第1章-波函数和schrodinger方程
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动量空间表象的波函数(PPT课件)
•
描述同一状态
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动 能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化 问题。
归一化常数
若 Ψ (r , t )
没有归一化，
∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数），则有
∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1
积分变换：把函数类A中的函数f(x), 经过某种可逆的积分手续
F ( p ) k ( x, p) f ( x)dx
变成另一类函数B中的函数F(p), F(p)称为f(x)的象， f(x)称为f(p)的原象
F ( )
1 f ( x) 2
f ( x)eix dx F ( )为f ( x)的付里叶变换
p
*
i [ E E ]t * ( r ) ( r )d ( r , t ) p ( r , t )d e p p
1 A A1 A2 A3 [2]3 / 2
e
i [ E E ]t
( p p) ( p p)
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只 含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量 子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了 粒子的波动性的一面，具有片面性。
描述同一状态
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动 能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化 问题。
归一化常数
若 Ψ (r , t )
没有归一化，
∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数），则有
∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1
积分变换：把函数类A中的函数f(x), 经过某种可逆的积分手续
F ( p ) k ( x, p) f ( x)dx
变成另一类函数B中的函数F(p), F(p)称为f(x)的象， f(x)称为f(p)的原象
F ( )
1 f ( x) 2
f ( x)eix dx F ( )为f ( x)的付里叶变换
p
*
i [ E E ]t * ( r ) ( r )d ( r , t ) p ( r , t )d e p p
1 A A1 A2 A3 [2]3 / 2
e
i [ E E ]t
( p p) ( p p)
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只 含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量 子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了 粒子的波动性的一面，具有片面性。
波函数PPT课件
作代换：px x，px x0，则
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
13
（4）平面波归一化 I Dirac —函数
定义：
0 ( x x0 )
x x0 x x0
x0 x0
(x
x0 )dx
( x x0 )dx 1
( 0)
或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有：
—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/ , dk= dpx/ , 则 性质： ( x) ( x)
0
x0
x
(x
x0 )
1
2
dk
e ik ( x x0 )
(x
x0 )
1
2
e dp i
p
x
(
x
x0
)
x
(ax) 1 ( x)
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) .
p(r )
i [ p•r]
Ae
px ( x) py ( y) pz (z)
A e A e A e i [
p
x
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
ei[
E
x
E
x
]t
px * ( x) px ( x)dx
(
px
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
19-(3)波函数 薛定谔方程
19-3 波函数 薛定谔方程
1
一 波函数
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设 沿X轴），其动量、能量保持恒定。 X
E const
P const
E h
h p
恒定！ 恒定！
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波。
2
自由粒子的波函数 X
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 注意：波函数一般要用复数表示!
5
二 波函数的统计解释（波恩Born）
代表什么？
粒子的观点 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波动的观点 波强度大 波强度小 介于二者之间
b
x
p h
大量粒子的一次性行为和一个粒子多 次性重复性行为是等价的。 统一地看：粒子出现的几率正比
E Ek
Px
2m
i
t
2
2 2
2m x
( 6)
15
2 势场中的薛定谔方程
若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：
E Px
2
U ( x , t )(7)
Px
2
2m
E U ( x , t ) ( 8)
2m
将（5）式看成一般情况下的特例：
2
( x , y , z ) U ( x , y , z ) E ( x , y , z )(18)
2
2m
定态薛定谔方程： 2
2m
2
( E U ) 0(19)
19
2
1
一 波函数
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设 沿X轴），其动量、能量保持恒定。 X
E const
P const
E h
h p
恒定！ 恒定！
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波。
2
自由粒子的波函数 X
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 注意：波函数一般要用复数表示!
