第五章中心力场
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量子力学(第五章中心力场)
1.角动量守恒与径向方程
在中心力场中V(r)运动的粒子，角动量
L r p 守恒。这个结论,对于经典粒子
是明显的,因为
d dr dp L pr dt dt dt
v mv r F r [V (r )]
r dV r 0 r dr
第五章 中心力场
本章所讲的主要内容
一般性质(5.1) 无限球方势阱(5.2)
三维各向同性谐振子(5.3) 氢原子(5.4)
§5.1
中心力场中粒子运动的一般 性质
无论经典力学或是量子力学中,中心力场都 占有重要的地位.而且，最重要的几种中心力 场－Coulomb场或万有引力场，各向同性谐振 子场以及无限深球方势阱，是量子力学中能 够精确求解的少数几个问题中的几个。中心 力场中运动的最重要特点是：角动量守恒。
而在边界上要求
Rl (r ) |r a 0
引进无量纲变量
(11)
(12)
kr
则式(10)化为
l (l 1) d 2 d Rl Rl 1 Rl 0 2 2 d d
2
(13)
此即球Bessel方程。令 可求出 u l 满足下列方程
Rl ul ( )
所以，径向波函数的两个解为 1 1 Rl J l 1/ 2 ( ) ， J l 1/ 2 ( )
通常用球 Bessel 函数及球 Neumann 函数 表示，其定义如下
jl ( ) Jl 1/ 2 ( ) 2
nl ( ) (1)
l 1
当 0 时，它们的渐进行为是
由于径向方程(6)或(8)中不出现磁量子数m , 因此能量本征值 E与m 无关。这是因为中心 力场具有球对称性，粒子能量显然与 z 轴的 取向无关。但在中心力场中运动的粒子能量 与角动量量子数 l 有关，而对于给定 l 的情况 下， m l , l 1, , l 1, l 共计有 2l 1 个 可能取值。因此,一般来说,中心力场中粒子 能级一般为 (2l 1) 重简并。
2013-05-06第五章 中心力场解析
( r1 , r2 ) ( R, r )
X x x1 X x1 x x1
m1 m1 m2 X x
z
m1 1 m m R r 1 2 m2 2 R r m1 m2
不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 中心力场能级一般m度简并，m有2l+1个可 能取值，所以简并度一般为（2l+1） 。 径向量子数nr n r＝ 0 ， 1 ， 2 ，…
l＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 … s ， p ， d ， f ， g ，h
相应的归一化波函数为
a (nr 1)r nr 0 (r ) sin , 2 a 0r a
[
0
a
nr l
(r )] dr 1
2
其次考虑 l 0 ，径向方程为：
d 2 Rl ( r ) r dRl ( r ) l (l 1) 2 [k ]Rl ( r ) 0 2 2 dr 2 dr r (0 r a )
1 2 r 2
r ,
R~e
1 r2 2
(5)
因此方程（3）的解可以表示为
Rl (r ) r e
1 r2 l 2
u (r )
(6)
代入（3）式,得
d 2u 2 2 du (l 1 r ) [2 E (2l 3)]u 0 2 dr r dr (7)
令 r 2 上式化为
在阱内，有：
d 2 0 (r ) 2 k 0 (r ) 0 2 dr
k 2E
( E 0)
依照边条件 0 (0) 0, 0 (a) 0
中心力场
中心力场centalfielalfielalfiel第6章中心力场61中心力场中粒子运动的一般性质611角动量守恒与径向方程612径向波函数在r0邻域的渐近行为613两体问题化为单体问题62球方势阱621无限深球方势阱622有限深球方势阱63氢原子64三维各向同性谐振子习题61中心力场中粒子运动的一般性质万有引力场coulomb场以及屏蔽coulomb场各向同性谐振子场球方势阱woodssax经典力学中在中心力场中运动的粒子质量为又是守恒量粒子运动必为平面运动平面的法线方向即的方向
学 第6章 中心力场 学 Central Field 安 徽 大 理 物
院
第6章 中心力场 6.1 中心力场中粒子运动的一般性质 6.1.1 角动量守恒与径向方程 6.1.3 两体问题化为单体问题 6.2 球方势阱 6.1.2 径向波函数在r →0邻域的渐近行为
安
徽
6.3 氢原子
学 大
6.2.1 无限深球方势阱
的态分别记为
s ， p， d， f ， g， h， i ，
6.1.2 径向波函数在 r → 0 邻域的渐近行为
（1）当 E
V > 0 时，粒子的动能大于势能(一般地，r → ∞ 时， (r ) → 0),
力场不能束缚住粒子，粒子可以运动到无穷远处，这对应于游离状 态。此时能量E 可连续取任何值，所得波函数都能满足标准条件，即 对任何E 值都存在有物理意义的解。原子中的电子被电离后，或粒子 束被有心力场散射，就属于这种情况（暂不讨论）。
