高等量子力学第一章习题

ℏk ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=>

>=+0|)(!1

|n b n n ∫=++−x

x x x e e d ****2φφφφπ

φ高等量子力学第一章习题：

1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符：

试证明它们满足如下对易和反对易关系：

并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表

达式

2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：

H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1|

其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。

问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。

3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为

其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为

试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式。

4、设某系统的哈密顿算符为:H(t)=a 1(t)J ++a 2(t)J 0+a 3(t)J －

其中a i (t),i=1,2,3为任意时间t 的函数，J +,J 0,J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易

关系:[J +,J －]=－2J 0,[J 0,J ±]=±J ±

试证明该系统的时间演化算符可表示为:

U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －],并导出确定C i (t)的方程.。

5、已知算符b 和b +的对易关系为[b ,b +]=1,在b +b 对角表象的本征态矢量为

且基态满足b|0>=0,引入算符b 的本征态b|z>=z|z>

试求归一化态矢量|z>在b +b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数

6、题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明：

（i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。(ii)相干态表象的基矢组是完备的，完备性条件由下式给出式中，积分元由z=x+iy d 2z=dxdy 给出，证明过程中可以利用的公式有:

(iii)不存在算符b +的本征右矢量。）（||||2

1+><−+−><+=ℏS ）（||||2

3−><−−+><+=ℏS ）（||||22−><+−+><−=ℏi S ；>

>=+0|)(!1

|n b n n )(2b b x +=+µωℏ)(2

b b i p −=+ℏµω∫=><1

||2z z z d π