值变大的概率是12D .方差变大的概率是73211.如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P .如果将容器倒置,水面也恰好过点P (图2),则()A .若往容器内再注入a 升水,则容器恰好能装满B .正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半C .将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点PD .任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P 三、填空题12.已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()()2e ln f x xf x +'=,则()e f '=.13.如图,圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ,点C ,B 在圆O 上,且点C 位于第一象限,点B 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,AOC α∠=.若1BC =,则233cos sin cos 2222ααα--的值为.14.对有(4)n n 个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样,先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ (m 是给定的正整数,且22m n - ),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本,用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率,则1n P =;所有(1)ij P i j n < 的和等于.限时训练答题卡姓名:______________ 123456789101112._______________13.________________14.________________四、解答题15.如图,在四棱锥P ABCD-中,AC与BD交于点O,点P在平面ABCD内的投影为点O,若BCD△为正三角形,且12AB AD AC==,PO OC=.(1)证明:AC⊥平面PBD;(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值.参考答案:题号12345678910答案A ADCCCCBABDBCD题号11答案ACD1.A【分析】函数的三要素:定义域,对应法则和值域;函数的三要素相同,则为同一个函数,判断函数的三要素即可求解.【详解】对于A ,y x =和u =的定义域都是R ,对应关系也相同,是同一个函数,故选项A 正确;对于B ,函数y =R ,函数2s =的定义域为[0,)+∞,定义域不同,不是同一个函数,故选项B 错误;对于C ,函数211x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠,函数1m n=+的定义域为R ,定义域不同,不是同一个函数,故选项C错误;对于D ,函数y ={|1}x x ≥,函数y =(,1][1,)∞∞--⋃+,定义域不同,不是同一个函数,故选项D 错误,故选:A .2.A【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一:设()i ,z a b a b =+∈R ,则()()()i 1i i 1i a b a b b a +-=++-=+,解得0,1a b ==,所以i z =,所以41z =,解法二:因为()1i 1i z -=+,所以()()241i (1i)2ii,11i 1i 1i 2z z ++=====--+,解法三:方程两边同时平方,有()22i 2i z ⋅-=,所以241,1z z =-=,故选:A.3.D【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较,ac 的大小,结合基本不等式及对数函数单调性比较,a b 的大小,可得结论.【详解】ln4e ln1022c a ==>==,而(()22222ln2ln5ln104ln2ln5244a b +⋅⎛⎫===>= ⎪⎝⎭,且0,0a b >>.所以a b >,故b a c <<.故选:D.4.C【分析】运用交集概念,结合向量的坐标运算计算即可.【详解】设()(){}(){}1113,41,2,R 342M a a λλλλ==+∈=++,,()(){}(){}22224,52,2,R 42,52N a a λλλλ==+--∈=--,令12123424252λλλλ+=-⎧⎨+=-⎩,解得12012λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩.故(){}3,4.M N ⋂=故选:C.5.C【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时,x ωϕ+的取值范围,结合余弦函数的单调性可得出结论.【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数,且()f m A =-,()f n A =,则当[],x m n ∈时,()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦,而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减,所以,函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减,当()2x k k Z ωϕπ+=∈,该函数取到最大值A .故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用,求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键,考查推理能力,属于中等题.6.C【分析】根据点P 的位置以及切线长可解得P 点横坐标为5,再由焦半径公式可得结果.