5
二 波函数的统计解释（波恩Born）
代表什么？
粒子的观点 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波动的观点 波强度大 波强度小 介于二者之间
b
x
p h
大量粒子的一次性行为和一个粒子多 次性重复性行为是等价的。 统一地看：粒子出现的几率正比
E Ek
Px
2m
i
t
2
2 2
2m x
( 6)
15
2 势场中的薛定谔方程
若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：
E Px
2
U ( x , t )(7)
Px
2
2m
E U ( x , t ) ( 8)
2m
将（5）式看成一般情况下的特例：
2
( x , y , z ) U ( x , y , z ) E ( x , y , z )(18)
2
2m
定态薛定谔方程： 2
2m
2
( E U ) 0(19)
19
2
波函数与Schrodinger方程
第1章波函数与Schrodinger方程1.1 波函数的统计诠释1.2 Schrodinger方程1.3 量子态叠加原理第2章一维势场中的粒子2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质2.2 方势2.3 δ势2.4 一维谐振子第3章力学量用算符表达3.1 算符的运算规则3.2 厄米算符的本征值与本征函数3.3 共同本征函数3.4 连续谱本征函数的“归一化”第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 力学量随时间的演化*4.2 波包的运动，Ehrenfest定理4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像4.4 守恒量与对称性的关系4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性第5章中心力场5.1 中心力场中粒子运动的一般性质*5.2 无限深球方势阱5.3 三维各向同性谐振子5.4 氢原子第6章电磁场中粒子的运动6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量6.2 正常Zeeman效应6.3 Landau能级第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1 量子态的不同表象，幺正变换7.2 力学量(算符)的矩阵表示7.3 量子力学的矩阵形式7.4 Dirac符号第8章自旋8.1 电子自旋态与自旋算符8.2 总角动量的本征态8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态第9章力学量本征值问题的代数解法9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法9.2 角动量的本征值与本征态*9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数第10章微扰论10.1 束缚态微扰论*10.2 散射态微扰论第11章量子跃迁11.1 量子态随时间的演化*11.2 突发微扰与绝热微扰11.3 周期微扰，有限时间内的常微扰*11.4 能量-时间不确定度关系*11.5 光的吸收与辐射的半经典理论第12章其他近似方法*12.1 Fermi气体模型12.2 变分法*12.3 分子结构注：加星号的部分只做概念上的要求。
量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲
薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程， 不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是 微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔 方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基 础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、 消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子 从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没 有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而 绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子） 在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身 不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像 一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本 假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性， 要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列 的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )
量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)
量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。
其中，1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。
2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。
15-7波函数 玻恩统计解释
为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
36-1第三十六讲波函数-薛定谔方程
应该是唯一的和有限的，概率的空间分布不能 发生突变，所以波函数必须满足单值、有限、 连续三个条件——称波函数的标准条件。
注 意 ：a) 波函数不是一个物理量，是用来表示测量 概率的数学量。 b) 波函数（描述的微观粒子运动状态，即 德布罗意物质波）是概率波，
它描述微观粒子的运动状态是以微观粒子在 t时刻出现在空间某处的概率来表示。
I | |2 z x iy, z x iy
由光子理论知：
n | |2
n—单位体积内粒子数，
单位体积内粒子数n正比单个粒子t时刻在该单位 体积内出现的概率。
因此：空间某处波函数模的平方与单个粒子t时刻 在该处单位体积内出现的概率成正比。
1926年波恩提出：实物粒子的德布罗意波是一种概 率波，t时刻粒子出现在
1925年薛定谔在德布罗意假设的基础上， 建立了微观粒子所遵循的方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示 了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿 定律在经典力学中所起的作用一样。
薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,它 既不可能从已有的经典规律推导出来,也不可能 直接从实验事实总结出来(因为波函数本身是不 可观测的).实际上是“猜” 加“凑”出来的.方 程的正确性只能靠实践检验.到目前为止,实践检 验它是正确的.
c) 根据玻恩的解释，波函数本身并没有直接的 物理意义，有物理意义的是波函数模的平方，
波函数模的平方 | (r, t) |2 描述微观粒子在t时 刻出现在空间某处的概率。
从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械 波是不同的。物质波是一种概率波，它反映微 观粒子运动的统计规律。
波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在 什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
注 意 ：a) 波函数不是一个物理量，是用来表示测量 概率的数学量。 b) 波函数（描述的微观粒子运动状态，即 德布罗意物质波）是概率波，
它描述微观粒子的运动状态是以微观粒子在 t时刻出现在空间某处的概率来表示。
I | |2 z x iy, z x iy
由光子理论知：
n | |2
n—单位体积内粒子数，
单位体积内粒子数n正比单个粒子t时刻在该单位 体积内出现的概率。
因此：空间某处波函数模的平方与单个粒子t时刻 在该处单位体积内出现的概率成正比。
1926年波恩提出：实物粒子的德布罗意波是一种概 率波，t时刻粒子出现在
1925年薛定谔在德布罗意假设的基础上， 建立了微观粒子所遵循的方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示 了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿 定律在经典力学中所起的作用一样。
薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,它 既不可能从已有的经典规律推导出来,也不可能 直接从实验事实总结出来(因为波函数本身是不 可观测的).实际上是“猜” 加“凑”出来的.方 程的正确性只能靠实践检验.到目前为止,实践检 验它是正确的.
