运筹学 第二章 灵敏度分析
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《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
b2 bm
x1, x2 , , xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 y1 c1
am2 y2 amn ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0， x2 0， x3无 约 束
（2.4a） （2.4b） （2.4c） （2.4d）
先转换成对称形式，如下：
的 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
定
义
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1n xn (,)b1
a2
1x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2 x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
问 题 的 导 出
例2-1
我们引用第一章中美佳公司的例子，如表1
的
x1, x2, , xn 0
对
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
灵敏度分析(运筹学)
最优基不变，即在最终表中求得的经过变化后 的b列的所有元素要求不小于0
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 θ
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 原最优基不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量 ，扩大原 单纯形表继续计算
资源数量变化是指资源中某系数 br 发生变化，即 br′=br+Δ br。并假设规划问题的其他系数都不变。 这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δ b) 这里 Δ b=(0,… ， Δ br,0,… ， 0)T 。只要 XB′≥0 ， 因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优 解的值发生了变化，所以 XB′ 为新的最优解。新 的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。
(d) (e) -2
· · ·
1 0 0
0 1 0
cj - zj
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
x2
x3
x4
x5
(g) (h) 0
2 (i) 7
-1 1 (j)
1/2 1/2 (k)
0 1 (l)
--7--
--第2章 对偶问题--
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场 条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的 改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定 的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个 或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生 变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
运筹学线性规划灵敏度分析教学案例
2020/8/1
多个资源系数同时变动分析
例如，将 1 个小时的用工时间从3车间移到2车间，对总利润 产生什么影响？
总利润增加 3650 - 3600 = 50 元， 而目标系数未变，所以最优解肯定 发生变化，
2020/8/1
百分之百法则
如果约束右端值同时变动，计算出每一变动占允许变动量的 的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子 价格依然有效；否则，就无法确定。
2020/8/1
灵敏度分析的概念
LP 问题的系数有 aij、bi 、 cj，这些系数往往是估计值 或预测值。
市场条件变化， cj 值就会变化；工艺条件和技术水平改 变， aij 就变化； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 选择，市场供应条件发生变化时，亦会改变。
提出问题:
• 当 LP 问题的系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优 解会有什么变化； • 这些系数在什么范围内变化时，LP 问题的最优解不会变化。
再改变参数
最优解变了
2020/8/1
那么，保持最优解不变的价值系数允许 变化范围？
改变最优解的临界值是什么呢？
敏感性报告
在“规划求解结果”中 选定“敏感性报告”。 得到一个工作表：
2020/8/1
敏感性报告
最优解
目标函数系数
“递减成本” --- 表示目标函数的系数必须改变多少，才能使 决策变量有正数解。 “允许的增量”和“允许的减量” --- 给出最优解不变的范围。 如门的系数范围： 0≤c1≤750；窗的系数范围：c2≥200
2020/8/1
资源数量变化的分析
考虑只有一个右段值 bi 改变：2 车间可用工时由原来的 12小 时增加到 13 小时，最优解如何变化呢？再变化呢？
多个资源系数同时变动分析
例如，将 1 个小时的用工时间从3车间移到2车间，对总利润 产生什么影响？
总利润增加 3650 - 3600 = 50 元， 而目标系数未变，所以最优解肯定 发生变化，
2020/8/1
百分之百法则
如果约束右端值同时变动，计算出每一变动占允许变动量的 的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子 价格依然有效；否则，就无法确定。
2020/8/1
灵敏度分析的概念
LP 问题的系数有 aij、bi 、 cj，这些系数往往是估计值 或预测值。
市场条件变化， cj 值就会变化；工艺条件和技术水平改 变， aij 就变化； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 选择，市场供应条件发生变化时，亦会改变。
提出问题:
• 当 LP 问题的系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优 解会有什么变化； • 这些系数在什么范围内变化时，LP 问题的最优解不会变化。
再改变参数
最优解变了
2020/8/1
那么，保持最优解不变的价值系数允许 变化范围？
改变最优解的临界值是什么呢？
敏感性报告
在“规划求解结果”中 选定“敏感性报告”。 得到一个工作表：
2020/8/1
敏感性报告
最优解
目标函数系数
“递减成本” --- 表示目标函数的系数必须改变多少，才能使 决策变量有正数解。 “允许的增量”和“允许的减量” --- 给出最优解不变的范围。 如门的系数范围： 0≤c1≤750；窗的系数范围：c2≥200
2020/8/1
资源数量变化的分析
考虑只有一个右段值 bi 改变：2 车间可用工时由原来的 12小 时增加到 13 小时，最优解如何变化呢？再变化呢？
运筹学习题解答(chap2)(1)(1)
第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,(a)321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,(b)321365m ax x x x Z ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 线性规划问题213m ax x x Z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变（2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。