【详解】设点2,4P P y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由圆的方程()2221x y -+=可知圆心()2,0C ,半径1r =;又切线长为PC =即2222294P P y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭,解得220P y =,可得()5,P P y ;再由抛物线定义可得点P 到M 的准线的距离为516+=.故选:C 7.C【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析,从而确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠,若()22210n n n n n a a a a a q ++<⇔-=-<,当10a >时,由()2110a q -<得210q -<,解得10q -<<或01q <<,若10q -<<,则120a a q =<,此时()2210a q ->与已知矛盾;若01q <<,则0n a >,此时{}n a 为递减数列.当10a <时,由()2110a q -<得210q ->,解得1q <-或1q >,若1q <-,则210a a q =>,此时()2210a q ->与已知矛盾;若1q >,则0n a <,此时此时{}n a 为递减数列.反之,若{}n a 为递减数列,则2n n a a +<,所以“对于任意的*N n ∈,2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的充分必要条件.故选:C 8.B【分析】根据给定条件,建立平面直角坐标系,求出曲线PQ 的方程,再结合两点间距离公式求解作答.【详解】以线段AB 的中点O 为原点,射线OB 为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,如图,则(2,0),(2,0),A B C -,令点(,)E x y 为曲线PQ 上任意一点,则||||2||EA EB AB -=<,因此曲线PQ 是以点A ,B 为左右焦点,实轴长为2的双曲线右支,其方程为221(0)3y x x -=>,显然点C 在曲线PQ 含焦点B 的区域内,设00(,)M x y ,01x ≥,有220033=-y x ,修建这两条公路的总费用||2||2W a MB a MC =+=+0(212a a x =-+0000(212|3|)[212(3)]5a x x a x x a ≥-+-≥-+-=,当且仅当003y x =≤≤时取等号,由0y =,且220033=-y x ,01x ≥解得0xM 时min 5W a =,所以修建这两条公路的总费用最低是5a 万元.故选:B【点睛】思路点睛:圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题,借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解.9.ABD【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系,结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知,函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+,当0m >时,()2230mf x x x =+>',函数()f x 在()(),0,0,∞∞-+上单调递增,故B 正确;当0m =时,()3f x x =,()230f x x ='>,所以在()(),0,0,∞∞-+上单调递增,故D 正确;当0m <时,当0x >时,()30m f x x x =->;当0x <时,()30mf x x x=-<;故A 正确;C 错误.故选:ABD.10.BCD【分析】根据题意得到X 取各个值的概率,结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一判断即可.【详解】由题意得,()05C 103232P X ===,()15C 513232P X ===,()25C 1023232P X ===,()35C 1033232P X ===,()45C 543232P X ===,()55C 153232P X ===,对于B ,若极差不变,则0,1,2,3,4X =,概率为()215313P X -==,故B 正确;对于A ,由于525% 1.25,625% 1.5⨯=⨯=,所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数,所以1,2,3,4,5X =,第25百分位数不变的概率是()311032P X -==,故A 错误;对于C ,原样本平均值为0123425++++=,平均值变大,则3,4,5X =,概率为105113232322++=,故C 正确;对于D ,原样本的方差为()2222212101225⨯++++=,显然,当2X =时,新数据方差变小,当0,4,5X =时,新数据方差变大,当1X =时,新数据的平均数为0112341166+++++=,方差为222111111139001426666216⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-=<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,同理,当3X =时,新数据的方差为3902216<,所以方差变大的概率为()()()704532P X P X P X =+=+==,故D 正确.故选:BCD 11.ACD【分析】根据题意,设图1中水的高度为2h ,几何体的高为1h ,底面正方形的边长为b ,利用水的体积,得出1h 与2h 的关系,从而结合选项即可逐一判断.【详解】设图1中水的高度2h ,几何体的高为1h ,底面正方形的边长为b ;则图2中水的体积为2221212()b h b h b h h -=-,即222122()3b h b h h =-,解得1253h h =,所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的,即B 错误.对于A ,往容器内再注入a 升水,水面将升高223h ,则22212533h h h h +==,容器恰好能装满,A 正确;对于C ,当容器侧面水平放置时,P 点在长方体中截面上,占容器内空间的一半,所以水面也恰好经过P 点,C 正确;对于D ,任意摆放该容器,当水面静止时,P 点在长方体中截面上,始终占容器内空间的一半,所以水面都恰好经过点P ,D 正确.故选:ACD .12.1e-/1e --【分析】对原函数求导,将e x =代入求(e)f '即可.