能量本征方程可表为
2 2
⎡ ⎤ 1 ∂ L2 ⎢ − 2 μ r ∂r 2 r + 2 μ r 2 + V (r ) ⎥ψ = Eψ ⎣ ⎦
径向动能
安
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院
第6章 中心力场 6.1 中心力场中粒子运动的一般性质 6.1.1 角动量守恒与径向方程 6.1.3 两体问题化为单体问题 6.2 球方势阱 6.1.2 径向波函数在r →0邻域的渐近行为
安
徽
6.3 氢原子
学 大
6.2.1 无限深球方势阱
的态分别记为
s ， p， d， f ， g， h， i ，
6.1.2 径向波函数在 r → 0 邻域的渐近行为
（1）当 E
V > 0 时，粒子的动能大于势能(一般地，r → ∞ 时， (r ) → 0),
力场不能束缚住粒子，粒子可以运动到无穷远处，这对应于游离状 态。此时能量E 可连续取任何值，所得波函数都能满足标准条件，即 对任何E 值都存在有物理意义的解。原子中的电子被电离后，或粒子 束被有心力场散射，就属于这种情况（暂不讨论）。
能量本征方程可表为
2 2
⎡ ⎤ 1 ∂ L2 ⎢ − 2 μ r ∂r 2 r + 2 μ r 2 + V (r ) ⎥ψ = Eψ ⎣ ⎦
径向动能
安
第五章 中心力场
分离变量后，方程分裂为2个独立方程：
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第一式为质心的运动波函数(R)满足的方程，
系一质量为M (=m1+m2)、以能量为Ec运动的自由 粒子的定态薛定谔方程，波函数(R)为平面波， 因此氢原子质心按自由粒子方式运动，氢原子整 体处于无外场作用下的平面波状态（确定状态）。
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第二式为氢原子内部运动波函数(r)满足的方程，
它描述电子相对于核的运动状态，相对运动能量E 就是电子的能级。氢原子内部运动相当于处于 Coulomb场V(r)中的单电子的运动，只是电子的质 量m1必须用约化质量 取代。相应地，第二式，即 波函数(r)的求解按§1所述方法处理。
(r ) r r r , (r ) e
r 0,
l 1
其中
2 2 E
2
是电子的约化质量
按照“抓两头、带中间”的策略，方程(4)的解可 以表示成
(r ) r e
l 1 r
u(r )
回代方程(4)，有
d2 d e2 r 2 u [2( l 1) 2 r ] u 2[ ( l 1) 2 ]u 0 dr dr
e2 V (r ) r
2
（6）
对于氢原子问题，中心势场为Coulomb势，即
(CGS)
故当r的时，方程(6)进一(r ) 0 2 dr
（7）
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第一式为质心的运动波函数(R)满足的方程，
系一质量为M (=m1+m2)、以能量为Ec运动的自由 粒子的定态薛定谔方程，波函数(R)为平面波， 因此氢原子质心按自由粒子方式运动，氢原子整 体处于无外场作用下的平面波状态（确定状态）。
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第二式为氢原子内部运动波函数(r)满足的方程，
它描述电子相对于核的运动状态，相对运动能量E 就是电子的能级。氢原子内部运动相当于处于 Coulomb场V(r)中的单电子的运动，只是电子的质 量m1必须用约化质量 取代。相应地，第二式，即 波函数(r)的求解按§1所述方法处理。
(r ) r r r , (r ) e
r 0,
l 1
其中
2 2 E
2
是电子的约化质量
按照“抓两头、带中间”的策略，方程(4)的解可 以表示成
(r ) r e
l 1 r
u(r )
回代方程(4)，有
d2 d e2 r 2 u [2( l 1) 2 r ] u 2[ ( l 1) 2 ]u 0 dr dr
e2 V (r ) r
2
（6）
对于氢原子问题，中心势场为Coulomb势，即
(CGS)
故当r的时，方程(6)进一(r ) 0 2 dr
（7）
量子力学 05中心力场
质心坐标 相对坐标
r r r r Y( r1 , r2 ) Y( R, r )
x1
X X x1
x x x1
x
1 1 R r 1 2 2 R r 2 1 2
z
r1
1
r
1
l (l 1) u0 2 r
若令
V (r )
l (l 1)h 2r
2
2
e
2
r
于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库 仑势两部分组成。
d u dr
2
2
2 h
2
[ E V ( r )]u 0
讨论 E < 0 情况，方程可改写如下：
•
（7）
•如果令 •则有
l (r ) [
''
Rl (r )