运筹学第二章24灵敏度分析
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
（2） N =？
舍弃中间计算过程
只考察初始表和最终表
B-1 = AB-1
2、价值系数C发生变化的情况： （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。 ≤0 1 j c j CB B Pj ≥0 要进行基变换码？
j c j c j CB B Pj ≤ 0
' 1
c j ≤ CB B1 Pj c j
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（ 2 ）当cj是基变量的价值系数 —— 它的变化 将影响所有非基变量的检验数. 1 N C N CB B N 当cj变化时，如能保持 0 ，则当前解仍 N 为最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出 新的最优解。 1 C C B N 0 将cj看作待定参数，令 N N B 解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变 时cj的变化范围 ！ 基变量的系数变化，仍用c2代表x2的价值系 数（看成待定参数），原最优表格即为：
(2) 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行 首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理 —— 用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵； 用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列 如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数 （或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk ， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
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13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
运筹学第二章第6讲
12
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
运筹学课件灵敏度分析
运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
运筹学-02对偶理论与灵敏度分析
page 9 Sep.2009
Yao Yuan School of Business Administration
Operations Research
原问题和对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束系数矩阵 约束条件的右端向量
A b C
min W Y T b A Y C s.t. Y 0
T T
X n1，Ym1 C1n，Amn，bm1
对偶问题 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端向量 Min W=YTb ATY≥CT
Yao Yuan School of Business Administration
目标函数
目标函数中的价值系数向量
max Z c j x j
j 1 n
约束条件的右端向量
min W bi y i
有n个 ( j 1,..., n) m a y c 约 ij i j i 1 束 m aij y i c j 条 i 1 件 m a ij y i c j i 1
0 6 1 2
5 2 1 1
15 24 5
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
min W 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y3 2 s.t.5 y1 2 y 2 y 3 1 y ,y ,y 0 1 2 3
page 3 Sep.2009
min W 24 y1 26 y 2 2 y1 3 y 2 4 s.t.3 y1 2 y 2 3 y ,y 0 1 2
Yao Yuan School of Business Administration
Operations Research
原问题和对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束系数矩阵 约束条件的右端向量
A b C
min W Y T b A Y C s.t. Y 0
T T
X n1，Ym1 C1n，Amn，bm1
对偶问题 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端向量 Min W=YTb ATY≥CT
Yao Yuan School of Business Administration
目标函数
目标函数中的价值系数向量
max Z c j x j
j 1 n
约束条件的右端向量
min W bi y i
有n个 ( j 1,..., n) m a y c 约 ij i j i 1 束 m aij y i c j 条 i 1 件 m a ij y i c j i 1
0 6 1 2
5 2 1 1
15 24 5
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
min W 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y3 2 s.t.5 y1 2 y 2 y 3 1 y ,y ,y 0 1 2 3
page 3 Sep.2009
min W 24 y1 26 y 2 2 y1 3 y 2 4 s.t.3 y1 2 y 2 3 y ,y 0 1 2
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学2对偶理论与灵敏度分析
三、增加新变量的灵敏度分析
在管理中经常遇到的问题：已知一 种新产品的技术经济指标，在原有最优 生产计划的基础上，怎样最方便地决定 该产品是否值得投入生产，可在原线性 规划中引入新的变量 ； 无论增加什么样的新变量，新问题 的目标函数只能向好的方向变化。
例2.16 （续例2.14）
设企业研制了一种新产品，对三种资源的消耗系数 列向量以P6表示。试问它的价值系数c6符合什么条件， 才必须安排它的生产？设c6=3，新的最优生产计划是 什么？
1. 强制生产30件A x1 必须等于30 目 标值下降; 下降程度可用 x1 的检验数进行 计算：
cj CB 0 5 4 0 XB x3 x1 x2 x6 σ
j
5 b 25 35 10 150 x1 0 1 0 4 0
4 x2 0 0 1 2 0
0 x3 1 0 0 0 0
0 x4 2 1 -1 0 -1
0 x5 -5 -1 2 0 -3
0 x6 0 0 0 1 0
0 5 4 0
0 5 4 0
90 1 = 80 0 b 0 3
250 - 5b3 - 5 90 80 = 80 b 3 ≥0 1 1 80 2b b3 -1 2 3
2
解得40≤b3≤50，即当3∈[40，50]时，最优基B不变， 最优解为： * x3 250- 5b3 * x1 80 b 3 * = x2 80 2b 3
x4*=x5*=0, z*=5×(80－b3)+4×(－80+2b3)=80+3b3
例2.14 某企业利用三种资源生产两种产品 的最优计划问题归结为下列线性规划
运筹学第二章灵敏度分析
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
2 x
2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2 400 x3
x1 2 x3 4
s.t
.