【详解】由题设1()2(e)f x f x ''=+,则11(e)2(e)(e)e ef f f '''=+⇒=-.故答案为:1e-13.352sin sin 22223αααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭,由题意3AOB πα∠=-,再由三角函数的定义即可求sin AOB ∠.【详解】43,,1,55B OB ⎛⎫-∴=∴ ⎪⎝⎭ 圆O 的半径为1.又1BC =,BOC ∴为等边三角形.3AOB πα∴∠=-,且α为锐角.21cos 1sincossin 22222ααααα+-=-1sin sin sin 23AOB πααα⎛⎫=-=-=∠ ⎪⎝⎭.由三角函数的定义可得,3sin 5AOB ∠=.故答案为:35.【点睛】本题考查三角函数的定义,倍角公式和辅助角公式,公式的熟练运用是解决问题的关键.14.4()m n m -6【分析】利用组合的方法求出{1,2,,}m 中随机抽取2个元素所有抽法及从{1,2,,}m m n ++ 总随机抽取2个元素所有的抽法,结合古典概型的概率公式,即可求解.【详解】从{1,2,,}m 中随机抽取2个元素,共有2m C 种不同的抽法,从{1,2,,}m m n ++ 中随机抽取2个元素,共有2n m C -种不同的抽法,所以从每个子总体中个随机抽取2个元素组成样本所有的抽法,共有22m n m C C -⋅,从{1,2,,}m 中随机抽取2个元素,其中抽到1的抽法有1m -种方法,从{1,2,,}m m n ++ 中随机抽取2个元素,其中抽到n 的抽法有1n m --种方法,由古典概型的概率计算公式,可得1nP 22114()m n mm n m C C m n m ----=⋅=-.当,{1,2,,}i j m ∈ 时,21ij mP C =,而从{1,2,,}m 中选两个数的不同方法数为2m C ,则ij P 的和为1;当{1,2,,},i m m n j ++∈ 时,同理可得ij P 的和为1;当{1,2,,},{1,2,,}m n i j m m ∈∈++ 时,4()ij P m n m =-,而从{1,2,,}m 中选取一个数,从{1,2,,}m m n ++ 中选一个数的不同的方法数为()m n m -,则ij P 的和为4,所以1146ij P =++=.故答案为:4()m n m -;6.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用,以及排列、组合的应用,其中对于概率的计算的关键是判断出事件所属的概率模型,选择合适的概率公式进行计算,着重考查分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.15.(1)证明见解析(2)13【分析】(1)分别证明AC 与,BD PO 垂直后可得证线面垂直;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,用空间向量法求线面角.【详解】(1)由题意可得ABC ADC △≌△,π6ACB ACD ∴∠=∠=,CO BD ∴⊥,即AC BD ⊥.又点P 在平面ABCD 内的投影为点O ,即⊥PO 平面ABCD ,又AC ⊂平面ABCD ,PO AC ∴⊥,又BD PO O = ,BD ,PO ⊂平面PBD ,AC ∴⊥平面PBD .(2)由(1)可得OB ,OC ,OP 两两垂直,建立以O为原点如图所示的空间直角坐标系,如图所示,设3CD =,在ACD 中,由sin sin AD AC ACD ADC=∠∠得12sin 30sin ACAC ADC =︒∠,所以sin 1ADC ∠=,因此ACD 中有90ADC ∠=︒,60CAD ∠=︒,所以由2222(2)AD CD AC AD +==得AD =,cos 602OA AD =︒=,所以3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭,0,0,2P ⎛ ⎝⎭,0,,02A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,22PB ⎛=- ⎝⎭,0,,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,22PD ⎛=-- ⎝⎭ ,设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =,则有0,30,2m PA m PD x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ 取1z =得(3,1)m =- ,∴直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为|||cos |||||m PB m PB m PB ⋅〈〉=⋅=4.已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222210,0:x y C m n m n-=>>的左、右焦点相同,分别为1F ,2F ,1C 与2C 在第一象限内交于点M ,且21213MF F F =,1C 与2C 的离心率分别为1e ,2e .则1211e e -=,12e e 的取值范围是.四、解答题15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2235n S n n =+,数列{}n b 是等比数列,公比1330,6,24q b b a >==+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n c 满足111,221,,2k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩,其中*k ∈N .(i )求数列{}n c 的前2024项和;(ii )求()*221i i ni a c n =∈∑N .参考答案:题号12345678910答案D DDBABCBACDABD题号11答案AD1.D【分析】假设函数()()2lg 1f x x ax =-+的值域为R ,借助对数的性质及二次函数的性质可得a 的范围,结合充分条件与必要条件的性质即可得解.【详解】若()()2lg 1f x x ax =-+的值域为R ,则对21y x ax =-+有240a ∆=-≥,解得2a ≥或2a ≤-,“22a -<<”是“2a ≥或2a ≤-”的既不充分也不必要条件.