用充要条件的等价转化来解题
等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想在充要条件中的应用在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想。
例如互为逆否命题的两个命题（原命题与逆否命题或逆命题与否命题）一定同真或同假，它们都是等价的。
但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真。
【规律总结】命题的充要关系的判断方法①定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性。
②等价法：p是q的什么条件等价于⌝q是⌝p的什么条件。
③利用集合间的包含关系判断：建立命题p、q的相应集合：p：A＝{x|p（x）成立}，q：B＝{x|q（x）成立}，转化为判定A与B间的关系。
练习：已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件。
思路分析：p和q中都含有否定词语，直接判断较为困难，可采用间接判断。
答案：∵p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，∴⌝p：x＋y＝2，⌝q：x＝1且y＝1。
∵⌝p⌝q，但⌝q⇒⌝p，∴⌝q是⌝p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。
技巧点拨：由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p⇒q较困难时，可利用等价转化，先判断由⌝q⇒⌝p，从而得到p⇒q。
例题已知p：2x2－9x＋a<0，q：22430680x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且⌝p是⌝q的充分条件，求实数a的取值范围。
思路分析：先解p和q中的不等式，把条件间的关系转化为集合间的关系。
答案：由22430680x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324xx<<⎧⎨<<⎩，即2<x<3。
∴q：2<x<3。
设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，∵⌝p⇒⌝q，∴q⇒p，∴B⊆A。
∴2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0。
设f（x）＝2x2－9x＋a，要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，须使(2)0(3)0ff≤⎧⎨≤⎩，即818018270aa-+≤⎧⎨-+≤⎩，∴a≤9。
判断充分、必要条件的常用方法
判断充分、必要条件问题是每年高考中的必考问题.此类问题常与函数、不等式、圆锥曲线等知识相结合，通常难度不大.解答此类问题，同学们需熟练掌握常用逻辑用语以及判断充分、必要条件的方法.下面主要谈一谈判断充分、必要条件的三种常用方法.一、定义法定义法是判断充分、必要条件的基本方法.对于命题“若p ，则q ”，如果p ⇒q ，那么p 就是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.对于一些比较简单的问题，可直接运用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.例1.已知p ：-2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2+mx +n =0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：设x 1，x 2是方程x 2+mx +n =0的两个小于1的正根，即0<x 1<1，0<x 2<1，则0<x 1+x 2<2，0<x 1∙x 2<1，由韦达定理可得-2<m <0，0<n <1，从而可得q ⇒p .而当m =-1，n =12时，方程x 2-x +12=0无实根，所以p q .综上可知p 是q 的必要不充分条件.要解答本题，我们需根据条件q 中给出的信息，利用韦达定理求得m ，n 的取值范围，然后讨论条件p 、q 之间的关系，再采用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.二、集合法若使p 成立的对象构成的集合为A ，使q 成立的对象构成的集合为B ，则集合A 、B 与充分、必要条件的关系为：（1）若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；（2）若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；（3）若A =B ，则p 是q 的充要条件.运用集合法，可以将有关充分、必要条件的问题转化为集合间的关系问题，通过判断集合之间的包含、真包含、相等关系来判断命题的充要性、必要性.例2.已知p :||||||1-x -13≤2，q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由||||||1-x -13≤2得-2≤x ≤10，所以¬p 对应的集合为{}x |x >10或x <-2，设A ={}x |x >10或x <-2.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，可得1-m ≤x ≤1+m (m >0)，所以¬q 对应的集合为{}x |x >m +1或x <1-m ,m >0，设B ={}x |x >m +1或x <1-m ，m >0.因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以B ⊆A ，所以ìíîm >0，1-m ≤-2，1+m ≥10，解得m ≥9，所以实数m 的取值范围为[9,+∞）.当命题中的条件与结论都能够用集合来表示的时候，我们就可以运用集合法来判断充分、必要条件.集合法多适用于解答命题中涉及解集的包含或者相等问题.三、等价转化法等价转化法是指运用一个命题与其逆否命题的等价性，把原命题转化为逆否命题，然后再进行判断.当难以按判断原命题的真假时，就可以采用等价转化法，转化思路，判断其逆否命题的真假.例3.设p ：||||x -1-2<1，q ：x -2x 2+x -2>0，试证明¬p 是¬q 的必要不充分条件.证明：设命题p ，q 对应的集合分别为P ，Q ，则P ={}x |-2<x <0,或2<x <4，Q ={}x |-2<x <1,或x >2，因为P ⊄Q ，所以q 是p 的必要不充分条件，所以¬p 是¬q 的必要不充分条件.由于原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，因此对于一些否定性的命题，可先将其转化为等价命题，再进行判断.该方法体现了等价转化的思想，运用该方法解题，有利于培养思维的灵活性.相比较而言，定义法较为简单，定义法和集合法比较常用，而等价转化法较为复杂，对同学们的逻辑思维能力的要求较高.因此在，判断充分、必要条件时，可先尝试运用定义法、集合法，若解题受阻，再考虑运用等价转化法.（作者单位：江苏省大丰高级中学）考点透视36。
高考数学复习点拨 判断充分、必要、充要条件的常用策略 试题
判断充分、必要、充要条件的常用策略充分条件、必要条件与充要条件是高中的根底知识，在高考中往往以本节知识为工具考察其它方面的知识.本文主要谈一下判断充分条件、必要条件与充要条件的常用策略，供大家参考.策略1：定义法判断充分条件、必要条件与充要条件的最根本方法是根据定义，运用“⇒〞号：假如q p ⇒，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.例1 ⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x 是⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x 的什么条件，请说明理由. 解：当2>x ，2>y 时，有4>+y x ，4>xy ，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+2244y x xy y x ；反之不一定成立，例如当21<=x ，5=y 时，有46>=+y x ，45>=xy ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x ⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x .所以⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x 是⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x 的充分不必要条件.策略2：递推法命题在推导的过程当中具有传递性，即：假设q p ⇒，r q ⇒，那么r p ⇒.例2 假如A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的_________条件.解：依题意，有D C B A ⇐⇔⇐，由命题的传递性可知D A ⇐，但A D .于是A 是D 的充分不必要条件.例3 设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分但不必要条件，丙是乙的充要条件，丙是丁的必要但不充分条件，那么丁是甲的__________条件.解，依题意，有丁丙乙甲⇐⇔⇒.由命题的传递性可知甲 乙且乙 甲，于是丁⇒⇒⇒⇒⇐ ⇒⇒⇒是甲的既不充分也不必要条件.策略3：等价转化法在判断命题p 与q 的关系的时候，假设命题q 的形式比拟复杂，那么可把命题q 等价转化为比拟简单的命题r ，进而通过判断命题p 与r 的关系得到命题p 与q 的关系.例4 设50:<<x p ，5|2:|<-x q ，那么p 是q 的________条件.解：73:5|2:|<<-⇔<-x r x q ，显然r p ⇒，但r p ，所以q p ⇒，但 qp ，所以p 是q 的充分但不必要条件. 例5 0)2(22=-+y x 是0)2(=-y x 的________条件.解：2且0:0)2(22==⇔=-+y x p y x ，2或0:0)2(==⇔=-y x q y x ，显然q p ⇒但q p ，所以0)2(22=-+y x 是0)2(=-y x 的充分但不必要条件.策略4：逆否命题法由于原命题⇔逆否命题，逆命题⇔p 能否推出q ，等价于判断q ┐能否推出p ┐. 例6 条件2:≠+y x p ，条件1不都是,:-y x q ，那么p 是q 的_____条件.解：因为2:≠+y x p ，1或1:-≠-≠y x q ，所以2:┐=+y x p ，1且1:┐-=-=y x q .因为q p ┐┐⇒但q ┐p ┐，所以p 是q 的充分不必要条件. ⇒⇒⇒⇒四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。
《充分条件、必要条件》课标解读
