双圆弧拟合

3.2.1 圆锥曲线的一般理论[9]
在平面直角坐标系中， 二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。 其中系数 A 、B 、
C 、 D 、 E 、 F 为实常数，且 A 、 B 、 C 不同时为零。
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
(3.1)
式（3.1）称为圆锥曲线的隐式方程。令
3
x a sec 双曲线： y btg 3）求取曲线的极值点、拐点，对曲线进行分割，建立有序的型值点序列。型值点 的排序规则为： 抛物线：以 xi x A 为标准，按递增顺序排列； 椭圆：以 i A 为标准，按递增顺序排列； 双曲线：以 i A 为标准，按递增顺序排列； 注： x A 为起点横坐标， xi 为第 i 个点横坐标； A 为起点极角， i 第 i 个极角。 4）取 Pi ， Pi 1 两个型值点，进行双圆弧曲线拟合。 5）如果拟合结果的法向误差满足规定误差，则转 6）,否则，则转 7） 。 6）将拟合结果送入输出链表中，如果曲线全部拟合完成，则结束，否则转 4） 。 7）在 Pi ， Pi 1 之间按照 0.618,0.382 的比率插入新的型值点，再转 4） 。 上述，为曲线拟合的主要步骤，下面详细的介绍一下双圆弧拟合算法。
2
)，
(3.7) (3.8)
圆心坐标： x B L R2 sin ， y B R2 cos 。 公切点 M 的坐标： x M L sin(

2
) cos( ) / sin 2 2 ) sin( ) / sin 2 2


(3.9 ax 2 b ， 在 节 点 Pi ， Pi 1 间 将 横 轴 值 x 等 分 为 n 份 ： xi xi0 xi1 xin 1 xin xi 1 ，计算出抛物线上各对应分点坐标： Pir ( xir , y ( xir )) r=1,2,…,n-1。 x a cos x a sec 2）对于椭圆 、双曲线 ，在节点 Pi ， Pi 1 间将参数 等分为 n y b sin y btg
5
b) 平行弦法： 0 ；
c) 平均转角法： 1 3 3 。 2) 两圆半径比（在保凸条件下） ： a) 垂直平分线法： R1 R2 sin
3 3 / sin ； 4 4
2
b) 平行弦法： R1 R2 sin( 2) / sin( 2) ；
c) 平均转角法： R1 R2 sin
3 3 / sin 。 4 4
3.2.4 双圆弧拟合算法[8]
图 11，设节点 A 和 B 为在第 i 1 个区间 Pi , Pi 1 上的相邻节点，经坐标变换后 AB 为横轴，A 为原点，垂直于 AB 为纵轴。有向直线 g A 和 g B 为拟合曲线 j 在 A 和 B 上的 有向切线。设 C 是直线 g A 和 g B 的交点， 和 分别是 g A 和 g B 与横轴的夹角，逆时 针方向为正; , ，T 为 ABC 的内心。
Y C 公切点 gA 轨迹弧 gB P α> 0 A ω-θ θ O2 O1 (a) 同向双圆 图 11 B β< 0 X α> 0 A 公切点 轨迹弧 P θ O1 (b) 反向双圆弧 双圆弧曲线 ω=β-α O2 ω-θ β> 0 X B Y C gA gB
T
如果 C 在横轴的上方，且 g A 和 g B 的方向分别与有向直线 AC 和 CB 的方向相同， 那么， 彼此相切且分别以 g A 和 g B 为切线的双圆弧公切点轨迹是过三点 A， T， B 且 ABC 内部的圆弧，图 11（a） 。 如果 g B 的方向与 CB 的方向相反，则双圆弧公切点轨迹是过 A 点和 B 点且弧度为 。 （ C / 2 ）在 AB 下方的圆弧，图 11（b） 在当 0 （保凸）时，双圆弧同向，为 C 形双圆弧。当 0 时，双圆弧反向， 为 S 形双圆弧。在局部坐标系下，双圆弧圆心和半径可以统一地由下式给出：
6
左圆半径： R1 L sin(

2
) /(2 sin

sin ) , 2 2

(3.5) (3.6)
圆心坐标： x A R1 sin ， y A R1 cos 。 右圆半径： R2 L sin( ) /(2 sin sin 2 2



3.2 圆锥曲线拟合算法的研究
在经济型数控系统中， 对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到 的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应 运而生[26]。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆 弧逼近，然后才能进行数控加工[28]。本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆 锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。这样的优点是： 圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到 C1 连续，基本上能满足要求；所有 数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。 由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑，有的要 求光顺[9-10]。本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求 光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。 本章提出的对圆锥曲线的插补， 是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础 上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利 用数控系统的圆弧插补功能进行插补。
曲线拟合算法的研究
3.1 引言
随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为 形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要，自 动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线 的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。
y M L sin(