2 3
x2 x1
x3 2x
12 2 x3
18
x1 , x2 , x3 0
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
0<=c1<=750
x2
8
7 6
5
4
3
2
可行域
1
c1=0(z=0x1+500x2) c1=300(z=300x1+500x2)
约束条件系数 a i j 变化的灵敏度分析
变量 x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
只有一个系数cc j j 发生变化，即其他条件均不变，把
300 改成 500
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x x
2 1
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？
假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
运筹学讲义-灵敏度分析
k=1 −1 m
qi = ∂f ( x) ∂bi− = (CBB−1)i , 左导数 机会成本 zn+i = CBB−1P +i = (CBB−1)i n zn+i 因此 qi = − zn+i
−1 m
, 松弛变量 人工变量 剩余变量
m
机会成本的另外表达形 式 z j = CBB Pj = ∑(CBB )i aij = ∑qiaij
16
2.4.7 灵敏度分析举例 例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。 ，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。 产品至少110 个，求收 下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少 产品至少 益最大的生产方案。 益最大的生产方案。
17
例2.4.3
为已选定各种组合方案的组数(j=1,2,…,5)， x6为A产品 解：设xj为已选定各种组合方案的组数 ， 产品 的剩余变量， 分别为工人工时和机器工时的松弛变量。 的剩余变量， x7，x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。
©管理与人文学院
1999，4 ，
忻展红
2.4 灵敏度分析
灵敏度分析又称为后优化分析
2.4 线性规划的灵敏度分析
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 参数发生变化， • 哪些参数容易发生变化 – C, b, A • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好 灵敏度越小，
18
例2.4.3 • • • • • • • • • 最优解的B 最优解的 –1是什么 产品A的影子价为多少 产品 的影子价为多少 组方案的生产费用提高2元 第II组方案的生产费用提高 元，是否要调整生产组别 组方案的生产费用提高 若工人加班费为1元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，是否要采取加班措施 若通过租借机器增加工时， 若通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少 A产品的订购合同是否有利 产品的订购合同是否有利 若要选用第IV组方案，该组的生产费用应降低多少 若要选用第 组方案， 组方案 若工人加班费为0.3元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，最多允许加班时间多少 若机器租费低于44元 小时 问租几部机器才合适(每天 小时， 若机器租费低于 元/小时，问租几部机器才合适 每天 8小时计 小时计) 小时计 • 若第 组方案使机器工时减少 小时，能否被选入 若第III组方案使机器工时减少 小时， 组方案使机器工时减少0.5小时
qi = ∂f ( x) ∂bi− = (CBB−1)i , 左导数 机会成本 zn+i = CBB−1P +i = (CBB−1)i n zn+i 因此 qi = − zn+i
−1 m
, 松弛变量 人工变量 剩余变量
m
机会成本的另外表达形 式 z j = CBB Pj = ∑(CBB )i aij = ∑qiaij
16
2.4.7 灵敏度分析举例 例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。 ，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。 产品至少110 个，求收 下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少 产品至少 益最大的生产方案。 益最大的生产方案。
17
例2.4.3
为已选定各种组合方案的组数(j=1,2,…,5)， x6为A产品 解：设xj为已选定各种组合方案的组数 ， 产品 的剩余变量， 分别为工人工时和机器工时的松弛变量。 的剩余变量， x7，x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。
©管理与人文学院
1999，4 ，
忻展红
2.4 灵敏度分析
灵敏度分析又称为后优化分析
2.4 线性规划的灵敏度分析
