复变函数1PPT优秀课件
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【精品】复变函数总复习PPT课件
其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z
复变函数课件-复变函数1绪论
02
复变函数
复变函数
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03
微分与积分
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的小范围内变化的 情况。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面有广泛应用。
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程是由法国数学家 柯西和挪威数学家黎曼分别独 立发现的，是复变函数中解析 函数的必要条件。
柯西-黎曼方程是由两个偏微分 方程构成的方程组，描述了复 平面上的可微函数在任意一点 处的导数关系。
柯西-黎曼方程是复变函数中解 析函数的充要条件，即如果一 个复函数在某区域内的全纯导 数存在且满足柯西-黎曼方程， 则该函数在该区域内是解析的 。
单连通区域
一个区域如果不能被分成两个分离的子区域，则称该区域为单连通区域。
单连通区域的共形映射
对于单连通区域，存在唯一的共形映射将该区域映射到单位圆。这个映射可以通过一些特定的函数（如幂函数和 指数函数）来构造。
多连通区域的共形映射
多连通区域
一个区域如果有多个连通的子区域，则称该区域为多连通区域。
复数的几何意义
总结词
复数可以用平面坐标系中的点或向量表示，实部为x轴上的坐 标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示。在平面坐标系中，每一个复数 z=a+bi可以对应一个点(a,b)或向量从原点O(0,0)指向点(a,b) 。实部a是横轴上的坐标，虚部b是纵轴上的坐标。这种表示 方法有助于理解复数的几何意义和性质。
06
共形映射共形映射的定义 Nhomakorabea共形映射
复变函数入门 1ppt课件
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
注解：
➢ 复数的减法运算是加法运算的逆运算
➢ 复数的除法运算是乘法运算的逆运算
➢ 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
7
定理: 全体复数关于上述运算做成一个数域.
称为复数域，用C表示.即
复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 z1 z2 z2 z1 ②加法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ③乘法交换律 z1 z2 z2 z1 ④乘法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ⑤乘法对加法的分配律
面上的点向量oz 表示.
o
x
x
18
结论:
两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致.
y
z2
z1 z2
y
z2
z1
o
z1
x
o
x
z1 z2
z2
19
附录： 向Hamilton 学习
Hamilton.William Rowan（威廉.罗万.哈 密儿顿，1805——1865）爵士，无 疑是使爱尔兰人在数学领域中享有 盛益的最伟大的人物，同时也是有 名望的物理学家和天文学家。他 1805年生于都柏林，除了短时间外 出访问外，一生都是在这里度过 的。他才一岁时，被委托给一位叔 叔教育，这位叔叔的热心在于给他 侧重语言上的教育，不久之后，他 就成了孤儿。Hamilton是个神童，3 岁时能阅读英文，5岁时能阅读、
以上各式证明略.
10
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
复变函数1第三章ppt课件
思考题答案
若C是实轴上 [,区 ], 间 则 f(z)dzf(x)dx, C
如果f(x)是实值, 的 即为一元实函数的定积分.
一般不能把 ,起 终点为 的函f数 (z)的积分
记作 f(z)dz,因为这是一,个 要线 受积 积分 分路 线的限 ,必制 须记 f作 (z)dz.
C
§3.2 柯西积分定理
例4 设C为从原点3到 4i点 的直线 , 段
试求积C分 z1idz绝对值的一.个上
解 C 的参数 z(3 方 4i)t,程 (0 t 为 1)
根据估值不等式知
C
z
1
i
dz
C
z
1
i
ds
因为 C上 ,在 1 1 zi 3t(4t1)i
1 (3t)2(4t1)2
1
25
t
2452
9 25
5 3
一、基本定理 二、原函数 三、复合闭路定理
例3 计算(2 积 z2 ez 分 co z)z d s . z 5
解 函 2 z2 数 ez co z在 s 闭 z5 区 上,域 解
根据柯西－古萨定理，有
(2z2ezco z)s z d 0.
