空间向量与空间角课件

|a b| ___________=_____. |cos<a,b>| ab 设直线l与平面α 所成的角为θ ,l的
方向向量为a,平面α 的法向量为n,
(0 ， ] ______ 2
______
则sinθ =___________=_______.
|cos<a,n>|
[0， ] 2
|a n| an
角的分类
向量求法 设二面角α -l -β 为θ ,平面α ,β
范围
二面角
的法向量分别为n1,n2,则|cosθ |=
____________= n n 1 2 . |cos<n1,n2>| |n ||n |
1 2
_______ [0,π ]
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相 等.( )
第3课时
空间向量与空间角
问题
引航
1.异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平 面所成角的范围分别是多少? 2.如何应用向量法求空间三种角?
空间三种角的向量求法 角的分类 异面直线 所成的角 向量求法 范围
设两异面直线所成的角为θ ,它们
的方向向量为a,b,则cosθ =
直线与平 面所成的 角
a,n> 时,θ =< 当<a,n>∈ [0， ] ( ， ] 2 2 2
2
.
3.二面角范围的辨别 若二面角为θ ,两平面的法向量夹角为α ,则|cosθ |=|cosα |, 需分辨角θ 是锐角还是钝角,可由图形观察得出,也可由法向量 特征得出.
4.“一作,二证,三求”计算空间角 一作:即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移
提示:关键要找到直线的方向向量与平面的法向量.
【即时练】 已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面ABC与平面xOy所 成锐二面角的余弦值为 .
【解析】
AB
＝(－1，2，0)，
AC
＝(－1，0，3)．设平面ABC
的法向量为n＝(x，y，z)．
由 n·
＝ 0 ， n·
令x＝2，则y＝1，z＝
法求解,线面角的关键是作出斜线在平面上的射影,二面角的关
键是利用三垂线定理找二面角;
二证:找到对应角后利用异面直线所成角,线面所成角,面面所
成角的定义证明对应角就是所求角; 三求:一般来说是通过解三角形求解.要注意异面直线所成角, 直线与平面所成角,二面角的范围.
【微思考】 (1)若二面角α -l-β 的两个半平面的法向量分别为n1,n2,则二 面角的平面角与两法向量夹角<n1,n2>的关系. 提示:相等或互补 (2)利用向量法求空间角时,关键需找到哪些量?
2
(2)错误.二面角的范围为[0,π],两向量所成角的范围为
[0,π],虽然范围一致,但两向量所成的角与二面角不一定一致 ,
因平面的法向量的指向有两个,两向量所成的角与二面角所成
的角同为直角、锐角、钝角时才相等.
(3)错误.当直线与平面垂直时所成角为 答案:(1)× (2)× (3)× .
2
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平 面所成的二面角的大小为 .
来自百度文库
(2)若直线的方向向量为u1=(1,1,1),平面的法向量为 u2=(2,2,2),则直线与平面所成角的正弦值为 .
(3)若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2的方向向量为 u2=(2,-1,1),则两直线所成的角的余弦值为 .
【解析】(1)cos<m,n>= m n ＝ 1 ＝ 2 ， 所以<m,n>=45°.所以二面角为45°或135°. 答案:45°或135° (2)因为u1=(1,1,1)与u2=(2,2,2)共线易得直线与平面垂直, 则直线与平面所成的角的正弦值为1. 答案:1
(2)若向量n1,n2分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角 的平面角的余弦值为cos<n1,n2>= ( )
n1 n 2 (3)直线与平面所成角的范围为 ( . ) |n1||n 2| (0， ). 2
,两直线 【解析】(1)错误.两异面直线所成的角的范围为 (0， ]
的方向向量所成角的范围为[0,π].
1.两条异面直线所成的角的两个关注点 (1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值, 而对应的方向向量的夹角可能为钝角. (2)范围:异面直线所成的角θ ∈ ,故两直线的方向向量
. 夹角α 的余弦值为负时,应取其绝对值 (0， ] 2
2.对直线与平面所成角的两点说明 (1)互余关系:若直线与平面所成的角为θ ,直线的方向向量和 平面的法向量夹角为φ,则其关系为sinθ =|cosφ|. (2)对应关系:若直线l(方向向量为a)与平面α (法向量为n)所 成的角为θ , 当<a,n>∈ 时,θ = -<a,n>;
AB
AC
＝0知 x 2y 0，
2 . 所以平面ABC的一个法向量为 n＝(2，1， )．平面xOy的一个 3 2 法向量为 ＝(0，0，3)．由此易求出所求二面角的余弦值 3
为 答案： 2
x 3z 0.
OC
7 ．
2 7
【题型示范】 类型一 异面直线所成的角
【典例1】 (1)(2014·天津高二检测)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB,E是AA1的中点,则异面直线D1C与BE所成角的余弦值 为( )
mn
2
2
(3)因为u1·u2=(1,3,2)·(2,-1,1)=1, |u1||u2|=
1 9 4 4 1 1 84 2 21，
|u1 u 2| 21 . |u1||u 2| 42
则两直线所成的角的余弦值为|cos<u1,u2>|= 答案:
21 42
【要点探究】 知识点 向量法求空间角
1 A. 5
3 10 B. 10
10 C. 10
3 D. 5
(2)在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶 点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC ＝2，∠VDC＝θ .当θ ＝ 弦值．
3
时，求异面直线AC与VD所成角的余
【解题探究】1.题(1)中如何建立空间直角坐标系?异面直线 D1C与BE所对应的方向向量分别是多少? 2.题(2)中在坐标系中如何确定点A,C,V,D的坐标?