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 参数发生变化， • 哪些参数容易发生变化 – C, b, A • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好 灵敏度越小，
18
例2.4.3 • • • • • • • • • 最优解的B 最优解的 –1是什么 产品A的影子价为多少 产品 的影子价为多少 组方案的生产费用提高2元 第II组方案的生产费用提高 元，是否要调整生产组别 组方案的生产费用提高 若工人加班费为1元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，是否要采取加班措施 若通过租借机器增加工时， 若通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少 A产品的订购合同是否有利 产品的订购合同是否有利 若要选用第IV组方案，该组的生产费用应降低多少 若要选用第 组方案， 组方案 若工人加班费为0.3元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，最多允许加班时间多少 若机器租费低于44元 小时 问租几部机器才合适(每天 小时， 若机器租费低于 元/小时，问租几部机器才合适 每天 8小时计 小时计) 小时计 • 若第 组方案使机器工时减少 小时，能否被选入 若第III组方案使机器工时减少 小时， 组方案使机器工时减少0.5小时
运筹学灵敏度分析目标规划
3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变
《运筹学》第二章 对偶问题和灵敏度分析jssk1
2.1 线性规划的对偶理论
解：写出该问题的对偶问题
min W 20 y1 20 y2 y1 2 y2 1 2y y 2 2 1 2 y1 3 y2 3 3 y 2 y 4 2 1 y1 , y2 0
根据互补松弛性，可得： X3*=4>0 则 2y1+3y2=3
s.t. AX ≤b X≥0 s.t. YA ≥ C Y≥0
2.1 线性规划的对偶理论
二、原问题和对偶问题的关系
1、原问题目标函数求最大值，对偶问题求最小值； 2、原问题目标函数的系数是对偶问题约束条件的右端项，原问 题中的右端项是对偶问题目标函数的系数； 3、原问题约束条件为“≤”，则在其对偶问题中决策变量为 “≥”；原问题中决策变量为“≥”，则在其对偶问题中的约束条 件为“≥”； 4、原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量个数， 原问题中的变量个数等于它的对偶问题中的约束条件个数；
YA ≥ C
Y≥0
在单纯形法的每一步迭代中，目标函数取值 Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN ，当非基变量XN=0时有 Z=CBB-1b和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1， 那么Y的经济意义是什么？
2.1 线性规划的对偶理论
Y=CBB-1=(y1,y2,…,ym)，则得
Z CB B b Yb bi yi
2.1 线性规划的对偶理论
三、对偶问题的基本定理
1、对称性：对偶问题的对偶是原问题。
2、弱对偶定理：若X(0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶 问题的可行解，则一定有CX(0) ≤ Y(0)b
max Z=CX 证明：设原问题是 AX ≤b X≥0
则对偶问题是
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改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0<=c1<=750
（2,6）是最优解
2.4.2 图解法——改变车间2的约束
x2 改变车间1的约束又会是如何的？
2x2=18
8 7 6 5 4 3 2 1
（2,6）是最优解
2x2=12
可行域
2x2=6
1 23 4 5 6 7 8
x1
2.5 多个约束右端值同时变化的灵敏度分析
分析1小时的工时从车间3移到车间2，对总利润所产生的 影响。 那么，根据影子价格，可知总利润变化量如下： 车间2: 12-->13，利润增加？元 车间3: 18-->17，利润减
课本P50，例2.3，回答五个问题
1. 产品甲的单位利润将会在3.8万元~5.2万元之间波动，公司该 如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
2. 当资源A的限额（储备量）在42~46之间变化时，对线性规划 的影响？ 3. 材料B在最优生产格局中出现了12.5单位的剩余，那么应如何 重新制定限额，做好节约工作？ 4. 若公司停止生产，把各种原材料变卖。该如何决策？
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
现从另一角度提出问题。假定某A公司想把该工厂的资源收购过 来，它至少应付出多大代价，才能使该工厂愿意放弃生产活动， 出让自己的资源？显然该工厂愿意出让自己资源的条件是：出让 代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设分别用y1、y2、y3代表单位时间车间1、车间2、车间3的出让代 价，因该工厂用1小时车间1和3小时车间3可生产1扇门，赢利300 元；分别用2小时车间2和车间3可生产1扇窗，赢利500元，由此， y1、y2、y3的取值应满足： y1 + 3y3 ≥ 300 2y2 + 2y3 ≥ 500