《充分条件、必要条件》课标解读教材分析充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，是学生解决数学问题时进行等价转化的逻辑基础，是今后的数学学习特别是数学推理的基础.本节内容在高考中也有直接的考查.本节的重点是理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.难点是会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.突破重点与难点的关键是理解其含义，让学生从感性上去领悟，在解题实践中加深理解.本节内容所涉及的主要数学核心素养有：数学抽象、数学运算、逻辑推理等. 学情分析学生前面已经学习了命题，对命题真假判断有了一定的基础，这对本节课的学习有一定的帮助，但学生的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，在学习过程中会有一些困难.所以在教学时，应多举一些实例引导学生分析，并归纳出抽象的数学概念，在今后的教学中逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善.教学建议本节介绍了充分条件、必要条件、充要条件三个概念.这些概念都比较抽象，学生不易理解，用它们去解决一些具体问题则更为困难，这也是本节的难点.突破难点的关键是在判断条件与结论的逻辑关系之前，必须先分清何者是条件，何者是结论，根据命题真假的判断方法，尝试如何由条件推出结论.在内容处理上，教师要充分利用生活中的实例，例如“水滴石穿”“有志者事竟成”等，让学生从命题的条件与结论的互推关系入手，分析出它们之间的条件关系，体现数学抽象的核心素养.学科核心素养目标与素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次.3.能够利用命题的真假判定充要关系或进行充要条件的证明，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.情境与问题1.案例一通过“请判断下列命题的真假”复习引入，为后面本节课的学习做好准备.2.案例二是通过阅读教材来引入对充分条件、必要条件的学习.内容与节点充要条件是逻辑推理的重要部分，条件的判断是学习的重点内容，锻炼学生分析、判断、归纳问题的能力.过程与方法1.理解充分条件、必要条件的判断方法，发展学生的逻辑推理素养.2.在条件的应用中，发展学生的数学运算素养.教学重点难点重点1.充分条件、必要条件、充要条件概念的理解.2.判断给定命题的条件与结论之间的关系.难点1.在p q中，q是p的必要条件的理解.2.如何判断p是q的什么条件.。
1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式
1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p ，则q ”形式的命题为真时，记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．p 是q 的充要条件又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ )(3)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( × ) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ )(5)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )1．(2015·重庆)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B .但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．3．(教材改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”C ．“若x >y ，则x 2>y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．4．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )，与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.5．(教材改编)下列命题：①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab ≠0是a ≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．答案 ②④题型一 充分条件、必要条件的判定例1 (1)(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0答案 (1)B (2)B解析 (1)根据指数函数的单调性得出a ，b 的大小关系，然后进行判断．∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件． (2)∵y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.思维升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.(2)当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A. 题型二 充分必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈(綈P )是x ∈(綈S )的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)方法一 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根．当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a， 当只有一个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0⇒a <0； 当有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，－2a<0，⇒0<a ≤1.1a >0综上所述，a ≤1. 方法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.(2)命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝{x |x >1或x <12}， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12， ∴0≤a ≤12. 题型三 命题的四种形式例3 (1)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数“的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 答案 (1)C (2)B解析 (1)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．(2)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2， ∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q “形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)(2016·承德月考)已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)A解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”． (2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.1．等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析 (1)由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2.当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4， ∴q ：0≤a ≤4.∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．∴{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，∴a ≥1.答案 (1)A (2)A温馨提醒 (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．[方法与技巧]1．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．2．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．[失误与防范]1．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．2．当一个命题有大前提而要写出命题的其他两种形式时，必须保留大前提．3．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2015·天津)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜3⇒/ 1＜x ＜2，故选A.3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．4．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.5．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD 为菱形”⇒“AC ⊥BD ”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC ⊥BD ”⇒“四边形ABCD 为菱形”，所以“四边形ABCD 为菱形”不是“AC ⊥BD ”的必要条件．综上，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．6．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要的条件B ．必要不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件答案 C解析 由维恩图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由维恩图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．7．(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故答案选A.9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案 充分不必要解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q ⇒p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 12．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，所以a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)13．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2<b2，即－a|a|<－b|b|，从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2<b2，故a>b；若a≥0，b<0，则a>b.综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．14．(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n －4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a na n)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，－1故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝a n＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.15．(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A 中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立答案 A解析命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②成立，由维恩图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]≥2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card((A ∪C )∩B )＋card(A ∩B ∩C )]＝[2card(B )－2(card(A ∪C )∩B )]＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0，∴d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.17．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”充分不必要条件．18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．。
