【2014海淀一模】北京市海淀区2014届高三年级第二学期期中练习理科数学试题(含答案)(扫描版)
北京市海淀区高三数学下学期期中练习题 理(海淀一模,扫描版)北师大版
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北京市海淀区2014届高三数学下学期期中练习题理(海淀一模,扫描版)北师大版海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 (理科) 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1. C 2. D3. D4. A5. B6. B7. C8. B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 96 10. 16 11. 2 12. 34 13. 414. 9;3 (本题第一空3分,第二空2分)三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15.解: (Ⅰ)π()sin3f x x = ---------------------------2分(1)(0)(0)1f fg -=------------------------------3分πsinsin 03=-=.-------------------------------5分 (Ⅱ)(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+-------------------------------6分 πππsincos cos sin sin 33333t t t ππ=+- ------------------------------7分1ππsin233t t =- ------------------------------8分ππsin()33t =-- ------------------------------10分因为33[,]22t ∈-,所以ππ5ππ[,]3366t -∈-, ------------------------------11分 所以π1sin ()332t π-∈-,-----------------------------12分 所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2- -----------------------------13分 16.解:(Ⅰ)甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36,众数为33. --------------------------------2分 (Ⅱ)设a 为乙公司员工B 投递件数,则当a =34时,X =136元,当a >35时,354(35)7X a =⨯+-⨯元,X 的可能取值为136,147,154,189,203-------------------------------4分{说明:X 取值都对给4分,若计算有错,在4分基础上错1个扣1分,4分扣完为止} X--------------------------------------9分{说明:每个概率值给1分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}13231()1361471541892031010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1655==165.5()10元--------------------------------------11分(Ⅲ)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元,乙公司被抽取员工该月收入4965元. ------------------------------------13分17.(Ⅰ)因为平面ABD ⊥平面BCD ,交线为BD ,又在ABD ∆中,AE BD⊥于E ,AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面B.--------------------------------------3分(Ⅱ)由(Ⅰ)结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.由题意可知EF BD ⊥,又AE ⊥BD .如图,以E 为坐标原点,分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系E xyz ---------------------------4分 不妨设2AB BD DC AD ====,则1BE ED ==. 由图1条件计算得,AE =BC =BF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),E D B A F C --------5分(3,1,0),(0,1,DC AD ==.由AE ⊥平面B C D 可知平面DCB 的法向量为EA .-----------------------------------6分 设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ,则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 即0,0.y y +==⎪⎩令1z =,则,1y x ==,所以(11)=-n .------------------------------------8分平面DCB 的法向量为EA 所以cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n , 所以二面角A DCB --的余弦值为------------------------------9分 (Ⅲ)设AM AFλ=,其中[0,1]λ∈.由于3(AF=, 所以(0,3)AM Aλλ==,其中[0,1]λ∈--------------------------10分所以3,03E M E Aλ⎛=+=- ⎝--------------------------11分由0EM ⋅=n ,即03λ=-(1- ---------------------------12分解得3=(04λ∈.-----------------------------13分所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面,且34AM AF =.-------------14分18.解 (Ⅰ)e axy a '=,-----------------------------------2分因为曲线C 在点(0,1)处的切线为L :2y x m =+, 所以12m =⨯+且0|2x y ='=.----------------------------------4分解得1m =,2a =-----------------------------------5分 (Ⅱ)法1:对于任意实数a ,曲线C 总在直线的y ax b =+的上方,等价于∀x ,a R ∈,都有e axax b >+,即∀x ,a ∈R ,e 0ax ax b -->恒成立,--------------------------------------6分令()e ax g x ax b=--,----------------------------------------7分①若a=0,则()1g x b =-,所以实数b 的取值范围是1b <;----------------------------------------8分②若0a ≠,()(e 1)axg x a '=-,由'()0g x =得0x =,----------------------------------------9分'(),()g x g x 的情况如下:-----------------------------------------11分所以()g x 的最小值为(0)1g b =-,-------------------------------------------12分所以实数b 的取值范围是1b <; 综上,实数b 的取值范围是1b <. --------------------------------------13分 法2:对于任意实数a ,曲线C 总在直线的y ax b =+的上方,等价于∀x ,a R ∈,都有e axax b >+,即∀x ,a ∈R ,e ax b ax<-恒成立,-------------------------------------------6分令t ax =,则等价于∀t ∈R ,e tb t <-恒成立,令()e t g t t=-,则()e 1t g t '=-,-----------------------------------------7分由'()0g t =得0t =,----------------------------------------9分'(),()g t g t 的情况如下:-----------------------------------------11分所以()e t g t t=-的最小值为(0)1g =,------------------------------------------12分实数b 的取值范围是1b <. --------------------------------------------13分 19.解: (Ⅰ)设00(,)A x y ,00(,)-B x y ,---------------------------------------1分因为∆ABM为等边三角形,所以00|||1|3=-y x .---------------------------------2分又点00(,)A x y 在椭圆上,所以002200|||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ 消去y ,-----------------------------------------3分得到2003280--=x x ,解得02=x 或043=-x ,----------------------------------4分当02=x时,||3=AB ; 当043=-x 时,43||=AB .-----------------------------------------5分 {说明:若少一种情况扣2分}(Ⅱ)法1:根据题意可知,直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,AB 中点为00(,)N x y ,联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ,------------------6分由0∆>得到222960--<m k ①----------------------------7分所以122623+=-+kmx x k ,121224()223+=++=+m y y k x x m k ,----------------------------8分所以2232(,)2323-++km mN k k ,又(1,0)M如果∆ABM 为等边三角形,则有⊥MN AB ,--------------------------9分所以1MN k k ⨯=-, 即222231123mk k k+⨯=---+,------------------------------10分化简2320k km ++=,②------------------------------11分由②得232k m k+=-,代入① 得2222(32)23(32)0k k k +-+<, 化简得2340+<k ,不成立,-------------------------------------13分{此步化简成42291880k k k++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM不能为等边三角形.-------------------------------------14分法2:设11(,)A x y ,则2211239x y +=,且1[3,3]x ∈-,所以||MA ===,----------------8分设22(,)B x y ,同理可得|)1M B=+,且2[3,3]x ∈- -----------------9分因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以,有12x x =⇔||M A M B =,---------------------------------11分因为,A B 不关于x 轴对称,所以12x x ≠.所以|M A M ≠,---------------------------------13分所以∆ABM不可能为等边三角形.---------------------------------14分 20.解:(Ⅰ)设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ,1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(,2)(5,2)=-=--B B x y B B x y ,,由正交点列的定义可知 12120A A B B ⋅=,23230A A B B ⋅=,即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩ 解得25=⎧⎨=⎩x y 所以点列123(,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分(Ⅱ)由题可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=,, 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列,则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==-B B B B B B ,,λλλ∈123,,Z 因为1144,A B A B 与与相同,所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9,(1)3+3+3=1.(2)因为λλλ∈123,,Z ,方程(2)显然不成立,所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列;---------------8分 (Ⅲ)5n n ∀≥∈,N ,都存在整点列()A n 无正交点列.-------------------------9分5n n ∀≥∈,N ,设1(,),i i i i A A a b +=其中,i i a b 是一对互质整数,1,2,3,1i n =-若有序整点列123,,,n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列,则1(,),1,2,3,,1λ+=-=-i i i i i B B b a i n ,则有 11=1111=11,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①当n 为偶数时,取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数,,为偶数.由于123,,,n B B B B 是整点列,所以有i λ∈Z ,1,2,3,,1i n =-.等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立, 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列;②当n 为奇数时,取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数,,为偶数,由于123,,,n B B B B 是整点列,所以有i λ∈Z ,1,2,3,,1i n =-.等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立, 所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列.综上所述,5n n ∀≥∈,N ,都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分。
【2014海淀一模】北京市海淀区2014届高三下学期期中练习 数学文 Word版含答案
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海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 (文科) 2014.4本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈= 则A.{}1-B.{}0C. {}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量,a b 满足||2=a ,||1=b ,且,a b 的夹角为60︒,则()⋅+a a b = A.1 B. 3 C.5 D. 75. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A B C D6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1S ,22S a +,3S 成等差数列,则数列{}n a 的公比为A .1B .2C .12D .3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数,则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件OyxOyxOyxOyx8. 已知(1,0)A ,点B 在曲线:G ln y x =上,若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为A .0B .1C .2D .4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线221 3x y m -=的离心率为2,则m =__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______方案一: 方案二: 方案三:11. 在ABC ∆中,3a =,5b =,120C = ,则sin ______,_______.sin Ac B== 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:①()x f x p q =⋅,(0,1)q q >≠;②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠;③2()f x x px q =++. 能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为_________(填写相应函数的序号),若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==,则()f x =_____________.13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω,不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点,则a = ;(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积,则函数()S a 的取值范围是.俯视图主视图侧视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数π()sin sin()3f x x x =--.(Ⅰ)求π()6f ;(Ⅱ)求()f x 在ππ[,]22-上的取值范围.16.(本小题满分13分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对100名出租车司机.10(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率;(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. (本小题满分14分)如图1,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,D 为AC 中点,AE BD ⊥于E (不同于点D ),延长AE 交BC 于F ,将△ABD 沿BD 折起,得到三棱锥1A BCD -,如图2所示. (Ⅰ)若M 是FC 的中点,求证:直线DM //平面1A EF ; (Ⅱ)求证:BD ⊥1A F ;(Ⅲ)若平面1A BD ⊥平面BCD ,试判断直线1AB 与直线CD 能否垂直?并说明理由.1图 图 218. (本小题满分13分)已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立.19. (本小题满分14分)已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点,点M 的坐标为(1,0). (Ⅰ)当,A B 关于点(1,0)M 对称时,求证:121x x ==;(Ⅱ)当直线AB 经过点(0,3) 时,求证:MAB ∆不可能为等边三角形.20. (本小题满分13分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)()A n :123,,,,n A A A A 与()B n :123,,,,n B B B B ,其中3n ≥,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段11i i i i A A B B ++⊥,其中1,2,3,,1i n =- , 则称()A n 与()B n 互为正交点列.(Ⅰ)试判断(3)A :123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B :123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列,并说明理由; (Ⅱ)求证:(4)A :12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ; (Ⅲ)是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ?并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 (文科) 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2014北京市海淀区高三(一模)数 学(理)