c) 根据玻恩的解释，波函数本身并没有直接的 物理意义，有物理意义的是波函数模的平方，
波函数模的平方 | (r, t) |2 描述微观粒子在t时 刻出现在空间某处的概率。
从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械 波是不同的。物质波是一种概率波，它反映微 观粒子运动的统计规律。
波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在 什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程
1.所描述的状态称为 F 的本征态，而上式则 称为本征值方程；
2.波函数的标准条件：单值、有限和连续；
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势 能为： , x 0,x a Ep u ( x) 0, 0 x a （14.6.15）
无限深势阱：该势能如图所示形如一 无限深的阱，故称无限深势阱，本问 题为求解该一维无限深势阱内粒子的 波函数。
2 2 1 f ( t ) (x, y,z ) 推出： i V (x, y,z ) f (t ) t 2m (x, y,z )
设常量E：
1 f (t ) i E f (t ) t
2
[
2m
V (x, y,z )] (x, y,z ) E (x, y,z )
o
a
x
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数 满足定态薛定谔方程，在势阱内势能为零故其定 态薛定谔方程为：
定态薛定谔方程为：
Ep
k 2mE
d 2 k 0 2 dx
2
其通解为： ( x)
A sin kx B cos kx
o
a
x
由波函数的标准条件：单值、有限和连续可得：
2.定态薛定谔方程 势能函数： V V ( x, y, z ) 波函数可以分离为坐标函数和时间函数的乘积：
(x, y,z,t ) (x, y,z ) f (t )
（14.6.8）
将其代入薛定谔方程式：
2 f (t ) i (x, y,z ) 2 (x, y,z ) f (t ) V (x, y,z ) (x, y,z ) f (t ) t 2m
2
解之得： 定态波函数：
schr¨odinger 方程式
schr¨odinger 方程式
Schrödinger方程式是量子力学中描述粒子的波函数演化的基本方程。
由奥地利物理学家Erwin Schrödinger于1925年提出。
Schrödinger方程式的一般形式为:
ĤΨ = EΨ
其中Ĥ是哈密顿算符（描述粒子的总能量），Ψ是波函数，E是对应的能量本征值。
Schrödinger方程式描述了波函数Ψ如何随时间和空间坐标的变化而变化。
它是一个偏微分方程，波函数Ψ通过求解该方程可以得到粒子的概率分布以及相应的能量本征值。
Schrödinger方程式是量子力学中的基本方程之一，在解释原子结构、分子特性、粒子在势场中运动等问题上都起着重要的作用。
它为我们理解微观世界提供了一个数学框架，并通过波函数的模的平方来描
述粒子的概率分布。
需要注意的是，Schrödinger方程式是非相对论量子力学的基本方程，适用于描述非相对论性粒子的行为。
而对于高能和高速运动的粒子，相对论量子力学需要借助于其他方程，如狄拉克方程式。
分子波函数与薛定谔方程
SD
1 r12
SD dr1d1dr2 d2
1
2
(1) 2
1
(2) 2 dr dr
2
(1)
(1)
1
(2)
a
rb
12
a
b
r
a
b
12
12
1
1
2 Jab 2
(1)
a
b
(1)
r
12
a
(2) b
(2)dr dr 12
J ab
1 2
i2
M k 1
Zk rik
Vi
j
电子相互作用势
Vi
j
ji
j dr
rij
j j 2
Hartree方法的多电子波函数总能
E
i
i
1 2
i
j
i
2
rij
j
2
dri drj
库仑积分 Jij
解出Hartree分子轨道后，如何将电子填入轨道？
输出优化后的结构
输出未优化结构
HF方法存在的问题
➢ 相关能问题 ➢ 积分计算的问题 ➢ 基组问题
1 2
J ab
20
J ab
Jab
Restricted Hartree-Fock自洽场方法
单电子Fock算符
fi
1 2
i2
M k 1
Zk rik
V HF i
j
电子相互作用势
北京大学量子力学课件
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。 (2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦 克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1. 临界频率 v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。 •2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光 强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典 理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定 于光的强度而与频率无关。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 kT 8 2 d d kTd C 3 h C3
Rayleigh Jeans
公式
d
8 kT 2 d 3 C
对 Planck 辐射定律的 三点讨论：
和光电效应理论
（ 1） （ 2） （ 3）
光子概念 光电效应理论 光子的动量
(1) 光子概念
第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认 为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根 据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能 量 hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间 以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。 由相对论光的动量和能量关系 p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子动量 p 与辐射波长λ（=C/v）的关系。
曾谨言量子力学课后答案
∴ px = nxh / 2a ,
同理可得，
p y = ny h / 2b , pz = nz h / 2c ,
nx , ny , nz = 1, 2,3,L
粒子能量
Enxnynz
=
1 2m
(
p
2 x
+
p
2 y
+
p
2 z
)
=
π 2h2 2m
n x2 a2
+
n
2 y
b2
+
n
2 z
c2
nx , ny , nz = 1, 2,3,L
p = h/λ
1
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = h 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2h2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3,L)
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
（4）
且能量平均值
∫ E = d 3r ⋅ w 。
（b）由（4）式，得
∂w ∂t
=
h2 2m
∇ψ. *⋅ ∇ψ
+
∇ψ
*
⋅ ∇ψ.