1 r
l (r )
l ( l 1) r
2
（8）
] l (r ) 0
2
2
( E V ( r ))
（9）
•由上式可看出粒子的能量本征值与l有关，而与m无关，而其本 征波函数还与m有关，每一个l取值，m取2l+1个值：故存在度简 并，这种简并来源于粒子所处的势场具有球对称性，故与Z轴取 值无关。 •上述径向方程解的情况有两种： •⑴如果E>0，则E的取值为连续变化，即体系能量具有连续谱， 电子此时离开原子核而运动到无限远处。 •⑵如果E<0，E的取值是分离的，便与径向量子数有关 Enr ,l， • nr =0,1,2,3…被称为径向量子数，故
第5章 中心力场
(完整版)第五章有心力场中的运动
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
第六章 中心力场
ˆ2 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ l =− + U (r ) ⎜r ⎟+ 2 2 2mr ∂r ⎝ ∂r ⎠ 2mr ˆ ˆ pr2 l2 =− + + U (r ) 2 2m 2mr
径向动能 角动量平方算符有关的转动动能
1 ∂ ˆ pr ≡ r r ∂r
Atomic physics and quantum mechanics
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 R ∂X ∂Y ∂Z
书102页
x
O
y
— 折合质量
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
8
Atomic physics and quantum mechanics
以相对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程
2 ⎡ 2 2 ⎤ 2 ⎢− 2M ∇R − 2m ∇ +U (r )⎥ψ (r , R) = Etψ (r , R) ⎣ ⎦
ˆ ˆ ˆ ˆ 哈密顿量 H 被分成相互不关联的两项之和 H = H R + H r ，
ˆ HR = −
2
2M
∇2 R
ˆ Hr = −
2
2m
∇ 2 + U (r )
分别表示质心作自由运动和电子对核的相对运动。
9
Atomic physics and quantum mechanics
二 变量分离
假设氢原子的波函数由质心的平动波函数 ϕ ( R) 和电子对核的 相对运动的波函数 φ (r ) 的乘积来表示
Atomic physics and quantum mechanics
2
⎞ + U (r ) ⎟ R (r ) = ER (r ) ⎠
工程力学-第五章
F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出：力在坐标轴上的投影是代数量，有正、负两种可能；而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1．空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1，F2，…，Fn，利用力的四边形法则，可将其逐步合成为合力矢 R，
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对 这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表 示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等 于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面，指向可用右手法则来确定。于是可得：
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示，在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2，试求此二力在 x，y，z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解：首先，求 F1 在 x，y，z 轴上的投影，即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点，取直角坐标系 Oxyz，如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx，Fy，Fz；力作 用点 A 的坐标为（x，y，z），则有 F Fxi Fy j Fzk
理论力学第五章
M Z Fxy M 0 Fxy Fxy d
0 OA 0
'
有两种特殊情况使力对轴之矩为零：
1 2
当力F与转 轴z平行时， 即F=Fz， Fxy=0，力对 z轴之矩 Mz(F)=0.
当力F与转 轴z相交时， 即d=0，力 对z轴之矩 Mz(F)=0.