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2014北京市海淀区高三(一模)数学(理)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(5分)已知集合A={1,2,},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A.{} B.{2} C.{1} D.∅2.(5分)复数z=(1+i)(1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为()A.(1,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(2,0)3.(5分)下列函数f(x)图象中,满足f()>f(3)>f(2)的只可能是()A.B.C.D.4.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的普通方程为()A.x﹣y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y=0 D.x+y﹣2=05.(5分)在数列{a n}中,“a n=2a n﹣1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.(5分)小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有()A.4种B.5种C.6种D.9种7.(5分)某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为()A.1 B.2 C.3 D.48.(5分)已知A(1,0),点B在曲线G:y=ln(x+1)上,若线段AB与曲线M:y=相交且交点恰为线段AB的中点,则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点.记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a,则()A.a=0 B.a=1 C.a=2 D.a>2二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为.10.(5分)函数y=x﹣x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于.11.(5分)如图,AB切圆O于B,AB=,AC=1,则AO的长为.12.(5分)已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切,则m= .13.(5分)如图,已知△ABC中,∠BAD=30°,∠CAD=45°,AB=3,AC=2,则= .14.(5分)已知向量序列:,,,…,,…满足如下条件:||=4||=2,2•=﹣1且﹣=(n=2,3,4,…).若•=0,则k= ;||,||,||,…,||,…中第项最小.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知函数f(x)=2sin xcos x,过两点A(t,f(t)),B(t+1,f(t+1))的直线的斜率记为g (t).(Ⅰ)求g(0)的值;(Ⅱ)写出函数g(t)的解析式,求g(t)在[﹣,]上的取值范围.16.(13分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如图:每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;(Ⅱ)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17.(14分)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如图2所示.(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCD;(Ⅱ)求二面角A﹣DC﹣B的余弦值.(Ⅲ)在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC?若存在,请指明点M的位置;若不存在,请说明理由.18.(13分)已知曲线C:y=e ax.(Ⅰ)若曲线C在点(0,1)处的切线为y=2x+m,求实数a和m的值;(Ⅱ)对任意实数a,曲线C总在直线l:y=ax+b的上方,求实数b的取值范围.19.(14分)已知A,B是椭圆C:2x2+3y2=9上两点,点M的坐标为(1,0).(Ⅰ)当A,B两点关于x轴对称,且△MAB为等边三角形时,求AB的长;(Ⅱ)当A,B两点不关于x轴对称时,证明:△MAB不可能为等边三角形.20.(13分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)A (n):A1,A2,A3,…,A n与B(n):B1,B2,B3,…,B n,其中n≥3,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段A i A i+1⊥B i B i+1,其中i=1,2,3,…,n﹣1,则称A(n)与B(n)互为正交点列.(Ⅰ)求A(3):A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列B(3);(Ⅱ)判断A(4):A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)是否存在正交点列B(4)?并说明理由;(Ⅲ)∀n≥5,n∈N,是否都存在无正交点列的有序整点列A(n)?并证明你的结论.数学试题答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.【解答】当x=1时,y=1;当x=2时,y=4;当x=时,y=,∴B={1,4,},∴A∩B={1}.故选:C.2.【解答】∵z=(1+i)(1﹣i)=1﹣i2=2,∴复数z=(1+i)(1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为(2,0).故选:D.3.【解答】由所给的不等式可得,函数是先减后增型的,故排除A,B,由于C的图象关于x=1对称,左减右增,有f()=f()<f(3),故排除CD图象在(0,1)上递减且递减较快,在(1,+∞)递增,递增较慢,可能满足f()>f(3)>f(2),故选D.4.【解答】将直线l的参数方程为(t为参数),利用代入法,化成普通方程为x﹣y﹣2=0.故选:A.5.【解答】若“{a n}是公比为2的等比数列,则当n≥2时,a n=2a n﹣1,成立.当a n=0,n=1,2,3,4,…时满足a n=2a n﹣1,n=2,3,4,但此时{a n}不是等比数列,∴“a n=2a n﹣1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.故选:B.【解答】记反面为1,正面为2;则正反依次相对有12121212,21212121两种;有两枚反面相对有21121212,21211212,6.21212112;共5种摆法,故选B7.【解答】∵原价是:48×42=2016(元),2016×0.6=1209.6(元),∵每张订单金额(6折后)满300元时可减免100,∴若分成10,10,11,11,由于48×10=480,480×0.6=288,达不到满300元时可减免100,∴应分成9,11,11,11.∴只能减免3次,故答案选:C.8.【解答】设点B(x,ln(x+1)),则点A,B的中点的坐标是(,),由于此点在曲线M:y=上,故有=,即ln(x+1)=,此方程的根即两函数y=ln(x+1)与y=的交点的横坐标,由于此二函数一为增函数,一为减函数,故两函数y=ln(x+1)与y=的交点个数为1,故符合条件的关联点仅有一个,所以a=1故选:B.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.【解答】由三视图知:几何体为三棱柱,且三棱柱的高为8,底面三角形的一条边长为6,该边上的高为4,∴几何体的体积V=×6×4×8=96.故答案为:96.10.【解答】由方程组,解得,x1=0,x2=1.故所求图形的面积为S=( x﹣x2)dx=(x2﹣x3)=.故答案为:.11.【解答】设圆的半径为r,则∵AB切圆O于B,∴AB2=AC•(AC+2r),∵AB=,AC=1,∴3=1+2r,∴r=1,∴AO=AC+1=2.故答案为:2.12.【解答】抛物线y2=4x的准线为x=﹣1,圆x2+y2+mx﹣=0的圆心O(﹣,0),半径r=,∵圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切,∴圆心O(﹣,0)到准线为x=﹣1的距离d=r,∴d=|﹣1|=,解得m=,故答案为:.13.【解答】过C作CE∥AB,与AD的延长线相交于E,则∠AEC=30°.在△AEC中,∵∠CAD=45°,∴,∴CE=2,∵CE∥AB,AB=3,∴===.故答案为:.14.【解答】∵﹣=,∴=+(k﹣1),又∵||=4||=2,2•=﹣1∴||=2,||=,•=∴•=•[+(k﹣1)]=+(k﹣1)•=22+(k﹣1)()=0,解得k=9∴=[+(k﹣1)]2=+(k﹣1)2+2(k﹣1)•=22+(k﹣1)2﹣(k﹣1)=(k﹣3)2+3,故当k=3时,上式取最小值,即||最小,故答案为:9;3三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.【解答】(Ⅰ)∵f(x)=2sin xcos x,∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)∴=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)∵,∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)∴g(t)在上的取值范围是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)16.【解答】(Ⅰ)甲公司员工A投递快递件数的平均数为:=(32+33+33+38+35+36+39+33+41+40)=36,众数为33.(2分)(Ⅱ)设a为乙公司员工B投递件数,则当a=34时,X=136元,当a>35时,X=35×4+(a﹣35)×7元,∴X的可能取值为136,147,154,189,203,(4分)P(X=136)=,P(X=147)=,P(X=154)=,P(X=189)=,P(X=203)=,X的分布列为:X 136 147 154 189 203P(9分)=.(11分)(Ⅲ)根据图中数据,由(Ⅱ)可估算:甲公司被抽取员工该月收入=36×4.5×30=4860元,乙公司被抽取员工该月收入=165.5×30=4965元.(13分)17.【解答】(Ⅰ)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE⊂平面ABD∴AE⊥平面BCD.(3分)(Ⅱ)解:由(Ⅰ)结论AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF.由题意知EF⊥BD,又AE⊥BD.如图,以E为坐标原点,分别以EF,ED,EA所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系E﹣xyz,(4分)不妨设AB=BD=DC=AD=2,则BE=ED=1.由图1条件计算得,,,EF=,则,.∵AE⊥平面BCD,∴平面DCB的法向量为=(0,0,).(6分)设平面ADC的法向量为=(x,y,z),则,即令z=1,得=(﹣1,,1).(8分)∴cos<>==,∴二面角A﹣DC﹣B的余弦值为.(9分)(Ⅲ)解:设,其中λ∈[0,1].∵,∴,其中λ∈[0,1],(10分)∴,(11分)由,即,(12分)解得,(13分)∴在线段AF上存在点M,使,且.(14分)18.【解答】(Ⅰ)y'=ae ax,因为曲线C在点(0,1)处的切线为L:y=2x+m,所以1=2×0+m且y'|x=0=2.解得m=1,a=2(Ⅱ)法1:对于任意实数a,曲线C总在直线的y=ax+b的上方,等价于∀x,a∈R,都有e ax>ax+b,即∀x,a∈R,e ax﹣ax﹣b>0恒成立,令g(x)=e ax﹣ax﹣b,①若a=0,则g(x)=1﹣b,所以实数b的取值范围是b<1;②若a ≠0,g'(x )=a (e ax﹣1),由g'(x )=0得x=0,g'(x ),g (x )的情况如下: x (﹣∞,0)0 (0,+∞) g'(x )﹣ 0 + g (x ) ↘ 极小值 ↗ 所以g (x )的最小值为g (0)=1﹣b ,所以实数b 的取值范围是b <1;综上,实数b 的取值范围是b <1.法2:对于任意实数a ,曲线C 总在直线的y=ax+b 的上方,等价于∀x ,a ∈R ,都有e ax >ax+b ,即∀x ,a ∈R ,b <e ax ﹣ax 恒成立,令t=ax ,则等价于∀t ∈R ,b <e t ﹣t 恒成立,令g (t )=e t ﹣t ,则 g'(t )=e t ﹣1,由g'(t )=0得t=0,g'(t ),g (t )的情况如下: t (﹣∞,0)0 (0,+∞) g'(t )﹣ 0 + g (t ) ↘极小值 ↗所以 g (t )=e t ﹣t 的最小值为g (0)=1,实数b 的取值范围是b <1.19.【解答】(Ⅰ)解:设A (x 0,y 0),B (x 0,﹣y 0),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)因为△ABM 为等边三角形,所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)又点A (x 0,y 0)在椭圆上, 所以 消去y 0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)得到 ,解得x 0=2或,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)当x0=2时,;当时,.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)证明:设A(x1,y1),则,且x1∈[﹣,],所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)设B(x2,y2),同理可得,且x2∈[﹣,]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)因为在[﹣,]上单调所以,有x1=x2⇔|MA|=|MB|,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)因为A,B不关于x轴对称,所以x1≠x2.所以|MA|≠|MB|,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)所以△ABM不可能为等边三角形.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14分)20.【解答】(Ⅰ)设点列A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列是B1,B2,B3,由正交点列的定义可知B1(0,2),B3(5,2),设B2(x,y),,,由正交点列的定义可知,,即,解得所以点列A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列是B1(0,2),B2(2,5),B3(5,2).(3分)(Ⅱ)由题可得,设点列B1,B2,B3,B4是点列A1,A2,A3,A4的正交点列,则可设,λ1,λ2,λ3∈Z因为A1与B1,A4与B4相同,所以有因为λ1,λ2,λ3∈Z,方程(2)显然不成立,所以有序整点列A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)不存在正交点列;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)(Ⅲ)∀n≥5,n∈N,都存在整点列A(n)无正交点列.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)∀n≥5,n∈N,设,其中a i,b i是一对互质整数,i=1,2,3…,n﹣1若有序整点列B1,B2,B3,…B n是点列A1,A2,A3,…A n正交点列,则,则有①当n为偶数时,取A1(0,0),.由于B1,B2,B3,…B n是整点列,所以有λi∈Z,i=1,2,3,…,n﹣1.等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,所以该点列A1,A2,A3,…A n无正交点列;②当n为奇数时,取A1(0,0),a1=3,b1=2,,由于B1,B2,B3,…B n是整点列,所以有λi∈Z,i=1,2,3,…,n﹣1.等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,所以该点列A1,A2,A3,…A n无正交点列.综上所述,∀n≥5,n∈N,都不存在无正交点列的有序整数点列A(n)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)。
【2014海淀一模】北京市海淀区2014届高三下学期期中练习数学文扫描版含答案
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海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学(文科)2014.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.B2.B3.C4.C5.A6.D7. C8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 1 10. 方案三11. 35,712. ③,2()817f x x x=-+13. 15214.π[0,)2{说明:两空的第一空3分,第二空2分;14题的第二空若写成π(0,)2不扣分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.解:(Ⅰ)ππππ()sin sin()6663f=-----------------------------------1分ππsin sin()66=-----------------------------------2分ππsin sin66=+---------------------------------3分π2sin16==---------------------------------4分(Ⅱ)1()sin sin22f x x x x=-+---------------------------------6分1sin2x x=+sin()3xπ=+--------------------------------8分因为ππ22x-≤≤所以ππ5π636x-≤+≤--------------------------------10分所以1πsin()123x -≤+≤ --------------------------------12分所以()f x 的取值范围是1[,1]2- --------------------------------13分16.解:(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人,记“答对题目数大于等于9道”为事件A55()10.45100P A =-= --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A 、B 、C 、D 、E ,其中A 、B 为女司机 ,选出两人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种情况,至少有1名女驾驶员的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 共7种.记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M ,则7()0.710P M == --------------------------------13分 17.解:(Ⅰ)因为D ,M 分别为,AC BD 中点,所以DM //EF ---------------------2分 又1EF A EF ⊂平面,1DM A EF ⊄平面所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分 (Ⅱ)因为1A E BD ⊥,EF BD ⊥且1A EEF E =所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分 又11A F A EF ⊂平面所以1BD A F ⊥ ------------------------9分(Ⅲ)直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A BDBCD BD =平面平面,EF BD ⊥,EF CBD ⊂平面,所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分 因为11A B A BD ⊂平面,所以1A B EF ⊥, 又因为//EF DM ,所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥,因为1A B DM ⊥,CDDM D =,所以1A B BCD ⊥平面, ------------------------------------------13分 所以1A B BD ⊥,这与1A BD ∠为锐角矛盾所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分18.解:(Ⅰ) 定义域为()0,+∞ ------------------------------------1分'()ln 1f x x =+ ------------------------------------2分令'()0f x =,得 1ex =------------------------------------3分 '()f x 与()f x 的情况如下:分所以()f x 的单调减区间为1(0,)e ,单调增区间为1(,)e+∞--------------------------6分 (Ⅱ) 证明1:设1()ln g x x x=+,0x > ------------------------------------7分 22111'()x g x x x x-=-= -------------------------------8分 '()g x 与()g x 的情况如下:所以()(1)1g x g ≥=,即 1ln 1x x+≥在0x >时恒成立, ----------------------10分 所以,当1k ≤时,1ln x k x+≥, 所以ln 1x x kx +≥,即ln 1x x kx ≥-,所以,当1k ≤时,有()1f x kx ≥-. ------------------------13分 证明2:令()()(1)ln 1g x f x kx x x kx =--=-+ ----------------------------------7分'()ln 1g x x k =+- -----------------------------------8分令'()0g x =,得1e k x -= -----------------------------------9分'()g x 与()g x 的情况如下:分()g x 的最小值为11(e )1e k k g --=- -------------------11分当1k ≤时,1e 1k -≤,所以11e 0k --≥故()0g x ≥ -----------------------------12分 即当1k ≤时,()1f x kx ≥-. ------------------------------------13分 19.解:(Ⅰ)证明:因为,A B 在椭圆上,所以2211222224,2 4.x y x y ②①ìï+=ïíï+=ïî -----------------------------------1分 因为,A B 关于点(1,0)M 对称,所以12122,0x x y y +=+=, --------------------------------2分将21212,x x y y =-=-代入②得2211(2)24x y -+= ③,由①和③消1y 解得11x =, ------------------------------------------4分 所以 121x x ==. ------------------------------------------5分 (Ⅱ)当直线AB不存在斜率时,(0,A B -,可得AB MA ==∆ABM 不是等边三角形. -----------------------6分当直线AB 存在斜率时,显然斜率不为0.