.
+ψ * Vψ
+ψ
*V ψ.
=
h2 2m
∇
⋅
ψ.
*
∇ψ
+ψ.
∇ψ
*
− ψ. *
∇ 2ψ
+ψ.
∇ 2ψ
第一章 量子力学基础习题20111019
所以无确定值
E
0 a 0
a
Hdx
(4 E1 9 E 2 ) 1 (4 E1 9 E 2 ) 2 49 13 dx
1 h2 4h 2 (4 9 ) 2 2 13 8m a 8m a 5h 2 13m a2
习题
1.49-51 处于状态的一维箱中的粒子的动量和动量平方有无 确定值，若有，求确定值；若没有，求平均值。
基本知识
5.态叠加原理
若Ψ1、 Ψ2、••• Ψi、••• Ψn为某一微观体系的可能状态，由 它们线性组合也是该体系的可能状态。
c1 1 c2 2 cn n ci i
i 1
n
式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小。
ˆ A i ai i a
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
ˆ H (r) E (r )
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
实质是能量算符的本征方程。 解法：一维箱 精确求解 三维箱 分离变量法 平面刚性转子
Ci ai
2
C
2 i
ci ai
i 1
n
2
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
n 2 x sin x x a a
h2 2 E nx 8m a2
2.三维箱中粒子 三个方向一维箱的叠加。
n y nx 8 n ( xyz) sin x sin y sin z z abc a b c
n 解： ＝ 83 sin n x x sin yx y sin nz z a a a a
E
0 a 0
a
Hdx
(4 E1 9 E 2 ) 1 (4 E1 9 E 2 ) 2 49 13 dx
1 h2 4h 2 (4 9 ) 2 2 13 8m a 8m a 5h 2 13m a2
习题
1.49-51 处于状态的一维箱中的粒子的动量和动量平方有无 确定值，若有，求确定值；若没有，求平均值。
基本知识
5.态叠加原理
若Ψ1、 Ψ2、••• Ψi、••• Ψn为某一微观体系的可能状态，由 它们线性组合也是该体系的可能状态。
c1 1 c2 2 cn n ci i
i 1
n
式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小。
ˆ A i ai i a
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
ˆ H (r) E (r )
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
实质是能量算符的本征方程。 解法：一维箱 精确求解 三维箱 分离变量法 平面刚性转子
Ci ai
2
C
2 i
ci ai
i 1
n
2
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
n 2 x sin x x a a
h2 2 E nx 8m a2
2.三维箱中粒子 三个方向一维箱的叠加。
n y nx 8 n ( xyz) sin x sin y sin z z abc a b c
n 解： ＝ 83 sin n x x sin yx y sin nz z a a a a
2-1波函数和Schrodinger方程
量子力学的基本原理之一：
微观粒子的状态用波函数 (r,t)完全描述。
52
11
不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。
几率密度用 r,t 2 r,t r,t 表示，
其物理涵义是(见下图）：
z
Ψ
r
dV
t 时刻，在 r点处单位体积
中发现一个粒子的几率。
而t 时刻在 r点附近dV
p
22
4、不确定度关系（Uncertainty principle） 按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。 但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。 那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？
Heisenberg将其形象地概括为 不确定度关系。
Werner Karl Heisenberg德国人 （1901-1976）
~
R
52
30
而由氢原子的球对称性质，得 Pr 0
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
2 R2
假设核静止，按非相对论，基态电子能量为
E Pr2 e2 2m 4π0r
作为数量级估算，可取
e2 e2 40r 40 R
则
2
e2
E
2mR 2 4π0R
52
31
即
E
2 2mR
2
e2 4π0 R
最稳定，即能量最低
令
dE dR
0
得
r0
4π 02
me2
0.53
Å
E mi n
2 2mR 2
e2 4π0 R
e2 8π0 R
13.6eV
52
32
5、力学量的平均值和算符的引进
微观粒子的状态用波函数 (r,t)完全描述。
52
11
不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。