专题02 充要条件问题(解析版)
专题02 充要条件问题【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面.所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 错误!未找到引用源。
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的充分而不必要条件；若错误!未找到引用源。
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的必要而不充分条件；若错误!未找到引用源。
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的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．例2【2020年高考上海卷】【答案】A【解析】1:q 当0a >，()0f a >，因为函数()f x 单调递减，所以()()()()f x a f x f x f a +<<+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a >，当满足命题1q 时，使命题p 成立，2:q 当00a x =<时，()0f a = ，因为函数()f x 单调递增，所以()()()()f x a f x f x f a +<=+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a <，当满足命题2q 时，命题p 成立，综上可知命题1q 、2q 都是命题p 的充分条件，故选A ．例3．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由–11x >可得，0x <或2x >﹔由ln 1x ≥可得，x e ≥.所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B.例4．（2020·北京市第五中学高三三模）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （12）＝0，则“不等式f （log 4x ）＞0的解集”是“{x |0＜x ＜12}”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为定义域为R 的偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，且1()02f =，4(log )0f x ∴>，即41(log )()2f x f >，即41(|log |)()2f x f >，即41|log |2x >，即41log 2x >，或41log 2x <-， 解之得2x >或102x <<，{|2x x ∴>或10}2x <<是1{|0}2x x <<的必要不充分条件，故选：C ．例5．（2020·山东潍坊高三三模）设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.例6．（2020·广州大学附属中学高三三模）已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C例7．（2020·宝鸡中学高三三模）已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．例8．（2020·河北新华石家庄二中高三三模）使不等式2x ≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．13x +≤ B ．12x +≤C ．2log (1)1x +≤D ．11||2x ≥ 【答案】A【解析】因为||2x ≤22x ⇔-≤≤，|1|342x x +≤⇔-≤≤， |1|231x x +≤⇔-≤≤，2log (1)111x x +≤⇔-<≤，11||2||2x x ≥⇔≤且0x ≠20x ⇔-≤<或02x <≤， 因为{|22}x x -≤≤ 2{|}4x x -≤≤，所以使不等式||2x ≤成立的一个必要不充分条件是42x -≤≤，故选：A ．例9．（2020·四川绵阳高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和21nn S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是（ ） A ．01p << B ．1p =-C ．2p =-D ．1p >【答案】B 【解析】21n n S p =⨯+,当1n =时，112+1a S p ==，当2n 时，()11121212nn n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+=1p ∴=-当1p =-时，21nn S =-+， 可得12n n a -=-，由12(2)nn a n a -=≥知{}n a 为等比数列， 故{}n a 为等比数列的充要条件是1p =-，故选：B例10．（2020·天津南开高三三模）已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A【解析】命题2:230p x x +->，解之得：3x <-或1x >， 命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ， 则：1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.故选：A ．【精选精练】1．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三三模）设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.2．（2020·山东高三三模）“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。
充要条件的判断方法
充分条件、必要条件与集合的关系
题 指出下列各题中，p是q的什么条件？ 设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，集合 B＝{x|x 满足
（1）p:ax2+ax+1>0的解集是R；q:0<a<4. }， A⊆B， p 是 q 的什么条件？q 是 p 的什么条 若 则 （2）p : x 2 1;q : 6 1. x 5
Байду номын сангаас
变式：设p:A={x|2x2-3x+1≤0}，
q:B={x|x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0}，
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数a的 取值范围.
【规范解答】解2x2-3x+1≤0得 1 x 1.
1 p : A {x | x 1} 2 2
解x2-（2a+1）x+a(a+1)≤0得a≤x≤a+1.
6.充分必要条件的判断
2011陕西
a -b是 a b 的
A
A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2010山东,设{an}是首项大于零的等比数列， C 则“ a1<a2 ”是“数列{an}是递增数列” 的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
【解析】（1）由
a 2 4a 0， a 0，
得0<a<4，
此时不等式ax2+ax+1>0的解集为R，可见qp；
当a=0时，易见p成立，可见pq，
所以p是q的必要不充分条件.
（2）p：A={x|1<x<3}，q：B={x|-1<x<5}，AB，
高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析
§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 (2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0， 因为当－2<x <－1时不等式成立， 所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)， 所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 －4或0解析 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， 不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件． 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析 依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。
1.2 充分条件与必要条件的应用
取值范围时，可以先把 p, q 等价转化，利用充分
条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，
建立关于参数的不等式(组)进行求解．
变式训练：
x－1 1．集合 A＝{x| <0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是 x＋1 “A∩B”≠∅”的充分条件， 则实数 b 的取值范围是( C) A．[－2,0) C．(－2,2) B．(0,2] D．[－2,2]
[精解详析] 由 x2－4ax＋3a2<0 且 a<0 得 3a<x<a， ∴p：3a<x<a. 由 x2－x－6≤0 得－2≤x≤3， ∴q：－2≤x≤3.
3a≥－2， ∵q⇒ p，∴p⇒q.∴a≤3， a<0
2 ⇒－ ≤a<0， 3
2 ∴a 的取值范围是[－ ，0)． 3
[一点通] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的
充分条件与必要条件 的应用
知识回顾：
充分条件：如果条件A能推出结论B，则称条件A是结 论B成立的 “ 充分条件 ”
必要条件：如果结论B能推出条件A，则称条件A是结 论B成立的 “ 必要条件 ” 充要条件：如果条件A既是结论B成立的充分条件也
是结论B成立的必要条件，则称条件A是结论B成
立的充要条件
题型一、利用充要条件求参数的范围
x 1 a 剠2 或 a 10 a -2或a 1 a 1
1< a 2 或 a 10
1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，
然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种： (1)定义法(直接法).
