电子科技大学概率论-1998答案
第1章1,随机过程-绪论
绪 论
《随机过程》基础 随机过程》
高等数学 线性代数 概率论
绪 论
学习《随机过程》 学习《随机过程》意义
在科学研究中， 在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个 现象的不同量之间的关系； 现象的不同量之间的关系； 随机过程理论在自然科学和工程技术研究的许多领域 都得到广泛的应用例如物理、化学、生物、通信、 都得到广泛的应用例如物理、化学、生物、通信、机 自动化、地震、海洋、医学、气象、 电、自动化、地震、海洋、医学、气象、航空航天等 学科中均有着广泛的应用。 学科中均有着广泛的应用。 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计，保险学、 随机过程理论在社会科学中例如在社会统计，保险学、 经济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。 经济、金融工程、管理中也得到极其广泛的应用。 为从事科学研究打下坚实的基础； 为从事科学研究打下坚实的基础；
成都电子科技大学概率论与数理统计2012-2016年考研初试真题+答案
第 1 页 共 4 页电子科技大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目857 概率论与数理统计注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、 填空题（每题3分，共15分）1、任取一正整数，该数的平方的末位数是1的概率是__________.2、 设随机变量123,,X X X 相互独立，其中1X 在区间[0,6]上服从均匀分布，2X 服从正态分布2(0,2)N ，3X 服从参数为3λ=的泊松分布，记12323Y X X X =-+,则D （Y ）=___________.3、 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y ＝3X －2，则E （3Y ＋2）=__________.4、 设随机变量,X Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,,X X X ⋅⋅⋅和129,,,Y Y Y ⋅⋅⋅为分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =服从 ，参数为 . 5、 假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取得的是一等品的概率为 .二、 单项选择题（每题3分，共15分）1、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）(A)()()()1P C P A P B ≤+- (B) ()()()1P C P A P B ≥+- (C) ()()P C P AB = (D) ()()P C P A B =2、设随机变量,X Y 均服从正态分布，2(,4)X N μ，2(,5)YN μ，记1{4}p P X μ=≤-，2{5}p P Y μ=≥+，则（）第 2 页 共 4 页(A)对任何实数μ，都有12p p =（B ）对任何实数μ，都有12p p < (C) 只对μ的个别值，才有12p p = （D ）对任何实数μ，都有12p p > . 3、如果,ξη满足()()D D ξηξη+=-，则必有 ( ) (A)ξ与η独立 (B) ξ与η不相关 (C) 0D η=(D) 0D D ξη= 4、若设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则( )(A) X +Y 服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布 (C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布 5、设12,,X X ⋅⋅⋅为独立同分布序列，且(1,2,)i X i =⋅⋅⋅均服从参数为4的指数分布，当n 比较大时，11ni i X n =∑近似服从 ( ). (A) 4(4,)N n(B) 11(,)416N n (C)11(,)416N (D) (4,)16n N 三、简答题（每题10分，共30分）1、 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球，由甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取得白球的概率。
杭电概率论08期中卷与解析
杭州电子科技大学学生考试卷（ 期中）卷与解析考试课程 概率论与数理统计 考试日期2008年 11月 日 成 绩课程号 A0702140教师号任课教师姓名考生姓名参考答案 学号（8位）年级专业 一、选择题（每小题3分，共12分）1．设B A ,是两个互不相容的事件，0)(>B P ，则下列各式中一定成立的是（ C ） A ．1)(=B A P B ．)(1)(B P A P -= C ．0)(=B A P D ．0)(=AB P解析：知识点：1）若B A ,是两个互不相容的事件，则φ=AB ，可推0)(=AB P2）本题还用到条件概率公式)()()(B P AB P B A P =2．设随机事件B A ,满足)()(A B P B P =，则下列结论中正确的是 （ A ） A ．)()()(B P A P B A P = B ．)()()(B P A P B A P +=⋃ C ． B A ,互不相容 D ．)()(A B P A P =解析：由)()(A B P B P =得B A ,相互独立，则B A ，也相互独立。
而若B A ,是相互独立，则)()()(B P A P AB P =3． 随机变量X 的概率密度为),(,21)(4)3(2+∞-∞∈=+-x e x f x π，则=Y （ B ）)1,0(~N A ．23+X B ．23+XC ．23-X D ．23-X解析：正态分布的概率密度函数与参数μ和2σ的关系；及与标准正态分布的关系（转化）)1,0(~N X Y σμ-=4．设随机变量X 和Y 相互独立，其分布函数分别为)(x F X 与)(y F Y ，则随机变量 ),max(Y X Z =的分布函数)(z F Z 等于 （ C ） A ．)}(),(max{z F z F Y X B ．)]()([21z F z F Y X +C ．)()(z F z F Y X ⋅D ．)()()()(z F z F z F z F Y X Y X ⋅-+ 解析：1）二维随机变量函数的分布}),({}{)(z Y X G P z Z P z F Z ≤=≤=；2）若为二维离散型随机变量，则∑∑≤===≤=≤=zy x G j i Z j i y Y x XP z Y X G P z Z P z F ),(},{}),({}{)(；3）若为二维连续型随机变量，则⎰⎰≤=≤=≤=zy x G Z dxdy y x f z Y X G P z Z P z F ),(),(}),({}{)(。
概率论与数理统计作业
解：（1）p1
=
4 16
=
1 4
（2）p2
=
10 16
=
5 8
12、设二维随机变量 (X, Y ) ∼ N (0, 1; 0, 1; 0),，计算概率 P {X2 + Y 2 < r}, r > 0
解：
φ(x, y) =
1 e , −
x2
+y2 2
2π
∫ 2π
∫
√ r
P {X2 + Y 2 < r} =
fY (y)
=
∫ +∞
−∞
f (X, Y
)dy
=
∫
+∞
0
xe−x 1 dx, y > 0; (1 + y)2 0, y ≤ 0
=
1 , y > 0;
(1 + y)2 0, y ≤ 0
有：fX (x) · fY (y) = f (X, Y ), 则 X 与 Y 相互独立.