概括为
当力与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对轴之矩
力使物体绕该点转动效应的度量。
M O (F ) F d
M O (F ) =2⊿AOB=Fd ,
+
-
2倍⊿的面积。 在平面中：力对点的矩是代数量。
二、力对轴之矩
FZ对z轴 之矩为零。
Fx、Fy产生使 门绕z轴转动的 效应
力对轴之矩是力使物体绕该轴转动效应的度量，它等于力在垂 直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。
三、合力矩定理在力对轴之矩计算中的应用
将F分解为
Fx、Fy、Fz
各分力对 轴之矩
计算其代数和
M x F M x Fx M x Fy M x Fz M x Fx M y Fy M z Fz M y F M y Fx M y Fy M y Fz
R Fi
mO ( R) mO ( Fi )
rC R r1 F1 r2 F2 rn Fn
rC F1r1 F2 r2 Fn rn Fi ri R Fi
设 心 C的 标 重 坐 为 x C、y C、z C , 任 微 部 的 标 一 小 分 坐 x i、y i、z i , ， 即 对x、y、z轴 别 用 力 定 分 应 合 矩 理
Z F cosg F sin
第五章 中心力场
2 l (l + 1) 2 Rl′′ (r ) + Rl′ (r ) + [2E r ]Rl (r ) = 0 2 r r
ii. 方程求解
Rl (r ) r l , r→0 抓两头 r 2 /2 , r →∞ Rl (r ) e
带中间 Rl (r ) = r e
l r 2 /2
α = nr
( nr = 0,1, 2,)
E nr l = (2nr + l + 3 / 2)ω; ψ nr lm ( r , θ , ) = Rnr l (r )Ylm (θ , )
iii. 简并度
[
令N = 2nr + l , ( N = 0,1, 2,)
[
E N = ( N + 3 / 2) ω
由 Rl ( a ) = 0 ，jl ( ka) = 0 记 jl ( x) = 0 根依次为
xnr l
2 Enr l = xnr l knr l = , 2 a 2 a ψ nr lm ( r ) = Cnrl jl ( knl r )Ylm (θ , )
2
xnr l ，nr = 0,1, 2,.........
分离变量： = φ ( R)ψ (r ) Ψ
2 2 [ R + V (r )]Ψ = ET Ψ 2M 2
2 2
m1
m2
Μ
2 2 R φ ( R) = Ecφ ( R) ——质心运动方程 2Μ 2 2 [ + V (r )]ψ (r ) = Eψ (r ) ——相对运动方程 2
α 3/2 α 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )/2 = ( α )3/2 e α 2r 2 /2 Φ 000 ( x, y , z ) = ( ) e π π α 3/2 α 2r 2 /2 ψ 000 ( r , θ , ) = R00 ( r )Y00 (θ , ) = ( ) e π
ii. 方程求解
Rl (r ) r l , r→0 抓两头 r 2 /2 , r →∞ Rl (r ) e
带中间 Rl (r ) = r e
l r 2 /2
α = nr
( nr = 0,1, 2,)
E nr l = (2nr + l + 3 / 2)ω; ψ nr lm ( r , θ , ) = Rnr l (r )Ylm (θ , )
iii. 简并度
[
令N = 2nr + l , ( N = 0,1, 2,)
[
E N = ( N + 3 / 2) ω
由 Rl ( a ) = 0 ，jl ( ka) = 0 记 jl ( x) = 0 根依次为
xnr l
2 Enr l = xnr l knr l = , 2 a 2 a ψ nr lm ( r ) = Cnrl jl ( knl r )Ylm (θ , )
2
xnr l ，nr = 0,1, 2,.........
分离变量： = φ ( R)ψ (r ) Ψ
2 2 [ R + V (r )]Ψ = ET Ψ 2M 2
2 2
m1
m2
Μ
2 2 R φ ( R) = Ecφ ( R) ——质心运动方程 2Μ 2 2 [ + V (r )]ψ (r ) = Eψ (r ) ——相对运动方程 2
α 3/2 α 2 ( x 2 + y 2 + z 2 )/2 = ( α )3/2 e α 2r 2 /2 Φ 000 ( x, y , z ) = ( ) e π π α 3/2 α 2r 2 /2 ψ 000 ( r , θ , ) = R00 ( r )Y00 (θ , ) = ( ) e π
第5章 中心力场
即 s(s 1) l(l 1)
10
由此得s的两个根
ss12
l 1 l