例4
计
z5
算
积 zi1 z分 2e5zz6d.z
解
函 数ez 的 z25z6
C
0
0
2
又 C z 因 d z C ( x 为 i) y d x ( id y )
Cx d xyd yiCyd xx d y
这两个积分都与路线C 无关
所以不 C是 论怎样从原 34i点 的曲 到,线 点 都有
zdz1(34i)2.
C
2
例2 计算 CRezdz, 其中 C为:
高等数学《复变函数》课件 1
n r, n 2k (k Z )
n
z
n
i 2k
re n
(k 0,1,2,, n 1)
即：
n
z
z
1 arg z 2k
arg z 2k
n [cos(
) i sin(
)]
n
n
(k 0 , 1 , 2 , , n 1)
10
例1 若 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z), 和zz i 1i
3i
则 | z | 2，
arg z 5
6
z
2[cos(
5
)
i
s in(
5
)]
2e
5 6
i
6
6
7
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设 复 数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
(1) z1 z2 x1 x2 i( y1 y2 )
(2) z1 z2 x1 x2 y1 y2 i( x2 y1 x1 y2 )
如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的
点w，那么w称为z的象(映象)，而z 称为w的
原象。
19
一般地，映射w=f(z)
(1)将z 平面上的点映射成w 平面上的点；
例如 映射 w z 将z平面上的点z a ib 映射成w平面上的点w a ib。
z 平面 y
w平面 wz
v
• a ib
复变函数
• 复变函数与解析函数 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与留数定理
1
第11章 复变函数与解析函数
11.1 复数及其运算 11.2 复变函数 11.3 解析函数 11.4 初等函数
复变函数课件
敛问题.
而由实数项级数 an 和 bn收敛的必要条件
n 1 n 1
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n
n
0.
8
定义： 如果 | a n | 收敛, 则称级数 a n 绝对收敛.
f ( z )
n 1
nc n ( z - a ) n - 1
28
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即
f ( z ) d z c ( z - a)
C n 0 n C
n
d z , C | z - a | R
或
z
a
cn n 1 f (z ) d z ( z - a) n 1 n 0
3
推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散， 则复数列{αn}一定发散。 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出 其极限.
1 n 1 (1)a n (1 ) in sin ; n n n ( 2)a n ( -1) i cos in; (3)a n p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处 处收敛的.
23
cn 1 n lim lim 1 n n 1 2) n cn , 即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
1 (-1) n n 1
n
, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为
cnz n 这是 ,
n 0
(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论
而由实数项级数 an 和 bn收敛的必要条件
n 1 n 1
lim an 0和 lim bn 0,
n n
立即可得 lim a n 0, 从而推出复数项级数
n
a 收敛的必要条件是 lim a
n 1 n n
n
0.
8
定义： 如果 | a n | 收敛, 则称级数 a n 绝对收敛.
f ( z )
n 1
nc n ( z - a ) n - 1
28
3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即
f ( z ) d z c ( z - a)
C n 0 n C
n
d z , C | z - a | R
或
z
a
cn n 1 f (z ) d z ( z - a) n 1 n 0
3
推论：若实数列{an}与{bn}中有一个发散， 则复数列{αn}一定发散。 例1. 下列数列是否收？如果收敛，求出 其极限.
1 n 1 (1)a n (1 ) in sin ; n n n ( 2)a n ( -1) i cos in; (3)a n p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处 处收敛的.
23
cn 1 n lim lim 1 n n 1 2) n cn , 即 R=1.