故选:D.2.D【分析】根据指数函数图象性质可得01a <<,再由对数函数图象性质可判断出结论.【详解】当1a >时,函数()2xf x a =-单调递增,图象经过第一象限,不合题意;当01a <<时,函数()2xf x a =-单调递减,图象不经过第一象限,合题意;显然此时11a>,则函数()()1log 2a g x x =+为单调递增,又()g x 恒过点()1,0-,因此函数()g x 的图象不过第四象限.故选:D 3.D【分析】以B 为坐标原点,BA 所在的直线为x 轴,过点B 垂直于BA 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,设s ,则()4,AP x x =- ,(),BP x x =,由数量积计算分析即可得点P 坐标,从而得到点C 的坐标,然后求出AC ,利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.【详解】以B 为坐标原点,BA 所在的直线为x 轴,过点B 垂直于BA 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则()4,0A ,∵π4ABC ∠=,∴BC 所在的直线为y x =,设(),P x x ,则()4,AP x x =- ,(),BP x x = ,所以()()224212AP BP x x x x ⋅=-+=-- ,当1x =时,AP BP ⋅最小,此时点()1,1P ,又∵2BP PC = ,所以3BC BP =,∴点C 的坐标为()3,3,∴AC =,设ABC V 外接圆的半径为R,由正弦定理得2πsin 4R ==所以R =2π5πS R ==,故选:D 4.B【分析】根据条件,求出集合,A B ,再利用集合的运算,即可求解.【详解】由202x x -≤+,得到22x -<≤,即{}|22A x x =-<≤,又{}1,0,1,2,3,4,5B =-,所以{}1,0,1,2A B ⋂=-,故选:B.5.A【分析】根据奇函数的定义求出常数a ,再利用对数函数单调性解不等式.【详解】由函数2()ln()1f x a x=+-是奇函数,得该函数定义域内实数x ,恒有()()0f x f x +-=,即222222(2)ln ln 0ln 0111a ax a ax a a x x x x +-+++-+=⇔=-+-恒成立,因此2222(2)11a a x x +-=-,则22(2)11a a ⎧+=⎨=⎩,解得1a =-,1()ln 1x f x x +=-,不等式()0f x <,即1ln01xx +<-,整理得1011x x+<<-,解得10x -<<,所以x 的取值范围是(1,0)-.故选:A 6.B【分析】由交点在两条直线,代入点的坐标得,,A B C 的关系,再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得.【详解】因为两直线交于(1,1),则110C ++=,即2C =-,且0A B C ++=,则2A B +=;由原点到直线2l的距离d =由()2222111A A A -+=-+≥,则d ≤,当且仅当1A=时,d 1B =.即两直线重合时,原点到直线的距离最大.故选:B.7.C【分析】设()12,0πF AF θθ∠=<<,首先证明122tan2AF F S b θ= ,结合题意算得解得π3θ=,即可得三角形2ABF 为等边三角形,进一步结合椭圆定义可得,21442,2333a a a AF AF a ==-=,11422333a a a BF AF =-==,即1F 是AB 的中点,结合勾股定理、离心率公式即可求解.【详解】我们首先来证明一个引理:若()12,0πF AF θθ∠=<<,则122tan2AF F S b θ= ,证明如下:设12,2AF m AF a m ==-,则由余弦定理有()()2224222cos c m a m m a m θ=+---,即()()()2242221cos c m a m m a m θ⎡⎤=+---+⎣⎦,所以()()222442221cos 1cos a c b m a m θθ--==++,所以()1222222sincos112222sin sin tan 221cos 22cos 2AF F bS m a m b b θθθθθθθ=-=⋅⋅==+ ,从而引理得证;根据题意可得,122222tan222AF F OAF S b S θ===,解得tan 23θ=,因为π022θ<<,所以π26θ=,解得π3θ=,由2AF AB =,2π3BAF ∠=,可得三角形2ABF 为等边三角形,所以22243a BF AF AB AF =++=,所以21442,2333a a a AF AF a ==-=,所以11422333a a a BF AF =-==,所以1F 是AB 的中点,所以12AB F F ⊥,所以()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即223a c =,所以c e a ==故选:C.【点睛】关键点点睛:关键在于得出三角形2ABF 为等边三角形,进一步得出,a c 的齐次式关系即可求解.8.B【分析】设正方体的棱长为a ,以D 为坐标原点,,,DA DC DB 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,分别求出构成二面角的两个半平面的法向量,看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数,从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体的棱长为a ,以D 为坐标原点,,,DA DC DB 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则(),0,0A a ,()1,0,A a a ,()10,0,D a ,,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又F 是侧面11BCC B 上的动点,设()00,,F x a z ,[][]000,,0,x a z a ∈∈,则()100,,A F x a a z a =-- ,设平面1AD E 的法向量为1 =1,1,1,又()1,0,AD a a =- ,,,02a AE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则11100AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即1111002ax