（2）
∫ +∞
∫
1
8xydy, 0
9、设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度是 { 12e−(3x+4y), 0 < x, 0 < y;
f (X, Y ) = 0, 其他
试求：（1）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y < 2} ; （2）(X,Y) 的联合分布函数 F(x,y);
解：（1）
∫1
∫2
P {0 < X ≤ 1, 0 < Y < 2} = 3e−3xdx 4e−4ydy = (1 − e−3)(1 − e−8) = 0.9499
随机过程-习题解答电子科技大学陈良均
在独立同分布的随机变量序列中，当样本量趋于无穷时，无论总体分布是什么，样本均 值的分布趋近于正态分布。
05
随机过程的估计与预测
参数估计
矩估计法
利用随机过程的数学期望、方差等矩特征，通过 样本矩来估计参数。
最小二乘估计法
通过最小化误差的平方和来估计参数，常用的有 普通最小二乘法和加权最小二乘法。
泊松过程
总结词
泊松过程是一种随机过程，其中事件 的发生是相互独立的，且具有恒定的 发生率。
详细描述
泊松过程描述了在单位时间内发生事 件的次数，其中事件的发生是相互独 立的，且具有恒定的发生率。这种过 程在物理学、工程学、统计学等领域 有广泛应用。
随机漫步
总结词
随机漫步是一种随机过程，其中每一步 都是随机的，且与前一步无关。
信号的滤波与预测
要点一
信号滤波
利用滤波器对随机信号进行处理，提取出所需频率成分， 抑制噪声和其他干扰。
要点二
信号预测
基于随机过程理论，利用历史数据对未来信号进行预测， 提高信号处理的准确性和可靠性。
信号的检测与估计
信号检测
在存在噪声和干扰的情况下，利用随机过程理论，检测 出有用的信号，提高信号检测的灵敏度和抗干扰能力。
参数估计
通过分析随机信号的统计特性，估计出信号的某些参数 ，如频率、相位等，为进一步处理和应用提供依据。
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THANKS
06
随机过程在信号处理中的应 用
信号的随机模型化
信号的随机模型化
01
将信号表示为随机过程，以便更好地理解和分析信号的特性。
随机信号的统计特性
02
研究随机信号的均值、方差、相关函数等统计特性，以描述信
大学概率论与数理统计习题及参考答案
十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个 邮筒内只有一封信的概率. 解: 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”，设事件 B 表示“及第一个邮筒 内只有一封信”，则
22 P ( A) 2 0.25; 4 1 1 C2 C3 P( B) 0.375. 2 4
解
P A B P( A) P( B) P( AB)
P A B P( A) P( B)
AB A ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B) P ( A) P ( B)
3 2 1 C3 C3 C9 27 1 ; 则 P B 0 3 P B1 ; 3 220 C 12 220 C 12 1 2 3 C3 C9 C9 108 84 P B 2 ; P B . 3 3 3 220 C 12 C 12 220
设 A 表示事件“第二次取到的都是新球”,
解: 设事件 A 表示“最强的两队被分在不同的组内”，则
10 基本事件总数为： C 20 9 1 事件 A 含基本事件数为： C 18 C2
9 1 C 18 C2 P A 0.5263. 10 C 20
或
P A 1 P A
8 2C 18 C 22 1 10 C 20
解法1设事件a表示报警系统a有效事件b表示报警系统b有效由已知0862093092006808508006893从而所求概率为解法20012015080988001211三为防止意外在矿内同时设有两种报警系统a与b每种系统单独使用时效的概率系统a为092系统b为093在a失灵的条件下b有效的概率为0851发生意外时这两个报警系统至少有一个有效的概率
概率半期试题解答
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学二零零 九 至二零一零 学年第 一 学期期 中 考试概率论与数理统计 课程考试题 卷 （120分钟）考试形式：闭卷笔试 考试日期 200 9 年 11月 8 日1. 设A 、B 、C 三个事件两两独立，并且满足)()(B P AC B P =，问A 、B 、C 是否相互独立？给出理由.解 A 、B 、C 三个事件两两独立则有P ( AB ) = P ( A ) P ( B ), P ( AC ) = P ( A ) P ( C ), P ( BC ) = P ( B ) P ( C ) （4分）同时成立.又因)()()()()()(B P C P A P AC B P AC P ABC P == （8分）满足三个事件相互独立的定义, 故A 、B 、C 相互独立. （10分）2. 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的α (0<α<1)，上侧分位数u α满足α}{α=>u X P . 若，α}{=<x X P 求x 的值. 解 α1}{α}{-=≥⇒=<x X P x X P ,}{}{α1x X P x X P -≤+≥=-⇒ （6分） 因X 的概率曲线关于y 轴对称, 故}{}{x X P x X P -≤=≥ （8分）2α12α1}{-=⇒-=≥⇒u x x X P . （10分） 3. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度是222),()],(21exp[21),(R y x y x y x f ∈+-=π，请写出Z =X +Y 的概率密度.解 由密度函数可知),(Y X 服从二维正态分布)0;1,0;1,0(N , （2分）故)1,0(~N X ,)1,0(~N Y ,而且X 与Y 相互独立, （5分）根据正态分布的可加性, )2,0(~N Y X +,（8分）其概率密度函数为R x e z f x Z ∈=-,21)(42π（10分） 4. 假设4321,,,A A A A 是同一随机试验的随机事件,其概率分别为4,3,2,1,1)(0=<=<i p A P i i , 对以下三种条件分别计算随机事件4321,,,A A A A 少有一个发生的概率：(1) 4321,,,A A A A 是任意的随机事件； (2) 4321,,,A A A A 互不相容；(3) 4321,,,A A A A 相互独立.解 1）4321,,,A A A A 是任意的随机事件，则-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==4141)(i i i i A P A P .)(41∑≤<≤k i k i A A P .)()(414321∑≤<<≤-+k j i k j i A A A A P A A A P （3分） 2）若4321,,,A A A A 互不相容，由概率的有限可加性可得p = P (A 1)+ P (A 2)+ P (A 3) + P (A 4) = p 1+p 2+ p 3 +p 4 （6分）3）若4321,,,A A A A 相互独立，其对立事件也相互独立, 由对偶原理和概率性质可得)(4321A A A A P p =)(14321A A A A P -=)()()()(14321A P A P A P A P -=∏=--=41)1(1k k p （10分）………密………封………线………以………内………答………题………无………效……二、(12分)某系统由3类元件组装而成, 其中Ⅰ类元件占10%，Ⅱ类元件占40%，Ⅲ类元件占50% ,已知t 小时后各类元件的损坏率分别为:30%, 25%, 10%, 该系统运行t 小时后出现了故障, 问从哪类元件开始查找系统故障最合理?解 设 A =｛系统出现故障｝，B 1=｛是Ⅰ类元件损坏｝，B 2=｛是Ⅱ类元件损坏｝，B 3=｛是Ⅲ类元件损坏｝ 应从考虑哪类元件损害造成系统故障的可能性最大,需计算比较概率)(),(),(321A B P A B P A B P 的大小. （3分）因B 1，B 2，B 3构成样本空间的划分，且P(B i )>0, i =1,2,3,由全概率公式 （5分）)()()()()()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++==0.1×0.3+0.4×0.25+0.5×0.1=0.18 （7分）根据贝叶斯公式,17.018.03.01.0)()()()(111=⨯==A PB A P B P A B P ,55.018.025.04.0)()()()(222=⨯==A PB A P B P A B P ,28.018.01.05.0)()()()(333=⨯==A P B A P B P A B P （10分）因第Ⅱ类元件造成系统故障的可能性最大, 故应从第Ⅱ类元件开始查找系统故障. （12分）三、(12分)已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤--<=.2,1;21,1511;11,154;1,0),(x x x x y x F (1) 写出X 的分布律; (2)计算概率}5.1{=X P 和}5.1{≥X P ,(3)计算条件概率}5.05.1{≥≤X X P . 解 (1)根据分布函数的间断点知，X 的可能取值为－1，1，2 （2分）154)01()1(}1{=----=-=F F X P ; 157)01()1(}1{=--==F F X P ;154)02()2(}2{=--==F F X P . （8分）(2) 0}5.1{==X P , 154)5.1(1}5.1{1}5.1{=-=<-=≥F X P X P . （10分）(3) 117)5.0(1)5.0()5.1(}5.0{}5.15.0{}5.05.1{=--=≥≤≤=≥≤F F F X P X P X X P （12分）四、(12分)一条自动生产线连续生产n 件产品不出故障的概率为λ!λ-e n k (n = 0,1,2,…;λ>0), 产品为优质品的概率为p (0<p <1). 如果各件产品是否为优质品是相互独立的.求生产线在两次故障间生产k 件优质品的概率.解 设X 为两次故障间生产出的产品件数, 由题设知X 的分布律为{},,2,1,0,!λλ===-k e n n X P n （3分）设Y 表示生产线在两次故障间生产k 件优质品件数.在生产出n 件产品的条件下，即“n X =”的条件下, 随机变量Y 的条件分布律为{}()n k p p C n X k Y P kn kk n ,,2,1,0,1 =-===- （6分）故),(Y X 的联合分布律为{}{}{}()kn k k n n p p C e n n X k Y P n X P k Y n X P ---========1!λ,λ………密………封………线………以………内………答………题………无………效……( ,2,10=≤≤n k ) （8分）生产线在两次故障间生产k 件优质品的概率为{}()()()()[]∑∑∞=--∞=----=--==kn kn kk n k n kn k n p e k p p p k n k n e n k Y P )!(1λ!λ1!!!!λλλ （10分）()()()),2,1,0(,!λ!