几率密度用 r,t 2 r,t r,t 表示，
其物理涵义是(见下图）：
z
Ψ
r
dV
t 时刻，在 r点处单位体积
中发现一个粒子的几率。
而t 时刻在 r点附近dV
p
22
4、不确定度关系（Uncertainty principle） 按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。 但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。 那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？
Heisenberg将其形象地概括为 不确定度关系。
Werner Karl Heisenberg德国人 （1901-1976）
~
R
52
30
而由氢原子的球对称性质，得 Pr 0
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
2 R2
假设核静止，按非相对论，基态电子能量为
E Pr2 e2 2m 4π0r
作为数量级估算，可取
e2 e2 40r 40 R
则
2
e2
E
2mR 2 4π0R
52
31
即
E
2 2mR
2
e2 4π0 R
最稳定，即能量最低
令
dE dR
0
得
r0
4π 02
me2
0.53
Å
E mi n
2 2mR 2
e2 4π0 R
e2 8π0 R
13.6eV
52
32
5、力学量的平均值和算符的引进
曾谨言量子力学第1章
即自由粒子的物质波包必然要扩散。 结论： 物质波包的观点夸大了波动性的一面，而抹杀了粒子性的 一面。
2.波由粒子组成的疏密波
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
O Q
就如水波，声波，由分子数密度疏密变化而形成的一种分布 一样，物质波也是一种疏密波。这种看法是与实验矛盾的， 它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过 小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这 说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有 的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原 子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子 化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性 的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，也具有片面性。
λ h / p,
ν E/h
(1)
这就称为de. Broglie关系。
h ( E, p) (, )
这组de Broglie关系是物质世界的普遍规律。其中将两种图象 联系起来的Planck常数数值很小，是波粒二象性可以显现出来 的标度。假如在所研究问题中能够认为h→0，波和粒子便截然 分开，波粒二象性的现象便可以忽略。比如，由原先粒子的(E,p)， 利用(1)第一式便得到λ→0，与此粒子相联系的波动性便可以忽略。 于是可以说， 经典力学是量子力学当时h→0的极限情况。 当然，这里是相对而言，并非真要(本就是常数的)变小，而是 要求研究对象的动量足够大(从而波长足够短)，以及运动涉及 的空间尺度足够大，使得
全
在空间各点的相对概率分布
2 2 Cψ ( r1 ) ψ ( r1 ) Cψ ( r2 ) ψ ( r2 )
显然，Ψ与CΨ所描述的相对概率分布式相同的，这点与经典波不同。 2 3 )0 波函数的归一化： 全 ψ ( r ) d r A( real num ber
第一章波函数与Schr
（a） C60分子束光栅衍射实验装置 (M. Arndt, et al., Nature,Vol.401, P680,1999)
50
每
(b) 实验结果
秒
图，圆圈代表
计
数
C60 分子的计
数，其中b 图
是无光栅时的
结果。
每
秒
计
数
（c）简化分析：C60分子的双缝衍射示意图
粒子性和波动性是一对矛盾的属性，微观粒子的 性质由这对彼此对立，但又相互补充的矛盾属性完 全描述—互补原理（Complementarity principle）
t
)eikrdk
由单 粒色
自由粒子波函数
(2 ) 2
的归一化因子
或
(rv,t)
1
3
c(
pv,
t
)e
i h
pvrvdpv
子平 波面 函波 数（ ）自
(2 h) 2
其中 dpv dpxdpydpz
从数学上看，这相当于将波函数(r,t)做傅里叶展 开，C是展开系数，且有明确的物理意义。
பைடு நூலகம்
傅里叶逆变换
“波粒二象性是辐射（radiation）和实物粒子 （material particle）都具有的内禀的和不可避免的 性质。波动和粒子描述是两个理想的经典概念，各自 有其适用范围。在特定的物理现象中，辐射和实物粒 子均可展现其波动性或粒子性。但这两种理想的描绘 中的任何单独一方，都不能对所研究的现象给出完整 的说明。” — N.玻尔1927
电子双缝实验—单个电子多次重复性行为
单个电子显示出波动性！
电子究竟是什么东西呢？是粒子？ 还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是 经典的粒子也不是经典的波.