s1 s2 2l 1 为整数
由前已知在r→0 时波函数有限，要s≥1 ，则只能
取s=l+1
从而有 nr l 1 n
nr是径向量子数；n是总量子数。由于nr和l都是正 整数或零，所以n=1,2,…
9
bnr 1 0
以v=nr 代入系数关系便得 nr s
另外，级数解中对ν求和是从ν=0开始的，不包含
v=-1的项，所以b-1=0。以v=-1代入系数关系便得
b0
s 1
(s 1)s l(l
1) b1
要 b-1=0而b0≠0则必须有
s(s 1) l(l 1) 0
•
前 几 个 径 向 函
R1,0
(r)
Z a0
3/
2
2 exp
Zr a0
3/ 2
R2,0
(r)
Z 2a0
2
Zr a0
exp
Zr 2a0
数
3/ 2
为
R2,1
(r)
Z 2a0
Zr 3 a0
2)
b
用此关系将 b1 , b2 , 均用 b0 表示，并将其代
入级数解便得
12
f
()
b0l 1[1
n l 1 1!(2l 2)
(n l 1)(n l 2) 2!(2l 2)(2l 3)
10
由此得s的两个根
ss12
l 1 l
s1 s2 2l 1 为整数
由前已知在r→0 时波函数有限，要s≥1 ，则只能
取s=l+1
从而有 nr l 1 n
nr是径向量子数；n是总量子数。由于nr和l都是正 整数或零，所以n=1,2,…
9
bnr 1 0
以v=nr 代入系数关系便得 nr s
另外，级数解中对ν求和是从ν=0开始的，不包含
v=-1的项，所以b-1=0。以v=-1代入系数关系便得
b0
s 1
(s 1)s l(l
1) b1
要 b-1=0而b0≠0则必须有
s(s 1) l(l 1) 0
•
前 几 个 径 向 函
R1,0
(r)
Z a0
3/
2
2 exp
Zr a0
3/ 2
R2,0
(r)
Z 2a0
2
Zr a0
exp
Zr 2a0
数
3/ 2
为
R2,1
(r)
Z 2a0
Zr 3 a0
2)
b
用此关系将 b1 , b2 , 均用 b0 表示，并将其代
入级数解便得
12
f
()
b0l 1[1
n l 1 1!(2l 2)
(n l 1)(n l 2) 2!(2l 2)(2l 3)
第五章 中心力场12
(2l
2
)
dF d
(l
1
Ze 2 )F h 2
0
为满足归一化条件，需使：
Ze2 a l 1 2 nr (nr 0,1,2, )
3、讨论—能级及其简并度
a
l
1
Ze2 2
nr (nrFra bibliotek0,1,2,
)
令 Ze2 2
nr
l
(
x)
z
Pl ( x)
1 2l l!
(
d dx
)l
(
x
2
1）l
=0, m=0，有 ：W00 = (1/4)，与 也无关，是
x
y
一个球对称分布。
3、讨论—概率密度随角度的变化
=1, m=± 1时，W1,±1(θ) = (3/8π)sin2 。在 = π/2 时，有最大值。 在 = 0 沿极轴方向（z向）W1,±1 = 0。
N nl
2Z na0
3
(n l 1)! 1/ 2
2 n[( n
l
)! ]3
R10(r)
Z a0
2e 3/ 2
Z a0
r
R20(r)
(2 r )e Z 3/ 2
2a0
Z
Z 2 a0
r
a0
R (r ) re Ylm(,) (1)m
量子力学导论
Introduction to Quantum mechanics
成都理工大学 2014年9月—11月
课程内容
中心力场第二讲
m2 M
R
2
2 2m 2 2 2 m2 m 2 r R 2 2 r 2 M M
2 2m1
2 2 m1 m 2 r R 2 1 r 2 M M
R
R
2
( E V )
ˆ ˆ 取为{ H , L
2
ˆ , L z } 的共同本征态
( r , , ) R ( r )Y lm ( , )
代入方程（2），得到径向方程
2 1 d 2 dR 2 l ( l 1) r 2 ( E V ( r )) 2 2 dr r dr r
两体问题
实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题。 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为 V (| r1 r2 |)
二粒子体系的能量本征方程
2 2 1 2 V (| r1 r2 |) ( r1 r 2 ) E t ( r1 r 2 ) 2m 2 2m1 引入质心坐标 R 及相对坐标 r r r1 r 2 m 1 r1 m 2 r 2 R m1 m 2
2 2
l ( l 1) 2 2 ( E V ( r )) 2 u (r ) 0 r
[注]：（1）方程（6）类似半壁无限高势垒中粒子一维运动方程。
（2）方程（6）中出现一项由轨道角动量引起的附加势能——离心势能
l ( l 1) 2r
2
2
。角 动量愈大，则离心势能愈大能级愈高。离心势能是正定的，因此，中心力场中粒 子的基态必属于l=0的态。
其中
3-9 中心力场