λλ1λλ ===---k e mk p e e k p p kp k （12分）五、(12分)设区域}31,31:),{(≤≤≤≤=y x y x G ，随机变量(X , Y )在G 上服从均匀分布,求Y X Z -=的概率密度.解 (X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0;),(,41),(其他G y x y x f （2分）Z 的分布函数为}{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤= （4分）⎰⎰⎰⎰==≤-Dz y x dxdy dxdy y x f 41),( （7分） 22)2(411])2(4[41z z --=--= （10分）⎪⎩⎪⎨⎧<<-='=.,,0;20,21)()(其他z zz F z f Z Z （12分）六、(12分)随机变量(X , Y )在D 上服从均匀分布，其中}1,1:),{(≤-≤+=y x y x y x D ，讨论X 与Y是否相互独立. 讨论)0(y f X Y 的存在区间，并在0=X 的条件下求)0(y f X Y .解 (X , Y )的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0;),(,21),(D y x D y x y x f （2分）因 ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+.,0;10,1;01,1其他x x x x （4分）⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+.,0;10,1;01,1其他y y y y (6分) 当D y x ∈),(时 )()(21),(y f x f y x f Y X ≠=，故X 与Y 不相互独立. 当)1,1(-∈x ,因0)(>x f X ，)(),()(x f y x f x y f X X Y =有定义.且 （9分）⎪⎩⎪⎨⎧≤==.,0;1,21)0(),()0(其他y f y x f y f X X Y （12分）。
电子科大随机信号分析随机期末试题答案A
电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。
(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图2.1(a)所示：t2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω= 当34t πω=时，32()42X V πω=-，随机过程的一维概率密度函数为：232,0(;)240,X x f x others πω⎧-<<⎪=⎨⎪⎩3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。
(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数()()()()()()()121212121212(,)sin 2cos 21sin 222sin 2221sin 2202XY R n n E X n Y n E n n E n n n n n n πφπφππφππππ=⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦=-=其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
XXXX杭州电子科技大学概率论期末试卷(b)-8页精选文档
杭州电子科技大学学生考试卷期末（ B ）卷一、选择题，将正确答案填在括号内（每小题3分，共18分）1．对于任意两事件B A ,，)(B A P ⋃等于（ A ）A ．)()()(AB P B P A P -+ B ．)()()()(B P A P B P A P -+C ．)()(B P A P +D ．)()(1B P A P - 2．设随机变量X ～)2.0,5(b ，则下列结论中正确的是 （C ）A ．328.02.0}2{⨯==X PB ．322.08.0}2{⨯==X PC ． 32258.02.0}2{⨯==C X PD ．32252.08.0}2{⨯==C X P 3． 随机变量X 的概率密度为),(,21)(4)3(2+∞-∞∈=+-x ex f x π，则=Y （ B ）)1,0(~NA ．23+X B ．23+X C ．23-X D ．23-X 4．设随机变量X 和Y 相互独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，则随机变量132+-=Y X Z 的方差)(Z D 等于 （ D ）A ．222132σσ- B ． 222194σσ- C ．1942221++σσ D ．222194σσ+5．设),(Y X 的联合分布律如下表所示：则(s,t)= ( C )时，X 与Y 相互独立．（A ）(1/5,1/15)； (B) (1/15,1/5)； （C ）(1/10,2/15)； （D ）(2/15,1/10).6．设),(~2σμN X ，其中2σ已知，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的一个样本，则μ的置信度为95%的置信区间为（ A ）． A ．),(025.0025.0Z nX Z nX σσ+-； B ．),(025.0025.0t nX t nX σσ+-C ．),(05.005.0Z nX Z nX σσ+-D ． ),(05.005.0t nX t nX σσ+-二、填空题（每空格2分，共12分）1．设事件B A ,相互独立，6.0)(,4.0)(==B P A P ，则概率)(B A P ⋃= 0.76 .2．袋内装有6个白球，4个黑球.从中任取三个，取出的三个球都是白球的概率 1/6 .3．