az a x ay -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,令11x =,则112y =,11z =,即111,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,又1//A F 平面1AD E ,则11A F n ⊥ ,即110A n F ⋅= ,则0002a x a z a -++-=,解得0032a x z =-,因此可得003,,2a F z a z ⎛⎫- ⎪⎝⎭,100,,2a A F z a z a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,设平面1FAD 的法向量为()2222,,n x y z = ,又()1,0,AD a a =- ,00,,2a AF z a z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,则21200AF n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即022*******a z x ay z z ax az ⎧⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-+=⎩,令21x =,则212y =-,21z =,即211,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,又1212127cos ,9n n n n n n ⋅==⋅ 因此可得二面角1F AD E --的大小为常数,故①正确;设平面1FD E 的法向量为()3333,,n x y z = ,又1,,2a D E a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()00,0,EF a z z =- ,则31300EF n D E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即()0303333002a z x z z a x ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩,令31x =,则3012a y z =-,301a z z =-,即30011,,12a a n z z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,因为3n 中含参数0z ,故13cos ,n n 的值不定,因此二面角1F D E A --的大小不是常数,故②不正确;设平面FAE 的法向量为()4444,,n x y z = ,又,,02a AE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,00,,2a AF z a z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则4400AE n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即44044040202a x ay a z x ay z z ⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-++= ⎪⎪⎝⎭⎩,令42x =,则41y =,3022a z z =-,即4022,1,2a n z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,因为4n 中含参数0z ,故14cos ,n n 的值不定,因此二面角1F AE D --的大小不是常数,故③不正确;故选:B.【点睛】方法点睛:1.与平行有关的轨迹问题的解题策略(1)线面平行转化为面面平行得轨迹;(2)平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略(1)可利用线线、线面垂直,转化为面面垂直,得交线求轨迹;(2)利用空间坐标运算求轨迹;(3)利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.9.ACD【分析】采用赋值法,利用已知条件,分析函数的有关性质即可判断.【详解】对A,令0,0x y ==,则()()()()00200f f f f +=⋅,化简可得()()()0100f f -=,又因()00f ≠,所以()01f =,故A 正确;对B,令0x y x ==,,则()()()()20f x f x f f x +-=⋅,又因()01f =化简可得−=,所以()f x 是偶函数,故B 错误;对C,令4,2x y ==,则()()()()62242f f f f +=⋅,因()20f =,所以()60f =,故C 正确;对D,令2y =,则()()()()2222f x f x f x f ++-=⋅,因()20f =,所以()()22f x f x +=--,令2x x =+,则()()4f x f x +=-①,再令4x x =+,()()84f x f x +=-+②,由①②知()()8f x f x +=,故D 正确.故选:ACD10.ABD【分析】对于A ,对式子111n n n a a n n ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭进行变形得到11111n n a a n n n n++=+++,根据等差数列的定义可以判断A ;对于D ,由A 可以求出数列的通项,进而判断D ;对于B ,先求出数列的通项,再分别求出前5项即可计算;对于C ,根据等比数列的定义判断即可.