数列中的奇偶分析法问题研究

数列中的奇偶分析法问题

数列奇偶求通项公式： 【典例1】数列满足

＋

＝4n －3(n ∈

)，当

＝2时，则数列

的通项公

式为______ 解析：由＋

＝4n －3(n ∈

)，得

＋

＝4n ＋1(n ∈

)．两式相减，得

－

＝4．

所以数列

是首项为

，公差为4的等差数列．数列

是首项为

，公差为4的

等差数列．由＋＝1，＝2，得＝－1．所以＝(k ∈Z)．

数列奇偶求前N 项和：

【典例2】已知数列{}n a 的通项65()

2

()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．

【解析】奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有

12n +项，偶数项有1

2

n -项，∴1

121(165)

4(14)(1)(32)4(21)221423

n n n n n n n S --++--+--=+=+

-，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n

项， ∴2

(165)4(14)(32)4(21)221423

n n n n n n n S +----=+=+

-，所以，1(1)(32)4(21)

()

23

(32)4(21)()

23n n n

n n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩

为奇数为偶数．

练习1：已知21,2n n n n a n ⎧-=⎨⎩为奇数，，为偶数，

则数列{}n a 的前n 项和n S =________．

【解析】①设(

)2,n m m N

+

=∈则,2

n m =

()2222222222,m m m S m m =++

+-=⋅-- 故此时1222

n n n

S +=--．②设

()2+1,n m m N +=∈n ＝2m ＋1(m ∈N *)，则-1,2

n m =

2212m+1221S 22221m m m m S a m ++=+=⋅--+-21223m m +=⋅--,故此时

1522n n n S ++=-

, 1

122,2

522

n n n n n S n n ++⎧--⎪⎪∴=⎨+⎪-⎪⎩为偶数，为奇数． 2．（扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题·20）若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*

N m ∈），则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数

列{}n a 生成{}m b 的控制函数.

（1）已知2n a n =，且2

)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ；

（2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；

【解析】（1）1m =，则111a =≤ 11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤ 22b ∴=

3m =，则119a =<，249a =< 399a =≤ 33b ∴=

（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =

；m 为奇数时，则21n m ≤-，则1

2

m m b -=； 1

()2

()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩

m 为偶数时，则2

121

1(12)2224

m m m m S b b b m =+++=++

+-⨯=

； m 为奇数时，则221211(1)11

424

m m m m m m m S b b b S b ++++-=++

+=-=-=

； 22

1

()4

()4

为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ 3.（2017·镇江一模·19）已知*

∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且

2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-．

（1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2；

（2）若对任意*

∈N n ，2

2

n

a S n n +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；

（3）若)(1232-=n

n S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．

解：（1）112123b a a =+=+=，

21234212123(13)3(31)

()()()132

n n n n n n S a a a a a a b b b ---=++++++=++

+==

-. （2）当2n ≥时，由22n n S a n =+，21121n n S a n --=+-，

则2222111222(1)1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=+-+-=-+， 221(1)0n n a a ---=，11(1)(1)0n n n n a a a a ----+-=，

故11n n a a --=，或11n n a a -+=.（*） 下面证明11n n a a -+=对任意的n ∈N*恒不成立. 事实上，因123a a +=，则11n n a a -+=不恒成立；

若存在n ∈N*，使11n n a a -+=，设0n 是满足上式最小的正整数，即0011n n a a -+=，显然02n >，且01(0,1)n a -∈，则00121n n a a --+≠，则由（*）式知，00121n n a a ---=，则020n a -<，矛盾. 故11n n a a -+=对任意的n ∈N*恒不成立，

所以11n n a a --=对任意的n ∈N*恒成立. 因此}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)n a n n =+-=. （3）因数列}{1+n n a a 为等比数列，设公比为q ，则当2n ≥ 时，

11

11

n n n n n n a a a q a a a ++--==. 即21{}n a -，2{}n a 是分别是以1，2为首项，公比为q 的等比数列； 故3a q =，42a q =.

令2n =，有412341229S a a a a q q =+++=+++=，则2q =. 当2q =时，1212n n a --=，12222n n n a -=⨯=，121232n n n n b a a --=+=⨯，此时

21234212123(12)()()()3(21)12

n n n n n n S a a a a a a b b b --=++++++=++

+==--.

综上所述，12

22,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩

当为奇数

当为偶数.