人教版高中数学《平面向量的数量积》课例与点评
高中数学_平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
向量数量积的定义一、教学设计平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
二、教学目标1通过向量夹角的定义及练习使学生掌握向量夹角的求法2 掌握向量在轴上正射影数量的求法3 掌握向量的数量积的定义及性质三、教学重难点1、重点：平面向量数量积的定义。
2、难点：平面向量数量积的定义的理解。
四、教学准备1、实验教具：计算机、黑板、粉笔2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。
五、教学过程平面向量数量积学情分析1.从学生的知识储备分析：本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习掌握了平面向量的线性运算，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识向量的分解与向量的坐标运算，因此学生对于平面向量数量积的学习有良好的认知基础。
但是学生对于数量积的定义的理解有一定的困难，要通过物理当中的做功运算一步步引导学生学习平面向量数量积的定义2、从我校教学特点分析，我校每个班级都成立了学习小组，小组成员是根据学生的学习能力安排的，每个小组均有学优生和学困生，可以有效完成小组合作，学生可以小组为单位进行讨论、探究式学习。
《向量的数量积》 说课稿
《向量的数量积》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的课题是“向量的数量积”。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“向量的数量积”是高中数学必修 4 第二章平面向量中的重要内容。
向量作为一种重要的数学工具，它的数量积运算不仅在解决几何问题、物理问题中有着广泛的应用，而且为后续学习空间向量、解析几何等知识奠定了基础。
本节课的教材内容主要包括向量数量积的定义、几何意义、性质以及运算律。
通过对这些内容的学习，学生将进一步深化对向量的理解，提高运用向量解决问题的能力。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了向量的线性运算，对向量的概念和运算有了一定的认识。
但对于向量的数量积这一较为抽象的概念，学生可能会感到理解上的困难。
此外，学生在运用数量积解决实际问题时，可能会出现思路不清、运算错误等问题。
针对这些情况，在教学中我将注重引导学生通过实例和图形来理解数量积的概念，加强对数量积运算律的推导和应用练习，以帮助学生克服学习中的困难。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解向量数量积的定义，掌握数量积的运算律。
（2）理解向量数量积的几何意义，会用数量积求向量的模和夹角。
（3）能运用向量数量积解决简单的几何问题和物理问题。
2、过程与方法目标（1）通过对数量积概念的探究，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
（2）通过对数量积运算律的推导，培养学生的推理能力和数学运算能力。
（3）通过运用数量积解决实际问题，培养学生的数学建模能力和应用意识。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心。
（2）通过对向量数量积在物理中的应用，让学生体会数学与其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重难点1、教学重点（1）向量数量积的定义和运算律。
（2）向量数量积的几何意义及其应用。
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的概念》评课稿
3.5 学生练习与互动讨论
教师可布置一定数量的习题，并组织学生进行练习和互动讨论。教师应及时给予指导和解答，促使学生巩固和应用所学知识。
4. 教学资源
本节课所需的教学资源主要包括教材、黑板、彩色笔等基本教学工具。除此之外，还可以辅助使用多媒体教学资源，例如投影仪、计算器等。
5. 教学评价
5.1 教学效果评价
2.4 教学重点和难点
本节课的教学重点是： - 向量数量积的计算方法； - 向量数量积的几何意义。
教学难点是： - 向量数量积的几何意义的理解。
3. 教学过程
3.1 导入与激发兴趣
教师可通过提问和展示实际生活中的例子，引发学生对向量数量积的兴趣和好奇心，激发学生积极思考。
3.2 知识讲解与示范
教师可通过讲解向量数量积的定义和性质，结合示意图进行直观演示，帮助学生理解概念和性质。
3.3 计算方法与技巧的讲解
教师可结合教材中的例题，详细讲解向量数量积的计算方法和常用的计算技巧，例如用向量坐标表示、向量分解、向量模长的性质等。
3.4 几何意义和应用的讲解
教师可通过实际问题的讲解，引导学生理解向量数量积的几何意义和应用。例如，通过计算向量的数量积来判断向量的夹角、判断四边形是否为矩形等。
2.2 教学目标