设3.0}2010{),,10(~2=<<X P N X σ，则}100{<<X P 的值为 0.3 .4．设随机变量X 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量2X Y =在（0，4）上概率密度)(y f Y5．设随机变量X 服从二项分布)3.0,10(b ，随机变量Y 服从正态分布)4,2(N ，且Y X ,相互独立，则)2(Y X E -=1- ，)2(Y X D -= 18.1 .三、（本题6分）将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A被误作B 的概率为04.0，而B 被误作A 的概率为03.0，信息A 与信息B 传递的频繁程度为1:2，若接收站收到的信息是A ，求原发信息是A 的概率.解：设事件1A 为发出信息A ，事件2A 为收到信息A 所求概率为)()()()()()()(12112112121A A P A P A A P A P A A P A P A A P +=—————————— 3分656403.031)04.01(32)04.01(32=⨯+-⨯-⨯= —————————— 6分四．本题10分）设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=elsex ax x f ,010,)(，（1）(3分) 求常数a ；(2) (3分) 求X 的分布函数)(x F ； （3） (4分) 方差)(X D . 解：（1）因为⎰+∞∞-=1)(dx x f___________________1分所以 110=⎰axdx得12=a ，即2=a___________________ 3分（2）X的分布函数()F x =⎰∞-xdt t f )(___________________ 1分⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(2x x x x x F ___________________ 3分（3）⎰+∞∞-==32)()(dx x xf X E ___________________ 1分⎰+∞∞-==21)()(22dx x f x X E___________________ 3分181)]([)()(22=-=X E X E X D ___________________ 4分五．（本题18分）设随机变量),(Y X 的概率分布律为：求：（1）(8分) X 的边缘分布律和Y 的边缘分布律, 并问X 与Y 是否相互独立？（2）(6分) 相关系数XY ρ，并问X 与Y 是否相关？ （3）(4分)条件概率}11{=≥Y X P解：（1）关于X 的边缘分布律为_______ 3分关于Y 的边缘分布律为_________ 3分因}1{}0{}1,0({-=⋅=≠-==Y P X P Y X P所以X与Y 不相互独立._________ 2分（2）2.03.014.001.0)1(2.02)(-=⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 得04.0)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov____________ 4分又2.12.024.014.00)(2222=⨯+⨯+⨯=X E 得56.0)]([)()(22=-=X E X E X D 所以X与Y 相关___________ 6分 （3）条件概率}11{=≥Y X P }1{}1,1{==≥=Y P Y X P___________ 2分=434.03.0}0{}1,2{}1,1{=====+==X P Y X P Y X P______ 4分六．（本题8分）某单位有150架电话机,每架分机有4%的时间要使用外线,假设每架分机是否使用外线是相互独立的,求该单位有10条外线时,至少有一架分机使用外线时需要等待的概率？解：设X 表示使用外线的电话分机台数，由于)04.0,150(~b X ，_________ 3分 则6)(=X E ，76.5)(=X D ，由中心极限定理可知：)5.2()083.2(2Φ+Φ-=______________ 8分七．（每小题5分,共10分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=else x x x f ,010,)1()(θθ，其中1->θ是未知参数，n x x x ,,,21Λ是X 的一个样本n X X X ,,,21Λ的观察值，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计值. 解：（1）21)1()()(1++=+==⎰⎰+∞∞-θθθθdx x x dx x xf X E ___________ 3分 所以令 X X E =)(，即X =++21θθ ___________________ 4分解得参数θ的矩估计量为：XX --=112ˆθ _________________ 5分（2）似然函数)()(1i n i x f L =∏=θ=θθθθ)()1()1(211n n i ni x x x x Λ+=+∏=_______ 2分取对数)ln()1ln()(ln 21n x x x n L Λθθθ++= 令0ln 1)(ln 1=++=∑=ni i x nd L d θθθ ____________ 4分 解得参数θ的最大似然估计值1ln ˆ1--=∑=ni ixnθ_______________ 5分八．（8分）设某批电子元件的寿命Ｘ服从正态分布),(2σμN ，2,σμ均为未知，随机抽取１６只，测得32,1509==s x （单位为小时）。
《概率论与数理统计》第二章作业解答