条件p与结论q的关系 p⇒q，但q ¿ p 结论 p是q成立的充分不必要条件
充要条件的应用 课件
【即时练】 1.(兰州高二检测)“x>1”是“x2>1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.向量a与非零向量b共线的充要条件为( )
A.a=0
B.a与b方向相同
C.a与b方向相反
D.存在k∈R,使a=kb
【解析】1.选A.因为x2>1⇔x>1或x<-1, 所以x>1⇒x2>1,但x2>1 x>1. 故选A. 2.选D.选项A,B,C中,都是向量a与非零向量b共线的充分条件.选 项D中,“存在k∈R,使a=kb”是向量a与非零向量b共线的充要 条件.
(1)“x2<1”的充要条件是
.
(2)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的
.
(3)“三角形是等边三角形”的充要条件是
.
【解析】(1)因为x2<1⇔-1<x<1, 所以x2<1的充要条件是-1<x<1. 答案:-1<x<1 (2)因为p⇔q,q⇔r,所以p⇔r, 所以p是r的充要条件. 答案:充要条件
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又因为ab≠0,所以a≠0且b≠0, 从而a2-ab+b2≠0, 所以a+b-1=0,即a+b=1,故充分性成立. 所以a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
【方法技巧】 1.求充要条件的方法 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前 后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转 化的时候思维要缜密.
【解析】(1)当p是q的充要条件时,p⇒q,且q⇒p,故说成q成立 当且仅当p成立,这种说法正确. (2)若p是q的充要条件,p⇔q,即p等价于q,故此说法正确. (3)若p q或q p,则p不是q的充分条件,或p不是q的必要条件, 故此说法正确. 答案:(1)√ (2)√ (3)√
高三数学充要条件下的等价转换
高三数学专题教案第1讲：充要条件下的等价转换方程3x – 6 = 0的解还是一个方程x = 2；不等式3x – 6 > 0的解还是一个不等式x > 2. 作为方程（或不等式）的解的方程（或不等式）具备两个条件：其一，它与原方程（或不等式）同解；其二，它是原方程（或不等式）的简化（到不能再简的）形式.充要条件，要求能由条件推出结论，并且由结论也能推出条件. 此时我们称条件和结论互相等价.等价转换解题，就是用等价的、简化的条件去替代原来的条件（即问题）. 当条件简化到不能再简的时候，我们称其为“答案”. 此时，也只能到此时，我们称“解题完毕”. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 等价转化总是将抽象转化为具体，将复杂转化为简单、将未知转化为已知. 转换就是变换，通过变换能迅速而合理的寻找和选择问题解决途径和方法，并由此途径和方法找到问题的答案.【例1】 已知函数f (x ) = 4 x – 2 x+1，求f -1(0).【分析】为求f -1(0)，可先求f -1(x ) . 但求f -1(x )不太容易（繁），于是可寻找原命题的、简单的等价命题（化简）.【解析】因为反函数的定义域即是原函数的值域，故原问题等价于解方程：4 x – 2 x+1 = 0⇔x = 1因此求得f -1(0) = 1.【点评】 等价转换追求方的向是化繁为简的方向（如例1），有时要经过曲折，最后化繁为简（如后面的例3）.【例2】 已知圆02:222=++++a y ax y x C ，定点A (1，2)，要使过点A 作圆C 的切线有两条，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332,332••B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,33•• C ．()∞+∞-••, D ．()∞+•,0【分析】 本题涉及到的圆实为一类性质的圆的集合，其性质就是过定点A 能作出圆的两 条切线——这就是问题的条件. 结论呢？——求参数a 所取的实数值的集合.按集合的纯粹性与完备性的概念，a 的值要求一个不假且一个不漏. 因此条件到结论的转换 是等价转换.【解析】 A 圆的方程为434)1(2222a y a x -=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+.依据题意，点A (1，2)在圆外，得.0434)12(21222•a a >->++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 解得实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332,332••. 【说明】 本解的等价转换分两个过程：第一过程是，将“有两条切线”等价为“点A 在圆外”；第二过程是，将“点A 在圆外”等价为“点到圆心的距离大于圆的半径”.【例3】 已知函数()|2|f x x x =-.（Ⅰ）写出()f x 的单调区间；（Ⅱ）解不等式()3f x <；（Ⅲ）设0a >，求()f x 在[0]a ，上的最大值.【分析】 绝对值函数不知如何下手，转向与它等价的两个分段函数，分别求其解，最后再求并集.【解析】 （Ⅰ）解：22222(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ⎧-=--≥⎪=-=⎨-+=--+<⎪⎩，，，∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，和 ，； 单调递减区间是[1 2]，. （Ⅱ）解： 2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥<⎧⎧-<⇔⇔≤<<⎨⎨--<-+>⎩⎩ ，，或或，，，∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x <（Ⅲ）解：（1）当10≤<a 时，()f x 是[0]a ，上的增函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-；（2）当21≤<a 时，()f x 在[0 1]，上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =；（3）当2a >时，令2()(1)(2)1210f a f a a a a -=--=-->，解得1a >①当21a <≤()(1)f a f ≤，()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =；②当1a >()(1)f a f >，()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-.综上，当01a <<时，()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -；当11a ≤≤+()f x在[0]a ，上的最大值是1；当1a >()f x 在[0]a ，上的最大值是(2)a a -.【点评】 等价转换是充要条件之间的相互替代. 替代的目的，或化繁为简，或化生为熟，或化隐为显. 本题采用“分而治之”的办法，把“隐问题”（含绝对值函数）转换为“显问题”（不含绝对值函数）.