根据教材内容和学生的学习需求，本节课的教学目标主要包括： - 理解向量的数量积的概念和意义； - 掌握计算向量的数量积的方法和技巧； - 理解数量积的几何意义和应用。
2.3 教学内容
本节课的教学内容主要包括以下几个方面的内容： - 向量的数量积的定义和性质； - 向量数量积的计算方法； - 向量数量积的几何意义和应用。
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》教案及教学反思一. 教学目标1.理解向量数量积的定义2.掌握向量数量积的运算法则3.能够应用向量数量积的运算法则解决实际问题二. 教学内容1.向量数量积的定义2.向量数量积的运算法则3.向量数量积的应用三. 教学过程及方法1.教学方法：讲解与实验结合2.教学过程：1. 向量数量积的定义向量数量积是指将两个向量相乘后所得到的一个数，用符号 $a \\cdot b$ 表示。
向量数量积的计算公式为 $a \\cdot b=|a| \\cdot |b| \\cdot \\cos \\theta$，其中|a|,|b|分别表示向量a,b的模，$\\theta$ 表示a与b之间夹角。
2. 向量数量积的运算法则(1) 交换律对于任意向量a,b，都有 $a \\cdot b=b \\cdot a$。
(2) 结合律对于任意向量a,b,c，都有 $(a \\cdot b) \\cdot c=a\\cdot(b \\cdot c)$。
(3) 分配律对于任意向量a,b,c，都有 $a \\cdot(b+c)=a \\cdot b+a \\cdot c$。
3. 向量数量积的应用应用向量数量积的运算法则可以解决很多实际问题，例如：例1：已知 $\\vec a =(-1,2)$， $\\vec b=(3,4)$，求 $\\vec a \\cdot \\vec b$。
解：利用向量数量积的计算公式，有$$ \\vec a \\cdot \\vec b = | \\vec a | \\cdot |\\vec b | \\cdot \\cos \\theta $$其中 $\\theta$ 为 $\\vec a$ 与 $\\vec b$ 之间的夹角。
由向量的数量积公式可得$$ \\vec a \\cdot \\vec b = (-1) \\cdot 3 + 2\\cdot 4=5 $$所以 $\\vec a \\cdot \\vec b=5$。
人教版高二数学必修四《平面向量的数量积》说课稿
人教版高二数学必修四《平面向量的数量积》说课稿一、引入大家好，我是今天的数学课老师。
本节课我们将学习人教版高二数学必修四中的《平面向量的数量积》这一部分内容。
在这个章节中，我们将学习什么是向量的数量积以及它的性质和应用。
二、概述本节课的重点是向量的数量积。
首先，我们会详细介绍向量的数量积的定义及其几何意义。
然后，我们将讨论数量积的性质，包括交换律、分配律和数量积的几何性质。
最后，我们会应用数量积解决实际问题。
三、向量的数量积及其几何意义1. 向量的数量积定义向量的数量积，也叫点积或内积，定义为两个向量的长度乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
记作 $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $。
2. 向量的数量积几何意义向量的数量积有很重要的几何意义。
当两个向量夹角为锐角或直角时，数量积为正；当两个向量夹角为钝角时，数量积为负；当两个向量互相垂直时，数量积为零。
四、数量积的性质1. 交换律向量的数量积满足交换律，即 $ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} $。
2. 分配律向量的数量积还满足分配律，即 $ \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} $。
3. 数量积的几何性质数量积的几何性质包括向量的垂直、平行和夹角的余弦值。
•垂直性质：如果两个非零向量的数量积为零，那么它们垂直。
•平行性质：如果两个向量的数量积非零，那么它们平行。
•夹角余弦公式：数量积的定义可以进一步推导出夹角的余弦公式： $ \cos \theta = \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\times |\mathbf{b}|} $。
平面向量的数量积教学设计与反思
量，有
(3)若，且则
(4)若则或
(5)对任意向量有
(6)若，且则
3•数量积的运算律
问题1数量乘法满足交换律， 向量的数量积是否满足交换 律？
交换律：
问题2.数量乘法满足分配律， 向量的数量积是否也满足分配 律？
追问：怎样证明式子的正确 性？
现、勇于探索的精神；树立理论来源于实践又反作用于实践的辨证唯物主义的 观点.
三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学 习方法的掌握情况，如何设计预习）
通过平时教学的反馈知道学生已具备了功等物理知识，熟知实数的运算体 系，对向量的概念和线性运算都比较熟练，并且通过前面知识的学习初步体会 了研究向量运算的一般方法。因此学生已经做好了学习本节的准备.