50
每
(b) 实验结果
秒
图，圆圈代表
计
数
C60 分子的计
数，其中b 图
是无光栅时的
结果。
每
秒
计
数
（c）简化分析：C60分子的双缝衍射示意图
粒子性和波动性是一对矛盾的属性，微观粒子的 性质由这对彼此对立，但又相互补充的矛盾属性完 全描述—互补原理（Complementarity principle）
t
)eikrdk
由单 粒色
自由粒子波函数
(2 ) 2
的归一化因子
或
(rv,t)
1
3
c(
pv,
t
)e
i h
pvrvdpv
子平 波面 函波 数（ ）自
(2 h) 2
其中 dpv dpxdpydpz
从数学上看，这相当于将波函数(r,t)做傅里叶展 开，C是展开系数，且有明确的物理意义。
பைடு நூலகம்
傅里叶逆变换
“波粒二象性是辐射（radiation）和实物粒子 （material particle）都具有的内禀的和不可避免的 性质。波动和粒子描述是两个理想的经典概念，各自 有其适用范围。在特定的物理现象中，辐射和实物粒 子均可展现其波动性或粒子性。但这两种理想的描绘 中的任何单独一方，都不能对所研究的现象给出完整 的说明。” — N.玻尔1927
电子双缝实验—单个电子多次重复性行为
单个电子显示出波动性！
电子究竟是什么东西呢？是粒子？ 还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是 经典的粒子也不是经典的波.
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可见，子弹的de Broglie波长与子弹的尺寸 相比太小，所以无需考虑子弹的波动性。
例1.2 初速为零的电子，被电压为V的电场 加速，求其de Broglie波长。
解：若V不大时为非相对论情形，
由
eV
Ek
Ek 0
1 2
， m0v2
有
从而由（1.2）可求得
v 2eV m0
h h h 1 1.23 nm
h p h / k
2.微粒的波粒二象性
Bohr理论所遇到的困难说明探索微观 粒子运动规律的迫切性。
1924年de Broglie 在光有波粒二象性 的启示下，提出微观粒子也具有波动性的 假说：粒子的能量ε和动量p与波的频率ν 和波长λ之间的关系，正像光子和光波的 关系一样，为：
h p h / k
第1章 波函数和Schrödinger方程
内容：
§1.1光及微粒的波粒二象性 §1.2波函数的统计解释
—波粒二象性的物理图像 §1.3态叠加原理 §1.4 Schrödinger方程 §1.5粒子流密度和粒子数守恒定律 §1.6波函数的标准条件 §1.7定态Schrödinger方程
§1.1光及微粒的波粒二象性
在经典物理中，声波和光波都遵从
叠加原理：两个可能的波动过程1 和 2
的线性叠加a1
b
也是一个可能的波动
2
过程。
在量子力学中，概率波亦有如下的态
叠加原理：
如果1, 2 所描写的都是体系可能
实现的状态,那么它们的线性叠加 c11 c22
所描写的也是体系的一个可能实现的状态。
在电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在
|2
d
3r
发散，故不能按上述方法归一化，其归一化
方法见下一章。
习题1.2 设
( x, t )
Ae
1 2
2
x
2
it
(为常数
)
，求归一化常数A = ？。
习题1.3 自由粒子波函数
(r , t)
Ae i(k r t )
Ae i
(
pr
Et
)
粒子的位置概率分布如何？这个波函数能 否归一化？
§1.3态叠加原理
d sin n,
取n=1,有：＝dsin 0.215sin500 0.165nm
而由de Broglie公式，有： 1.23 0.167nm
54
两结果吻合较好。
§1.2波函数的统计解释 —波粒二象性的物理图像
如何理解场和微粒具有波粒二象性？
Born给出解释：波函数在空间某点的强度
|
(r ,
hc
Ek
1.24 Ek (eV )
nm, 光子p
Ek
/
c
h p
h ,非相对论粒子p 2m0 Ek
2m0Ek , 电＝
1.226 nm Ek (eV )
hc
,相对论粒子p 1
EK (Ek 2m0c2 )
c
Ek (Ek 2m0c2 )
习题1.1氦原子的动能为 E 3 kT，求 T 1K 2 时氦原子的de Broglie波长。
1.光的波粒二象性
光的波动性早在十七世纪就已发现， 光的干涉、衍射和偏振现象及其电磁理论 解释从实验和理论两方面充分肯定了光的 波动性。
Einstein 的光量子假设及其对光电效应和 Compton散射的解释又肯定了光的量子性。
