欧阳光中《数学分析》(上册)章节题库-第十一章至第十五章【圣才出品】

，则数集
在
（1，﹢∞）中稠密．
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证明：（1）作
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即可．
（2）若
，则有
由此即可得证．对
可类推
（3）对任一实数 x＞0，以及ε＞0，取 n，m 使得
从而可知
即得所证．
（4）反证法．假定存在
以及
，使得
，所以对充分大的 k，存在
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（3）最后，由上、下极限的基本性质知
于是本题得证．
8．设 un（n≥1）是正数列，则 证明：
若
有限，则对任意给定的ε＞0，存在 n0，使当 n≥n0 时，
因此当 p≥1 时，
从而
因为当 p→∞时，上式右边趋于λ＋ε，所以存在 p0＞0，使当 p≥p0 时，
因而
于是当 n≥n0＋P0 时（此时总存在 P≥P0 使得 n＝n0＋p），
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第 11 章 极限论及实数理论的补充
１．设 a，b 是实数，a＜b，则有无理数 c：
证明：根据
，可知存在有理数 r，使得
，易知
若r
≠0，则 是无理数．若 r＝0，则 a＜0＜b 或
易知存在有理数 s：
由此知
，即
是 a 与 b 之间的无理数．
以及
可知
区间
与
有非空的交．于是
从而 和 中必有一个与 a 的距离不超
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过 所以也可定义 满足
总之，对于每个 k∈N，存在 满足
这样构造的子列 具有如下性
，故在 N＋1 个数{mx－[mx]}中必有两个数，其差的绝对值小于 ，
不妨设为
令
，则 0＜q＜N，且
（2）反证法．假定只有有限个有理数满足上述不等式，即
令
，取
，且作整数 p，q（0＜q＜N），使得
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但因 q 是正整数，故又有
l 的定义可知，对于任意给定的 L＞l，存在下标 m＝m（L）具有下列性质：
．于是当 n＞m 时，
因为 m 固定，
，并且
，所以
于是
这对任何 L＞l 成立，所以
论得证．
（2）将步骤（1）中得到的结论应用于无穷数列
因此上述结 ，可得
即
也就是
，于是
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，根据δ之定义，
，这与原假设矛盾，证毕．
（3）对实数 P，
，由于存在
，使得
因此可令 （或
，而至少有一个数 ma（m∈Z），使得 ）∈（p，q）．
3．试证明下列命题：
（1）若 n 是自然数，则
（2）若自然数 n 不是完全平方数，则，
（3）设 a，b，c 是正有理数，若
，则
（4）
（5）存在正无理数 a，b，使得 是正整数．
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，由此知 q 可除尽 ，但这与 p，q 互素矛盾．证
毕．
（ii）反证法．假定存在 r∈Q，使得
，即
易知 r∈N 且 r≥2．由此
得
，矛盾．证毕．
（5）取
（b∈R\Q，否则有
，则
．这是不
可能的）可知
．
4．（有理数的稠密性）设 a，b 是实数，a＜b，则存在有理数 r：a＜r＜b．
证明:（1）用 p/q 代入方程并化简为
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由此知 p 是 的因子，但 p 不是 的因子，故 p 是 的因子．类似地可证 q 是
的因子．
（2）易知
分别满足方程
从而由（1）立即得证．此外，如果
是有理数，那么对
，1≤n＜m．因为 ，使得
特别，对每个 k，则有
但后一式左端在 k→﹢∞时为 0，这与
矛盾．证毕．
7．设
并且
对于任意无穷数列
定义
试求证：
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证明：（1）首先证明
如果
那么此不等式显然成立，所以可设
（有限实数）．由
由此推出
若 也成立．
同法可证 知
则因为
所以上述不等式显然
又由上极限和下极限间的基本关系式 于是本题得证．
9．求证：若实数列 xn（n≥1）有界，满足
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则对于
和
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间的任意实数 a，必存在 xn 的子列
使得
证明：证法一 因为 xn 有界，所以
使当 时 使得
若 p＝q，则
和 因为
都有限．设 a∈（1，L）任意．令 所以存在正整数
依上极限和下极限的基本性质，存在下标
以及下标
使得
因此
或
令
即有
若 p≠q，不妨设
因为
所以若也
则令
即有
不然则考虑区间
由
以
及
可知区间
与
有非空的交．若
则取
即有
不然则考虑区间
又可重复类似的推理．最后至多可
能需要考虑区间
那么由
证明:（1）反证法．假定
（p 与 q 是互素正整数），则知
由此可知 是
的因子，也即 是 的因子，这与假定矛盾．
（2）反证法．假定
（p，q 是互素正整数），则由
可知， 是 p2
的因子．从而得
，即
，这与题设矛盾．
（3）记
，注意到
，即可得知
，
证毕．
（4）（i）反证法．假定
，记为
（p，q 是互素正整数），则
两
端平方．
可得
这与
矛盾．
（3）由题设知
从而根据公式
再用归纳法即可得证．
6．试证明下列命题：
（1）对任一实数 x，任一正整数 n，存在
，使得
（2）设 a＞0，b＞0，则 位于（a＋2b）/（a＋b）与 a/b 之间．
（3）若 m，n 取遍一切正整数，则数列
在（0，∞）上稠密．
（4）若 是递增无上界列，且
证明：因为 b－a＞0，所以存在正整数 n，使得
易知 na＜na＋1＜nb，且
存在整数
从而有 na＜m．
综合上述结果，可得
．由此立即导出
，即
其中
是有理数．
5．试证明下列命题： （1）若有理数 p/q（既约分式）是整系数多项式
的根，则 p 是 的因子，q 是 的因子．
（2）
与
以及
都是无理数．
（3）若
，则
2．试证明下列命题： （1）对任给的实数 x 以及正整数 N：N＞1，必存在整数 P，q：0＜q＜N，使得
（2）若 x 为无理数，则存在无穷多个有理数
，使得
（3）若α是无理数，则点集
在 R 中稠密．
证明 ：（ 1）考 察 N＋ 1 个实 数 mx－[mx] （ m＝ 1， 2，…， N，N＋ 1）．由 于有