在收敛圆|z-1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
1 (-1) n n 1
n
, 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成为
cnz n 这是 ,
n 0
(4.1.4)的形式, 为了方便, 今后常就(4.1.4)讨论
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（6）开集 点集E中旳点全是内点 （7）闭集 开集旳余集
空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连通集 E中任意两点能够用有限个相衔接旳线段构成旳
折线连接起来，而此折线全在E中。 （9）区域 非空旳连通开集
（10）有界区域 假如存在正数M，使得对于一切D中旳点z，有
z M
则称 D为有界区域。 （11）简朴曲线、光滑曲线
4
arg(z i) 表达实轴方向与由点i 到 z 旳向量之间交角
旳主值，所以满足方程旳点旳全体是自 i 点出发且与实轴
正向夹角为45度旳一条半射线。（不涉及 i点）
（4） Re z 2 1 z 2 (x iy)2 (x 2 y 2 ) 2ixy Re z 2 x 2 y 2 1
Im z 2 1
2(n 1) )
n
例： 3 8
8 23 (cos i sin )
3 8 2(cos 2k i sin 2k )
3
3 k 0,1,2
即
1 i 3 k 0
3
8
2
k 1
1 i 3 k 2
复数旳球面表达与扩充复平面
球极平面射影法
N
取一种在原点O与z平面相切旳球面，
P
w z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )
z r0
w z2
arg z
r0
w r0 2
arg w 2
r0 2
2xy b
w z2
x2 y2 a
w z2
vb ua
6810 y
u=024 2 8 64
1
1 1 1
v
10
v=10
8
6
4
2 2
x
空集和整个复平面既是开集，又是闭集。 （8）连通集 E中任意两点能够用有限个相衔接旳线段构成旳
折线连接起来，而此折线全在E中。 （9）区域 非空旳连通开集
（10）有界区域 假如存在正数M，使得对于一切D中旳点z，有
z M
则称 D为有界区域。 （11）简朴曲线、光滑曲线
4
arg(z i) 表达实轴方向与由点i 到 z 旳向量之间交角
旳主值，所以满足方程旳点旳全体是自 i 点出发且与实轴
正向夹角为45度旳一条半射线。（不涉及 i点）
（4） Re z 2 1 z 2 (x iy)2 (x 2 y 2 ) 2ixy Re z 2 x 2 y 2 1
Im z 2 1
2(n 1) )
n
例： 3 8
8 23 (cos i sin )
3 8 2(cos 2k i sin 2k )
3
3 k 0,1,2
即
1 i 3 k 0
3
8
2
k 1
1 i 3 k 2
复数旳球面表达与扩充复平面
球极平面射影法
N
取一种在原点O与z平面相切旳球面，
P
w z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )
z r0
w z2
arg z
r0
w r0 2
arg w 2
r0 2
2xy b
w z2
x2 y2 a
w z2
vb ua
6810 y
u=024 2 8 64
1
1 1 1
v
10
v=10
8
6
4
2 2
x
复变函数第三版课件第一章
3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
复变函数 全套课件
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
复变函数课件
第一章 复数与复平面
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
复变函数课件--复变函数1绪论
引 言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
复变函数课件1
2 2
z = (1+ cosθ) + sin θ = 2(1+ cosθ) = 2cos 2 sin θ θ =θ arg z = arctan = arctan(tan ) 2 1+ cosθ 2
θ
z = 2cos cos + i sin 2 2 2
θ
θ
θ
1.3 复数在几何上的应用
例题2
3 i −1 = 3 −1− 1− i 3 i −1 = 2, 1−i = 2
( z=
)
2
(
3 +1 i
)
arg(1−i) = arctan( −1) = −π 4 −π i 2π i 3 1− i = 2e 3 i −1 = 2e ,
arg 3 i −1 = π + arctan( − 3) = 2π 3
z1 z1 = (z2 ≠ 0) z z 2 2
4.复数的绝对值（模） 对复数 z = x + iy 其绝对值（模）记为
z = x +y
2
2
z =0⇔ z =0
Re z ≤ z , Imz ≤ z
z ≤ Re z + Im z ≤ 2 z
zz = z , z = z
2
z1 z1 z1z2 = z1 z2 , = (z2 ≠ 0) z2 z2