设直线AB :3y kx =+,AB 中点为00(,)N x y ,联立2224,3,x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)12140k x kx +++=, ------------------7分2221444(12)143256k k k ∆=-+⋅=-由0∆>,得到274k >① -----------------------------------8分 又1221212kx x k -+=+, 1221412x x k⋅=+ 所以0002263,31212k x y kx k k -==+=++, 所以 2263(,)1212k N k k-++ -------------------------------------------10分 假设∆ABM 为等边三角形,则有⊥MN AB , 又因为(1,0)M ,所以1MNk k ⨯=-, 即2231216112k k kk +⨯=---+, ---------------------11分 化简 22310k k ++=,解得1=-k 或12k =----------------12分 这与①式矛盾,所以假设不成立.因此对于任意k 不能使得⊥MN AB ,故∆ABM 不能为等边三角形. ------------14分 20.解:(Ⅰ)有序整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列.-------------------------1分理由如下:由题设可知 1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(2,3)(33)B B B B ==-,,, 因为 12120=A A B B ,23230=A A B B 所以 12122323⊥⊥A A B B A A B B ,.所以整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列. ----------------------------3分 (Ⅱ)证明 :由题意可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=,, 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列,则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B B B B B B λλλ=-==-,,123λλλ∈,,Z 因为1144,与与A B A B 相同,所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9①3+3+3=1②因为λλλ∈123,,Z ,方程②不成立,所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列.----------8分 (Ⅲ)存在无正交点列的整点列(5)A . -------------------------------------------9分当5n =时,设1(,),,,i i i i i i A A a b a b +=∈Z 其中,i i a b 是一对互质整数,1,2,3,4i = 若有序整点列12345,,,,B B B B B 是点列12345,,,,A A A A A 的正交点列, 则1(,),1,2,3,4i i i i i B B b a i λ+=-= ,由441i+1=11+==∑∑i i i i i A AB B得44=1144=11,.i i i i i i i i i i b a a b λλ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①②取1,(0,0)A =3,1,2,3,4i a i =,12342,1,1,1b b b b ==-==- 由于12345,,,,B B B B B 是整点列,所以有,1,2,3,4i i λ∈=Z .等式②中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,所以存在无正交点列的整点列(5)A . -----------------------------------13分。
2014海淀高三理科数学期中14题
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2014海淀高三理科数学期中14题
这道题难度还是比较大的。
涉及到绝对值函数,周期函数,等比数列等一系列的动系
没有办法画图,我简单的说一下吧
首先在[1,3)上面是个绝对值函数,开口向下的折线,这里f(3)=f (1)=0,根据周期性得到的
其实你就会发现f(3^N)都是零,当然N是需要取整数的,然后我们发现x=1和x=3是取最小值0,当x=2时取得最大值1
这个周期(3^N是周期)不规律的函数极大值就是2*3^N,最小值就是0
对已a=1,就可以算出来其实是x1=2,x2=4,x3=8
第一问就是14
然后第二问的话是比较难的,首先可以知道在[1,3]之间是没有根的,然后在[3,9]包括以后的区间内必有两根(画图吧,数形结合思想很重要,我给你算一下答案就好了具体想弄明白可以加扣口)
其实你会发现跟a是没有多大关系,就是一个首项为12,公比为3
的等比数列
答案就是6(3^n-1)
1。
2014届海淀高三一模 数学理科
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海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 (理科) 2014.4本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中,满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数),则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中,“12,2,3,4,n n a a n -== ”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A .充分不必要条件B .必要不充分条件11C .充要条件D .既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.48. 已知(1,0)A ,点B 在曲线:G ln(1)y x =+上,若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ,则A .0a =B .1a =C .2a =D .2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为______.10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图,AB 切圆O 于B,AB =,1AC =,则AO 的长为_______.12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切,则=m _______.13.如图,已知ABC ∆中,30BAD ∠= ,45CAD ∠= ,3,2AB AC ==,则BDDC=_____________.14.已知向量序列:123,,,,,n a a a a 满足如下条件:ABC俯视图主视图侧视图1||4||2==a d ,121⋅=-a d 且1n n --=a a d (2,3,4,n = ).若10k ⋅=a a ,则k =________;123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数ππ()2sin cos 66f x x x =,过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t .(Ⅰ)求(0)g 的值;(II )写出函数()g t 的解析式,求()g t 在33[,]22-上的取值范围.16. (本小题满分13分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如下:每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数;(Ⅱ)为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X (单位:元),求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17. (本小题满分14分)如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =30°,∠ABC =90°,D 为AC 中点,AE BD ⊥于E ,延长AE 交BC 于F ,将∆ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,如图2所示. (Ⅰ)求证:AE ⊥平面BCD ;(Ⅱ)求二面角A –DC –B 的余弦值. (Ⅲ)在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ?若存在,请指明点M 的位置;若不存在,请说明理由.18. (本小题满分13分)已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+,求实数a 和m 的值; (Ⅱ)对任意实数a ,曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方,求实数b 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点,点M 的坐标为(1,0).(Ⅰ)当,A B 两点关于x 轴对称,且MAB ∆为等边三角形时,求AB 的长; (Ⅱ)当,A B 两点不关于x 轴对称时,证明:MAB ∆不可能为等边三角形.20. (本小题满分13分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)()A n :123,,,,n A A A A 与()B n :123,,,,n B B B B ,其中3n ≥,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段11i i i i A A B B ++⊥,其中1,2,3,,1i n =- , 则称()A n 与()B n 互为正交点列.(Ⅰ)求(3)A :123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ;1图 图 2(Ⅱ)判断(4)A :12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ?并说明理由; (Ⅲ)5n n ∀≥∈,N ,是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ?并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 (理科) 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模)数学理试题
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数学(理科)参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1)}12.213.14.6,5050{本题第一空3分,第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解:(Ⅰ)由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a ===---------------------------5分 在锐角ABC ∆中,60B = ---------------------------7分 (Ⅱ)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-,即23c =-------------------------------11分解得c =-------------------------------12分经检验,由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A >,不符合题意,所以c =.--------------------13分 16.解:(Ⅰ)因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ,平面11ACC A 平面AEG AG =,1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点,且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点,所以112CG CC =.------------------------4分 (Ⅱ)因为1AA ⊥底面ABC ,所以1AA AB ⊥,1AA AC ⊥, ----------------------------------5分 又AB AC ⊥,如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,设2AB =,则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分因为,E G 分别是1,BC CC 的中点,所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=.--------------------------------8分所以1EG CA ⊥,所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 (Ⅲ)设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ,则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩--------------------------10分 令1x =,则1,2y z =-=-,所以(1,1,2)=--n .--------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分 由题意知二面角1A AG E --为钝角, 所以二面角1A AG E --的余弦值为.--------------------------------14分 16.解:(Ⅰ)设A 车在星期i 出车的事件为i A ,B 车在星期i 出车的事件为i B ,1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ,-------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立,且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯--------------------------4分0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分,有一个不扣分}(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=----------------------------10分--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解: (Ⅰ)当π2a =时,π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x = --------------------------------------2分(),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =,(π)1f =-,所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 (Ⅱ)'()()cos f x x a x =-,①当ππ2a <<时,(),'()f x f x 的情况如下-------------------------------------------------9分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ,单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当πa ≥时,(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2,单调减区间为π(0,)2. 19.解:(Ⅰ)由已知可设椭圆G 的方程为:2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分 由e =,可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 (Ⅱ)法一:设00(,),C x y 且00x ≠,则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =,得001M x x y -=-,所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--,求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G :2212x y +=上,所以22002(1)x y =-,-------------------11分 所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以,以线段MN 为直径的圆不过点A .------------------------------14分 法二:因为,C D 关于y 轴对称,且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上,又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠,则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分 因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分 所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三:设直线AC 的方程为1y kx =+,则1(,0)M k-, ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩化简得到222(1)20x kx ++-=, 所以22(12)40k x kx ++=,所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++, ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称,所以222421(,)2121k k D k k -+++.----------------------------8分所以直线BD 的方程为22211211421k k y x k k -+++=-+,即112y x k =-.------------------10分 令0y =,得到2x k =,所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点.--------------------------14分{法4 :转化为文科题做,考查向量AC AN ⋅的取值} 20.解:(Ⅰ)110d =,27d =,20142d =---------------------------3分 (Ⅱ)法一:①当2d =时,则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++,122d a a =+-=,由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数2a +变为最小数a ,最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +,所以数组的极差不会改变. 所以,当2d =时,(1,2,3,)n d d n ==恒成立. ②当3d ≥时,则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论,满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2.---------------------8分 法二:因为a b c <<,所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-,若2c -为最大数,则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+,则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-,则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+, 当3b c d -+=时,可得32b c -+≥,即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时,2n d =(1,2,3,n =)由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数2a +变为最小数a ,最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +,所以数组的极差不会改变.所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 (Ⅲ)因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项,所以,,a b c 是形如4k m ⋅(其中*m ∈N )的数,又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数.------------------------------------------------9分 法1:设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =,不妨设a b c <<,依据操作f 的规则,当在三元数组(,,)i f a b c (1,2,3,,i x =,x ∈N )中,总满足i c 是唯一最大数,i a 是最小数时,一定有2a x b x c x +<+<-,解得3c b x -<. 所以,当2,3,,13c b i -=-时,111(2)(1)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c b f a b c -+-++=,3c bd b a -=- 依据操作f 的规则,当在三元数组(,,)i f a b c (,1,,333c b c b c b i y ---=++,y ∈N )中,总满足i i c b =是最大数,i a 是最小数时,一定有32233a cbc b y y +-++<-,解得3b a y -<. 所以,当,1,,1333c b c b c a i ---=+-时,111(1)(2)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b c f a b c -++++++=,30c a d -= 所以存在3c a n -=,满足(,,)n f a b c 的极差0nd =.--------------------------------13分 法2:设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =,则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时,不妨设i i i a b c ≤<,则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-,所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以,若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数,则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤,则3i d ≥,1130i i i i c b c b ++-=--≥, 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时,不妨设i i i a b c <=,则 1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-,所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-, 所以,若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数,则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤,则3i d ≥,1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时,数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时,由上述分析可得10i d +=,此时1113i i i a b c a b c +++++=== 所以存在3d n =,满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。