“分而治之”就是分类讨论，它可以把一个单一的“隐命题”等价转换为一个复合（条件组表示）的“显命题” .等价转换不仅仅是：（1）单一命题到单一命题的转换；还可以是：（2）单一命题到复合命题的转换；（3）复合命题到单一命题的转换；（4）复合命题到复合命题的转换.● 对应训练1. 记关于x 的不等式3x >1（x Z ∈）的解集为A ，关于x 的方程22x mx -+=0的解集为B ，且B A ⊆.（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）求实数m 的取值范围.2.已知0>c .设:P 函数x c y =在R 上单调递减.:Q 不等式1|2|>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.3.已知三数a ，b ，c 成等比数列，且a + b + c = m （m 是正常数），求b 值的集合.4. 已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程;（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+ ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.● 对应答案1. 解：（Ⅰ） 3300(3)00x x x x x x x-->⇔<⇔-<⇔<<3, 又 x Z ∈，∴A={1，2}；（Ⅱ）集合A={1，2}的子集有φ、{1}、{2}、{1，2}.B ⊆A ，∴B ＝φ；B ={1}或{2}；B ={1，2}.当B φ=时，280m ∆=-<，解得22m 22<<-. 当B={1}或{2}时，2280,80,120,4220.m m m m ⎧⎧∆=-=∆=-=⎨⎨-+=-+=⎩⎩或，则m 无解. 当B={1，2}时，280,12, 3.3.12 2.m m m m m m ⎧∆=->⎧<->⎪⎪+=⇒⇒=⎨⎨=⎪⎩⎪⨯=⎩综上所述，实数m 的取值范围是22m 22<<-或m=3.2.函数x c y =在R 上单调递减10<<⇔c ，不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ⇔函数|2|c x x y -+=在R 上恒大于1， ∵，，，，c x c x c c x c x x 22222|2|<≥⎩⎨⎧-=-+ ∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2，∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ⇔12>c ，即21>c ， 若P 正确，且Q 不正确，则210≤<c ； 若Q 正确，且P 不正确，则1≥c ； 所以c 的取值范围为)1[]210(∞+，， . 3. 解一，等价转换为求函数（关于b ）的值域. 设这三个实数为xb 、b 、bx ，由a +b +c = m ，可得 m x x b =⎪⎭⎫ ⎝⎛++11，从而 xx m b 11++=. ∵当x >0时，21≥+x x ；当x <0时，21-≤+xx . 从而311≥++x x 或111-≤++x x . 又m >0，∴0 < b ≤3m 或 – m ≤b < 0.故b 的取值集合为[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃-3,00,m m . 解二，等价转换为解二次方程（b 为系数）.∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac ，又a +b +c = m ，∴⎩⎨⎧=-=+.,2b ac b m c a 从而a 、c 是关于x 的方程x 2 – (m – b )x +b 2= 0的两个实根. ∴04)]([22≥---=∆b b m .解之，得 – m ≤b ≤3m (m >0) . 又b ≠0，∴b 的值集为[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃-3,00,m m .4. 解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+=综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x（Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,,则N 点坐标是()0,0y∵OQ OM ON =+ ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y = 又∵42020=+y x ，∴4422=+y x 由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠，轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆， 并去掉(2,0)±两点.。
数学解题中的先必要后充分
进而令 : f ( x ) = 8x 2 − 6kx + 2k + 1 , 借助于 f ( x) 的图象进行分析可得充要条件为: (1) ∆ = (6k ) 2 − 4 × 8 × (2k + 1) ≥ 0, f (0) = 2 k + 1 > 0, f (1) = 8 − 6 k + 2 k + 1 > 0, 0<− (2) (3)
具备的话 ,则结论必然是否定的 :否则 ,尚需验 证充分性. 3 数学求证题中的先必要后充分 求证题固然是证明结论成立的充分性 . 然而 ,由于有的求证题的充分条件较为隐蔽 , 需要实施先必要后充分的策略后方可发现. 例 5 已知两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an+ = 2an + 3bn , a1 = 1, b1 = 0 ,且 1 bn +1 = a n + 4bn . (1) 设数列 {cn } 满足 cn = an + λ bn ,证明存 在实数 λ ,使得数列 {cn } 为等比数列 ;(2)求数 列 {an } 和 {bn } 的通项公式. 分 析 (1)若能找到一个符合题目要求的 λ ,则可直接证明结论成立.否则 ,先寻找数列 {cn } 为等比数列的必要条件、再证充分性,不 失为一种好办法. 数 列 {cn } 为 等 比 数 列 的 必 要 条 件 2 是 : c2 = c1 c3 ,将此式表示成关于 λ 的方程 ,解 得 λ = − 1 或 3.它们都是结论成立的充要条件. (2) 利用题(1)的结论可解得 5n−1 + 3 5n−1 − 1 an = , bn = . 4 4 P 例 6 如图,已知 N 矩形 ABCD , PA ⊥ 平 B 面 AC 于 A,M、N 分 A M 别是 AB、PC 的中点. D 当 PA : AD 为何值时, C MN 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线. 分 析 首 先 恒 有 MN ⊥ AB . 其 次 探 索 MN ⊥ PC 的必要条件: MN ⊥ PC , N 为 PC 中 点 ⇒ PM = CM ⇒ PA = BC , 即 PA = AD , 从 而 PA : AD = 1 . 至此,问题并未结束,尚需证明 PA : AD = 1 是结论成立的充分条件. 说 明 象这种条件开放题，除了逆向探 索发现条件外，有时还需凭直觉对问题进行 深切的感悟，以便先作出猜想、后给出证明． 值得注意的是，从结论出发逆向探索条件时， 务必注意每一步的可逆性；否则，必需证明充 分性,以防范不必要的逻辑错误.