u ( r ) = rR ( r )
可将方程(18)化为
(22)
2 d 2 l ( l + 1) + − 2 2 r 2 2 dr
而归一化条件(21)变为
2
+ V ( r ) u ( r ) = Eu ( r )
2
(23)
u (r )
0
dr = 1
2
(24)
假定当 r → 0 时， r V ( r ) → 0 ，这相当于 r → 0 时 V ( r ) 比 1/ r 增长得慢。对于这样
因此中心力场中粒子的哈密顿算符为
2 ˆ2 ˆ2 p 1 2 L ˆ ˆ H= +V (r ) = − r+ +V (r ) 2 2 r r 2 2 r 2
2
(12)
(13)
ˆ 的本征方程 现在我们要求解 H
ˆψ( r ) = E H ψ( r )
采用分离变量法，令
(14)
ψ( r ) = R ( r ) Y ( , )
V (r ) = −
e2 4π 0 r
(42)
其中 e 表示电子电荷量的绝对值， 0 是真空电容率，势能零点选在无穷远处。(42)式为国际 单位制的表达式，理论物理中还常用高斯单位制，此时
V (r ) = −
e2 r
(43)
注意不同单位制中，电荷的单位并不相同，不能混为一谈。对(43)式作代换 e →
p2 = pr2 +
L2 r2
(4)
其中 pr 是径向动量。由此可将中心势场中粒子的哈密顿量写为
H=
pr2 L2 + +V (r ) 2 2 r 2
【原子物理与量子力学】第6章 中心力场
➢ μ子偶素(muonium)
➢ 电子偶素(positronium)
总结 三维定态薛定谔方程的求解思路 哈密顿算符 寻找力学量完全集和可以分离变量的共同本 征态 求得能量本征态与本征值 讨论能级简并度
本章小结
谢 谢！
本节内容结束
电子“轨道”按l的划分：s、p、d、f、g,…。其 中：
nr = n – l – 1 = 0 或 l = n – 1的态，称为“圆轨道”，如
1s, 2p, 3d, 4f等,它们的波函数无节点，其极大值的位置
为
rn n2a,
n 1, 2, 3,
3. 氢原子的电流分布与磁矩
电流密度
j
ie
2
(
n*lm
注意！相对运动方程中的质量是约化质量。
§ 6.2 氢原子
氢原子的势函数
采用静电单位制，其势函数为
V (r) e2 / r
(1)
氢原子的径向方程
d2 dr 2
l
(r)
[
2
2
(E
e2 r
)
l
(l r2
1)
]
l
(r
)
0
(2)
氢原子的径向方程的渐近解
r 0, l (r) rl1 r , l (r) er
原子物理与量子力学
§6.1 中心力场中粒子运动的一般性质
中心力场的重要性
宏观物理中行星运动
原子核外电子在库仑力作用下的运动
中d 心l 力dr场 p中运r 动dp粒 子1 p的角p 动r 量[守V恒(r)]
dt dt
dt
r r dV (r) 0 r dr
角动量守恒与径向方程
中心力场中运动粒子的能量本征方
第五章 原子结构3
§5-2 波函数和单电子原子的结构
一、波函数、量子数
1926年，奥地利物理学家薛定谔从电子的波 粒二象性出发，把电子的运动与光的波动理论联 系起来，提出了描述氢原子核外电子运动状态的 数学表达式，建立了实物微粒的波动方程，这就 是著名的薛定谔方程。
8π m E V 0 x 2 y 2 z 2 h2
※ D-r 曲线有 n-l 个极值；
D(r)
1s
2s 3s
※ n 值越大，主峰离 核越远；说明轨道基 本是分层排列的。
0
r (a0)
氢原子4s,4d,4f 轨道径向分布图的比较
D(r)
4f 4d 4s
0
r (a0)
外层电子的径向分布图在离核很近处出现小峰， 表示外层电子有穿透到内部的现象，n 相同l 不同 的轨道, l 越小, 小峰离核越近，即穿透能力越强。
1s电子云的等 密度面图。
数字表示曲面 上的概率密度。
1s电子云的界 面图。
界面内电子的 概率＞90%。
(r, , ) 分解 R（r） .Y(，）
R(r) ――径向部分
Y（θ，φ）――角度部分
S轨道的角度分布图： 1 如：Y1s ( , ) 4 此式中不出现θ，，即其角度分布 与θ,φ无关，换句话说，就是任意的θ， 都满足此关系式，所以，它的图系应是 一个以原点（原子核）为球1s的球面。 事实上，所有的S轨道的角度分布图 都是以原点为球心的球面，所不同的是 半径不同，随着n的增大，球面的半径增 大。
2
2
2
2
关于波函数的说明
将空间某点的坐标值，带入到某空间状 态的波函数Ψn，l，m(r,θ,φ)式当中，就可以得 知该点的波函数的值。波函数Ψ本身没有明 确的物理意义，波函数的平方Ψ2 n，l，m(r,θ,φ) 表示电子在该点的概率密度。这就是微观粒 子运动规律的统计学意义。
第五章中心力场
µ为电子的约化质量， µ = 为电子的约化质量，
me m p me + m p
me和mp分别为电子和质子的质量。 分别为电子和质子的质量。
一、氢原子的能级
氢原子的能量本征值： 氢原子的能量本征值：