2014北京市海淀区高三二模试卷数学理试题及答
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数学(理科)参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1)}12.213.14.6,5050{本题第一空3分,第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解:(Ⅰ)由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a ===---------------------------5分 在锐角ABC ∆中,60B = ---------------------------7分 (Ⅱ)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-,即23c =-------------------------------11分解得c =-------------------------------12分经检验,由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A >,不符合题意,所以c =.--------------------13分 16.解:(Ⅰ)因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ,平面11ACC A 平面AEG AG =,1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点,且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点,所以112CG CC =.------------------------4分 (Ⅱ)因为1AA ⊥底面ABC ,所以1AA AB ⊥,1AA AC ⊥, ----------------------------------5分 又AB AC ⊥,如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,设2AB =,则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分因为,E G 分别是1,BC CC 的中点,所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=.--------------------------------8分所以1EG CA ⊥,所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 (Ⅲ)设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ,则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩--------------------------10分 令1x =,则1,2y z =-=-,所以(1,1,2)=--n .--------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分 由题意知二面角1A AG E --为钝角, 所以二面角1A AG E --的余弦值为.--------------------------------14分 16.解:(Ⅰ)设A 车在星期i 出车的事件为i A ,B 车在星期i 出车的事件为i B ,1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ,-------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立,且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯--------------------------4分0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分,有一个不扣分}(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=----------------------------10分--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解: (Ⅰ)当π2a =时,π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x = --------------------------------------2分(),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =,(π)1f =-,所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 (Ⅱ)'()()cos f x x a x =-,①当ππ2a <<时,(),'()f x f x 的情况如下-------------------------------------------------9分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ,单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当πa ≥时,(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2,单调减区间为π(0,)2. 19.解:(Ⅰ)由已知可设椭圆G 的方程为:2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分 由e =,可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 (Ⅱ)法一:设00(,),C x y 且00x ≠,则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =,得001M x x y -=-,所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--,求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G :2212x y +=上,所以22002(1)x y =-,-------------------11分 所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以,以线段MN 为直径的圆不过点A .------------------------------14分 法二:因为,C D 关于y 轴对称,且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上,又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠,则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分 因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分 所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三:设直线AC 的方程为1y kx =+,则1(,0)M k-, ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩化简得到222(1)20x kx ++-=, 所以22(12)40k x kx ++=,所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++, ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称,所以222421(,)2121k k D k k -+++.----------------------------8分所以直线BD 的方程为22211211421k k y x k k -+++=-+,即112y x k =-.------------------10分 令0y =,得到2x k =,所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点.--------------------------14分{法4 :转化为文科题做,考查向量AC AN ⋅的取值} 20.解:(Ⅰ)110d =,27d =,20142d =---------------------------3分 (Ⅱ)法一:①当2d =时,则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++,122d a a =+-=,由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数2a +变为最小数a ,最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +,所以数组的极差不会改变. 所以,当2d =时,(1,2,3,)n d d n ==恒成立. ②当3d ≥时,则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论,满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2.---------------------8分 法二:因为a b c <<,所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-,若2c -为最大数,则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+,则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-,则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+, 当3b c d -+=时,可得32b c -+≥,即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时,2n d =(1,2,3,n =)由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数2a +变为最小数a ,最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +,所以数组的极差不会改变.所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 (Ⅲ)因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项,所以,,a b c 是形如4k m ⋅(其中*m ∈N )的数,又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数.------------------------------------------------9分 法1:设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =,不妨设a b c <<,依据操作f 的规则,当在三元数组(,,)i f a b c (1,2,3,,i x =,x ∈N )中,总满足i c 是唯一最大数,i a 是最小数时,一定有2a x b x c x +<+<-,解得3c b x -<. 所以,当2,3,,13c b i -=-时,111(2)(1)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c b f a b c -+-++=,3c bd b a -=- 依据操作f 的规则,当在三元数组(,,)i f a b c (,1,,333c b c b c b i y ---=++,y ∈N )中,总满足i i c b =是最大数,i a 是最小数时,一定有32233a cbc b y y +-++<-,解得3b a y -<. 所以,当,1,,1333c b c b c a i ---=+-时,111(1)(2)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b c f a b c -++++++=,30c a d -= 所以存在3c a n -=,满足(,,)n f a b c 的极差0nd =.--------------------------------13分 法2:设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =,则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时,不妨设i i i a b c ≤<,则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-,所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以,若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数,则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤,则3i d ≥,1130i i i i c b c b ++-=--≥, 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时,不妨设i i i a b c <=,则 1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-,所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-, 所以,若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数,则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤,则3i d ≥,1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时,数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时,由上述分析可得10i d +=,此时1113i i i a b c a b c +++++=== 所以存在3d n =,满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模)数学理试题(WORD版)
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北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模)数 学 (理科) 2014.5本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符1.2.3.4. 5.6.一观览车的主架示意图如图所示,其中为轮轴的中心,距地面32m (即OM 长),巨轮的半径为30m ,AM =2BP =m ,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置,经过t 分钟,该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ,则()h t =A.ππ30sin()30122t -+ B.ππ30sin()3062t -+ C.ππ30sin()3262t -+ D.ππ30sin()62t -7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=,则8a 的取值范围是A.(2,4) B. (,2)-∞ C. (2,)+∞ D.(4,)+∞8.点9. 10.11.12.14.已知集合{1,2,3,,100}M = ,A 是集合M 的非空子集,把集合A 中的各元素之和记作()S A . ①满足()8S A =的集合A 的个数为_____;②()S A 的所有不同取值的个数为_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)在锐角ABC ∆中,a A =且b =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)若3a c =,求c 的值.16.(本小题满分14分)且17.((18.19.(本小题满分14分)已知椭圆G ,其短轴两端点为(0,1),(0,1)A B -. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ,并说明理由.120.(本小题满分13分)对于自然数数组(,,)a b c ,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥,可实施如下操作f :若,,a b c 中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若,,a b c 中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为1(,,)f a b c ,其级差为1d .若11d ≥,则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ,…,实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ,其极差记为n d .例如:1(1,3,3)(3,2,2)f =,2(1,3,3)(1,3,3)f =. (Ⅰ)若(,,)(1,3,14)a b c =,求12,d d 和2014d 的值;(Ⅱ)已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<,若1,2,3,n = 时,恒有n d d =,求d 的所有可能取值; (Ⅲ)若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在n 满足0n d =.数学(理科)参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习 理科数学 Word版含答案.
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北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模数学 (理科 2014.5本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.sin(150-的值为A .12-B .12 C. D2.已知命题:p “0a ∀>,有e 1a≥成立”,则p ⌝为 A. 0a ∃≤,有e 1a≤成立 B. 0a ∃≤,有e 1a≥成立 C. 0a ∃>,有e 1a<成立 D. 0a ∃>,有e 1a≤成立 3. 执行如图所示的程序框图,若输出的S 为4,则输入的x 应为A.-2B.16C.-2或8D. -2或164. 在极坐标系中,圆θρsin 2=的圆心到极轴的距离为 A .1C.D. 25.已知(,P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点,(1,2A ,O 为坐标原点,则OA OP ⋅的最大值A.2B.3C.5D.66.一观览车的主架示意图如图所示,其中O 为轮轴的中心,距地面32m (即OM 长,巨轮的半径为30m ,AM =2BP =m ,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置,经过t 分钟,该吊舱P 距离地面的高度为(h t m ,则(h t =A.ππ30sin(30122t -+B.ππ30sin(3062t -+ C.ππ30sin(3262t -+ D.ππ30sin(62t -7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=,则8a 的取值范围是A. (2,4B. (,2-∞C. (2,+∞D.(4,+∞8.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点,点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点,则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 满足不等式20x x -<的x 的取值范围是________.10.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =,则双曲线的离心率为________.11.已知5(1ax +的展开式中3x 的系数是10,则实数a 的值是12.已知斜三棱柱的三视图如图所示,该斜三棱柱的体积为______.13. 已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线,则1l 与2l 的距离的最大值为_____.14.已知集合{1,2,3,,100}M =,A 是集合M 的非空子集,把集合A 中的各元素之和记作(S A .①满足(8S A =的集合A 的个数为_____;②(S A 的所有不同取值的个数为_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分在锐角ABC ∆中,a A =且b .1D D主视图俯视图(Ⅰ求B 的大小;(Ⅱ若3a c =,求c 的值.16.(本小题满分14分如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,AB AC ⊥,1AC AB AA ==,,E F 分别是棱BC ,1A A 的中点,G 为棱1CC 上的一点,且1C F //平面AEG . (Ⅰ求1CG CC 的值;(Ⅱ求证:1EG A C ⊥;(Ⅲ求二面角1A AG E --的余弦值.17.(本小题满分13分某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ,两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,A 车日出车频率0.6,B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下:现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且A ,B 两车出车相互独立. (Ⅰ求该单位在星期一恰好出车一台的概率;(Ⅱ设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求X 的分布列及其数学期望E (X .18.(本小题满分13分已知函数((sin cos ,(0,f x x a x x x π=-+∈.(Ⅰ当π2a =时,求函数(f x 值域; (Ⅱ当π2a >时,求函数(f x 的单调区间.19.(本小题满分14分已知椭圆G,其短轴两端点为(0,1,(0,1A B -. (Ⅰ求椭圆G 的方程;(Ⅱ若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ,并说明理由.120.(本小题满分13分对于自然数数组(,,a b c ,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果(,,a b c 的极差1d ≥,可实施如下操作f :若,,a b c 中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若,,a b c 中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为1(,,f a b c ,其级差为1d .若11d ≥,则继续对1(,,f a b c 实施操作f ,…,实施n 次操作后的结果记为(,,n f a b c ,其极差记为n d .例如:1(1,3,3(3,2,2f =,2(1,3,3(1,3,3f =. (Ⅰ若(,,(1,3,14a b c =,求12,d d 和2014d 的值; (Ⅱ已知(,,a b c 的极差为d 且a b c <<,若1,2,3,n =时,恒有n d d =,求d 的所有可能取值;(Ⅲ若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在n 满足0n d =.数学(理科参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2014北京海淀区一模数学文 试卷及答案