这样，光就具有微粒和波动的双重性 质，称之为波粒二象性。描述光的粒子性 的物理量（能量ε和动量p)和描述光的波动 性的物理量（频率ν和波长λ）之间由 Planck常数相联系：
m02c 2
所以
h
2em0V
(1
eV 2m0c2
)
2em0V (1
eV 2m0c 2
)
将 e 1.6 1019 C ，m0 9.110 31 kg ， c 3108 m / s
代入可求得
1.228 nm
(1 9.77 107V )V
不同情况下，de Broglie波长的计算公式
晶p体 运表动面，上以反确射定后的，动可量能p以运各动种的不状同态的用动波量
函数
p
(r,
t)
Ae
|
(r ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
)
|2
③在时刻t，全空间中找到粒子的概率是
|
(r ,
t)
|
2
d 3r
1
（1.4）
满足上式的波函数为归一化波函数。
波函数在归一化后仍有一个常数因子 ei (为实常数）的不确定性，因为｜ei｜ 2＝1，因子
ei 不影响概率分布和归一化条件。通常
可取δ＝0。
对于自由粒子的波函数
，因为
|
(r , t)
t
)
|2
和在该点找到粒子的概率成正比。
描写粒子的波是概率波。
①在时空点
(r ,
t
)，波的强度是|
(r ,
t)
|
2
*
在时空点 的概率是
(dr, t()r处, t )体| 元(dr,
t)
d3r 内找到粒子
|2 d
②在时空点(r,t) 处单位体积内找到粒子的
概率（概率密度）是
(r, t )
d(r,t) / d
( h )
2
例1.1 计算质量为m＝0.05kg,以速率300m/s 运动的子弹（非相对论粒子）的de Broglie 波长。
解：因为 v c ，故有 p m0v / 1 v2 / c2 m0v
从而由（1.2）可求得
h h 6.6261034 4.41026 nm
p m0v 0.05 300
m0v 2eVm0 2em0 V V
当V＝100伏时， 0.123nm ,比电子大小
de 10 5 nm
大很多，但与一般晶格常数同量级。
若要考虑相对论情形，电场对电子做功使
其能量增加，有
eV
Ek
mc2
m0c2
m
(m0
eV c2
)
由 p 2c 2 m 2c 4 m02c 4
有
p
(m0
eV )2 c 2 c2
3.自由粒子的波函数：
自由粒子的能量和动量都是常数，所以
由de Broglie关系可知，与自由粒子联系的
波，它的频率和波长都不变，为一平面波
（称之为de
(r,t)
BAcroosg(klier波 ）t)， A可co表s[2示 (为r n
t)]
写成复数形式为：
(r , t)
Ae i(k r t )
Ae i
(
pr
Et)
称
(r ,
t)
为波函数。
4.de Broglie波的验证 ――电子衍射实验和杨氏双缝实验
1927年Davisson和Germer用晶体对电子 的衍射实验验证了de Broglie波假说的正确 性。
实验装置：
d
实验曲线：
I
实验数据：
7.35
V
晶格常数 d＝0.215nm，当 50 0 ,V 54(V（) 54＝7.35)时，电流I出现峰值 理论解释：由衍射的相长干涉公式
例1.2 初速为零的电子，被电压为V的电场 加速，求其de Broglie波长。
解：若V不大时为非相对论情形，
由
eV
Ek
Ek 0
1 2
， m0v2
有
从而由（1.2）可求得
v 2eV m0
h h h 1 1.23 nm
h p h / k
2.微粒的波粒二象性
Bohr理论所遇到的困难说明探索微观 粒子运动规律的迫切性。
1924年de Broglie 在光有波粒二象性 的启示下，提出微观粒子也具有波动性的 假说：粒子的能量ε和动量p与波的频率ν 和波长λ之间的关系，正像光子和光波的 关系一样，为：
h p h / k
第1章 波函数和Schrödinger方程
内容：
§1.1光及微粒的波粒二象性 §1.2波函数的统计解释
—波粒二象性的物理图像 §1.3态叠加原理 §1.4 Schrödinger方程 §1.5粒子流密度和粒子数守恒定律 §1.6波函数的标准条件 §1.7定态Schrödinger方程
§1.1光及微粒的波粒二象性
在经典物理中，声波和光波都遵从
叠加原理：两个可能的波动过程1 和 2
的线性叠加a1
b
也是一个可能的波动
2
过程。
在量子力学中，概率波亦有如下的态
叠加原理：
如果1, 2 所描写的都是体系可能
实现的状态,那么它们的线性叠加 c11 c22
所描写的也是体系的一个可能实现的状态。
在电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在
|2