数学思想方法——等价转化
数学思想方法——等价转化解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.题型一函数与方程的转化例1、已知函数在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于,对恒成立.解题回顾：(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为对恒成立(注意验证) .(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.解析：建立如图所示的平面直角坐标系解题回顾：（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.例3、中，角A的对边长等于2，向量向量（1）求取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下求面积的最大值.解析：故取得最大值时的角. .（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得即，当且仅当b＝c＝2时取等号,又，当且仅当a=b＝c＝2时，的面积最大为.解题回顾：(1)本题中求的最大值转化为求关于的二次函数的最大值.在解题时应注意的取值范围即角A的范围.(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可.即运用不等式.例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.可知：解得：解题回顾：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.题型二未知与已知的转化例1、已知则解析：由已知可得所以把变形成点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.例2、在R上定义运算：若不等对任意实数x都成立，则实数a的取值范围解析：由定义可知即恒成立点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.例3、已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有且的最大值为1，则满足的解集为_______.解析：解决本题的关键是对的理解.从代数的角度看：当时，，当时，所以此函数在定义域内为增函数，从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.例4、已知o为原点，向量（2）求的最大值及相应x的值.（2），所以的最大值为相应的解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.题型三变量与常量的转化例、若不等式对一切均成立，则实数x的取值范围____.解析∵∴，令g(p)=，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有∴x>3或x<－1点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.题型四正面与反面的转化例、已知命题：使为真命题，则a的取值范围是_____.解析：原命题等价于若从反面考虑：原命题的否定为使解题回顾：正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.题型五空间与平面的转化例、如图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点P使得最短，则的最小值_______.解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A 为所求最小值，最小值为.解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
化学平衡中常用的几种解题方法
化学平衡中常用的几种解题方法一.等价转化(等效平衡)法(一)等效平衡的概念和含义体积为1L的两个密闭容器中均发生反应:CO(g)+ H2O(g)≒CO2(g)+ H2(g),在一个容器中充入0.01molCO(g)和0.01molH2O(g),在另一个容器中充入0.01molCO2(g)和0.01molH2(g),在温度为800℃，均达到化学平衡。
恒温恒容 CO(g) + H2O(g) ≒ CO2(g) + H2(g)途径1:起始 0.01mol 0.01mol 0 0 平衡 0.004mol 0.004mol 0.006mol 0.006mol 途径2:起始 0 0 0.01mol 0.01mol 平衡 0.004mol 0.004mol 0.006mol 0.006mol恒温恒压可逆反应N2(g)+3H2(g)≒2NH3(g)第一种投料开始 1mol 3mol 0 平衡态Ⅰ第二种投料开始 1.5mol 4.5mol 1mol 平衡态Ⅱ在每个平衡状态中,NH3在平衡混合物中都有个百分含量,这两个百分含量在平衡Ⅰ和平衡Ⅱ中相等。
在相同条件下,同一可逆反应,不管从正反应开始,还是从逆反应开始或从正反应和逆反应同时开始达到平衡时,同种物质的百分含量．．．．(体积分数、质量分数或物质的量分数)相同的化学平衡互称等效平衡,(二)建立等效平衡应满足的条件以及等效平衡的特征可逆反应mA(g)+nB(g)≒ pC(g)第一种投料开始 a b 0 平衡态Ⅰ第二种投料开始 x y z 平衡态Ⅱx+mz/p y+nz/p 0采用极限转化法,将两种不同起始投料,根据化学计量,转换成方程式同一边物质的用量. 第一种类型,恒温恒容条件,对于不等体积(反应前后气体化学计量数和不等)的可逆反应。
(1)建立等效平衡,两种起始投料应满足的条件:若同种物质的用量相等即x+mz/p=a 同时,y+nz/p=b,可逆反应达到的两个平衡属于等量平衡。
高中数学解题常用思想方法(四)--等价转化思想方法
【高中数学解题常用思想方法】四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
充分条件与必要条件习题
(1)p：(x－1)(x＋ 2)≤0， q： -2≤x≤ 1；
练习：已知 M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是 “a∈N”的________条件．
3．集合法 集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间 的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件 难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：
1．定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若 p，则 q”与“若 q，则 p”的判断，根据两个命题是否正确， 来确定 p 与 q 之间的充要关系．其基本步骤是：
优化方案P13 （2）
（2） 已知 x， y 为两个正整数， p： x≠2 或 y≠3， q： x＋y≠5， 则 p 是 q 的________条件．
二、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q}
1)பைடு நூலகம்
B A 2) A B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q充分不必要条件
3)
p是q必要不充分条件
4)
A
B
A =B
条件p
结论q
条件p
结论q
p是q不充分不必要条件
p是q的充要条件
【规律小结】
充分条件、必要条件、充要条件的判定：
变式 3：若﹁p 是 q 的必要不充分条件” ，求 m 的范围。
变式 4：是否存在 m 的范围，使 p 是 q 的充要条件” ， 。
【规律小结】
(1) 解决此类问题一般是把充分条件、必要条
件或充要条件转化为集合之间的关系 ， 然后根据集合之间的 关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 ¬ p是¬ q的充分 不必要 ( 必要不充分、充要 ) 条件 ， 则 p 是 q 的必要不充分 ( 充分 不必要、充要)条件．
北师大版高中数学选修2-1同步学案：第1章 充要条件
2.4 充要条件学习目标：1.理解充要条件的意义．(难点) 2.掌握充分、必要、充要条件的应用．(重点、难点) 3.区分充分不必要条件、必要不充分条件．(易混点)1．充要条件如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分必要条件,简称充要条件,记作p⇔q．2．常见的四种条件(1)充分不必要条件,即p⇒q且q_p．(2)必要不充分条件,即p_q且q⇒p．(3)充要条件,即p⇒q且q⇒p．(4)既不充分也不必要条件,即p_q且q_p．思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示]p是q的充要条件说明p是条件,q是结论；p的充要条件是q说明q是条件,p是结论．1.判断正误(1) 若p是q的充要条件,则q成立当且仅当p成立．( )(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题．( )(3)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要条件．( ) [答案](1)√(2)√(3)√2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件A[解x2－2x＋1＝0得x＝1,所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．]3.在△ABC中,“A＞B”是“a＞b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[在△ABC中,A＞B⇔a＞b,∴A＞B是a＞b的充要条件．]4.若“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件,则a的取值范围是________．(－∞,－1][∵x2－2x－3≥0,∴x≥3或x≤－1.∵“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件,∴a≤－1.]充要条件的判断【例1】(1)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中,p是否为q的充要条件？①在△ABC中,p：∠A>∠B,q：sin A>sin B；②若a,b∈R,p：a2＋b2＝0,q：a＝b＝0；③p：|x|>3,q：x2>9.C[(1)由于函数y＝x3在R上是增函数,∴当x>1时,x3>1成立,反过来,当x3>1时,x>1也成立．故“x>1”是“x3>1”的充要条件,故选C.](2)[解] ①在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B,所以p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0,则a＝b＝0,即p⇒q；若a＝b＝0,则a2＋b2＝0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件．③由于p：|x|>3⇔q：x2>9,所以p是q的充要条件．判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q 成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件；若二者都成立,则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．1．(1)a,b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A ．ab ＝0 B ．ab>0 C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0(2)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________．