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海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 (文科)2014.4本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.A. B. C. D.2. 已知集合A. B. C. D.3. 抛物线上到其焦点距离为5的点有A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量满足,,且的夹角为,则=A.1B. 3C.5D. 75. 函数的部分图象可能是A B C D6. 已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则数列的公比为A.1 B.2 C. D.37. 已知和是指数函数,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知,点在曲线上,若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点,则称为曲线关于曲线的一个关联点.那么曲线关于曲线的关联点的个数为A.0 B.1 C.2 D.4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线的离心率为2,则__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______方案一:方案二:方案三:11. 在中,,,,则12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:①,;②;③.能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为 _________(填写相应函数的序号),若所选函数满足,则=_____________.13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组表示的区域为,不等式表示的平面区域为.(1) 若与有且只有一个公共点,则= ;(2) 记为与公共部分的面积,则函数的取值范围是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求在上的取值范围.16.(本小题满分13分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题,答题情况如下表:答对题目89数女213128男337169(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率;(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. (本小题满分14分)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC中点,于(不同于点),延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥,如图2所示.(Ⅰ)若M是FC的中点,求证:直线//平面;(Ⅱ)求证:BD⊥;(Ⅲ)若平面平面,试判断直线与直线CD能否垂直?并说明理由.18. (本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ) 当时,求证:恒成立.19. (本小题满分14分)已知是椭圆上两点,点的坐标为.(Ⅰ)当关于点对称时,求证:;(Ⅱ)当直线经过点时,求证:不可能为等边三角形.20. (本小题满分13分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点):与:,其中,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段,其中,则称与互为正交点列.(Ⅰ)试判断:与:是否互为正交点列,并说明理由;(Ⅱ)求证::不存在正交点列;(Ⅲ)是否存在无正交点列的有序整数点列?并证明你的结论.。
2014年北京市海淀区高三一模数学(理)试题和答案
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海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科) 2014.4本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则 A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0)1((2)f >的只可能是A BC D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数),则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中,“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.48. 已知(1,0)A ,点B 在曲线:G ln(1)y x =+上,若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为 线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点 的个数为a ,则 A .0a = B .1a = C .2a = D .2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为______. 10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______. 11.如图,AB 切圆O 于B ,AB =1AC =,则AO 的长为_______.12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切,则=m _______13.如图,已知ABC ∆中,30BAD ∠=,45CAD ∠=,3,2AB AC ==,则BDDC=________. 14.已知向量序列:123,,,,,n a a a a 满足如下条件:1||4||2==a d ,121⋅=-a d 且1n n --=a a d (2,3,4,n =).若10k ⋅=a a ,则k =________;123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数ππ()2sincos 66f x x x =,过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t .(Ⅰ)求(0)g 的值;(II )写出函数()g t 的解析式,求()g t 在33[,]22-上的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、10天的数据,制表如下:35件以内(含35AB D俯视图主视图侧视图件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数;(Ⅱ)为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X (单位:元),求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 17. (本小题满分14分)如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D 为AC 中点,AE BD ⊥于E ,延长AE 交BC 于F ,将∆ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,如图2所示. (Ⅰ)求证:AE ⊥平面BCD ;(Ⅱ)求二面角A –DC –B 的余弦值.(Ⅲ)在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ?若存在,请指明点M 的位置;若不存在,请说明理由.18. (本小题满分13分)已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1) 处的切线为2y x m =+,求实数a 和m 的值;(Ⅱ)对任意实数a , 曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方,求实数b 的取值范围. 19. (本小题满分14分)已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点, 点M 的坐标为(1,0).(Ⅰ)当,A B 两点关于x 轴对称,且MAB ∆为等边三角形时,求AB 的长;(Ⅱ)当,A B 两点不关于x 轴对称时,证明:MAB ∆不可能为等边三角形.20. (本小题满分13分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)()A n :123,,,,n A A A A 与()B n :123,,,,n B B B B ,其中3n ≥,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段11i i i i A A B B ++⊥,其中1,2,3,,1i n =-,则称()A n 与()B n 互为正交点列.(Ⅰ)求(3)A :123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ;(Ⅱ)判断(4)A :12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ?并说明理由; (Ⅲ)5n n ∀≥∈,N ,是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ?并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学(理科) 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2014年北京市海淀区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
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2014年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={1,2,},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A.{}B.{2}C.{1}D.∅2.(5分)复数z=(1+i)(1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为()A.(1,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(2,0)3.(5分)下列函数f(x)图象中,满足f()>f(3)>f(2)的只可能是()A.B.C.D.4.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的普通方程为()A.x﹣y﹣2=0B.x﹣y+2=0C.x+y=0D.x+y﹣2=0 5.(5分)在数列{a n}中,“a n=2a n﹣1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有()A.4种B.5种C.6种D.9种7.(5分)某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为()A.1B.2C.3D.48.(5分)已知A(1,0),点B在曲线G:y=ln(x+1)上,若线段AB与曲线M:y=相交且交点恰为线段AB的中点,则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点.记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a,则()A.a=0B.a=1C.a=2D.a>2二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为.10.(5分)函数y=x﹣x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于.11.(5分)如图,AB切圆O于B,AB=,AC=1,则AO的长为.12.(5分)已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切,则m=.13.(5分)如图,已知△ABC中,∠BAD=30°,∠CAD=45°,AB=3,AC =2,则=.14.(5分)已知向量序列:,,,…,,…满足如下条件:||=4||=2,2•=﹣1且﹣=(n=2,3,4,…).若•=0,则k =;||,||,||,…,||,…中第项最小.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知函数f(x)=2sin x cos x,过两点A(t,f(t)),B(t+1,f(t+1))的直线的斜率记为g(t).(Ⅰ)求g(0)的值;(Ⅱ)写出函数g(t)的解析式,求g(t)在[﹣,]上的取值范围.16.(13分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如图:每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;(Ⅱ)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17.(14分)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC 中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面ABD ⊥平面BCD,如图2所示.(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCD;(Ⅱ)求二面角A﹣DC﹣B的余弦值.(Ⅲ)在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC?若存在,请指明点M 的位置;若不存在,请说明理由.18.(13分)已知曲线C:y=e ax.(Ⅰ)若曲线C在点(0,1)处的切线为y=2x+m,求实数a和m的值;(Ⅱ)对任意实数a,曲线C总在直线l:y=ax+b的上方,求实数b的取值范围.19.(14分)已知A,B是椭圆C:2x2+3y2=9上两点,点M的坐标为(1,0).(Ⅰ)当A,B两点关于x轴对称,且△MAB为等边三角形时,求AB的长;(Ⅱ)当A,B两点不关于x轴对称时,证明:△MAB不可能为等边三角形.20.(13分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)A(n):A1,A2,A3,…,A n与B(n):B1,B2,B3,…,B n,其中n≥3,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段A i A i+1⊥B i B i+1,其中i=1,2,3,…,n﹣1,则称A(n)与B(n)互为正交点列.(Ⅰ)求A(3):A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列B(3);(Ⅱ)判断A(4):A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)是否存在正交点列B(4)?并说明理由;(Ⅲ)∀n≥5,n∈N,是否都存在无正交点列的有序整点列A(n)?并证明你的结论.2014年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={1,2,},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A.{}B.{2}C.{1}D.∅【解答】解:当x=1时,y=1;当x=2时,y=4;当x=时,y=,∴B={1,4,},∴A∩B={1}.故选:C.2.(5分)复数z=(1+i)(1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为()A.(1,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(2,0)【解答】解:∵z=(1+i)(1﹣i)=1﹣i2=2,∴复数z=(1+i)(1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为(2,0).故选:D.3.(5分)下列函数f(x)图象中,满足f()>f(3)>f(2)的只可能是()A.B.C.D.【解答】解:由所给的不等式可得,函数是先减后增型的,故排除A,B,由于C的图象关于x=1对称,左减右增,有f()=f()<f(3),故排除CD图象在(0,1)上递减且递减较快,在(1,+∞)递增,递增较慢,可能满足f()>f(3)>f(2),故选:D.4.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),则直线l的普通方程为()A.x﹣y﹣2=0B.x﹣y+2=0C.x+y=0D.x+y﹣2=0【解答】解:将直线l的参数方程为(t为参数),利用代入法,化成普通方程为x﹣y﹣2=0.故选:A.5.(5分)在数列{a n}中,“a n=2a n﹣1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:若“{a n}是公比为2的等比数列,,成立.则当n≥2时,a n=2a n﹣1当a n=0,n=1,2,3,4,…时满足a n=2a n,n=2,3,4,但此时{a n}不是﹣1等比数列,∴“a n=2a n,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充﹣1分条件.故选:B.6.(5分)小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有()A.4种B.5种C.6种D.9种【解答】解:记反面为1,正面为2;则正反依次相对有12121212,21212121两种;有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112;共5种摆法,故选:B.7.(5分)某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为()A.1B.2C.3D.4【解答】解:∵原价是:48×42=2016(元),2016×0.6=1209.6(元),∵每张订单金额(6折后)满300元时可减免100,∴若分成10,10,11,11,由于48×10=480,480×0.6=288,达不到满300元时可减免100,∴应分成9,11,11,11.∴只能减免3次,故选:C.8.(5分)已知A(1,0),点B在曲线G:y=ln(x+1)上,若线段AB与曲线M:y=相交且交点恰为线段AB的中点,则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点.记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a,则()A.a=0B.a=1C.a=2D.a>2【解答】解:设点B(x,ln(x+1)),则点A,B的中点的坐标是(,),由于此点在曲线M:y=上,故有=,即ln(x+1)=,此方程的根即两函数y=ln(x+1)与y=的交点的横坐标,由于此二函数一为增函数,一为减函数,故两函数y=ln(x+1)与y=的交点个数为1,故符合条件的关联点仅有一个,所以a=1故选:B.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为96.【解答】解:由三视图知:几何体为三棱柱,且三棱柱的高为8,底面三角形的一条边长为6,该边上的高为4,∴几何体的体积V=×6×4×8=96.故答案为:96.10.(5分)函数y=x﹣x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于.【解答】解:由方程组,解得,x1=0,x2=1.故所求图形的面积为S=(x﹣x2)dx=(x2﹣x3)=.故答案为:.11.(5分)如图,AB切圆O于B,AB=,AC=1,则AO的长为2.【解答】解:设圆的半径为r,则∵AB切圆O于B,∴AB2=AC•(AC+2r),∵AB=,AC=1,∴3=1+2r,∴r=1,∴AO=AC+1=2.故答案为:2.12.(5分)已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切,则m=.