信号系统函数的定义(DOC)

§6-1 引 言

一、 系统函数的定义

系统函数H(s)定义为系统的零状态响应R(s)与激励E(s)之间的比

值：

)()

()(s E s R s H =

二、

三、 )(s H 、)(p H 、)(ωj H 、)(t h 之间关系 1、)(p H 与)(s H 形式相同，含义不同；

2、)(s H 中当ωj s =时，就得到了系统特性在频域中的表达形式)(ωj H ；

3、H(s)是)(t h 的像函数，)(t h 是H(s)的原函数。

所以，得到了H(s)以后，就可以得到)(p H 、)(ωj H 和)(t h 。

通过H(s) 可以对系统进行综合和分析。

§6-2 系统函数的表示法

系统函数可以用数学表达式表达，也可以用图示的方法表达。前

者比较简单，但是无法直接看出系统的特性。后者可以直接表示出系统的特性，便于对系统的性能进行深入研究。

常用的图示法有三种：频率特性，复轨迹，极零图。

一、频率特性

● 正如第四章中所见，系统特性可以用反映幅度特性随频率变化规律

的幅频特性曲线和反映相位特性随频率变化规律的相频特性曲线描述。

● 频率特性主要用于研究系统的频率特性分析。

● 对于)(s H ，没有必要研究其随任意复频率变化的规律，只需要令

ωj s =，得到)(ωj H ，研究沿s 平面虚轴变化的规律。 ● 对于一般的（电）系统，)(s H 为s 的有理函数，其幅频特性为ω的

偶函数，相频特性为ω的奇函数。所以，只要画出0≥ω部分即可。 ● 频率特性曲线有时也在对数尺度的坐标系中作出，称为波特图。见

§6-4。

● 对于因果系统而言，)(ωj H 的实部和虚部相互联系，知道其中一个，就可以推导出另一个。

证明：对于因果系统，有： )()()(t t h t h ε⋅=

ωωπωωωπωπδωπωωπδωπω1*)(21)(211*)(21)(*)(211)(*)(21)(j H j j H j j H j H j j H j H +=+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=

∴ ωωπω1*)(21)(21j H j j H =∴

[]ω

ωπωωπω

ωωπωω1*)(11*)(11*)()(1

)()(j R j j X j jX j R j j jX j R -=+=+∴

⎰

⎰

∞+∞-+∞∞---=-=-==

∴λ

λωλπωωπωλ

λωλπωωπωd j R j R j X d j X j X j R )

(11*)(1)()(

1

1*

)(1)(

根据上面两个的公式，可以从)(ωj R 计算出)(ωj X 或反之。

二、 复轨迹

定义：

对于每一个ω值，函数)(ωj H 都是一个复数，都可以用复平面上的一

个点表示。令ω从-∞变化到+∞，)(ωj H 在复平面上的点将随之运动，其在复平面上所产生的轨迹称为复轨迹。

例：

2451

)(2

3

+++=

s s s s H 的根轨迹和频率特性曲线。见e6_2.m ● 由于相频特性为ω的奇函数。)(ωj H 在0=ω处的相位一定为零，

)0(j H 一定是实数,落在实轴上。

●

*)()(ωωj H j H -=，或)()(ωωj H j H -=，)()(ωϕωϕ--=——>复

轨迹一定是关于实轴对称。

● 复轨迹主要用于系统稳定性分析。

三、

极零图

将)(s H 的极点和零点在复平面上表示出来，构成了极零图。

例如：

))(()

()(211p s p s z s s H ---=

的极零图：

)

Im(s )

Re(s s 平面

1

z 1

p 2

p

●

)(s H 与s 之间的关系如果直接用图形方法表示的话，应该用两个

三维图形（)(s H 的幅度与相位，或者实部与虚部）表示，不太方便。

例如：并联LC 谐振电路的系统函数为

⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=

2202201)(αωααωαj s j s s

C s H 其)

(s H 随s

变化的三维图形为：

而其极零图为：

显然极零图比原来的三维图形要简单得多。 如果系统的全部极点和零点都确定了以后，系统函数基本上就确定

了（可能相差一个常数）。可以认为，极零图是是)(s H 的一种图

像化表示方法。 例6－2－1

例6－2－1： 已知一阶线性连续系统的系统函数H(s)的零、极点分布如下图所示，“x”表示极点，“0”表示零点，且H 0＝1。求系统的阶跃响应 u(t)。

解：根据极零图和H 0可以写出系统函数

s s s H 2)(+=

系统得阶跃响应：

)()()(s E s H s R •=

22s s +=

s s 122+=

反变换得：

)()21()(t t t r ε+=

例6－2－2

例6－2－2： 已知一LTI 的输入是)()(3t e t x t

ε-= 那么零状态响应是

)(][)(2t e e t y t

t ε---= 试求系统函数及此系统的微分方程。

分析：系统零状态响应 R zs (s)=H(s)E(s) 解：

2111)(][)(3

1)()(23+-

+⇔

-=+⇔

=---s s t e e t y s t e t x t t t εε

R zs (s)=H(s)E(s)

)(3)('2)(3)(''2

33)31/()2111(

)(2

t e t e t y t y s s s s s s s H +=+++++=++-+=

§6-3 系统函数的极零点分布及其与系统时

域特性的关系

一、 极零点分布的对称性

一般在实际应用中，)(s H 是一个实系数的有理分式，其极零点