1.数量积的概念
1.概念：
2.概念强调 （1）记法
（2）“规定”
几何意义：
2.数量积的性质
三•数量积的运算律
四•应用与提高
五•归纳小结
问题3:对任意实数，有有意 义吗？可转化为那些运算？
冋题4:对于不共线向量， 判断是否成立？
后教师明晰结论， 最后再完成证明， 这样做不仅培养 了学生推理论证 的能力，同时也增 强了学生类比创 新的意识，将知识 的获得和能力的 培养有机的结合 在一起。
六、教学评价设计(创建量规，向学生展示他们将被如何评价(来自教师 和小组其他成员的评价)。也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对 自己的学习进行评价)
投影也是一个数量，不是向
地理解数量积的
（两个向量的内积是数量还是
量；当为锐角时投影为正值；当为
性质和运算律做
高中数学说课稿：高一数学下册《平面向量的数量积》说课稿教案模板
高中数学说课稿：高一数学下册《平面向量的数量积》说课稿教案模板《平面向量的数量积》说课稿济南世纪英华实验学校—周鹏尊敬的各位评委、各位老师：大伙儿好！今天我说课的题目是《平面向量的数量积》。
下面我将从四个方面阐述我对本节课的分析和设计。
第一部分：教学内容分析：1、教材的地位及作用：将平面向量引入高中课程,是现行数学教材的重要特色之一。
由于向量既能表达“形”的直观位置特点，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。
而这一切之因此能够实现，平面向量的数量积功不可没。
《平面向量的数量积》是高一数学下册第五章第六节的内容。
平面向量数量积是中学数学的一个重要概念。
它的性质专门多，应用专门广，是后面学习的重要基础。
本课是第一课时，学生对概念的明白得尤为重要。
2、教学目标的设定：（1）知识目标：平面向量数量积的定义及初步运用。
（2）能力目标：通过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发觉问题能力，使学生的思维能力得到训练。
（3）情感目标：通过本节课的学习，激发学生学习数学的爱好，体会学习的欢乐。
3、教学重点：平面向量的数量积定义。
4、教学难点：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。
第二部分：教法分析：采纳启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生明白得平面向量数量积的定义，明白得定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步把握平面向量数量积定义的运用。
第三部分：教学程序设计：事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
高中数学_向量的数量积(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学目标知识与技能1、了解向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其几何意义。
2、体会向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质进行简单的应用。
过程与方法1、通过对向量数量积的学习及探索，不断培养学生的自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
2、培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
情感、态度与价值观1、在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面微量的本质及它与生活和自然科学的联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法2、通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识.教学重点1、向量数量积的含义与几何意义.2、向量数量积的性质及其应用.教学难点向量数量积的概念及其应用教学过程一、课前准备复习：前面我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？思考：通过前面学习了向量的线性运算，那向量与向量能否“相乘”？二、新课讲解探究1如右图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W = |F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角.问题：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？新知1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a ，b ． ②当θ＝π时，向量a ，b ．③当θ＝π2时，向量a ，b ，记作a ⊥b .新知2、向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量│a ││b │cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a •b ，即有a •b = │a ││b │cos θ， （其中０≤θ≤π）.定义说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替；② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零.想一想：向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？典型例题例1、 已知│a │=5，│b │=4，a 与b 的夹角为120，求a •b 练一练：1、已知│a │=2，│b │= ，a 与b 的夹角为60o求a •b2、已知│a │=12，│b │=9，，求a 与b的夹角θ。
高中数学_平面向量的数量积习题课教学设计学情分析教材分析课后反思
§2.4 平面向量的数量积（习题课）课堂教学设计一教学任务分析前面已经学习了向量的概念及线性运算，平面向量的数量积及其坐标表示、模、夹角。
本节主要通过典型例题的分类训练，加强学生对知识的理解、联系及应用。
二教学重点难点重点：平面向量数量积的计算，应用数量积求解向量的模、夹角，应用数量积判断垂直关系。
难点：合理选择具体图形中向量数量积的计算方法，向量的模、夹角的求法，应用数量积判断垂直关系。
三教学方法1 通过导学案，自主学习数量积的运算及应用，小组交流讨论，培养学生的自学能力和分析解决问题的能力。
2 通过探究、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、反馈式评价的授课方式，借助多媒体辅助教学，达到增加课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学。
四教学基本流程五 教学情境设计问题设计意图师生活动1 通过导学案回顾数量积的基础知识点。
（导学案见附件）通过导学案的指引，复习数量积的定义及相关公式，小组交流。
借助课件共同回顾知识点，学生检查自己的答案2题型一:数量积及其几何意义例1（1）已知正三角形的边长为1，则 ①AB →·BC →＝________.②AB →在BC →方向上的投影为________．分析具体图形中数量积的求法及投影的概念，强调求向量夹角是两向量应共起点。
通过提问，学生展示不同答案，分析错误。
3（2）在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，设 (1)试用b a ,表示 和 (2)求引导学生总结建立基底求向量的数量积。
学生板演运算过程，教师指导4【能力提升】（2012北京高考）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则BC DE •的值为（ ）DC DE •的最大值为（ ）通过一题多解，总结强化多种方法求数量积，定义法、几何意义法、基向量法、坐标法教师通过提问，引导学生总结4种方法，并分析其优缺点。