【解答】解:抛物线y2=4x的准线为x=﹣1,圆x2+y2+mx﹣=0的圆心O(﹣,0),半径r=,∵圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切,∴圆心O(﹣,0)到准线为x=﹣1的距离d=r,∴d=|﹣1|=,解得m=,故答案为:.13.(5分)如图,已知△ABC中,∠BAD=30°,∠CAD=45°,AB=3,AC=2,则=.【解答】解:过C作CE∥AB,与AD的延长线相交于E,则∠AEC=30°.在△AEC中,∵∠CAD=45°,∴,∴CE=2,∵CE∥AB,AB=3,∴===.故答案为:.14.(5分)已知向量序列:,,,…,,…满足如下条件:||=4||=2,2•=﹣1且﹣=(n=2,3,4,…).若•=0,则k =9;||,||,||,…,||,…中第3项最小.【解答】解:∵﹣=,∴=+(k﹣1),又∵||=4||=2,2•=﹣1∴||=2,||=,•=∴•=•[+(k﹣1)]=+(k﹣1)•=22+(k﹣1)()=0,解得k=9∴=[+(k﹣1)]2=+(k﹣1)2+2(k﹣1)•=22+(k﹣1)2﹣(k﹣1)=(k﹣3)2+3,故当k=3时,上式取最小值,即||最小,故答案为:9;3三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知函数f(x)=2sin x cos x,过两点A(t,f(t)),B(t+1,f(t+1))的直线的斜率记为g(t).(Ⅰ)求g(0)的值;(Ⅱ)写出函数g(t)的解析式,求g(t)在[﹣,]上的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=2sin x cos x,∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)∴=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)∵,∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)∴g(t)在上的取值范围是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)16.(13分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如图:每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元.(Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;(Ⅱ)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【解答】解:(Ⅰ)甲公司员工A投递快递件数的平均数为:=(32+33+33+38+35+36+39+33+41+40)=36,众数为33.(2分)(Ⅱ)设a为乙公司员工B投递件数,则当a=34时,X=136元,当a>35时,X=35×4+(a﹣35)×7元,∴X的可能取值为136,147,154,189,203,(4分)P(X=136)=,P(X=147)=,P(X=154)=,P(X=189)=,P(X=203)=,X的分布列为:(9分)=.(11分)(Ⅲ)根据图中数据,由(Ⅱ)可估算:甲公司被抽取员工该月收入=36×4.5×30=4860元,乙公司被抽取员工该月收入=165.5×30=4965元.(13分)17.(14分)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC 中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面ABD ⊥平面BCD,如图2所示.(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCD;(Ⅱ)求二面角A﹣DC﹣B的余弦值.(Ⅲ)在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC?若存在,请指明点M 的位置;若不存在,请说明理由.【解答】(Ⅰ)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE⊂平面ABD∴AE⊥平面BCD.(3分)(Ⅱ)解:由(Ⅰ)结论AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF.由题意知EF⊥BD,又AE⊥BD.如图,以E为坐标原点,分别以EF,ED,EA所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系E﹣xyz,(4分)不妨设AB=BD=DC=AD=2,则BE=ED=1.由图1条件计算得,,,EF=,则,.∵AE⊥平面BCD,∴平面DCB的法向量为=(0,0,).(6分)设平面ADC的法向量为=(x,y,z),则,即令z=1,得=(﹣1,,1).(8分)∴cos<>==,∴二面角A﹣DC﹣B的余弦值为.(9分)(Ⅲ)解:设,其中λ∈[0,1].∵,∴,其中λ∈[0,1],(10分)∴,(11分)由,即,(12分)解得,(13分)∴在线段AF上存在点M,使,且.(14分)18.(13分)已知曲线C:y=e ax.(Ⅰ)若曲线C在点(0,1)处的切线为y=2x+m,求实数a和m的值;(Ⅱ)对任意实数a,曲线C总在直线l:y=ax+b的上方,求实数b的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)y'=ae ax,因为曲线C在点(0,1)处的切线为L:y=2x+m,=2.所以1=2×0+m且y'|x=0解得m=1,a=2(Ⅱ)法1:对于任意实数a,曲线C总在直线的y=ax+b的上方,等价于∀x,a∈R,都有e ax>ax+b,即∀x,a∈R,e ax﹣ax﹣b>0恒成立,令g(x)=e ax﹣ax﹣b,①若a=0,则g(x)=1﹣b,所以实数b的取值范围是b<1;②若a≠0,g'(x)=a(e ax﹣1),由g '(x )=0得x =0,g '(x ),g (x )的情况如下:所以g (x )的最小值为g (0)=1﹣b , 所以实数b 的取值范围是b <1; 综上,实数b 的取值范围是b <1.法2:对于任意实数a ,曲线C 总在直线的y =ax +b 的上方,等价于 ∀x ,a ∈R ,都有e ax >ax +b ,即 ∀x ,a ∈R ,b <e ax ﹣ax 恒成立,令t =ax ,则等价于∀t ∈R ,b <e t ﹣t 恒成立, 令g (t )=e t ﹣t ,则 g '(t )=e t ﹣1,由g '(t )=0得t =0,g '(t ),g (t )的情况如下:所以 g (t )=e t ﹣t的最小值为g (0)=1, 实数b 的取值范围是b <1.19.(14分)已知A ,B 是椭圆C :2x 2+3y 2=9上两点,点M 的坐标为(1,0). (Ⅰ)当A ,B 两点关于x 轴对称,且△MAB 为等边三角形时,求AB 的长; (Ⅱ)当A ,B 两点不关于x 轴对称时,证明:△MAB 不可能为等边三角形. 【解答】(Ⅰ)解:设A (x 0,y 0),B (x 0,﹣y 0),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分) 因为△ABM 为等边三角形,所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分) 又点A (x 0,y 0)在椭圆上,所以消去y0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)得到,解得x0=2或,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)当x0=2时,;当时,.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)证明:设A(x1,y1),则,且x1∈[﹣,],所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)设B(x2,y2),同理可得,且x2∈[﹣,]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)因为在[﹣,]上单调所以,有x1=x2⇔|MA|=|MB|,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)因为A,B不关于x轴对称,所以x1≠x2.所以|MA|≠|MB|,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)所以△ABM不可能为等边三角形.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14分)20.(13分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)A(n):A1,A2,A3,…,A n与B(n):B1,B2,B3,…,B n,其中n≥3,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段A i A i+1⊥B i B i+1,其中i=1,2,3,…,n﹣1,则称A(n)与B(n)互为正交点列.(Ⅰ)求A(3):A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列B(3);(Ⅱ)判断A(4):A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)是否存在正交点列B(4)?并说明理由;(Ⅲ)∀n≥5,n∈N,是否都存在无正交点列的有序整点列A(n)?并证明你的结论.【解答】解:(Ⅰ)设点列A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列是B1,B2,B3,由正交点列的定义可知B1(0,2),B3(5,2),设B2(x,y),,,由正交点列的定义可知,,即,解得所以点列A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列是B1(0,2),B2(2,5),B3(5,2).(3分)(Ⅱ)由题可得,设点列B1,B2,B3,B4是点列A1,A2,A3,A4的正交点列,则可设,λ1,λ2,λ3∈Z 因为A1与B1,A4与B4相同,所以有因为λ1,λ2,λ3∈Z,方程(2)显然不成立,所以有序整点列A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)不存在正交点列;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)(Ⅲ)∀n≥5,n∈N,都存在整点列A(n)无正交点列.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)∀n≥5,n∈N,设,其中a,b i是一对互质整数,i=1,2,3…,in﹣1若有序整点列B1,B2,B3,…B n是点列A1,A2,A3,…A n正交点列,则,则有①当n为偶数时,取A1(0,0),.由于B1,B2,B3,…B n是整点列,所以有λi∈Z,i=1,2,3,…,n﹣1.等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,所以该点列A1,A2,A3,…A n无正交点列;②当n为奇数时,取A1(0,0),a1=3,b1=2,,由于B1,B2,B3,…B n是整点列,所以有λi∈Z,i=1,2,3,…,n﹣1.等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,所以该点列A1,A2,A3,…A n无正交点列.综上所述,∀n≥5,n∈N,都不存在无正交点列的有序整数点列A(n)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)。
2014海淀区高三二模数学(理科)
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2014海淀区高三二模数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)sin(﹣150°)的值为()A.﹣B.C.﹣D.2.(5分)已知命题p:“∀a>0,有e a≥1成立”,则¬p为()A.∃a≤0,有e a≤1成立B.∃a≤0,有e a≥1成立C.∃a>0,有e a<1成立D.∃a>0,有e a≤1成立3.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的S为4,则输入的x应为()A.﹣2 B.16 C.﹣2或8 D.﹣2或164.(5分)在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的圆心到极轴的距离为()A.1 B.C.D.25.(5分)已知P(x,y)是不等式组表示的平面区域内的一点,A(1,2),O为坐标原点,则•的最大值()A.2 B.3 C.5 D.66.(5分)一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32m(即OM长),巨轮的半径为30m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过t分钟,该吊舱P距离地面的高度为h(t)m,则h(t)=()A.30sin(t﹣)+30 B.30sin(t﹣)+30C.30sin(t﹣)+32 D.30sin(t﹣)7.(5分)已知等差数列{a n}单调递增且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是()A.(2,4) B.(﹣∞,2)C.(2,+∞)D.(4,+∞)8.(5分)已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点,点M、N分别是线段D1E 与C1F上的点,则满足与平面ABCD平行的直线MN有()A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)满足不等式x2﹣x<0的x的取值范围是.10.(5分)已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则其离心率为.11.(5分)已知(ax+1)5的展开式中x3的系数是10,则实数a的值是.12.(5分)已知斜三棱柱的三视图如图所示,该斜三棱柱的体积为.13.(5分)已知l1、l2是曲线C:y=的两条互相平行的切线,则l1与l2的距离的最大值为.14.(5分)已知集合M={1,2,3,…,100},A是集合M的非空子集,把集合A中的各元素之和记作S(A).①满足S(A)=8的集合A的个数为;②S(A)的所有不同取值的个数为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)在锐角△ABC中,a=2sinA且b=.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若a=3c,求c的值.16.(14分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AB=AA1,E、F分别是棱BC,A1A的中点,G为棱CC1上的一点,且C1F∥平面AEG.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求证:EG⊥A1C;(Ⅲ)求二面角A1﹣AG﹣E的余弦值.17.(13分)某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B,两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,A车日出车频率0.6,B车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下:现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且A,B两车出车相互独立.(Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率;(Ⅱ)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求X的分布列及其数学期望E(X).18.(13分)已知函数f(x)=(x﹣a)sinx+cosx,x∈(0,π).(Ⅰ)当a=时,求函数f(x)值域;(Ⅱ)当a>时,求函数f(x)的单调区间.19.(14分)已知椭圆G的离心率为,其短轴两端点为A(0,1),B(0,﹣1).(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点,直线AC、BD与x轴分别交于点M、N.判断以MN为直径的圆是否过点A,并说明理由.20.(13分)对于自然数数组(a,b,c),如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果(a,b,c)的极差d≥1,可实施如下操作f:若a,b,c中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若a,b,c中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为f1(a,b,c),其级差为d1.若d1≥1,则继续对f1(a,b,c)实施操作f,…,实施n 次操作后的结果记为f n(a,b,c),其极差记为d n.例如:f1(1,3,3)=(3,2,2),f2(1,3,3)=(1,3,3).(Ⅰ)若(a,b,c)=(1,3,14),求d1,d2和d2014的值;(Ⅱ)已知(a,b,c)的极差为d且a<b<c,若n=1,2,3,…时,恒有d n=d,求d的所有可能取值;(Ⅲ)若a,b,c是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在n满足d n=0.参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.【解答】sin(﹣150°)=﹣sin150°=﹣sin(180°﹣30°)=﹣sin30°=﹣.故选:A.2.【解答】全称命题的否定是特称命题,则¬p:∃a>0,有e a<1成立,故选:C.3.【解答】由程序框图知:算法的功能是求S=的值,当x≤1时,输出的S=4⇒2﹣x=4⇒x=﹣2;当x>1时,输出的S=4⇒log2x=4⇒x=16.故选:D.4.【解答】圆ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+(y﹣1)2=1,它的圆心为(0,1),故圆心到极轴的距离为1,故答案为:1.5.【解答】作出不等式组对应的平面区域如图:z=•,则z=x+2y,即y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B(0,3),y=﹣x+z的截距最大,此时z最大.代入z=x+2y=0+2×3=6.即•的最大值最大值为6.故选:D6.【解答】设巨轮转动时距离地面的高度h与时间t之间的函数关系式为:h=Asin(ωt+φ)+b,∵巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈,∴T==12,解得ω=,又巨轮的半径为30m,即A=30,又观览车的轮轴的中心距地面32m,AM=2m,∴b=30,∴h=30sin(t﹣)+30,故选:B.7.【解答】设公差为d,则∵a1+a10=4,∴2a1+9d=4,∴a1=2﹣,∴a8=a1+7d=2+d,∵d>0,∴a8=2+d>2.故选:C.8.【解答】取BB1的中点H,连接FH,则FH∥C1D,连接HE,在D1E上任取一点M,过M在面D1HE中,作MG平行于HO,其中O为线段D1E的中点,交D1H于G,再过G作GN∥FH,交C1F于N,连接MN,O在平面ABCD的正投影为K,连接KB,则OH∥KB,由于GM∥HO,HO∥KB,KB⊂平面ABCD,GM⊄平面ABCD,所以GM∥平面ABCD,同理由NG∥FH,可推得NG∥平面ABCD,由面面平行的判定定理得,平面MNG∥平面ABCD,则MN∥平面ABCD.由于M为D1E上任一点,故这样的直线MN有无数条.故选:D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.【解答】不等式x2﹣x<0可化为x(x﹣1)<0,解得0<x<1;∴x的取值范围是(0,1).故答案为:(0,1).10.【解答】∵双曲线的一条渐近线方程为y=2x,∴=2,即b=2a,∴c=,∴e===.故答案为:.11.【解答】(ax+1)5的展开式的通项公式为T r+1=,则∵(ax+1)5的展开式中x3的系数是10,∴=10,∴a=1.故答案为:1.12.【解答】由题意可知三棱柱的底面是直角边长为1和2的直角三角形,棱柱的高为:2.斜三棱柱的体积为:=2.故答案为:2.13.【解答】设l1,l2与曲线相切的切点分别是P1(x1,y1),P2(x2,y2),则y1=,y2=,又y′=()′=﹣,∵l1∥l2,∴﹣,∴x2=﹣x1,∴l1:y﹣y1=﹣(x﹣x1)即y=﹣,l2:y﹣y2=﹣(x﹣x2)即y=﹣,∴由两平行线的距离公式得,d==.当且仅当即x1=±1时,d取得最大值2.故答案为:2.14.【解答】①一个元素:8;两个元素:1,7;2,6;3,5;三个元素:1,3,4;1,2,5;四个元素:∴满足S(A)=8的集合A的个数为6.②∵S(A)的所有可能取值为1,2,3,4,5, (100)对于S(A)来说,由于它是集合A中的各元素之和,同时A又是集合M的非空子集,∵1+2+3+…+100=5050,∴易知S(A)将取尽1到5050的所有数,∴S(A)的取值个数为5050,故答案:①6;②5050.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.【解答】(Ⅰ)由正弦定理可得=,∵a=2sinA,b=,∴sinB===,则在锐角△ABC中,B=60°;(Ⅱ)由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB,又a=3c,b=,cosB=,∴21=9c2+c2﹣3c2,即c2=3,解得:c=,经检验,由cosA==﹣<0,可得A>90°,不符合题意,则a=3c时,此三角形无解.16.【解答】(Ⅰ)解:因为C1F∥平面AEG,又C1F⊂平面ACC1A1,平面ACC1A1∩平面AEG=AG,所以C1F∥AG.(3分)因为F为AA1中点,且侧面ACC1A1为平行四边形,所以G为CC1中点,所以=.(4分)(Ⅱ)证明:因为AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,(5分)又AB⊥AC,如图,以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz,设AB=2,则由AB=AC=AA1,得C(2,0,0),B(0,2,0),C1(2,0,2),A1(0,0,2),A(0,0,0),(6分)因为E,G分别是BC,CC1的中点,所以E(1,1,0),G(2,0,1).(7分)所以,因为=(1,﹣1,1)•(﹣2,0,2)=0.(8分)所以,所以EG⊥CA1.(9分)(Ⅲ)解:设平面AEG的法向量,因为,所以,(10分)令x=1,得=(1,﹣1,﹣2).(11分)由已知得平面A1AG的法向量,(11分)所以cos<>==﹣,(13分)由题意知二面角A1﹣AG﹣E为钝角,所以二面角A1﹣AG﹣E的余弦值为﹣.(14分)17.【解答】(Ⅰ)设A车在星期i出车的事件为A i,B车在星期i出车的事件为B i,i=1,2,3,4,5,则由已知可得P(A i)=0.6,P(B i)=0.5.