【详解】对于A ,因为11111,n n n a a a n n ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,两边同除以1n +得()1111n n a a n n n n +-=++,所以11111n n a a n n n n ++=+++,则1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,公差为0,首项为1121a +=,故A 正确;对于D ,由A 知12n a n+=,所以21n a n =-,所以{}n a 为等差数列,D 正确;对于C ,由B 知()()()()12232232121n n n n n n n b a a n n +--==-+,所以12345242480224,,,,,315356399b b b b b =-====所以1234537842,B 9911b b b b b ++++==正确;对于C ,由D 知121,21,n n a n a n +=-=+所以()()()1211121n n n n a a n n n n ++÷=++-不为常数,故数列n a n ⎧⎫⎨⎩⎭不为等比数列,C 错;故选:ABD .11.AD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ,由此证明AM PM ⊥,再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心,判断A ,证明PA ⊥平面OHC ,由此证明PA CH ⊥,判断B ;证明OH ⊥平面PAM ,由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角,解三角形求其正弦,判断C ,证明OH AH ⊥,解三角形求AH HO +,结合基本不等式求其范围,判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ,对于A ,易知⊥PO 平面AMB ,AM ⊂平面AMB ,所以AM PO ⊥,因为点M 在以AO 为直径的圆上(不含A 、O ),所以AM OM ⊥,OM PO O = ,OM ⊂平面POM ,PO ⊂平面POM ,所以AM ⊥平面POM ,又PM ⊂平面POM ,所以AM PM ⊥,又PO AO ⊥,C 为PA 的中点,2PA =,所以1CO CA CP CM ====,所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心,所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为=1,所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值,A 正确;由已知,PO AO ⊥,2PA =,AO =,所以PO AO ===,所以POA 为等腰直角三角形,连接OC ,又C 为PA 的中点,故PA OC ⊥,又PA OH ⊥,OH OC O ⋂=,OH ⊂平面OHC ,OC ⊂平面OHC ,则PA ⊥平面OHC ,又CH ⊂平面OHC ,所以PA CH ⊥,故B 错误;因为AM ⊥平面POM ,又OH ⊂平面POM ,所以AM OH ⊥,又PA OH ⊥,PA AM A = ,AM ⊂平面PAM ,PA ⊂平面PAM ,则OH ⊥平面PAM ,所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ,所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角,设OM x =,则PM =OH PM OM PO ⋅=⋅,所以OH =所以sin OH OAH OA ∠==令60OAH ∠=2=,解得x =,即OM =OM OA <矛盾,C 错误;对于D 中,因为OH ⊥平面PAM ,AH ⊂平面PAM ,所以OH AH ⊥,又OH =OA =,所以AH =,所以x AH HO +=0x<由基本不等式可得22222x x ⎛⎫++< ⎪⎪⎝⎭x +<,所以2AH HO+<,D 正确.故选:AD【点睛】关键点点睛:解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置,由此确定外接球的半径.12.9【分析】利用方差的性质直接计算求解即可.【详解】因为随机变量X 的方差()1D X =,随机变量32Y X =+,所以()()()23239D Y D X D X =+==故答案为:913.6【分析】根据球的体积公式可得内切球的半径R =根据正三棱柱结构特征可知R 即为底面正三角形内切圆半径,从而即可得解.【详解】解:设正三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径为R ,则有34π3R =,解得R =设正三棱柱的底面边长为a ,则正三棱柱的底面三角形的内切圆半径即为正三棱柱内切球半径,又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径13r ==所以6=解得6a =.故答案为:614.233,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用椭圆以及双曲线定义联立方程组可得()23c a m =-,因此可求得121123e e -=;求出12e e 的表达式再根据三角形三边关系可求得5,33a m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,利用函数单调性即可求得结果.【详解】如下图所示:根据椭圆定义以及双曲线定义可得121222MF MF a MF MF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得12MF a m MF a m ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩;显然20MF a m =->,可得a m >;又21213MF F F =且122F F c =,其中222222,c a b c m n =+=-;可得()23c a m =-,所以23a m c c =-,即121123e e -=;所以()()22221292994244a m a am m c c c a m e e a m am am am m a --+⎛⎫=⋅====+- ⎪⎝⎭.令a t m =,则129124e e t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为a m >,所以1a t m =>.又1212MF MF F F +>,所以有()223a c a m >=-,所以有3a m <;又1212MF MF F F -<,所以有()223m c a m <=-,所以有35a m >,所以可得5,33a t m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.设函数12y t t =+-,则2110y t =-'>,函数12y t t =+-在区间5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,所以44153y <<,所以12335e e <<.