第一节 平面向量的概念及运算-高考状元之路

平面向量的概念及其线性运算
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（一）平面向量
1．平面向量的实际背景及基本概念
(1）了解向量的实际背景。

(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
(3)理解向量的几何表示．
2. 向量的线性运算
(1）掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．
（2）掌握向量数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义．
3. 平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义。

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4. 向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
5. 向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
（2）会用向量方法解决简单的力学问题和其他一些实际问题.
（二）数系的扩充和复数的引入
1. 复数的概念
（1）理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
(2)了解复数的代数表示法及其几何意义．
2．复数的四则运算
会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
考情分析
1．平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示是高考热点，多以选择题、填空题的形式呈现，常与解析几何相结合，在知识的交汇点处命题．
2．平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件，是高考考查的重点，也是历年高考的热点．以选择题、填空题的形式进行考查，以中低档题为主，向量的坐标运算及共线条件，常与三角、解析几何等知识结合，在知识的交汇点处命题，以解答题形式出现，属中档题．
3．平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题．数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查重点．关注数形结合思想的应用．
4．以向量为载体考查平面几何、三角函数、解析几何等问题是高考考查的热点与重点．题目多以解答题形式出现，此时注意两个问题，一个是数形结合思想、函数与方程思想的应用，另一个是实际问题，要考虑实际的背景及其意义．
5．复数的相关概念以及复数的代数运算是高考考查的热点之一，尤其是复数相等的充要条件及复数的代数运算更是重中之重，本部分题型主要以选择题为主，难度较小，多为低档题，
预习设计基础备考
知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 （或 ）
(2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的．
(3)单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量．
(4)平行向量：方向 或 的 向量，平行向量又叫 ，任一组平行向量都可以移以同一条直线上，规定：O 与任一向量
(5)相等向量：长度 且方向 的向量．
(6)相反向量：长度 且方向 的向量．
2．向量的加法和减法
(1)加法：
①法则：服从三角形法则、平行四边形法则．
②运算性质：
=+b a （交换律）；
=++c b a )(
（结合律）
； =+=+a a 00
(2)减法：
①减法与加法互为逆运算；
②法则：服从三角形法则．
3．数乘向量
(1)长度与方向规定如下：
=||a λ①
②当 时，a λ与a 的方向相同；当 时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，=a λ
(2)运算律：设,R ∈μλ、则
=)(a μλ①
=+a )(μλ②
=+)(b a λ③
4．两个向量共线定理
向量b 与a )0(=/a 共线的 条件是有且只有一个实数λ，使得
典题热身
1．下列各命题中，真命题的个数为 ( )
①若|,|||b a =则,b a =或;b a -= ②若,DC AB =则A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点；
③若,,c b b a ==则,⋅=c a
④若,//,//c b b a 则.//c a
4.A 3.B 2.c 1.D
答案：D
2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
DC AB A =. AC AB AD B =+. BD At AB c =-). 0.=+CB AD D
答案：C
3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量等于( )
A 21.+-
B 21.--
C 21.-
D 2
1.+
答案：A
4．（2010．黄山联考）在四边形ABCD 中，=+=BC b a AB ,2=--CD b a ,4,35b a --其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )
A ．梯形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．矩形
答案：A
5．已知向量a ，b 不共线，.),(b a d R k b ka c -=∈+=如果//c ,d 那么( )
,1.=k A 且c 与d 同向 ,1.=k B 且c 与d 反向 ,1.-=k c 且c 与d 同向 ,1.-=k D 且c 与d 反向 答案：D
课堂设计 方法备考
题型一 平面向量的概念
【例1】判断下列命题是否正确，不正确的说明理由．
(1)若向量a 与b 同向，且||||b a >，则.b a >
(2)若向量||||b a =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反．
(3)对于任意向量||||,,b a b a =，且a 与b 的方向相同，则.b a =
(4)由于零向量O 方向不确定，故0不能与任意向量平行．