e2 1 En = − 2 2 = − 2h n 2a 2a n 2
µ e4 1
(2)
o h 2 = 0.53 A 玻尔半径： a = 2 玻尔半径： µe
x
O
y
具有一定角动量的氢原子的径向波函数 χ l (r ) = rRl (r ) 满足下列方程： 满足下列方程：
2µ d2 e 2 l ( l + 1) χl + 2 E + − χl = 0 2 2 dr r r h
(1)
边界条件： 边界条件： χ l (0) = 0
分离变量,径向方程可写为： 分离变量,径向方程可写为：
d2 2 dRl 2µ ( E − V (r ) ) l ( l + 1) Rl + + − Rl = 0 2 2 2 dr r dr r h
求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便， 求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：
ψ nlm dτ
人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云” 人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云” 电子云” 或“电子云” .
球壳中找到电子的几率——径向概率分布 （1）在(r, r+dr)球壳中找到电子的几率 ） 球壳中找到电子的几率 径向概率分布
主量子数 角动量量子数 磁量子数
、 定态波函数 ψ nlm (r ,θ , ϕ ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ ) 是氢原子体系
第五章 中心力场
已知电子沿径向分布的概率密度 ，则P(r) dr 为 半径在r～r+dr之间的球壳内找到电子的概率。n=4，其电子沿 径向的概率密度分布有以下四种情况： 如n=4，其电子沿径向的概率密度分布有以下四种情况：
从这里可以看到：同一n不同 l 下，曲线有( n - l )个峰值，即电子 沿径向出现的概率极大值有( n - l )。并且，玻尔理论中的轨道只 对应于最大l下的径向概率概率极大处这一特殊情形。
则方程（１６）可化为
h2 2 h2 2 R + V ( r )Ψ = ETΨ 2 2M
此时可分离变量，令
Ψ = φ（R )ψ ( r )
则
h2 2 Rφ（R ) = ECΨ 2M
h2 2 2 + V ( r )ψ ( r ) = Eψ ( r )
E = ET EC
（ ∝ （ ∝ 当 r → 0 时，Rl r） r l 或 Rl r） r ( l + 1 )
此时，要求方程的解 χ l ( r ) = rRl ( r ) 满足
lim χ ( r ) = 0
r →0 l
3 两体问题 A. 两体问题的质心运动的分 质量为 m1 和 m2 的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差 有关。
第5章 中心力场 章
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
1.角动量守恒与径向方程： 设质量为 的粒子在中心势 中运动，则哈密顿量H表示为：
p2 h2 2 H= + V( r ) = + V( r ) 2 2
角动量守恒： [l , H ] = 0 能量的本征方程为：
h2 1 2 l2 r+ + V ( r )ψ = Eψ 2 2 2 r 2 r r
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能量本征方程为:
[ 2 2 V (r)] E 2
z
r
r
x
y
球坐标
考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐标系是方便的，
此时利用
2 1 r 2 Lˆ2 r 2 r r 2r 2
H的本征方程
h2
2
1 r2
r
r
2
r
l$2
2r2
V (r)
E
左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离心势能。
注意：
（1）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别
仅在于径向波函数Rl(r)或l(r)，它们由中心势V(r)的性
质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为 2l+1重简并的。
（2）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能 量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于 束缚态，则E取离散值。
（3）在求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出 现径向量子数nr.