即可得12e e 的取值范围是3,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为:23;3,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】易错点点睛:在求解椭圆以及双曲线离心率问题时,最容易忽略利用它们的定义来求得线段长度表达式,再进行相关问题求解.15.(1)31n a n =+,32n n b =⋅(2)(i )8152,(ii )11343218i i ++⋅+⋅-【分析】(1)利用,n n S a 的关系作差结合等比数列的定义计算可求和的通项公式;(2)(i )根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可,(ii )根据题意先得出229432i i i i a c =⋅+⋅,利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.【详解】(1)当1n =时,1112284S a a ==⇒=,当2n ≥时,()()22123523151n n S n n S n n -⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩,所以131n n n a S S n -=-=+,显然1a 符合上式,所以31n a n =+,由题意()23123314242b b q q =⨯++==⇒=,所以1132n n n b b q -==⋅.(2)(i )易知101121024,220482024==>,即数列{}n c 的前2024项中有10项分别为21425129102410,,,,c b c b c b c b ==== ,其余项均为1,故数列{}n c 的前2024项和()1012106122024102014815212n G b b b ⨯-=-++++=+=- ;(ii )由(1)知2321i i a =⋅+,而232i i i c b ==⋅,所以()22323219432i i i i i i a c =⋅⋅+=⋅+⋅,易知()11361494341214i n i i i +=⨯-⋅==⋅--∑,()116123232612i n i i i +=⨯-⋅==⋅--∑,所以12112343218i i i i ni a c +=+=⋅+⋅-∑。
2019-2020年高三12月限时训练数学试题 含答案
A 12019-2020年高三12月限时训练数学试题 含答案一、填空题: (本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填在答题卡...相应位置....上.)1、已知集合,,,则__________.2、设复数满足是虚数单位),则的虚部为 .3、抛物线y =2x 2的焦点坐标是________.4、设命题p :2x -1≤1,命题q :(x -a )[x -(a +1)]≤0,若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________.5、函数f (x )=x e x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程是________.6、已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1,a x,x >1在R 上为增函数,则a 的取值范围是_______.7、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若,则= .8、如图,在长方体,对角线与平面 交于点.记四棱锥的体积为,长 方体的体积为,则的值是 .9、若,则__________.10、已知二次函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1(a ∈Z),且函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f (x )>1的解集为__________.11、若实数满足,且,则的最小值为 。
12、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离是.13、如图,点为△的重心,且,,则的值为.14、若函数有两个极值点,其中,且,则方程的实根个数为 .二、解答题(本大题共6小题,共90分。
第15、16、17题各14分,第18、19、20题各16分。
在答题卡相应位置上........写出文字说明,证明过程或演算步骤)15、在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.16、如图,斜四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1的底面ABCD是矩形,平面C1D1DC⊥平面ABCD,E、F分别为CD1、AB的中点.求证:(1)AD⊥CD1;(2)EF∥平面ADD1A1.17、某地拟建一座长为米的大桥,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩、造价总共为万元,当相邻两个桥墩的距离为米时(其中),中间每个桥墩的平均造价为万元,桥面每1米长的平均造价为万元. (1)试将桥的总造价表示为的函数;(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩、除外)应建多少个桥墩?18、如图,已知A 1,A 2,B 1,B 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点,△A 1B 1B 2是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆M . (1)求椭圆C 及圆M 的方程;(2)若点D 是圆M 劣上一动点(点D 异于端点A 1,B 2),直线B 1D 分别交线段A 1B 2,椭圆C 于点E ,G ,直线B 2G 与A 1B 1交于点F . ①求GB 1EB 1的最大值;②试问:E ,F 两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.