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》评课稿
人教版高一数学必修第三册《向量数量积的运算律》评课稿一、课程背景和目标本课程是人教版高一数学必修第三册中的一节课，主要内容是关于向量数量积的运算律。
通过本课程的学习，学生将掌握向量数量积的基本概念、性质和运算方法，能够灵活运用向量数量积解决实际问题。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个方面：1. 向量数量积的定义向量数量积是指两个向量的数量乘积，表示为一个标量。
在本课程中，我们将介绍向量数量积的定义和性质，以及与向量的内积的关系。
2. 向量数量积的性质向量数量积具有乘法交换律、分配律和结合律等性质。
本课程将详细介绍这些性质，并通过例题让学生加深理解。
3. 向量数量积的运算方法本课程将介绍常用的向量数量积的运算方法，包括求模、夹角、平行和垂直等。
通过练习题的解析，学生将逐步掌握这些运算方法，并能够在实际问题中灵活运用。
三、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够达到以下几个教学目标：1. 掌握向量数量积的基本概念和性质学生应该能够清楚地定义向量数量积，并且能够运用乘法交换律、分配律和结合律等性质。
2. 熟练运用向量数量积的运算方法学生应该能够通过计算进行向量数量积的求解，并能够应用这些运算方法解决实际问题。
3. 培养分析和解决问题的能力通过练习题的解析和实际问题的讨论，学生应该能够培养分析和解决问题的能力，提高数学思维和逻辑推理能力。
四、教学方法本节课的教学将采用一系列多媒体教学手段和互动式教学方法，包括：1. 演示法通过演示实例，引导学生理解向量数量积的定义和性质。
教师将使用多媒体工具展示示例，直观地呈现向量数量积的运算过程。
2. 讨论法通过学生参与讨论解题方法和答案，激发学生的思考和探索精神。
教师将引导学生分析问题和解决问题的思路，培养学生的自主学习和合作学习能力。
3. 练习法通过给学生布置练习题，让学生巩固所学知识，并培养他们的独立解决问题的能力。
教师将及时给予反馈和指导，帮助学生纠正错误和提高解题的效率。
高中数学_平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的数量积教学设计一、教学目标：知识与技能：了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．过程与方法：体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算．情感、态度与价值观通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．二．重点难点重点：平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．三、教材与学情分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版)§2.4平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程．学生学习情况分析:学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法．在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律，对于运算律不一定给全或给对，对运算律的证明可能会存在一定的困难，教学中教师要注意引导学生分析判断．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、课堂结构设计本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上研究数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。
六、教学过程（一）创设问题情境，引出新课1．提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算．这些运算的结果是向量．2．提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答：物理模型→概念→性质→运算律→应用．3．新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算．导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义．设计意图:1．明白新旧知识的联系性．2．明确研究向量的数量积这种运算的途径．（二）探究新知活动1：探究数量积的概念1．给出有关材料并提出问题3：(1)如图1所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：W＝|F||s|cosθ.图12)这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W(功)是________量，②F(力)是________量，③s(位移)是________量，④θ是________．(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积．(4)如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积．2．明晰数量积的定义(1)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱︱b︱cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝︱a︱︱b︱cosθ.(2)定义说明①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替．②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零．设计意图：1．认识向量的数量积的实际背景．2．使学生在形式上认识数量积的定义．3．从数学和物理两个角度创设问题情境，使学生明白为什么研究这种运算，从而产生强烈的求知欲望．提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b的模有关，还和它们的夹角有关．4．学生讨论，并完成下表：进一步从细节上理解向量数量积的定义．5．研究数量积的几何意义(1)给出向量投影的概念：如图2，我们把|b|cosθ(|a|cosθ)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影，记作：OB1＝|b|cosθ.图2(2)提出问题5：数量积的几何意义是什么？答：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．设计意图：这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识．6．研究数量积的物理意义(1)请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积．(2)尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①竖直下降10米；②竖直向上提升10米；③在水平面上的位移为10米；④沿倾角为30度的斜面向上运动10米．分别求重力做功的大小．设计意图：通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔．活动2：探究数量积的运算性质1．提出问题6：(1)将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？(2)比较︱a·b︱与︱a||b︱的大小，你有什么结论？2．请证明上述结论．3．