(5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．
(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．
题型二 平面向量的线性运算
【例2】在C AB ∆中，,3
2AB AD =BC DE //交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ．设,,b AC a AB == 用a ，b 表示向量.,,,,,AN AM DN DF BC AE
题型三 共线向量定理的应用
【例3】设两个非零向量1e 和2e 不共线．
(1)如果．,28,23,A 212121e e e e e e --=+=-=求证：A ，C ，D 三点共线；
(2)如果,2,32,212121ke e e e e e -=-=+=且A,C,D 三点共线，求k 的值．
技法巧点
1．向量的线性运算
在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量直接关系的向量来求解．
2．共线向量定理
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，
要注意待定系数法的运用和方程思想．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量
共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(3)若a 与b 不共线且,b a μλ=则.0==μλ
)4(μλ+=（m ，n 为实数）
，若A 、B 、C 三点共线，则.1=+μλ
失误防范
1．O 与实数0有区别，0的模为数O ，它不是没有方向，而是方向不定，O 可以看成与任意向量平行．
2．由,//,//c b b a 不能得到.//c a 取不共线的向量a 与c ，显然有.0//,0//c a
3．注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系，
随堂反馈
1．(2011．四川高考)如图，正六边形ABCDEF 中+=+（ ）
0.A B . C . D .
2．(2011．南通模拟)在ABCD 中,a AB ===AN b AD ,,3NC M 为BC 的中点，则=（ ）
b a A 4141.+- b a B 2121.+- b a C 21.+ b a D 4
343.+-
3．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：;C DA B CD AB +=+①;C C AD B BD A +=+②
-A ③.B +=其中正确的个数为 ( )
A. O
B.1
C.2
D.3
4．若a ，b 是两个不共线的向量，若，b a CB kb a AB +=+=,2,2b a CD -=且A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值等于
5．（2011．马鞍山模拟）已知两个不共线的向量OB ,OA 的夹角为θ且|OA ︱=3．若点M 在直线OB 上，且 ||+的最小值为2
3，则θ的值为
高效作业 技能备考
一、选择题 1．(2010．天津模拟)如图所示，向量的终点A 、B 、C 在一条直线上、OA OC OB 、且,3C CB A -=设
===OC q OB p OA ,,r 则下列等式成立的是 ( )
q p r A 2.+-= q p r B 2123.-=
q p r C 2
321.+-= q p r D +=2.
2．（2011．惠州模拟）在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若,,2;CB CA CD DB AD μλ+==则λ
μ的值为 ( ) 1.A 21.B 2.C 3
1.D 3、（2011．杭州模拟）已知P 是△ABC 所在平面内一点，若),(R ∈+=λλ则点P 一定在 ( )
ABC A ∆.的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上
4（2010．汕头模拟）已知O 为C AB ∆内一点，且++OL OA 02=OB ，则OC A ∆与C AB ∆的面积之比是 ( )
A 、1 : 2 B.l : 3 C.2 : 3 D.l : 1
5（2011．泉州模拟）已知点0、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且,2
3OB OA -=则 ( )
A ．点P 在线段A
B 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
6．（2011．福建模拟）O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
∈++=λλ（O ).,0[+∞则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 ( )
A.外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心
二、填空题
7．(2010．通化模拟)设21,e e 是两个不共线的向量，已知212ke e +=，213e e +=，,221e e C -= 若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值为
8．(2010．濮阳一模)在ABC ∆由,,b a ==M 是CB 的中点，N 是AB 中点，且AM CN ,交于点P ，则=A
9．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若==,2λ+3
1，则=λ
三、解答题．．
10.（2011．东莞阶段检测）如图所示，在ABC ∆的中点，D 、F 分别是BC 、AC 的中点
.,,2
2AE b a === (1)用a ，b 表示向量;A
(2)求证：B ，E ，F 三点共线．
11．（2010．临沂模拟）若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时)(3
1,,,b a tb a + 三向量的终点在同一条直线上？
12．已知ABC ∆中，,AC ,b a AB ==对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足,b a OA OP λλ++=则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．。