该问题为原问题的对偶问题
该问题的最优解的意义： 代表资源最优利用条件下对单位第i种资源的估价。这种 估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡 献而做的估价，为区别起见，称为影子价格（阴影价格）
影子价格
资源的市场价格是其价值的客观体现，相对比较
稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况， 是未知数。
第二章 线性规划的
灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据中某 一个或某几个发生变化时，对最优解会产生什么影响。 或者说，要使最优解保持不变，各个数据可以有多大 的幅度的变动。这种研究线性规划模型的原始数据变 化对最优解产生的影响就叫做线性规划的灵敏度分析。
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变（即最 优解或最优解结构不变）？ ②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法求出新 的最优解？
c1=0(z=0x1+500x2)
可行域 c1=300(z=300x1+500x2)
1 23 4 5 6 7 8
x1
c1=750(z=750x1+500x2)
2.3 多个目标函数系数同时变化
多个系数 c j 发生变化，即其他条件均不变，把300改成450， 把500改成400
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
2.4 单个约束右端值变化的灵敏度分析
只有一个约束右端值 bi 发生变化，即如果其他条
件均不变，把12改成13
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 13 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
A公司希望用最小的代价把该工厂的全部资源收买过来，故有
min z = 4y1 + 12 y2 + 18y3
显然，yi ≥ 0 (i=1,2,3)
综上，现在的问题为：
min z 4 y1 12 y2 18 y3 y1 3 y3 300 s.t. 2 y2 2 y3 500 y , y , y 0 1 2 3
规划求解得到
2.7 增加一个新变量
在例1.1中，如果增加一个变量x3，比如考虑增加一种新产品： 防盗门，单位利润400元，生产一扇防盗门会占用车间1、车间 2、车间3各2、1、1小时，此时，新的线性规划模型变为：
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 1.5 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 , x3 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
如果所得的变化的百分比总和不超过100%，则最优 解不会改变；如果超过了100%，则不能确定最优解 是否改变，可通过重新运行“规划求解”命令来判 断
敏感性报告——百分之百法则
作用 1. 可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标函数系 数的变化范围； 2. 百分之百法则通过将允许的增加量或减少量在各个系 数之间进行分摊，从而可以直接显示出每个系数允许的变化 值； 3. 线性规划求解后，如果将来条件变化，致使目标函数 中一部分或所有系数都发生变化，那么百分之百法则可以直 接表明最初最优解是否保持不变
但此时敏感性报告是否有效？
2.5.1 敏感性报告——百分之百法则
含义：如果约束右端值同时变化，计算每一右端值变化量 占该约束右端值允许变化量的百分比，然后将每个约束右 端值变化的百分比相加。如果所得的变化的百分比总和不
超过100%，那么影子价格依然有效；如果超过了
100%，那就无法确定影子价格是否依然有效，可通过 重新运行“规划求解”命令来判断。
影子价格与线性规划的对偶问题
课本P54
max z 300 x1 500 x2 400 x3 x1 2 x3 4 2 x x 12 2 3 s.t. 3 x1 2 x2 x3 18 x1 , x2 , x3 0
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？ 假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
例1.1 下列模型中，对最优值有 影响的因素有哪些？
max z = 300x1 + 500x2 x1 4 s.t. 2x2 12 3x1 + 2x2 18 x1 , x2 0
灵敏度分析的内容
目标函数系数 c j 变化的灵敏度分析
约束右端值 bi 变化的灵敏度分析
（单个变化和多个变化） （单个变化和多个变化）
max z 500 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
用Excel求解
最优解没有改变