明晰数量积的性质：设a和b都是非零向量，则：(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，|a·b|＝|a||b|；当a与b反向时，|a·b|＝－|a||b|，特别地a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(3)|a·b|≤|a||b|.设计意图：将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识．活动3：探究数量积的运算律1．提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？答：(1)交换律：ab＝ba；(2)结合律：(ab)c＝a(bc)；(3)分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.猜想：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的．关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的．设计意图：要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律，通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性．3．明晰：数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．学生活动：证明运算律(2)在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量a与λa，b与λb的方向的关系如何？此时，向量λa与b及a与λb的夹角与向量a与b的夹角相等吗？5．师生活动：证明运算律(3)设计意图：学会利用定义证明运算律(1)(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成．（三）：应用与提高1．学生独立完成：已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，求a·b .设计意图：通过计算巩固对定义的理解．2．师生共同完成：已知|a|＝6，|b|＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b )，并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3．学生独立完成：对任意向量a ，b 是否有以下结论：(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2，(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.设计意图：让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与实数运算的异同．4．师生共同完成：已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a－k b 互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？设计意图：学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程来求解，体现向量的工具性．5．反馈练习(1)判断下列各题正确与否：①若a≠0，则对任一非零向量b ，有a·b≠0.②若a≠0，a·b ＝a·c ，则b ＝c.(2)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a·b<0或a·b ＝0时，试判断△ABC 的形状．设计意图：1．加强学生的练习．2．通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握．七、课堂小结1．本节课我们学习的主要内容是什么？2．平面向量的数量积有哪些应用？3．我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？4．类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？八、课后作业1.课时练与测九、教学反思本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣，课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、以及学生学习过程中易忘点等，最后进行当堂检测，以达到提高课堂效率的目的。
高中数学_平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
θav br 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义 2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系 （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法 3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义 难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节 教学内容师生互动 设计意图 引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成 问题：给θ一个精确定义 问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a r 与b r ，作OA ＝a r ，OB ＝b r，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a r 与b r的夹角说明：（1）当θ＝０时，a r 与b r同向； （2）当θ＝π时，a r 与b r反向；（3）当θ＝2π时，a r 与b r 垂直，记a r ⊥b r ；教师引导学生， 注意： 1.两向量必须同起点； 2.θ的取值范围； 3.数量积的定义公式形式； 4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角是θ，则数量|a r ||b r|cos θ叫a r 与b r 的数量积，记作a r ⋅b r ，即有a r ⋅b r = |a r ||b r|cos θ，（０≤θ≤π）并规定0r与任何向量的数量积为0定义深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a r 、b r 为两个非零向量，e r 是与b r同向的单位向量1、e r ⋅a r = a r ⋅e r =|a r|cos θ 2、a r ⊥b r ⇔a r ⋅b r= 03、 a r ⋅a r = |a r |2或||a a a =r r r g4、cos θ =||||a ba b r rg r r5、|a r ⋅b r | ≤ |a r ||b r |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。
《平面向量的数量积及运算律》教案及说明
5.平面向量数量积的运算律:
（1）
（2）数乘向量的结合律：( ) = ( ) = ( )
（3）分配律：( + ) = +
（引导学生利用数量积的定义证明）
不满足结合律: （作为思考题留给学生课余去证明）
（三）例题讲解
例1、求证：
（1）
（2）
例2、
（四）巩固练习
1、判断正误，说明理由。
①若 = ，则对任一向量 ，有 · =0；
平面向量的数量积及运算律
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2.掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；
3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点，教学难点
教学重点平面向量的数量积的概念、重要性质及运算律
教学难点平面向量的数量积的重要性质及运算律的理解和应用.