二、两体问题化为单体问题
两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用 V ( rv1 rv2 ) 只依赖于
相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：
[
h2 2m1
12
h2 2m2
22
V
(
rv1
rv2
)](rv1,
rv2
)
ET
(rv1,
§5.4 氢原子
量子力学发展史上最突出得成就之 一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予 了相当满意得解释。氢原子是最简单的原 子，其 Schrodinger方程可以严格求解， 氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构 的基础。
氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在 它的周围有一个电子绕着它运动 (r ~ 10 8 cm) 。它与 电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）
主量子数 角动量量子数 磁量子数
定态波、函数 nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( , ) 是氢原子体系
Hˆ lvˆ 2 和 lˆz 的共同本征函数。
n1
R e 2 r / a0 10 a03/ 2
n2
R20(r)
1 2a0
3/2(2
1 a0
r )e
2
1 a0
r
R (r) re 1 3/2 1
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
Lˆ2
2
1
sin
(sin
1
) sin2
2
2
取 : r,, Rl rYlm ,
2
Ylm ( , )是(l , l z )的共 同本征态 。
l 0,1,2,..... m 0,1,2,......, l
分离变量,径向方程可写为：
d2 dr 2
rv2
)
ET为体系的总能量。引入质心坐标
v R
和相对坐标
rv
v v v v r r r R
m1rv1
m2rv2
m1 m2
12
z
1
r1
r
R
二体运动
I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动
+
r2
2
可化为：
II 二粒子作为一个整体的质心运动。
xO
y
可以证明： 1 m1
12
1 m2
22
1 M
2R
1
2
其中 M m1 m2 m1m2
得：
h2 2M
2R
(
v R)
v
EC ( R)
[ h2 2 V (rv)] (rv) E (rv) 2
E ET EC
分解为二个本征方程:
描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程， EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式 运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。
描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出与单粒子能 量本征方程形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E 理解为相对运动能量。
V (r) e2 r
这是一个两体问题。
z
1
r1
r
R
+
r2
2
xO
y
具有一定角动量的氢原子的径向波函数 l (r) rRl (r)
满足下列方程：
d2 dr 2
l
2
h2
E
e2 r
l l 1
r2
l
0
(1)
边界条件：l (0) 0
为电子的约化质量， memp
me mp
me和mp分别为电子和质子的质量。
1
Nnl 2l 1!
(n 2n(n
1)! l 1)!
2
n
l
3/
2
a03/
2
2r
na
0
Rnl (r)
2 r2dr 1
氢原子的束缚态能量本征函数为：
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
n 1, 2, 3, .... l 0,1, 2....n 1; m 0, 1, 2,K , l
一、氢原子的能级
氢原子的能量本征值：
En
e4
2h2
1 n2
e2
2a
1 n2
(2)
h2
玻尔半径： a e2
o
0.53 A
主量子数：n
见110页：氢原子的能级图
二、氢原子的波函数
与En相应的归一化的径向波函数为：
合流超几何函数
Rnl (r) Nnl le/2F n l 1, 2l 2,
r
r
2
r
l$2
2r2
V (r)
[Lˆ, Hˆ ] 0 即角动量 Lˆ 是守恒量。因而 Lˆ2 也是守恒量。
在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用 Hˆ Lˆ2 Lˆz 为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完
全集（ Hˆ ，Lˆ2 ，Lˆz ）来对态进行分类以后，属于同一个能级 的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。
1 2 a0
rHale Waihona Puke 212a0a0 3
n3
R30(r)
1 3a0
3 / 2[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)2
]e
1 3 a0
第五章 中心力场
§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 一、角动量守恒与径向方程
设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：
Hˆ pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
2
2
对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求
解较为方便。于是H可改写为：
Hˆ
h2
2
1 r2
Rl
2 r
dRl dr
2 E V (r)
h2
l l 1
r2
Rl
0
求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：
l (r) rRl (r)
代入式得：
r 0
由于波函数要求有限，所以要求 ，（不慢于 r 0）
这就是径向方程的一个定解条件。
径向波函数 R(r) 或 u(r) 的归一化条件可写成:
m1 m2
——体系的总质量， ——约化质量或折合质量。
2R
2 X 2
2 Y 2
2 Z 2
2 2 2 2 x2 y2 z2
对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。
则二粒子体系的能量本征方程可化为：
[
h2 2M
2 R
h2
2
2
V
(r)]
ET
此方程可分离变量，令
v
( R)
(rv)