d
3r
发散，故不能按上述方法归一化，其归一化
方法见下一章。
习题1.2 设
( x, t )
Ae
1 2
2
x
2
it
(为常数
)
，求归一化常数A = ？。
习题1.3 自由粒子波函数
(r , t)
Ae i(k r t )
Ae i
(
pr
Et
)
粒子的位置概率分布如何？这个波函数能 否归一化？
§1.3态叠加原理
d sin n,
取n=1,有：＝dsin 0.215sin500 0.165nm
而由de Broglie公式，有： 1.23 0.167nm
54
两结果吻合较好。
§1.2波函数的统计解释 —波粒二象性的物理图像
如何理解场和微粒具有波粒二象性？
Born给出解释：波函数在空间某点的强度
|
(r ,
hc
Ek
1.24 Ek (eV )
nm, 光子p
Ek
/
c
h p
h ,非相对论粒子p 2m0 Ek
2m0Ek , 电＝
1.226 nm Ek (eV )
hc
,相对论粒子p 1
EK (Ek 2m0c2 )
c
Ek (Ek 2m0c2 )
习题1.1氦原子的动能为 E 3 kT，求 T 1K 2 时氦原子的de Broglie波长。
1.光的波粒二象性
光的波动性早在十七世纪就已发现， 光的干涉、衍射和偏振现象及其电磁理论 解释从实验和理论两方面充分肯定了光的 波动性。
Einstein 的光量子假设及其对光电效应和 Compton散射的解释又肯定了光的量子性。
这样，光就具有微粒和波动的双重性 质，称之为波粒二象性。描述光的粒子性 的物理量（能量ε和动量p)和描述光的波动 性的物理量（频率ν和波长λ）之间由 Planck常数相联系：
m02c 2
所以
h
2em0V
(1
eV 2m0c2
)
2em0V (1
eV 2m0c 2
)
将 e 1.6 1019 C ，m0 9.110 31 kg ， c 3108 m / s
代入可求得
1.228 nm
(1 9.77 107V )V
不同情况下，de Broglie波长的计算公式
晶p体 运表动面，上以反确射定后的，动可量能p以运各动种的不状同态的用动波量
函数
p
(r,
t)
Ae
|
(r ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
)
|2
③在时刻t，全空间中找到粒子的概率是
|
(r ,
t)
|
2
d 3r
1
（1.4）
满足上式的波函数为归一化波函数。
波函数在归一化后仍有一个常数因子 ei (为实常数）的不确定性，因为｜ei｜ 2＝1，因子
ei 不影响概率分布和归一化条件。通常
可取δ＝0。
对于自由粒子的波函数
，因为
|
(r , t)
t
)
|2
和在该点找到粒子的概率成正比。
描写粒子的波是概率波。
①在时空点
(r ,
t
)，波的强度是|
(r ,
t)
|
2
*
在时空点 的概率是
(dr, t()r处, t )体| 元(dr,
t)
d3r 内找到粒子
|2 d
②在时空点(r,t) 处单位体积内找到粒子的
概率（概率密度）是
(r, t )
d(r,t) / d
( h )
2
例1.1 计算质量为m＝0.05kg,以速率300m/s 运动的子弹（非相对论粒子）的de Broglie 波长。
解：因为 v c ，故有 p m0v / 1 v2 / c2 m0v
从而由（1.2）可求得
h h 6.6261034 4.41026 nm
p m0v 0.05 300
m0v 2eVm0 2em0 V V
当V＝100伏时， 0.123nm ,比电子大小
de 10 5 nm
大很多，但与一般晶格常数同量级。
若要考虑相对论情形，电场对电子做功使
其能量增加，有
eV
Ek
mc2
m0c2
m
(m0
eV c2
)
由 p 2c 2 m 2c 4 m02c 4
有
p
(m0
eV )2 c 2 c2
3.自由粒子的波函数：
自由粒子的能量和动量都是常数，所以
由de Broglie关系可知，与自由粒子联系的
波，它的频率和波长都不变，为一平面波
（称之为de
(r,t)
BAcroosg(klier波 ）t)， A可co表s[2示 (为r n
t)]
写成复数形式为：
(r , t)
Ae i(k r t )
Ae i
(
pr
Et)
称
(r ,
t)
为波函数。
4.de Broglie波的验证 ――电子衍射实验和杨氏双缝实验
1927年Davisson和Germer用晶体对电子 的衍射实验验证了de Broglie波假说的正确 性。
实验装置：
d
实验曲线：
I
实验数据：
7.35
V
晶格常数 d＝0.215nm，当 50 0 ,V 54(V（) 54＝7.35)时，电流I出现峰值 理论解释：由衍射的相长干涉公式