设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C,则P(C)=P()=+=0.6×(1﹣0.5)+(1﹣0.6)×0.5=0.5,∴该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5;(Ⅱ)X的取值为0,1,2,3,则P(X=0)==0.4×0.5×0.4=0.08,P(X=1)==0.5×0.4+0.4×0.5×0.6=0.32,P(X=2)==0.6×0.5×0.4+0.5×0.6=0.42,P(X=3)=P(A1B1)P(A2)=0.6×0.5×0.6=0.18,∴X的分布列为EX=1×0.32+2×0.42+3×0.18=1.7.18.【解答】(Ⅰ)当a=时,f(x)=(x﹣)sinx+cosx,x∈(0,π).f′(x)=(x﹣)cosx,由f′(x)=0得x=,f(x),f′(x )的情况如下:(0,)(,π)x﹣因为f(0)=1,f(π)=﹣1,所以函数f(x)的值域为(﹣1,1).(Ⅱ)f′(x)=(x﹣a)cosx,①当时,f(x),f′(x)的情况如下(0,)(,a)所以函数f(x)的单调增区间为(,a),单调减区间为(0,)和(a,π).②当a≥π时,f(x),f′(x)的情况如下(0,)(,π)所以函数f(x)的单调增区间为(,π),单调减区间为(0,).19.【解答】(Ⅰ)∵椭圆G的离心率为,其短轴两端点为A(0,1),B(0,﹣1),∴设椭圆G的方程为:.由e=,得,解得a2=2,∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)以MN为直径的圆是不过点A.理由如下:∵C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点,∴设C(x0,y0),且x0≠0,则D(﹣x0,y0).∵A(0,1),B(0,﹣1),∴直线AC的方程为y=.令y=0,得,∴M().同理直线BD的方程为y=,令y=0,解得N().,,∴=,由C(x1,y1)在椭圆G:上,∴,∴,∴∠MAN≠90°,∴以线段MN为直径的圆不过点A.20.【解答】(Ⅰ)解:由题意,d1=10,d2=7,d2014=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)(Ⅱ)解:①当d=2时,则(a,b,c)=(a,a+1,a+2)所以f1(a,a+1,a+2)=(a+1,a+2,a),d1=a+2﹣a=2,由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数a+2变为最小数a,最小数a和次小数a+1分别变为次小数a+1和最大数a+2,所以数组的极差不会改变.所以,当d=2时,d n=d(n=1,2,3,…)恒成立.②当d≥3时,则f1(a,b,c)=(a+1,b+1,c﹣2)所以d1=b+1﹣(a+1)=b﹣a<c﹣a=d或d1=c﹣2﹣(a+1)=d﹣3所以总有d1≠d.综上讨论,满足d n=d(n=1,2,3,…)的d的取值仅能是2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)(Ⅲ)证明:因为a,b,c是以4为公比的正整数等比数列的三项,所以a,b,c是形如m•4k(其中m∈N*)的数,又因为4k=(3+1)k=3k++…+1所以a,b,c中每两个数的差都是3的倍数.所以(a,b,c)的极差d0是3的倍数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)设f i(a,b,c)=(a i,b i,c i),不妨设a<b<c,依据操作f的规则,当在三元数组f i(a,b,c)(i=1,2,3,…x,x∈N)中,总满足c i是唯一最大数,a i是最小数时,一定有a+x<b+x<c﹣2x,解得x<.所以,当i=1,2,3,…﹣1时,d i=c i﹣a i=(c i﹣1﹣2)﹣(a i﹣1+1)=d i﹣1﹣3.(a,b,c)=(,,),=b﹣a依据操作f的规则,当在三元数组f i(a,b,c)(i=,+1,…+y,y∈N)中,总满足c i=b i 是最大数,a i是最小数时,一定有+2y<﹣y,解得y<.所以,当i=,+1,…,﹣1时,d i=c i﹣a i=(c i﹣1﹣1)﹣(a i﹣1+2)=d i﹣1﹣3.(a,b,c)=(,,),=0所以存在n=,满足f n(a,b,c)的极差d n=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分)。
2014年北京市海淀区高三二模参考答案(理科)
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海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 (理科) 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1) }11.1 12.213. 14.6,5050 {本题第一空3分,第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解:(Ⅰ)由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中,60B = ---------------------------7分 (Ⅱ)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-,即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验,由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A >,不符合题意,所以c =. --------------------13分 16.解:(Ⅰ)因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ,平面11ACC A 平面AEG AG =1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点,且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点,所以112CG CC =.------------------------4分 (Ⅱ)因为1AA ⊥底面ABC ,所以1AA AB ⊥,1AA AC ⊥, ----------------------------------5分 又AB AC ⊥,如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,设2AB =,则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分 因为,E G 分别是1,BC CC 的中点,所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥,所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 (Ⅲ)设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ,则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分令1x =,则1,2y z =-=-,所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角, 所以二面角1A AG E --的余弦值为. --------------------------------14分 16.解:(Ⅰ)设A 车在星期i 出车的事件为i A ,B 车在星期i 出车的事件为i B ,1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C , -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立,且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分,有一个不扣分}(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯= 2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯= 112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解: (Ⅰ)当π2a =时,π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()c os 2f x x x =---------------------------------1分 由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分 (),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =,(π)1f =-,所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 (Ⅱ)'()()cos f x x a x =-,①当ππa <<时,(),'()f x f x 的情况如下分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ,单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当时,(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2,单调减区间为π(0,)2. 19.解:(Ⅰ)由已知可设椭圆G 的方程为:2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分 由e =222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 (Ⅱ)法一:设00(,),C x y 且00x ≠,则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =,得001M x x y -=-,所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--,求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G :2212x y +=上,所以22002(1)x y =-,-------------------11分 所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以,以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二:因为,C D 关于y 轴对称,且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上,又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠,则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分 因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分 所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三:设直线AC 的方程为1y kx =+,则1(,0)M k-, ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=,所以22(12)40k x kx ++=,所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++, ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称,所以222421(,)2121k k D k k -+++. ----------------------------8分所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+,即112y x k =-.------------------10分 令0y =,得到2x k =,所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做,考查向量AC AN ⋅的取值} 20.解:(Ⅰ)110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 (Ⅱ)法一:① 当2d =时,则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++,122d a a =+-=,由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数2a +变为最小数a ,最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +,所以数组的极差不会改变. 所以,当2d =时,(1,2,3,)n d d n ==恒成立. ②当3d ≥时,则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论,满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 法二:因为a b c <<,所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-,若2c -为最大数,则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+,则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-,则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+, 当3b c d -+=时,可得32b c -+≥,即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时,2n d =(1,2,3,n =)由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数2a +变为最小数a ,最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +,所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 (Ⅲ)因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项,所以,,a b c 是形如4k m ⋅(其中*m ∈N )的数,又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数. ------------------------------------------------9分 法1:设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =,不妨设a b c <<,依据操作f 的规则,当在三元数组(,,)i f a b c (1,2,3,,i x =,x ∈N )中,总满足ic 是唯一最大数,i a 是最小数时,一定有2a x b x c x +<+<-,解得3c bx -<. 所以,当2,3,,13c bi -=-时,111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=,3c bd b a -=- 依据操作f 的规则,当在三元数组(,,)i f a b c (,1,,333c b c b c bi y ---=++,y ∈N )中,总满足i i c b =是最大数,i a 是最小数时,一定有32233a cbc by y +-++<-,解得3b ay -<. 所以,当,1,,1333c b c b c ai ---=+-时,111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=,30c a d -= 所以存在3c an -=,满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2:设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =,则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时,不妨设i i i a b c ≤<,则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-,所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以,若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数,则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤,则3i d ≥,1130i i i i c b c b ++-=--≥, 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时,不妨设i i i a b c <=,则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-,所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-,所以,若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数,则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤,则3i d ≥,1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时,数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时,由上述分析可得10i d +=,此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =,满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14:数列的综合问题(学生版) Word
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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14:数列的综合问题一、选择题1 .(2013北京海淀二模数学理科试题及答案)若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>,11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩,则下列结论中错误..的是 ( )A .若34a =,则m 可以取3个不同的值 B.若m =则数列{}n a 是周期为3的数列 C .T ∀∈*N 且2T ≥,存在1m >,{}n a 是周期为T 的数列 D .Q m ∃∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数列2 .(2013北京昌平二模数学理科试题及答案)设等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >,9910010a a ->,99100101a a -<-.给出下列结论:① 01q <<; ② 9910110a a ⋅->; ③ 100T 的值是n T 中最大的;④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是 ( )A .①③B .①④C .②③D .②④二、填空题3 .(2013届北京市延庆县一模数学理)以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段,对折后(坐标4所对应的点与原点重合)再均匀地拉成4个单位长度的线段,这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标1、3变成2,原来的坐标2变成4,等等).那么原闭区间]4,0[上(除两个端点外)的点,在第n 次操作完成后)1(≥n ,恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(n f ,则=)3(f ;=)(n f .4 .5 .(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题)对于各数互不相等的整数数组(n i i i i ,,,,321⋅⋅⋅)(n 是不小于3的正整数),若对任意的q p ,∈{n ,,⋅⋅⋅3,2,1},当q p <时有q p i i >,则称q p i i ,是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1) 2 4(3题图)6 .(2013朝阳二模数学理科)数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n - 组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ,从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12n n S T T T =+++ .例如当1n =时,1{1}A =,11T =,11S =;当2n =时,2{1,3}A =,113T =+,213T =⨯,213137S =++⨯=.则当3n =时,3S =______;试写出n S =______.7 .(2013届西城区一模理科)记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ,最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ,且a b c ≤≤,定义△ABC 的倾斜度为m a x {,,}m i n {,a b ca tbc a b =⋅,}bc ca .(ⅰ)若△ABC 为等腰三角形,则t =______; (ⅱ)设1a =,则t 的取值范围是______.8 .(海淀区北师特学校13届高三第四次月考理科)对任意x ∈R ,函数()f x满足1(1)2f x +=,设)()]([2n f n f a n -=,数列}{n a 的前15项的和为3116-,则(15)f = . 9 .(北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)定义映射:f A B →,其中{(,),}A m n m n =∈R ,B =R ,已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =;②若n m >,(,)0f m n =;③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-, 则(2,2)f = ,(,2)f n = .10.(2013北京东城高三二模数学理科)在数列{}n a 中,若对任意的*n ∈N ,都有211n n n na a t a a +++-=(t 为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,t 称为比公差.现给出以下命题:①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;②若数列{}n a 满足122n n a n-=,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差12t =;③若数列{}n c 满足11c =,21c =,12n n n c c c --=+(3n ≥),则该数列不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 .11.