2


其中 ； 是左圆弧的圆心角， 是右圆弧的圆心角；逆时针方向为正； 正圆对应正圆心角，负圆对应负圆心角， ， L 是 AB 的长度。
3.2.5 误差分析方法
利用法向误差判断方法，步骤如下： （1）计算二次曲线在节点 Pi ， Pi 1 间 n 等分的各分点坐标。
B 2 4 AC
称上式为二元二次方程（3.1）的判别式。
0 时， （3.1）式为椭圆型曲线（包括圆、椭圆和虚椭圆） ；
（3.2）
0 时， （3.1）式为抛物线型曲线（包括两平行直线和虚直线） ；
1
0 时， （3.1）式为双曲型曲线（包括两相交直线） 。
在不同的坐标系下，平面上一点的坐标、一条曲线的方程是不同的。通过利用坐标 变换（即坐标轴的平移和旋转） ，可以将一般二次曲线方程化成最简形式，借以确定曲 线的形状和位置。 一、坐标轴的平移 只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和长度单位，这样的坐标变换叫做 坐标轴的平移，简称平移或移轴。 将旧坐标系 oxy 平移到 ox y , 那么平面上任一点 M 在旧坐标系与新坐标系的坐标
( x, y ) 和 ( x ' , y ' ) 具有关系：
x x x0 y y y0
（3.3）
其中 ( x 0 , y 0 ) 是新坐标系中的原点 o 在旧坐标系里的坐标。公式（3.3）叫做平移变换公 式。 二、坐标轴的旋转 坐标原点的位置和长度单位都不改变，让坐标轴绕原点按同一方向旋转同一个角 度，这种坐标变换叫做坐标轴的旋转，简称旋转或转轴。 那么平面上的任一点 M 在旧坐 把旧坐标系 oxy 绕原点 o 旋转同一个角度 到 ox y ， 标系与新坐标系下的坐标 ( x, y ) 和 ( x ' , y ' ) 之间具有关系： x x cos y sin y x sin y cos 公式（3.4）叫做旋转变换公式。 适当选择坐标系，二次曲线方程经过坐标系的旋转和平移变换，可简化成几种标准 方程。 1．中心二次曲线方程可以简化成下面 5 种标准方程之一： a) b) x2 y2 1 （椭圆） ； a2 b2 x2 y2 1 （虚椭圆） ； a2 b2 （3.4）
3.2.2 曲线的常用双圆弧拟合算法[17-25]
按平面曲线给定一列有序型值点（节点） ，每相邻节点之间由两条相切圆弧构成， 两圆弧分别通过一个节点，且节点处的切线斜率与曲线在节点处的斜率相等，叫做曲线 的双圆弧拟合。双圆弧拟合有六个参数需要确定：两节点 Pi ， Pi 1 ；两节点 Pi ， Pi 1 处的 切线斜率；双圆弧的切点 T ；双圆弧切点处的公切线斜率。前四个参数可由曲线的参数 方程按给定参数值求得。双圆弧拟合方法主要根据后两个参数的求法而不同，但不难证 明两圆弧相切点位置结论：相切点位置有无穷多个；相切点的轨迹是一个圆弧——轨迹 弧（过相邻两节点的弧，且在两节点处切线夹角等于曲线在两节点处切线夹角） 。 为确保双圆弧的正确拟合，要求： 1) 两拟合圆弧应满足保凸要求，即两相邻节点 Pi ， Pi 1 处切线 Pi M , Pi 1 M 需有实交 点（沿某切线方向前进时，与另一切线的反向延长线的交点，称为实交点，反之为虚交 点） ； 2) 拟合的圆弧段需要采用劣弧，即两节点连线 Pi Pi 1 与两切线 Pi M , Pi 1 M 构成的三 角形中 （见图 8，图 9，图 10） 。
x2 y2 c) 0 （点椭圆或称变态椭圆） ； a2 b2
2
d)
x2 y2 1 （双曲线） ； a2 b2
x2 y2 e) 0 （两相交直线，或称变态双曲线） 。 a2 b2 2．无心二次曲线的标准方程为： y 2 2 px （抛物线） 3．线心二次曲线方程可化简成下面 3 种标准方程之一： a) y 2 a 2 （两平行直线） ； b) y 2 a 2 （两平行共轭虚直线） ； c) y 2 0 （两重合直线） 。 由实际的工程应用可知，在实际的加工中只有椭圆、双曲线、抛物线和直线具有工 程价值。数控机床具有直线和圆弧的插补功能，所以在本章中只考虑椭圆、双曲线和抛 物线的拟合算法。实现椭圆、双曲线、抛物线的拟合算法主要步骤为： 1）参数输入 遵照数控 NC 程序编程规范，以最少输入参数唯一定义曲线为准则，设计了曲线的 输入参数，见表 1。
4
M 原曲线 T P1 α β O2 P2 P1 原曲线 T α
M
β O2
P2
图8
O1 垂直平分线法拟合双圆弧 M 原曲线 T P1 α β P2 θ/2 θ/2
O1 图9 平行弦线法拟合双圆弧
O2 O1 图 10 平均转角法拟合双圆弧
3.2.3 公切线确定方法
1.常用的公切线确定方法有以下三种： 1) 垂直平分线法：相邻两节点连线的垂直平分线与轨迹弧的交点作为两拟合圆弧 的切点（图 8） ； 2) 平行弦法：两圆弧的公切线平行于相邻两节点连线 Pi Pi 1 ，两圆弧的公切点 T 显 然是 Pi MPi 1 的内心（图 9） ； 3) 平均转角法： 两圆弧的公切线平行于曲线在相邻两节点处切线交角的平分线 （图 10） ； 2.三种方法的特点比较如下： 1) 保凸条件： a) 垂直平分线法： 1 3 3 ；
表1 平面圆锥曲线输入参数列表
曲线类型 抛物线 椭圆
参数说明 顺逆方向、起点、终点、焦点坐标 顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于 X 轴的 转角 顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于 X 轴的 转角
双曲线 2）曲线标准化
利用坐标系平移、旋转变换，将曲线变换到可以利用最简方程表示的坐标系下，并 求解方程，详见附录 1。为了便于计算，最后确定采用下列形式作为各曲线的标准方程 式。 抛物线： y ax 2 b x a cos 椭圆： y b sin