杆的纵向振动与轴的扭转振动
03-2 杆的纵向振动与轴的扭转振动ppt课件
(1)两端固定
固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为
U0 UL 0
U x C sin x D cos x
a
a
将边界条件代 入振型函数
U 0 0
D0
U L 0
C sin L 0
a
固有频率为
r
ra
L
r
L
E
D=0 C=1
r 1,2,
振型函数为
Ur
x
sin
r
L
x
r 1,2,L
(2)两端自由
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为
dU x dU x 0
dx x0
dx xL
dU x
0 dx
x0
C0
U
x
C
sin
a
x
D
cos
a
x
dU x
dx
C
acosax源自sin2r 1 2
L
x
r 1,2,L
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
对于上述三种边界条件：两端固定的杆； 两端自由的杆； 一端固定、一端自由的杆。
前三阶振型图为：
实例
燕山大学机械工程学院
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a
x
D
a
sin
a
x
=0，杆作刚
国外著名振动教材书籍介绍
国外著名振动教材书籍今天从陈立群老师的科学网博客看到一篇介绍国外振动力学教材的博文,觉得挺有参考价值，于是转载了这篇博文。
值得一提的是，陈老师介绍的一部专著--William T. Thomson和Marie Dillon Dahleh合作完成的Theory of Vibration withApplication（5th edtion),是我学习振动力学的主要书籍之一。
记得这本书是几年前在清华大学校园的书店购买，由清华大学出版社影印，到现前我虽已反复仔细阅读了很多遍，但仍旧经常拿出来翻阅参考，爱不释手。
陈老师介绍的另一部教材是Daniel J. Inman的Engineering Vibrations，也是国际上广受好评的振动力学书籍，由于这本书没有电子版，于是我就从图书馆借来（由于山口大学图书馆没有，还是从其他大学图书馆转借），复印后我反复阅读了多遍，获益很深，他的另一部专著--Vibration with Control,是学习振动控制的优秀教材，也是我经常翻阅参考的振动专业书籍之一。
另外，有一部陈老师没有提到的专著就是Ray W. Clough和Joseph Penzien合著的Dynamics of Structures，这是一部极其经典的结构动力学著作，它偏重于土木结构方面，这本书的电子版在网上广泛流传，也因此它成为我开始学习振动力学的第一本书籍，后来在深入学习有限元时，才知道在有限元发展历程中，‘有限元’这一名词是Ray W. Clough 在20世纪50年代首先提出的，他对有限元的发展以及有限元的工程应用做出了了很大贡献。
振动是国内理论与应用力学专业和工程力学专业本科必修课，也是机械、土木、航空等专业本科生或研究生的选修课。
北美大学的情况基本类似，机械、土木、航空、航天和工程力学系一般都开设振动课程。
初级课程由学过工程力学(静力学和动力学)的二、三年级本科生选修，高级课程主要是研究生选修甚至必修。
振动力学—连续系统
弦的横向振动
y(x,t)为弦上坐标为x处的横截面 在t时刻的横向位移l。
取微元，分析受力，如图
杆的纵向振动
假定：细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截 面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。 则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。 参数：杆长l，截面积S，材料密度，弹性模量E
EI d 4Y d 2T a 2 , 4 Y IV , 2 T ，则上式为： 令 m dx dt IV T 2 Y a Y T
Y IV T a 2 Y T
2
梁的弯曲振动
方程
T 2T 0
Y
( 4)
2
a
2
Y 0
T Aei (t )
各态遍历过程
相关函数
自相关函数性质
1 偶函数
Rx ( ) Rx ( )
2 周期随机过程的自相关函数仍是周期函数 X (t ) X (t ) Rx ( ) Rx ( T ) 3 4
2 Rx (0) x
2 2 x x Rx ( ) Rx (0)
T(t ) 2T (t ) 0
X ( x)
2
a
2 0
X ( x) 0
杆的纵向振动
解为 时间域，初值问题 空间域，边值问题 固支边条件
T (t ) Aei (t )
X ( x) C1 sin
a0
x C2 cos
a0
x
x=0时，u(0,t)=X(0)· T(x)=0，即X(0)=0 x=l时，u(l,t)=X(0)· T(l)=0，即X(l)=0
x=H(0) f
机械振动6连续系统的振动2杆的纵向振动
2 2u 1 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x A
a E/
弹性纵波沿杆的纵向传播速度
4
等直杆的纵向自由振动：
2 2u 2 u a 2 t x 2
f ( x, t )
0
L
x
a E/
要求解，同样需要两个初始条件和两个边界条件。 假设杆的各点作同步运动，即设 ：
u x
2u N Adx 2 ( N dx) N f ( x, t )dx t x
N dx f ( x, t )dx x
2016年1月11日 《振动力学》
3
f ( x, t )
0
x x
dx
L
u( x, t )
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： N ( x, t ) A( x) E A( x) E u
D 0, C sin
U ( x) C sin
sin
x
a
D cos
x
a
L
a
0
L
a
0
L
a
i
i
ia i L L
E
(i 1,2,)
所以振型函数：
i x U i ( x) sin sin (i 1,2) a L
i x
上式同样略去系数C.