三、教具三角尺，实物投影仪，多媒体
四、教学方法
启发引导式
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识.
②若 ≠ 则对任一 ≠ ，有 · ≠0；
③若 ≠ ， · =0，则 ；
④若 · =0，则 ， 中至少有一个为 ；
⑤对任一向量 ，有 ； ⑥
2、已知 =4， =5，当① // ② ⊥ ③ 与 的夹角为 时，分别求 与 的数量积。
（五）归纳小结：
1、平面向量的夹角：
（1）两向量要共起点； （2）范围：
2、平面向量的数量积定义和几何意义；
人教版高中数学《平面向量的数量积》课例与点评
平面向量的数量积（第一课时）课例与点评课题：平面向量的数量积 教学目标：（1） 以物理中“功”的实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
（2） 通过对平面向量数量积性质的探究，体会类比与归纳，对比与辨析等数学方法，正确熟练地应用平面向量数量积的定义，性质进行运算。
（3） 让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步感悟数学的本质，培养学生的探索研究能力。
教学重点：平面向量数量积的概念，性质的发现与论证。
教学难点：平面向量数量积的理解。
1. 教学实录 1.1 引入新课教师：同学们，我们在前一阶段已经学过向量的加法、减法运算以及实数与向量的乘积，想必大家应该对向量有着一套独特的运算体系有所体会。
今天我们接着学习平面向量的另外一种运算——平面向量的数量积。
首先，我们来了解一下这节课的两个预备知识。
1.1.1 夹角θ探求——教师边叙述两个向量的夹角的概念边引导学生平移向量找到两个向量的夹角。
（多媒体显示图（1））教师：要找两个向量的夹角得抓住哪些要点？ 学生：将两个向量移到共同的起点，且找到他们夹的小于180°的那个角。
教师：好，那么两个向量的夹角的范围是多少呢？ 学生：],0[πθ∈教师：很好。
下面我们再看第二个预备知识。
1.1.2 投影——θcos ||⋅b 叫做向量b 在a 方向上的投影。
（多媒体演示几种情形）abAA BA图（1）1.1.3教师：大家注意了，投影是有正负的。
在物理当中我们已经学过力在位移方向做功θωcos ||||⋅⋅=S F ，那么我们就可以把他写成……？（同时多媒体显示图（2））学生：S F S F ⋅=⋅⋅=θωcos |||| 教师：b a ⋅就等于……？ 学生：θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a教师：那如果a 或b 为0呢？θ取多少？ 学生：此时θ不定。
教师：所以我们定义平面向量的数量积为：θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a )0,0(≠≠b a 1. 2 概念的建构1.2.1 数量积的定义：θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a )0,0(≠≠b a （多媒体显示） 1.2.2 教师：①“·”不能省略也不能写成“×”；（点积）②b a ⋅表示数量还是向量？有大小吗？学生：表示数量，其大小与向量的模及其夹角有关。
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的另外一种运算——平面向量的数量积。首先，我们来了解一下这节课的两个预备知识。
1.1角的概念边引导学
生平移向量找到两个向量的夹角。（多媒体显示图（1））
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平面向量的数量积（第一课时）课例与点评
课题：平面向量的数量积
教学目标：
（1）以物理中“功”的实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平
面向量的数量积与向量投影的关系。
（2）通过对平面向量数量积性质的探究，体会类比与归纳，对比与辨析等数学方法，
正确熟练地应用平面向量数量积的定义，性质进行运算。
（3）让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一
步感悟数学的本质，培养学生的探索研究能力。
教学重点：平面向量数量积的概念，性质的发现与论证。
教学难点：平面向量数量积的理解。
1.教学实录
1.1引入新课
教师：同学们，我们在前一阶段已经学过向量的加法、减法运算以及实数与向量的乘