变速直线运动的路程

每个小区间可表示为 [ti 1 , ti ](i 1,2,, n)
（2）近似
在每个小区间 [ti 1 , ti ] 上任取一个时刻 i ，并把物体在时段 [ti 1 , ti ] 内的运动当作以 v( i ) 内的运动当作以为速度的匀速 直线运动处理，设物体在此时段内行经的路程为 si (i 1,2,, n) ，则
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（1）分割
将时间区间 [a, b] 任意分成 n 个小区间，其分点是
t1 , t 2 ,, t n1 , t 0 a, t n ，即 b
a t 0 t1 t 2 t n1 t n b
即 将非匀速直线运动近似地作匀速直线运动处理．
（3）求和
因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上作 匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[a, b] 内物体 运动的路程 s ，就可以用这一物体分别在 n 个小区间上 作 n 个匀速直线运动的路程的和近似代替．即
s si v( iLeabharlann Baidu)t i
i 1 i 1 n n
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（4）取极限
t i 变小时， 容易看出，当所分时间区间愈短，即 n
和式
v( )t
i 1 i
i
的极限就是所求的物体在时间区间 [a, b]
上所经过的路程 s ，记 maxt1 , t 2 , , t n ，当 0 时，就有
si v( i )ti
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其中 ti ti ti 1 (i 1,2,, n) ．这里的近似，从数量上 看是“以常代变”，即在 [ti1 , ti ] 上以常量 v( i ) 代替变
v(t ) 量，而从运动学的角度看，这是“匀代不匀”，
s lim v( i )ti
0
i 1
n
上面两个案例，虽然实际意义不同，但是解决问题的 方法和计算步骤是相同的，最后都归结为求一个连续函数 在某一闭区间上的和式的极限问题．在实践中还有众多的 量需要依照类似的途径去理解与计算．故而需要以解决这 两个问题的过程为背景，建立起定积分的概念．
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[案例] 变速直线运动的路程
设一物体沿直线运动，它的速度是 v 时间 t 的函数 v(t ) 求物体从时刻 t = a 到 t = b 这段时间所经过的路程 s ． 由于速度 v(t ) 随时间而变，所以不能简单地套用匀速运动 计算路程的公式 s vt .可以想象，在一段有限的时间 [a, b] 内速度 v(t ) 虽可能有较大的起落，但在很短的一瞬间，速 度是来不及有很大变化的，这就是说， 在每一短暂的瞬间 可近似地把物体运动作为匀速运动来处理． 于是，可仿照 [案例1]进行如下讨论：