S : x + x + (x3 − r) = r (1)z ∈C ⇒ ∃P ∈ S (2)P ∈ S, P ≠ N ⇒ ∃z ∈C
2 1 2 2 2 2
(3)北 N ↔无 远 ∞ 极 穷 点
球 S ↔扩 复 面 ∞ 面 充 平 C
x3
S
x3
z = (1+ cosθ) + sin θ = 2(1+ cosθ) = 2cos 2 sin θ θ =θ arg z = arctan = arctan(tan ) 2 1+ cosθ 2
θ
z = 2cos cos + i sin 2 2 2
θ
θ
θ
1.3 复数在几何上的应用
例题2
3 i −1 = 3 −1− 1− i 3 i −1 = 2, 1−i = 2
( z=
)
2
(
3 +1 i
)
arg(1−i) = arctan( −1) = −π 4 −π i 2π i 3 1− i = 2e 3 i −1 = 2e ,
arg 3 i −1 = π + arctan( − 3) = 2π 3
z1 z1 = (z2 ≠ 0) z z 2 2
4.复数的绝对值（模） 对复数 z = x + iy 其绝对值（模）记为
z = x +y
2
2
z =0⇔ z =0
Re z ≤ z , Imz ≤ z
z ≤ Re z + Im z ≤ 2 z
zz = z , z = z
2
z1 z1 z1z2 = z1 z2 , = (z2 ≠ 0) z2 z2
S : x + x + (x3 − r) = r (1)z ∈C ⇒ ∃P ∈ S (2)P ∈ S, P ≠ N ⇒ ∃z ∈C
2 1 2 2 2 2
(3)北 N ↔无 远 ∞ 极 穷 点
球 S ↔扩 复 面 ∞ 面 充 平 C
x3
S
x3
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
十一章节复变函数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
• 3.复数旳模与辐角 • 复数旳模 Z≠0相应旳向量 OP 旳长（如图）, OP与实轴
正方向所夹旳角 ，称为复数 Z旳辐角,记作argz ，即
• θ=argz+2kπ , k为整数
• 并要求 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.
• 4.复数旳旳三种表达式. • 复数旳表达式 称为复数 旳三角表达式. • 复数旳表达式 称为复数 旳指数表达式
例5 讨论函数 f(z)=z2旳解析性.
• 解 由例2知，f(z)=z2 在整个复平面内到处可
导且 f (z) 2z
，则由函数在某区域内
• 解析旳定义可知，函数 f(z)=z2在整个复平面
上解析。
三、 柯西—黎曼条件
f (z) u(x, y) iv(x, y)
• 定理１ 设函数
在区域 D 内有定
• 例1 求 ln(1), Ln(1),ln i和Ln i .
• 解 因为-1旳模为 1，其辐角旳主值为π ，
• 所以 ln(1) ln1 i i
• 而 Ln(1) i 2ki (2k 1)i (k 0,1,2, )
• 又因为 iii旳模为1，而其辐角旳主值为 ，
• 所以 ln i ln1 i i Ln i i 2k i (2k 1) i
• 例1 将定义在全平面上旳复变函数 一对二元实变函数.
w z2 1 化为
• 解设
z x iy, w u iv, 代入w z2 1
得w u iv (x iy)2 1 x2 y2 1 2ixy
比较实部虚部得u x2 y2 1
例2计算 1 i
解：因为1 i
2
cos(
3 4
且该折线上旳点都属D则称开集是连通集. • 区域（或开区域） 连通旳开集称为区域或开区域.
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
数学物理方法课件《第一章 复变函数》.ppt
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2)
因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
但一般地arg(z1z2 ) arg z1 arg z2
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为 U (z0 , )
U(z0, )
或
{z
(U z z0
(z0 ,
}
))即，
z0
(U (z0 , ) {z 0 z z0 })
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
一棣模佛(De Moivre)公式。
zn
1 zn
.
由定义得 z n r nein
2.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
但一般地arg(z1z2 ) arg z1 arg z2
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为 U (z0 , )
U(z0, )
或
{z
(U z z0
(z0 ,
}
))即，
z0
(U (z0 , ) {z 0 z z0 })
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
一棣模佛(De Moivre)公式。
zn
1 zn
.