(1)D (2)a<－1 [(1)a 2＋b 2>0,则a,b 不同时为零；a,b 中至少有一个不为零,则a 2＋b 2>0. (2)函数没有零点,即方程x 2－2x －a ＝0无实根,所以有Δ＝4＋4a<0,解得a<－1.反之,若a<－1,则Δ<0,方程x 2－2x －a ＝0无实根,即函数没有零点．故“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是a<－1.]充要条件的证明[探究问题]1．如何求一个问题的充要条件？[提示] 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合．这就要求我们转化的时候思维要缜密．2．充要条件的问题需要从哪两方面证明？[提示] 充要条件的证明需要从充分性和必要性两方面证明,应分两步：证明充分性时,把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时,结论当已知去推证条件的正确性．【例2】 试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[思路探究] 本题可分充分性和必要性两种情况证明,即由ac<0推证一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根和由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根推证ac<0.[证明] (1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根,所以Δ＝b 2－4ac>0,x 1x 2＝c a<0(x 1,x 2为方程的两根),所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b 2－4ac>0及x 1x 2＝c a <0(x 1,x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c＝0有两个相异实根,且两根异号, 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述,一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.(变条件)试证：二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件是b ＝0.[证明] (1)必要性：因为二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数,所以f(x)＝ f(－x),即ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c,所以bx ＝0对任意的x 都成立,即b ＝0.(2)充分性：由b ＝0可推得f(x)＝ax 2＋c.所以f(－x)＝ax 2＋c ＝f(x) 即二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数．综上所述,二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数的充要条件是b ＝0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时,要注意：若证明“p 的充要条件是q”,那么“充分性”是q ⇒p,“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”,则与之相反．(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明．提醒：证明该类问题时,务必分清题设的条件与结论．1．已知向量a ＝(x －1,2),b ＝(2,1),则a⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0D [a⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0⇔x ＝0.]2．已知α：“a＝±2”；β：“直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a)2＝2相切”,则α是β的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [a ＝±2时,直线x －y ＝0与圆x 2＋(y±2)2＝2相切；当直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a)2＝2相切时,得|a|2＝2,∴a ＝±2.∴α是β的充要条件．] 3．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0,则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________． －1 [由1×3－a×(a－2)＝0得a ＝3或－1, 而a ＝3时,两条直线重合,所以a ＝－1.]4．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空： (1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB∥CD”的________； (3)“a>b ,c>d ”是“a－c>b －d”的________．(1)必要不充分条件 (2)充分不必要条件 (3)既不充分也不必要条件 [(1)|m|≠3⇒m ≠±3,故“m≠3”是“|m|≠3”的必要不充分条件；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”可推出“AB∥CD”,反之,未必成立,故“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB∥CD”的充分不必要条件；(3)“a>b,c>d”“a－c>b－d”,反之,未必成立,故“a>b,c>d”是“a－c>b－d”的既不充分也不必要条件．]5．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1,∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0,即a＋b＋c＝0.∴必要性成立．充分性：∵a＋b＋c＝0,∴c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：ax2＋bx－a－b＝0,即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.。
2充要条件 (5)
课题：命题及其关系、充分条件与必要条件一、考点梳理：1．命题的概念：在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．5．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p ，则q ”为原命题，那么： ①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ≠⊂A 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B ≠⊂A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．(3)等价转化法： p 是q 的什么条件等价于非q 是非p 的什么条件（逆否命题的原理）．二、基础自测：1．(2018·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为：____________________.3．设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________．三、考点突破：考点一、命题及其相互关系【例1】1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π42．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2 a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；考点二、充分必要条件的判定【例2】(1)(2018·山东高考)给定两个命题p，q.若⌝p是q的必要而不充分条件，则p是⌝q的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【变式】下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.考点三、充分必要条件的应用【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．五、课后巩固：1．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题2．（2011湖南）“x ＞1”是“|x |＞1”的的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.（2018福建）已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题5．（2018新课标全国Ⅱ）函数f (x ) 在x ＝x 0 处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则() A ．p 是q 的充要条件 B ．p 是 q 的充分不必要条件C ．p 是 q 的必要不充分条件D ．p 是q 既不充分也不必要条件6（2018广东）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c 则“a ≤b ”是 “sin A ≤sin B ”的() A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件7．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是 ．8．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．课题：命题及其关系、充分条件与必要条件 1课时一、考点梳理：1．命题的概念------在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．5．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件．二、基础自测：1．(2018·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推出“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推出“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”3．(2018·济南模拟)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－3x>0得x>3或x<0，此时得不出x>4，但当x>4时，不等式x2－3x>0恒成立，所以正确选项为B.4．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________．解析：原命题与其逆否命题为等价命题．答案：若b ∈M ，则a ∉M三、考点突破：考点一、命题及其相互关系【例1】1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 答案：②④考点二、充分必要条件的判定【例2】(1)(2018·山东高考)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由q ⇒非p 且非p ⇒/ q 可得p ⇒非q 且非q ⇒/p ，所以p 是非q 的充分而不必要条件． (2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件． [答案] (1)A (2)A【变式】下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； (2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.