5、一批产品共有 25 件，其中 5 件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取 4 次，设 X 是其中 的次品数，若 （1）每次取出的产品仍放回； （2）每次取出的产品不再放回. 写出 X 的分布律. 解： （1）随机地一个一个取出仍放回，每次取出产品是次品的概率是 0.2，共取 4 次，相当于做 4 次伯 努利试验，则 X ∼ B (4, 0.2) （2） P {X = 0} =
P {X = 3} = 统一可写为： P {X = k } =
6、某射手每次射击击中目标的概率为 0.8，现连续射击 30 次，写出击中目标的次数 X 的分布律， 并求出 30 次射击未击中目标的概率. 解：该射手射击只有击中与未击中两个结果，击中目标的概率 p=0.8，连续射击 30 次相当于做了 30 次 伯努利试验，则 X ∼ B (30, 0.8) 30 次射击未击中目标的概率： P {X = 0} = (1 − 0.8)30 = 1.0737 × 10−21 7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是 0.01，现放射出 100 个粒子，求至少有两个 粒子穿透屏蔽的概率. 解：放射源放射出的粒子只有穿透与未穿透两个结果，穿透屏蔽的概率 p=0.01，连续放射出 100 个粒 子相当于做了 100 次伯努利试验，则 X ∼ B (100, 0.01) 至少有两个粒子穿透屏蔽的概率: P {X ≥ 2} = 1 − P {X = 0} − P {X = 1}
4
24 −2 e ≈ 0.0902 4! 9、在一个周期内，从一个放射源放射出的粒子数 X 是服从泊松分布的随机变量，如果无粒子放射 P {X = 4} =
出的概率为 1/3，试求: （1）X 的分布律； （2）放射出一个以上粒子的概率. 解： （1）由题意，X ∼ P (λ) ，且 P {X = 0} = 得 λ = ln 3，故 X 的分布律； P {X = k } = （2）放射出一个以上粒子的概率: 1 − P {X ≤ 1} = 1 − 1 ln 3 − = 0.3005 3 3 (ln 3)k − ln 3 (ln 3)k e = k! 3k ! λ0 −λ 1 e = 0! 2
概率论__练习题
一、简答题(每题8分, 共计40分)1. 事件的独立性是否存在传递性? 即事件A 与事件B 相互独立，事件B 与事件C 相互独立，能否推知事件A 与事件C 相互独立？试举例说明.解答 事件的独立性不存在传递性. (3分)反例 独立地抛掷出一枚硬币和一个骰子，令三个事件如下}{出现正面=A ，}6{点掷出第=B ，}{C 出现反面= (6分)则事件A 与事件B 相互独立，事件B 与事件C 相互独立，但事件A 与事件C 不相互独立. (8分)2. 给出多维随机变量相互独立和两两独立的概念，为什么说多维随机变量的独立性本质上是随机事件组的独立性？解答 设n 维随机变量),,,(21n X X X 的联合分布函数为),,(21n x x x F ，若对所有实数组),,(21n x x x 均有)()()(),,(221121n n n x F x F x F x x x F =成立, 称n X X X ,,,21 相互独立. (3分)若对一切1 ≤ i 1 < i 2 ≤ n 及),(21i i x x 都有)()(),(221211i i i i i x F x F x x F = 成立则n 维随机变量),,,(21n X X X 两两独立. (5分)根据分布函数的定义, n 维随机变量),,,(21n X X X 相互独立即对任意实数向量(x 1 , x 2, …, x n ), n 个随机事件A k ={X k ≤ x k }, k =1,2, …, n ， 都相互独立. (8分)3. 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：P {X =－1}= P {Y =－1}=21, P {X =1}= P {Y =1}=21，试计算概率P {X=Y }和P {X+Y =0}.解答 根据X 与根据随机变量X 与Y 有下表可得 注 用其他表达形式得到结果,类比给分.4. 在区间[0, 2]上任意取两个数x , y ，试求两数满足不等式x y x 442≤≤的概率.解答 “任意选取两个数”意味x 和 y 在[0, 2]上 等可能被选取，即二维随机点( X , Y )在边长为2 的正方形上服从均匀分布， (3分)所求概率为.31)41(41202=-=⎰dx x x p (8分)5.假设随机变量X 服从指数分布，试求 Y = min{X , 2}的分布函数，并讨论随机变量Y 是否为连续型随机变量，为什么？解 })2,{m in()(y X P x F X ≤= ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤≤<=.2,1;20},{;0,0y y y X P y (3分)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-.2,1;20,1;0,0y y e y y λ (6分) 连续型随机变量的分布函数处处连续,)(x F X 在y =2处不连续，故Y 非连续型随机变量 (8分)二、证明题 (12分)已知随机变量X 与Y 相互独立, 且X ~U (0,1), Y~B (1, p ). 证明X 2与Y 2相互独立.证明 需证 对任意的R y ∈及k = 0,1，随机事件}{2y X ≤与}{2k Y =相互独立. (3分) 因Y 与Y 2同分布，且X 与Y 相互独立, 当0≥y ，k =0,1 (5分) }{}{}{}{222y X P y X y P k Y y X y P k Y y X P ≤=≤≤-==≤≤-==≤ (9分)当0<y ，k =0,1}{0}{222y X P k Y y X P ≤===≤ (12分)故X 2与Y 2相互独立.