由定义得 z n r nein
2.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
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用 横 坐 标 轴x表 上示 的复 点数,此 的 实 部 坐 标 轴 称;为 实 轴
用纵坐标轴上 y表的示点复数的 , 虚部 此坐标轴为虚轴。
上述表示复数的平面称为复平面。
4
这 样 ,平 面 上M 的(x点 与 ,y)复z数xiy 之 间 建 立 了 一 关一 系 , 对 应 的
y
点 M( xz ,y x )iy
(6)
由指数函数定义式及幂级数的乘法运算，不难推出：
ez1z2 ez1ez2 特 别 ex iy e 地 x (cy o issiy )n
10
3、复数的三种表示法
(1)代 数 z式 xiy
运 用 变 xy换 rrscions
( 2 ) 三 z 角 r (c i o 式 si s )n ( az ) rg
y
M(x, y) •
z xiy
o
x
x
5
复 数 z也 可 以 用 O向 M 来量 表,且 示 y
y |z|
o
• M z xiy 向O 量M zxiy
xx
向量 OM 的长度称z的 为模 复 ,记数 作 |z|。 显然: |z||OM | x2y2
注z： |z|
称含“无穷远点”的复平面为扩充复平面； 6
运用欧拉 ei 公 co式 sisin
(3)指数z 式 rei
11
二、复数的运算 1、复数的代数形式的四则运算
设z 1 复 x 1 i1 数 ,y z 2 x 2 i2 y
( 1 )z 1 z 2 x 1 x 2 i( y 1 y 2 ) ( 2 ) z 1 z 2 x 1 x 2 y 1 y 2 i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) (3)z1(x1iy1)(x2iy2)
(2 )znrn (cn o is sin n ),
znrnein
(3)z z1 2rr2 1[co 1s 2)(isin 1 (2)]
z1 r1 ei(12 )
z2 r2
14
(4) 开方运算：
问题:给定复数z=re i ，求所有的满足ωn=z 的复数ω
当z≠0时，有n个不同的ω值与 z相对应，每一
n
n
( k 0 ,1 ,2 , ,n 1 )
15
注：(1) 棣莫佛公式
(co sisi） n nco sin sinn
(2) 模的简单性质
z1z2z1z2,
z1 | z1 | , z2 | z2 |
z1z2z1z2
z1z2z1z2
16
例1若z1 3i , 求Rze)(I, m z)(和 , zz i 1i
复变函数
• 复变函数与解析函数 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与留数定理
1
第11章 复变函数与解析函数
11.1 复数及其运算 11.2 复变函数 11.3 解析函数 11.4 初等函数
2
11.1、复数及其运算
一、复数及其表示法 1、复数的定义
(1) 虚数单位 i2 1
(2)复数的定义 对任何实数x,y,称z =x +yi复数，x 和y 分别称
8
e z 1 z 1 z 2 1 z n (z | | ) ( 3 ) 2 ! n !
当x=0,即z=iy时，（3）式变为：
eiy1iy 1(iy )2 1(iy )n
1 iy 1 2!y2i1y3n !1y4i1y5
(1 1y 2 2 ! 1y 4 3 ! ) 4 i!(y 1 5 y !3 1y 5 )
为z 的实部和虚部. 记作 x =Re(z), y =Im(z) 当x0时,ziy称为纯虚 ;当y数 0时,zx为实数
注：1、由定义知，复数是实数的推广；
2、两个复数相等，当且仅当其实部和虚部分 别相等； 3、z =0等价于x =0且 y = 0 ；
4、两个复数不能比较大小。
3
2、复数的几何意义 (1) 复平面 在平面上取定直角坐标 系xoy,
z2 (x2iy2)(x2iy2) x1x2y1yx 22 2 i(yx2 2 2y1x1y2)
12
2、共轭复数
定义:实部相同而虚部两 相个 反复 的数 称为共轭复数。
设zxiy,则 共 轭 z复 xi数 y。
共轭复数有以下性质 :
(1) (z) z
(2) 若z是实,则 数 zz
(3) zz2Rez)( zz2iImz()
个这样的ω值都称为z 的n次方根， 记 为 n z
设ei,由 nz, 有nein re i
n r , n 2 k ( k Z )
2k
nznrei n (k 0 ,1 ,2 , ,n 1 )
即 n ： z zn 1 [c ao z r 2 k s g ) (isa in z r 2 k (g )]
7
3 欧拉公式
考 1 z 1 察 z 2 1 z n ( z x i) y( 1 ) 2 ! n !