解：(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q . 又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A 是B 的真子集，∴p 是q 的充分不必要条件．考点三、充分必要条件的应用【例3】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．(3) 若非P 是非S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围[解] (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在． (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． （3）解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵非P 是非S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．五、课后巩固：1．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．2．“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.3．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题解析：选A 对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．4．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.5．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．解析：否命题既否定题设又否定结论．答案：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数6．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③7．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]8．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。
等价转化在四种命题和充要条件中的运用
等价转化在四种命题和充要条件中的运用作者：陈建山来源：《读写算》2010年第02期许多高一学生从一开始就对数学没有好感,关键是没有认真处理好高中数学与初中数学之间的过渡,数学学习方法思想等等的转变,高中注重知识点之间的联系与运用,对学生的个人能力要求比较高。
比如就四种命题与充要条件就要注重等价转化的方法和数学思想。
一、各知识点单独考如2009年●浙江卷文:“”是“”的___________。
对于很显然,反之不一定成立,因此“”是“”的充分不必要条件,学生解决也得心应手。
又如2009年●广州调研:命题“若,则”的否命题是________________。
学生写起来也很简单,答案就是若,则。
二、知识点混合考若,则是的________________条件。
(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分有不必要”)本题要想正确填写就要等价转化的思想和考虑条件与命题的联系;解:由题意是的充分不必要条件(可以将文字语言用符号语言转化),即:但不能,也就是如果正确,则正确;反过来正确,则不一定正确;即“若则”为真命题,“若则”为假命题,在根据等价命题的真假性相同。
我们可以得到“若则”为真命题;“若则”为假命题,再把它们转化成符号语言,即,不能,从而根据定义,是的必要不充分条件。
本题充分反映了等价转化的功效,假如高一学生不能转化或高一数学老师不能讲透、讲清晰,学生每次遇到都有人错。
下面我再举一例:2009年●通州一摸:,求实数的取值范围。
分析:“若命题“,使”是真命题”与“,使”是假命题是同一个意思,我们可以先求出“,使”是真命题时实数的取值范围。
解:令先求出其否命题“,使”成立,即。
所以,所求实数的取值范围为等价转化的数学思想在高中数学学习中非常有作用,学习数学有可能就是学习数学思想,数学考高分多少有可能就是您对数学思想了解多少、掌握多少、会运用多少。
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推出a>b,c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当 a>1,b>1时，函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-
b不过第二象限时，有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不
必要条件.C中，因为x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有 x=1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条
4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R}, 则“x∈A”是“x∈B”的 （ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 x∈A A={x|x≥2或x≤0}，B={x|x>2}， x∈B，但x∈B x∈A.
5.集合A={x||x|≤4,x∈R,},B={x|x<a},则“A B” 是“a>5”的 （ B ）
用充要条件的等价转化来解题
【例1】指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充
分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条 件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B; (2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B;
件.
答案 A
定时检测
一、选择题 1.（2009·重庆文，2）命题“若一个数是负数，则 它的平方是正数”的逆命题是 B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析 原命题的逆命题:若一个数的平方是正数， 则它是负数. （ B）
义域内不是减函数 C.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数 D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义 域内是减函数
解析
由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命
题为：若loga2≥0，则函数f（x）=logax(a>0,a≠1) 在其定义域内不是减函数. 答案 A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a>4 A={x|-4≤x≤4},若A B，则a>4, a>5,但a>5 a>4.
故“A B”是“a>5”的必要不充分条件.
π 1 6.（2009·北京文，6） " " 是" cos 2 " 的 6 2
（ A ） A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 π π 1 π 解析 当 时, cos 2 cos ; 而当 时, 6 3 2 6 π 1 1 π 外 这说明 cos 2 cos( ) , cos 2 时, 除 3 2 2 6 π 1 还可以取其他的值.所以 " " 是" cos 2 " 的
q的必要不充分条件的是
A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dห้องสมุดไป่ตู้
B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过 第二象限 C.p:x=1，q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在（0,+∞）上
为增函数
解析
由于a>b,c>d a+c>b+d，而a+c>b+d却不一定
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
2.（2009·浙江理，2）已知a,b是实数，则“a>0且 b>0”是“a+b>0且ab>0”的 A.充分而不必要条件 （ C）
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析
当a>0且b>0时，一定有a+b>0且ab>0.反之，
当a+b>0且ab>0时，一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0” 是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
6 2
充分而不必要条件.
二、填空题 7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x 的取值范围是______. [1,2)
解析
x
［2，5］且x {x|x<1或x>4}是真命题.
x 2或x 5, 由 得1≤x<2 . 1 x 4.
8.设p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0，若p是q的充 1 [0, ] 分不必要条件,则实数a的取值范围是________. 2 1 解析 p: ≤x≤1,q：a≤x≤a+1, 2 易知p是q的真子集，
(4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0， q：(x-1)(y-2)=0. 首先分清条件和结论，然后根据充要条 思维启迪 件的定义进行判断.
解
（1）在△ABC中，∠A=∠B sin A=sin B，反
之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三 角形三个内角和为180°),所以只有A=B. 故p是q的充要条件. (2)易知,p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q p, q,即 q是p的充分不必要条件,根据原命题 但p 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有 x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以p q但q p,故p是q的充分不必要条件.
3.（2008·广东文，8）命题“若函数f(x)=logax
(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的 逆否命题是 义域内不是减函数 ( ) A.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定
B.若loga2<0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定
1 1 a , 2 0 a . 2 a 1 1.
探究提高
判断p是q的什么条件，需要从两方面分
析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命
题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观
化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题 的等价性，转化为判断它的等价命题.
知能迁移2
（2009·安徽理，4）下列选项中,p是 （ ）