或证明 任意实数对(x , y ), (X 2, Y 2)联合分布函数G (x , y )满足)()(),(22y F x F y x G Y X =三、 (14分) 设电源电压)25,220(~2N X （单位：V ），通常有三种状态：（a ）电压 不超过200V ；（b ）电压在200V ~240V 之间；（c ）电压超过~240V . 在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别0.1，0.001及0.2，试求1）该电子元件损坏的概率； 2）在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于什么状态？（附：8849.0)2.1(,7881.0)8.0(=Φ=Φ）解 记 =1A {电压处于状态a }, =2A {电压处于状态b }, =3A {电压处于状态c },B ={该元件损坏}，则321,,A A A 构成Ω的一个划分，且1.0)(1=A B P ，001.0)(2=A B P ，2.0)(3=A B P (3分)2119.0)8.0()25220200(}200{)(1=-Φ=-Φ=≤=X P A P ， 2119.0)8.0(1)25220240(1}240{)(3=Φ-=-Φ-=≥=X P A P 5762.0)()(1)(312=--=A P A P A P (8分)由全概率公式 0642.0)()()(31==∑=i iiA B P A P B P (10分)（2）由贝叶斯公式3301.00642.01.02119.0)()()()(111=⨯==B P A B P A P B A P ，0090.0)()()()(222==B P A B P A P B A P ，6601.0)(3=B A P ， (12分)在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于状态（c ）. (14分)四、(14分)设随机变量321,,X X X 相互独立且都服从参数为p 的0-1分布，已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221X X X X 为正定矩阵的概率为81. 试求1)参数p 的值; 2) 随机变量3221X X X X Y =的概率}0{=Y P .解 1) 因矩阵正定的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于0, 故有 (3分))1(}1,0,1{}0,0{81232122311p p X X X P X X X X P -=====>->= 解得21=p . (7分) 2) 随机变量2231X X X Y -=的全部取值为1,0,1-, (10分)}0{}0{2231=-==X X X P Y P}1,1,1{}0,0,0{321321===+====X X X P X X X P }0,0,1{}1,0,0{321321===+===+X X X P X X X P}1{}1{}1{}0{}0{}0{321321===+====X P X P X P X P X P X P }0{}0{}1{}1{}0{}0{321321===+===+X P X P X P X P X P X P2184==(14分) 五、（20分）随机变量（X , Y ）的联合概率密度函数是)()(2121),(2222y g x g e ey x f y x πππ-+-+= (x , y )∈R 2 其中 ⎩⎨⎧>≤=ππx x x x g 0cos )(1) 证明X 与Y 都服从正态分布；2) 求随机变量Y 关于X 的条件概率密度; 3）讨论X 与Y 是否相互独立？ 4) 根据本题的结果，你能总结出什么结论？解 1)dy y g x g e dy edy y x f x f y x X ⎰⎰⎰∞∞--∞+∞-+-∞+∞-+==)()(π21π21),()(222π2（3分）R x e dy y x e e x x ∈=+=----⎰,21cos cos 212122222ππππππ （5分）即)1,0(~N X .dx y g x g e dx e dx y x f y f y x Y ⎰⎰⎰ℵ∞--∞+∞-+-∞+∞-+==)()(2121),()(2222πππR y e y ∈=-,2122π)1,0(~N Y （9分）2） 对任意 R x ∈，因0)(>x f XR y y g x g e e x f y x f y f x y X X Y ∈+==+--),()(2121)(),()()2(2222πππ（14分）3） 因 ),,()()(y x f y f x f Y X ≠故X 与Y 不相互独立.或因 )()(x f y f Y X Y =，故X 与Y 不相互独立. （17分）4）如 ① n 维正态随机变量的每一分量均服从正态分布，反之不成立； ② 可由条件分布确定两个随机变量的独立性；等等，只要是总结出可用的结论均可 （20分）1. 设)(),(21x F x F 为两个分布函数，问：（1） )()(21x F x F +是否分布函数？ （2）)()(21x F x F 是否分布函数？ 给出证明。
概率论参考答案
一、单项选择题 1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C．X与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)=( B )。