其各项的模构成的级数：
1 r 1 r 2 1 r n ( r x 2 y 2 ( 2 ) 2 ! n !
易知其处处收敛，从而级数（1）在复平面上绝对收敛。 在x轴上（即z=x），级数（1）表示指数函数ex, 在复平面上，用它定义复变量的指数函数：
zz z2 (4)z1z2z1z2, z1z2z1z2
z1 z2
z1 z2
13
3、复数的三角、指数形式的运算
设 z i r i(ci o iss ii)n ,i 1 ,2
( 1 ) z 1 z 2 r 1 r 2 [c 1 o 2 ) i s si 1 ( n 2 )] (
z1z2r1r2ei(12)
解 z1 3i i 3i(1i)
y OM与x 轴正向的夹角称为复
数的辐角,记作Arg z。
y
显然 ,复数 z(z 0)的辐角有 | z |
无穷多, 个
o
M
•
z xiy
xx
称 arzg(arzg)为辐角,的主值
复数z的幅角满足:
(1)Arzg arzg2k (k为整数）
(2nA( rg)z x
2 ! 4 !
3 ! 5 !
coysis iyn
将 y 换 x ,得 成 e i x c ： x o iss x i( 4 n )
欧拉公式
将 x 换 x , 得 成 e i x c ： x o i sx s i( 5 n )
9
由（4），（5）可得：
cosx
eix
eix 2
sinx
eix
eix 2i
用纵坐标轴上 y表的示点复数的 , 虚部 此坐标轴为虚轴。
上述表示复数的平面称为复平面。
4
这 样 ,平 面 上M 的(x点 与 ,y)复z数xiy 之 间 建 立 了 一 关一 系 , 对 应 的
y
点 M( xz ,y x )iy
(6)
由指数函数定义式及幂级数的乘法运算，不难推出：
ez1z2 ez1ez2 特 别 ex iy e 地 x (cy o issiy )n
10
3、复数的三种表示法
(1)代 数 z式 xiy
运 用 变 xy换 rrscions
( 2 ) 三 z 角 r (c i o 式 si s )n ( az ) rg
y
M(x, y) •
z xiy
o
x
x
5
复 数 z也 可 以 用 O向 M 来量 表,且 示 y
y |z|
o
• M z xiy 向O 量M zxiy
xx
向量 OM 的长度称z的 为模 复 ,记数 作 |z|。 显然: |z||OM | x2y2
注z： |z|
称含“无穷远点”的复平面为扩充复平面； 6
运用欧拉 ei 公 co式 sisin
(3)指数z 式 rei
11
二、复数的运算 1、复数的代数形式的四则运算
设z 1 复 x 1 i1 数 ,y z 2 x 2 i2 y
( 1 )z 1 z 2 x 1 x 2 i( y 1 y 2 ) ( 2 ) z 1 z 2 x 1 x 2 y 1 y 2 i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) (3)z1(x1iy1)(x2iy2)
(2 )znrn (cn o is sin n ),
znrnein
(3)z z1 2rr2 1[co 1s 2)(isin 1 (2)]
z1 r1 ei(12 )
z2 r2
14
(4) 开方运算：
问题:给定复数z=re i ，求所有的满足ωn=z 的复数ω
当z≠0时，有n个不同的ω值与 z相对应，每一
n
n
( k 0 ,1 ,2 , ,n 1 )
15
注：(1) 棣莫佛公式
(co sisi） n nco sin sinn
(2) 模的简单性质
z1z2z1z2,
z1 | z1 | , z2 | z2 |
z1z2z1z2
z1z2z1z2
16
例1若z1 3i , 求Rze)(I, m z)(和 , zz i 1i
复变函数
• 复变函数与解析函数 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与留数定理
1
第11章 复变函数与解析函数
11.1 复数及其运算 11.2 复变函数 11.3 解析函数 11.4 初等函数
2
11.1、复数及其运算
一、复数及其表示法 1、复数的定义
(1) 虚数单位 i2 1
(2)复数的定义 对任何实数x,y,称z =x +yi复数，x 和y 分别称
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e z 1 z 1 z 2 1 z n (z | | ) ( 3 ) 2 ! n !