(北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )将整数1,2,3,,25 填入如图所示的5行5列的表格中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值为 ,最大值为 .12.(2013北京房山二模数学理科试题及答案)在数列{}n a 中,如果对任意的*n ∈N ,都有211n n n na a a a λ+++-=(λ为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,λ称为比公差.现给出以下命题:①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,,则该数列不是比等差数列; ②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差0=λ;③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ .三、解答题13.(海淀区2013届高三上学期期中练习数学(理))已知数集12{,,A a a =,}n a 12(1a a =<<,2)n a n <≥具有性质P:对任意的(2)k k n ≤≤,,(1)i j i j n ∃≤≤≤,使得k i j a a a =+成立. (Ⅰ)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由; (Ⅱ)求证:122n a a a ≤++1(2)n a n -+≥;(Ⅲ)若72n a =,求数集A 中所有元素的和的最小值.14.(2013届北京海滨一模理科)设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点,其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-,B A y y y ∆=-,若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠,则称点B 为点A 的“相关点”,记作:()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点,平面上点列{}i P 满足:1()i i P P τ-=,且点i P 的坐标为(,)i i x y ,其中1,2,3,...,i n =.(Ⅰ)请问:点0P 的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;(Ⅱ)求证:若0P 与n P 重合,n 一定为偶数;(Ⅲ)若0(1,0)P ,且100n y =,记0ni i T x ==∑,求T 的最大值.15.(西城区2013届高三上学期期末考试数学理科)如图,设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表,其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数,且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S n n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之积,()j c A 为A 的第j 列各数之积.令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑.(Ⅰ)请写出一个(4,4)A S ∈,使得()0l A =; (Ⅱ)是否存在(9,9)A S ∈,使得()0l A =?说明理由;(Ⅲ)给定正整数n ,对于所有的(,)A S n n ∈,求()l A 的取值集合.16.(2011年高考(北京理))若数列12:,,(2)n n A a a a n ≥ 满足1||1(1,2,,1)k k a a k n +-==- ,则称n A 为E 数列.记12()n n S A a a a =+++ (Ⅰ)写出一个满足150a a ==,且5()0S A >的E 数列5A ;(Ⅱ)若112,2000a n ==,证明: E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =;(Ⅲ)对任意给定的整数(2)n n ≥,是否存在首项为0的E 数列n A ,使得()0n S A =?如果存在,写出一个满足条件的E 数列n A ;如果不存在,说明理由.17.(2013丰台二模数学理科)已知等差数列{}n a 的通项公式为23-=n a n ,等比数列{}n b 中,1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈,U A B =⋃,把集合U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列{}n c .(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式,并写出数列{}n c 的前4项;(Ⅱ)把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ,求数列{}n d 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列{}n c 的前n 项和.nS18.(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学)设1210(,,,)x x x τ= 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列,定义1011()|23|kk k S xx τ+==-∑,其中111x x =.(Ⅰ)若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=,求()S τ的值;(Ⅱ)求()S τ的最大值; (Ⅲ)求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.19.(顺义13届高三第一次统练理科)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且点()n S n ,在函数221-=+x y的图像上.(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)设数列{}n b 满足:()*,011N ∈=+=+n a b b b n n n ,求数列{}n b 的前n 项和公式;(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的*N ∈n 不等式1+<n n b b λ恒成立,求实数λ的取值范围20.(丰台区2013届高三上学期期末理 )已知曲线2:2(0)C y x y =≥,111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点,且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅,一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上,且10(i i i B A B B -∆是坐标原点)是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形.(Ⅰ)求1A 、1B 的坐标; (Ⅱ)求数列{}n y 的通项公式;(Ⅲ)令1,2iy i i ib c a -==,是否存在正整数N ,当n≥N 时,都有11n niii i b c ==<∑∑,若存在,求出N 的最小值并证明;若不存在,说明理由.21.(海淀区2013届高三上学期期末理科)已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数,则称()f x 为“一阶比增函数”;若2()f x y x=在(0,)+∞上为增函数,则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω,所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--,若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω,求实数h 的取值范围; (Ⅱ)已知0a b c <<<,1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出,求证:(24)0d d t +->;(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问:是否存在常数M ,使得()f x ∀∈ψ,(0,)x ∀∈+∞,有()f x M <成立?若存在,求出M 的最小值;若不存在,说明理由.22.(石景山区2013届高三上学期期末理)定义:如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称{}n a 为“三角形”数列.对于“三角形”数列{}n a ,如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列,则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈.(Ⅰ)已知{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,若()(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”,求k 的取值范围;(Ⅱ)已知数列{}n c 的首项为2013,n S 是数列{}n c 的前n 项和,且满足+1438052n n S S -=,证明{}n c 是“三角形”数列;(Ⅲ)若()lg g x x =是(Ⅱ)中数列{}n c 的“保三角形函数”,问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)23.(朝阳区2013届高三上学期期中考试(理))给定一个n 项的实数列12,,,(N)n a a a n *∈ ,任意选取一个实数c ,变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c --- ,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数c 可以不相同,第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ,其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后,数列中的各项均为0,则称11()T c ,22()T c ,,()k k T c 为 “k 次归零变换”.(Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “k 次归零变换”,其中4k ≤; (Ⅱ)证明:对任意n 项数列,都存在“n 次归零变换”;(Ⅲ)对于数列231,2,3,,nn ,是否存在“1n -次归零变换”?请说明理由.24.(2013届丰台区一模理科)设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n (n=2,3,4,…,)阶“期待数列”:① 1230n a a a a ++++= ;② 1231n a a a a ++++= . (Ⅰ)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;(Ⅱ)若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ,试证:(1)21≤k S ; (2)111.22ni i a in =≤-∑25.(2013北京昌平二模数学理科试题及答案)本小题满分14分)设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) .(I)当0k =,3b =,4p =-时,求123n a a a a ++++ ;(II)当1k =,0b =,0p =时,若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式;(III)若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当1k =,0b =,0p =时,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,212a a -=,试问:是否存在这样的“封闭数列”{}n a ,使得对任意*N n ∈,都有0n S ≠,且12311111111218n S S S S <++++< .若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值;若不存在,说明理由.26.(昌平区2013届高三上学期期末理)已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ,其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ,设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ,12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =(Ⅰ)设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====,求(1),(2),(3),(4)g g g g ; (Ⅱ)若123100,,,,a a a a 中最大的项为50, 比较(),(1)g m g m +的大小; (Ⅲ)若12100200a a a +++= ,求函数)(m g 的最小值.27.(2013北京朝阳二模数学理科试题)已知实数12,,,n x x x (2n ≥)满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤= ,记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑.(Ⅰ)求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值; (Ⅱ)当3n =时,求123(,,)S x x x 的最小值; (Ⅲ)求12(,,,)n S x x x 的最小值. 注:1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x (1i j n ≤<≤)的乘积之和.28.(北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理))已知A (,),B (,)是函数的图象上的任意两点(可以重合),点M 在直线21=x 上,且.(1)求+的值及+的值 (2)已知,当时,+++,求;(3)在(2)的条件下,设=,为数列{}的前项和,若存在正整数、,使得不等式成立,求和的值.29.(2013北京海淀二模数学理科试题及答案)(本小题满分13分)设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数..a 的所有可能值;(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.30.(2013北京房山二模数学理科试题)设3>m ,对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令k b 为)(,,,21m k a a a k≤ 中的最大值,称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列3,的创新数列为3,5,5,7.考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{}n c .(Ⅰ)若5m =,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c ;(Ⅱ)是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)是否存在数列{}n c ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列{}n c 的个数;若不存在,请说明理由.22221212a a a a a a a a ------31.(东城区2013届高三上学期期末考试数学理科)已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x 满足条件:①10nii x==∑; ②11ni i x ==∑.(Ⅰ) 当2n =时,求1x ,2x 的值; (Ⅱ)当3n =时,求证:123321x x x ++≤; (Ⅲ)设123n a a a a ≥≥≥≥ ,且1n a a >(2)n ≥,求证:111()2ni in i a xa a =≤-∑.32.(东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )设1a ,2a ,…20a 是首项为1,公比为2的等比数列,对于满足190≤≤k 的整数k ,数列1b ,2b ,…20b 由⎩⎨⎧-++20k n k n a a 时,当时,当20-20201≤<-≤≤n k k n 确定。
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由图1条件计算得, , ,
则 -------5分
.
由 平面 可知平面DCB的法向量为 . -----------------------------------6分
设平面 的法向量为 ,则
即
令 ,则 ,所以 .------------------------------------8分
所以 的最小值为 ,-------------------------------------------12分
所以实数b的取值范围是 ;
综上,实数b的取值范围是 .--------------------------------------13分
法2:对于任意实数a,曲线C总在直线的 的上方,等价于
(Ⅱ) ------------------------------6分
------------------------------7分
------------------------------8分
------------------------------10分
因为 ,所以 ,------------------------------11分
∀x, ,都有 ,即
∀x, R, 恒成立,-------------------------------------------6分
令 ,则等价于∀ , 恒成立,
令 ,则 ,-----------------------------------------7分
由 得 ,----------------------------------------9分
17.(Ⅰ)因为平面 平面 ,交线为 ,
又在 中, 于 , 平面
所以 平面 .--------------------------------------3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)结论 平面 可得 .
由题意可知 ,又 .
如图,以 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系
--------------------------4分
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(理科)2014.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. C2.D 3. D 4. A5.B 6. B 7.C 8. B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(Ⅱ)设 为乙公司员工B投递件数,则
当 =34时, =136元,当 >35时, 元,
的可能取值为136,147,154,189,203-------------------------------4分
{说明:X取值都对给4分,若计算有错,在4分基础上错1个扣1分,4分扣完为止}
的分布列为:
136
147
①若a=0,则 ,
所以实数b的取值范围是 ;----------------------------------------8分
②若 , ,
由 得 ,----------------------------------------9分
的情况如下:
0
0
+
极小值
-----------------------------------------11分
所以 ,-----------------------------12分
所以 在 上的取值范围是 -----------------------------13分
16.解:
(Ⅰ)甲公司员工A投递快递件数的平均数为36,众数为33. --------------------------------2分
9.96 10. 11.2 12. 13. 14.9;3 (本题第一空3分,第二空2分)
三、解答题:本大题共6小题,共80分.
15.解:
(Ⅰ) ---------------------------2分
------------------------------3分
.-------------------------------5分
的情况如下:
0
0
+
极小值
-----------------------------------------11分
所以 的最小值为 ,------------------------------------------12分
平面DCB的法向量为
所以 ,
所以二面角 的余弦பைடு நூலகம்为 ------------------------------9分
(Ⅲ)设 ,其中 .
由于 ,
所以 ,其中 --------------------------10分
所以 --------------------------11分
由 ,即 ---------------------------12分
154
189
203
--------------------------------------9分
{说明:每个概率值给1分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}
--------------------------------------11分
(Ⅲ)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元,乙公司被抽取员工该月收入4965元.------------------------------------13分
解得 , -----------------------------------5分
(Ⅱ)法1:
对于任意实数a,曲线C总在直线的 的上方,等价于
∀x, ,都有 ,
即∀x, R, 恒成立,--------------------------------------6分
令 ,----------------------------------------7分
解得 .-----------------------------13分
所以在线段 上存在点 使 ,且 .-------------14分
18.解
(Ⅰ) ,-----------------------------------2分
因为曲线C在点(0,1)处的切线为L: ,
所以 且 . ----------------------------------4分