2.2.1 敏感性报告
几个基本概念
递减成本： 它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须
变化的百分比总和为133.34%， 所以最优解变化与否不确定，需通过“规划求解”重新计算
重新“规划求解”得到
最优解改变，最大利润改变
例1.1 百分比总和=100% ——最优解不变
门的单位利润 c1=300 c1=525，占允许增加量的百分比
窗的单位利润 c2=500 c2=350 ，占允许减少量的百分比
最优解改变，利润增加
如果车间2的可用工时不断增加，会出现什么情况？
为什么？
最优解不改变，利润不变
2.4.1 敏感性报告
阴影价格，显示了约束右端值每增加（或减少） 1个单位，目标函数值（或最优值）相应的增加 量（减少量） 可从敏感性报告中获得的信息？？
补充说明： 影子价格
影子价格的解释： 1. 线性规划的对偶问题 例1.1的线性规划问题为
例1.1 百分比总和>100% ——最优解变化与否不确定
门的单位利润 c1=300 c1=600，占允许增加量的百分比 窗的单位利润 c2=500 c2=300 ，占允许减少量的百分比
600 300 100% 66.67% 450
500 300 100% 66.67% 300
max z 450 x1 400 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
最优解没有改变
敏感性报告
不能反映多个目标函数系数改变时带来的影响
敏感性报告——百分之百法则
定义 如果目标函数系数同时变化，计算出每一系数变化量占 该系数允许变化量的百分比，然后将各个系数变化的百分比 相加。
525 300 100% 50% 450
500 350 100% 50% 300
变化的百分比总和为100%， 所以最优解不变
2.6 约束条件系数变化的灵敏度分析
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0<=c1<=750
（2,6）是最优解
2.4.2 图解法——改变车间2的约束
x2 改变车间1的约束又会是如何的？
2x2=18
8 7 6 5 4 3 2 1
（2,6）是最优解
2x2=12
可行域
2x2=6
1 23 4 5 6 7 8
x1
2.5 多个约束右端值同时变化的灵敏度分析
分析1小时的工时从车间3移到车间2，对总利润所产生的 影响。 那么，根据影子价格，可知总利润变化量如下： 车间2: 12-->13，利润增加？元 车间3: 18-->17，利润减
课本P50，例2.3，回答五个问题
1. 产品甲的单位利润将会在3.8万元~5.2万元之间波动，公司该 如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
2. 当资源A的限额（储备量）在42~46之间变化时，对线性规划 的影响？ 3. 材料B在最优生产格局中出现了12.5单位的剩余，那么应如何 重新制定限额，做好节约工作？ 4. 若公司停止生产，把各种原材料变卖。该如何决策？
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
现从另一角度提出问题。假定某A公司想把该工厂的资源收购过 来，它至少应付出多大代价，才能使该工厂愿意放弃生产活动， 出让自己的资源？显然该工厂愿意出让自己资源的条件是：出让 代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设分别用y1、y2、y3代表单位时间车间1、车间2、车间3的出让代 价，因该工厂用1小时车间1和3小时车间3可生产1扇门，赢利300 元；分别用2小时车间2和车间3可生产1扇窗，赢利500元，由此， y1、y2、y3的取值应满足： y1 + 3y3 ≥ 300 2y2 + 2y3 ≥ 500
该问题为原问题的对偶问题
该问题的最优解的意义： 代表资源最优利用条件下对单位第i种资源的估价。这种 估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡 献而做的估价，为区别起见，称为影子价格（阴影价格）
影子价格
资源的市场价格是其价值的客观体现，相对比较
稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况， 是未知数。
第二章 线性规划的
灵敏度分析
在根据一定数据求得最优解后，当这些数据中某 一个或某几个发生变化时，对最优解会产生什么影响。 或者说，要使最优解保持不变，各个数据可以有多大 的幅度的变动。这种研究线性规划模型的原始数据变 化对最优解产生的影响就叫做线性规划的灵敏度分析。
回答两个问题：
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变（即最 优解或最优解结构不变）？ ②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法求出新 的最优解？
c1=0(z=0x1+500x2)
可行域 c1=300(z=300x1+500x2)
1 23 4 5 6 7 8
x1
c1=750(z=750x1+500x2)
2.3 多个目标函数系数同时变化
多个系数 c j 发生变化，即其他条件均不变，把300改成450， 把500改成400
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