当x=0,即z=iy时，（3）式变为：
eiy1iy 1(iy )2 1(iy )n
1 iy 1 2!y2i1y3n !1y4i1y5
(1 1y 2 2 ! 1y 4 3 ! ) 4 i!(y 1 5 y !3 1y 5 )
为z 的实部和虚部. 记作 x =Re(z), y =Im(z) 当x0时,ziy称为纯虚 ;当y数 0时,zx为实数
注：1、由定义知，复数是实数的推广；
2、两个复数相等，当且仅当其实部和虚部分 别相等； 3、z =0等价于x =0且 y = 0 ；
4、两个复数不能比较大小。
3
2、复数的几何意义 (1) 复平面 在平面上取定直角坐标 系xoy,
z2 (x2iy2)(x2iy2) x1x2y1yx 22 2 i(yx2 2 2y1x1y2)
12
2、共轭复数
定义:实部相同而虚部两 相个 反复 的数 称为共轭复数。
设zxiy,则 共 轭 z复 xi数 y。
共轭复数有以下性质 :
(1) (z) z
(2) 若z是实,则 数 zz
(3) zz2Rez)( zz2iImz()
个这样的ω值都称为z 的n次方根， 记 为 n z
设ei,由 nz, 有nein re i
n r , n 2 k ( k Z )
2k
nznrei n (k 0 ,1 ,2 , ,n 1 )
即 n ： z zn 1 [c ao z r 2 k s g ) (isa in z r 2 k (g )]
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3 欧拉公式
考 1 z 1 察 z 2 1 z n ( z x i) y( 1 ) 2 ! n !
其各项的模构成的级数：
1 r 1 r 2 1 r n ( r x 2 y 2 ( 2 ) 2 ! n !
易知其处处收敛，从而级数（1）在复平面上绝对收敛。 在x轴上（即z=x），级数（1）表示指数函数ex, 在复平面上，用它定义复变量的指数函数：
zz z2 (4)z1z2z1z2, z1z2z1z2
z1 z2
z1 z2
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3、复数的三角、指数形式的运算
设 z i r i(ci o iss ii)n ,i 1 ,2
( 1 ) z 1 z 2 r 1 r 2 [c 1 o 2 ) i s si 1 ( n 2 )] (
z1z2r1r2ei(12)
解 z1 3i i 3i(1i)
y OM与x 轴正向的夹角称为复
数的辐角,记作Arg z。
y
显然 ,复数 z(z 0)的辐角有 | z |
无穷多, 个
o
M
•
z xiy
xx
称 arzg(arzg)为辐角,的主值
复数z的幅角满足:
(1)Arzg arzg2k (k为整数）
(2nA( rg)z x
2 ! 4 !
3 ! 5 !
coysis iyn
将 y 换 x ,得 成 e i x c ： x o iss x i( 4 n )
欧拉公式
将 x 换 x , 得 成 e i x c ： x o i sx s i( 5 n )
9
由（4），（5）可得：
cosx
eix
eix 2
sinx
eix
eix 2i