A ．nk k m q p CB．kn k k n qp C -C ．k n pq -D ．k n k q p -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．24 6．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭B．1a n n μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭C ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭D ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为Y X0 1 2-1 0 10.2 0 0.10 0.4 0 0.1 0 0.2则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.68．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F分布 D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
电子科技大学-信息论课件及历年考题
根据上凸函数定义，如果I(X;Y)在定义域内对
p(xi)或p(x)的极值存在，则该极值一定是极大
值。信道容量就是在固定信道情况下，求平均
C max I ( X ; Y )
互信息极大值的问题，即
p ( xi )
•I(X;Y)又是信道转移概率分布
11/100，可知相应的信息传输速率为：
89
R P (ai ) log
i 1
1
1
P (a90 ) log
P (ai )
P (a90 )
1
11
100
log100
log
100
100
11
log100 0.11log11
89
6.264 (bit / s )
比较 R’与无失真传输条件下的信息率R ,
例：设信源具有一百个以等概率出现的符号a1， a2，…，
a99，a100，并以每秒发出一个符号的速率从信源输出。试
求在允许失真度D＝0.1条件下，传输这些消息所需要的最
小信息率。
信源
a1, a2,..., a99,
a100
a1～a100
a1～a90
试验信道
{p(yj|xi)}
失真信
(a) 源
无扰离散
率P(yj|xi)为零时，所对应的dij为无限大）
该失真信源的组合方案的平均失真函数为：
d
P( x )P( y
i
j
| x i )d ij
XY
P( x )P( y
i
X 1Y1
j
应用随机过程习题解答
当y 0时，F y =0。
1.25 设X 服从几何分布，即P X k 2k 3k1 , k 0,1, 2 。 试求：1 X的特征函数与概率母函数；2 X的均值和方差。
1 特征函数：X
v
E e jvX e jvk P k 0
EX
2
1 p p2
6
2.6 两个随机信号X t Asin t , Y t B cos t , 其中A与B为未知随机变量，
为0 ~ 2 均匀分布随机变量，A、B与两两统计独立，为常数。
试求：1 两个随机信号的互相关函数RXY t1,t2 ;
AB
4
2 0
sin
t1
t2
2
sin
t1
t2
d
AB 2
sin t1
t2
2.6 两个随机信号X t Asin t , Y t B cos t , 其中A与B为未知随机变量，
为0 ~ 2 均匀分布随机变量，A、B与两两统计独立，为常数。
1
EX
t
E
Acos 0t
EAE
cos 0t
1 2
2
0
1
2
cos 0t
d
0
EX
2
t
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A2
1
cos
2 0t
2
1 2
EA2 E
cos 2 0t
(完整word版)电子科大版概率论期末考试
概率论与数理统计期末考试填空与单项选择暂无对应题库，您可以自行用小号刷题获取题库A。
1•B.•C。
0。
7••A.P｛Y=2X—1}=1•B。
P｛Y=-2X—1｝=10。
00/3。
00•C。
P{Y=—2X+1｝=1•D.P{Y=2X+1}=1正确答案：D你错选为B3单选（3分)已知P（A）=0。
9；，则P(A—BC）=得分/总分•A。
0。
4•B.0.6•C.0。
7•D。
0。
8正确答案：C你没选择任何选项4单选(3分）设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则得分/总分•A。
X和Y一定独立•B.X和Y不一定独立•C.（X,Y）一定服从二维正态分布•D。
X+Y服从一维正态分布正确答案：B你没选择任何选项5单选(3分）设X1，X2，……为独立同分布随机变量序列,且Xi(i=1,2，……）均服从参数为4的指数分布。
则当n比较大时,近似服从得分/总分•A.•B。
•C。
•D.正确答案:A你没选择任何选项6填空(3分)随机变量X的概率密度为则常数T=__________？得分/总分你没有填写答案正确答案：17填空（3分）甲、乙、丙三人同时独立地向同一个目标射击一次,命中率分别为0.8、0。
6、0。
5，则目标被击中的概率为_______?(答案保留两位小数)得分/总分你没有填写答案正确答案：0。
968填空（3分）若随机事件A与B互不相容，并且P（A)= p, P（B）=q, 则_______?得分/总分你没有填写答案正确答案：q9填空(3分）一个袋子中装有3个红色球，5个白色球，甲取出了一个红球，不再放回袋子中，乙也从袋子中摸一个球，他取出红球的概率是_______？（答案保留两位小数）得分/总分你没有填写答案正确答案:0。
2910填空（3分）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在区间[0,6］上服从均匀分布,X2服从正态分布N（0，4），X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，则D（Y）=_________？得分/总分你没有填写答案正确答案：46本部分由7道计算题组成，每道题均为10分。