2.4 单个约束右端值变化的灵敏度分析
只有一个约束右端值 bi 发生变化，即如果其他条
件均不变，把12改成13
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 13 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
A公司希望用最小的代价把该工厂的全部资源收买过来，故有
min z = 4y1 + 12 y2 + 18y3
显然，yi ≥ 0 (i=1,2,3)
综上，现在的问题为：
min z 4 y1 12 y2 18 y3 y1 3 y3 300 s.t. 2 y2 2 y3 500 y , y , y 0 1 2 3
规划求解得到
2.7 增加一个新变量
在例1.1中，如果增加一个变量x3，比如考虑增加一种新产品： 防盗门，单位利润400元，生产一扇防盗门会占用车间1、车间 2、车间3各2、1、1小时，此时，新的线性规划模型变为：
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 1.5 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 , x3 0
max z 300 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
如果所得的变化的百分比总和不超过100%，则最优 解不会改变；如果超过了100%，则不能确定最优解 是否改变，可通过重新运行“规划求解”命令来判 断
敏感性报告——百分之百法则
作用 1. 可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标函数系 数的变化范围； 2. 百分之百法则通过将允许的增加量或减少量在各个系 数之间进行分摊，从而可以直接显示出每个系数允许的变化 值； 3. 线性规划求解后，如果将来条件变化，致使目标函数 中一部分或所有系数都发生变化，那么百分之百法则可以直 接表明最初最优解是否保持不变
但此时敏感性报告是否有效？
2.5.1 敏感性报告——百分之百法则
含义：如果约束右端值同时变化，计算每一右端值变化量 占该约束右端值允许变化量的百分比，然后将每个约束右 端值变化的百分比相加。如果所得的变化的百分比总和不
超过100%，那么影子价格依然有效；如果超过了
100%，那就无法确定影子价格是否依然有效，可通过 重新运行“规划求解”命令来判断。
影子价格与线性规划的对偶问题
课本P54
max z 300 x1 500 x2 400 x3 x1 2 x3 4 2 x x 12 2 3 s.t. 3 x1 2 x2 x3 18 x1 , x2 , x3 0
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？ 假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
例1.1 下列模型中，对最优值有 影响的因素有哪些？
max z = 300x1 + 500x2 x1 4 s.t. 2x2 12 3x1 + 2x2 18 x1 , x2 0
灵敏度分析的内容
目标函数系数 c j 变化的灵敏度分析
约束右端值 bi 变化的灵敏度分析
（单个变化和多个变化） （单个变化和多个变化）
max z 500 x1 500 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
用Excel求解
最优解没有改变
2.2.1 敏感性报告
几个基本概念
递减成本： 它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须
变化的百分比总和为133.34%， 所以最优解变化与否不确定，需通过“规划求解”重新计算
重新“规划求解”得到
最优解改变，最大利润改变
例1.1 百分比总和=100% ——最优解不变
门的单位利润 c1=300 c1=525，占允许增加量的百分比
窗的单位利润 c2=500 c2=350 ，占允许减少量的百分比
最优解改变，利润增加
如果车间2的可用工时不断增加，会出现什么情况？
为什么？
最优解不改变，利润不变
2.4.1 敏感性报告
阴影价格，显示了约束右端值每增加（或减少） 1个单位，目标函数值（或最优值）相应的增加 量（减少量） 可从敏感性报告中获得的信息？？
补充说明： 影子价格
影子价格的解释： 1. 线性规划的对偶问题 例1.1的线性规划问题为
例1.1 百分比总和>100% ——最优解变化与否不确定
门的单位利润 c1=300 c1=600，占允许增加量的百分比 窗的单位利润 c2=500 c2=300 ，占允许减少量的百分比
600 300 100% 66.67% 450
500 300 100% 66.67% 300
max z 450 x1 400 x2 x1 4 2 x 12 2 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
最优解没有改变
敏感性报告
不能反映多个目标函数系数改变时带来的影响
敏感性报告——百分之百法则
定义 如果目标函数系数同时变化，计算出每一系数变化量占 该系数允许变化量的百分比，然后将各个系数变化的百分比 相加。
525 300 100% 50% 450
500 350 100% 50% 300
变化的百分比总和为100%， 所以最优解不变
2.6 约束条件系数变化的灵敏度分析