第17题19、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 5-a 3=13,S 4=16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)设T n =i =1∑n(-1)i a i ,若对一切正整数n ,不等式λT n <[a n +1+(-1)n +1a n ]·2n-1恒成立,求实数λ的取值范围;(3)是否存在正整数m ,n (n >m >2),使得S 2,S m -S 2,S n -S m 成等比数列?若存在,求出所有的m ,n ;若不存在,说明理由.20、已知函数的定义域为为的导函数. (1)求方程的解集;(2)求函数的最大值与最小值;(3)若函数在定义域上恰有2个极值点,求实数的取值范围.江苏省仪征中学xx 学年度高三12月限时训练数学试卷(Ⅱ)21、(本题10分)已知矩阵A =⎣⎡⎦⎤a 11a ,直线l :x -y +4=0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l ':x -y +2a =0. (1)求实数a 的值; (2)求A 2.22、(本题10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x 轴的正半轴重合,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3,直线l 的参数方程为. 试在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大.23、(本题10分)如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线交于点,,,,面,设点满足. (1)当时,求直线与平面所成角的正弦值;(2)若二面角的大小为,求的值.24、(本题10分)设123*12341()(1)(2,)n nn n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈.(1)若数列的各项均为1,求证:;(2)若对任意大于等于2的正整数,都有恒成立,试证明数列是等差数列.数学答案一、填空题: (本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填在答题卡...相应位置....上.)1、{1,2,3}2、-33、⎝⎛⎭⎫0,18 4、⎣⎡⎦⎤0,12 5、y =2e x -e 6、[-3,-2] 7、 8、9、10、(-1,0) 11、9 12、1+ 13、72 14、5二、解答题(本大题共6小题,共90分。
2025届高三数学解答题强化训练题(九)答案
2025届高三数学解答题强化训练题(九)参考答案15.(13分)等差数列的前n 项和为n S ,已知60a =,126S =.(1)求数列的通项公式;(2)求数列{}n a 的前n 项和n T .【详解】(1)设数列的公差为d ,∵126S =,∴671a a +=∵60a =,∴71a =,∴公差为1,∴15a =-∴5(1)6n a n n =-+-=-;(2)由已知2(56)1122n n n n n S -+--==,5n ≤时,2112n n n n T S -+=-=;6n ≥时,22511116023022n n n n n n T S S --+=-==综上2211,521160,62n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩16.设直线1x y +=与椭圆C :()2210,0mx ny m n +=>>相交于A ,B 两点,点M 为线段AB 的中点,且直线OM 的斜率为12(O 为坐标原点).(1)求C 的离心率;(2)若点D 的坐标为(),0n ,且ODA ODB ∠=∠,求C 的方程.【详解】(1)由题意,设()11,A x y ,()22,B x y ,()00,M x y ,C 的离心率为e .由ODA ODB ∠=∠,知AD k 所以12120y y x n x n+=--,即整理得,()12122x x x x +-+所以2122n n m n m n m -⎛-⨯+ +++⎝又由(1)知,(2n m m =>经检验,满足0∆>,所以C 的方程为:222x +17.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为直角梯形,90DAB ADC ∠=∠=︒,1AB AD ==,2CD =,1BD CD ⊥.点M 为1CD 的中点,且12CD BM =.(1)证明:平面BDM ⊥平面1BCD ;(2)若钝二面角B DM C --的余弦值为1BD BD >时,求1BD 的长.【详解】(1)因为M 为1CD 中点,且12CD BM =,所以190D BC ∠=︒,即1BD BC ⊥,又1BD CD ⊥,BC CD C ⋂=,,BC CD ⊂平面ABCD ,所以1BD ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ,所以1BD BD ⊥.因为90DAB ADC ∠=∠=︒,所以//AB CD .又1AB AD ==,2CD =,所以BD BC ==,所以222CD BD BC =+,则BC BD ⊥.又1BD BC B = ,1,BD BC ⊂平面1BCD ,所以BD ⊥平面1BCD .又BD ⊂平面BDM ,所以:平面BDM ⊥平面1BCD .(2)由(1)可知:BC ,BD ,1BD 两两垂直,故可以B 为原点,建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0B,)C,()D ,设()10,0,D a(a >2a M ⎫⎪⎪⎝⎭.所以()BD =,2a DM ⎫=⎪⎪⎝⎭,)DC = .设平面BDM 的一个法向量为=,,,由00BD m DM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11110022a x z =+=⎪⎩,可取,0,1m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面CDM 的一个法向量为=,,,由00DC n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒22222002a z =+=,可取,,122n a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.112cos ,15a m n -=- 整理得:42133314042a a -+=⇒24a =(214213a =<舍去)所以2a =,即12BD =.。