2016年1月11日 《振动力学》 14
进一步的近似可取 tan 1 1 13 / 3,
13 AL 1 1 3 M ,
AL / M 1 , 2 1 1 / 3
将第一次近似12 AL / M 代入上式，得
杆的振动微分方程
杆的振动微分方程杆的振动微分方程是描述杆在受到外力作用下振动的数学模型。
它是通过对杆的运动进行分析和建模，得出的一个微分方程。
本文将从杆的振动原理、杆的振动微分方程的推导以及应用领域等方面展开讨论。
一、杆的振动原理杆是一种长而细的物体，当杆受到外力作用时，会发生振动。
杆的振动是由于外力对杆产生的扰动引起的，这种扰动会使杆产生一系列的运动，包括弯曲、扭转和纵向振动等。
杆的振动可以是自由振动，也可以是受迫振动。
为了描述杆的振动，我们可以利用杆的运动方程来建立杆的振动微分方程。
杆的运动方程可以由牛顿第二定律得出，即F=ma，其中F 为杆所受外力，m为杆的质量，a为杆的加速度。
对于杆的纵向振动，可以将杆分为无数个小段，每个小段的质量为dm。
假设杆的长度为L，杆的纵向振动可用纵向位移函数y(x,t)来描述，其中x为杆的位置坐标，t为时间。
根据波动方程，可以得到杆的纵向振动微分方程为：∂²y/∂t² = v²∂²y/∂x²其中v为纵波速度。
这个微分方程可以用来描述杆在纵向受到外力作用时的振动情况。
三、杆的振动微分方程的应用杆的振动微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
在物理学中，杆的振动微分方程可以用来研究杆的固有频率和模态形状，从而了解杆的振动特性。
在工程学中，杆的振动微分方程可以用来分析杆结构的稳定性和抗震性能，以及优化杆的设计和加固方案。
例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的安全性，需要对建筑物的结构进行抗震分析。
杆的振动微分方程可以用来模拟地震时建筑物的振动响应，从而评估建筑物的抗震性能。
通过分析杆的振动微分方程的解，可以得出建筑物的振动频率和振动模态，进而指导建筑物的设计和加固。
在机械工程中，杆的振动微分方程也常被应用于模型预测控制和振动控制等领域。
通过对杆的振动微分方程进行数值求解和分析，可以优化机械系统的振动特性，提高机械系统的性能和稳定性。
连续系统振动(a)-杆的纵向振动
2015年1月24 日 并考虑到： 《振动力学》
2 y 达朗贝尔 Adx 2 t 惯性力
y x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 弦的横向强迫振动方程 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
( l ) 0 l cos 0 a0
u (l , t ) 0 x
频率方程
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x 2015年1月24日 u ( x , t ) ( x ) q (t ) ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日 《振动力学》
( x) (t ) q 2 a0 （常数） q(t ) ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记： 2
(t ) q 2 ( x) a0 q(t ) ( x)
''
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x) ( a ) ( x) 0 0
i 1
2015年1月24日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
q(t )
不能恒为零
u ( x , t ) ( x ) q (t ) 19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x
船体振动智慧树知到答案章节测试2023年华中科技大学
绪论单元测试1.要产生振动，需要（）。
A:时变作用B:空气C:弹性D:质量答案:ACD2.属于振动的是（）。
A:敲鼓B:钟摆C:心脏搏动D:说话时的声带答案:ABCD3.已知船体结构的动态特性，计算在输入作用下的输出。
属于（）。
A:系统识别B:响应分析C:环境预测D:系统设计答案:B4.在已知外界激励下设计合理的船体系统参数，使系统的动态响应或输出满足要求。
属于（）。
A:系统识别B:响应分析C:系统设计D:环境预测答案:C5.已知系统的输入和输出，求出船体系统的参数。
属于（）。
A:系统识别B:系统设计C:环境预测D:响应分析答案:A6.在已知系统的响应和系统参数的条件下，预测系统的输入。
属于（）。
A:系统识别B:系统设计C:环境预测D:响应分析答案:C第一章测试1.在下图所示的结构中小球质量为m，梁的质量忽略不计，梁的长度为L，截面惯性矩为I，材料的弹性模量为E。
若要使小球的自振频率ω增大，可以（）。
A:增大IB:减小EC:增大mD:增大L答案:A2.如图a所示，梁的质量忽略不计，小球的自振频率；若在小球处添加刚度为k的弹簧，如图b所示，则系统的自振频率ω1为：（）。
A:B:C:D:答案:D3.单自由度系统自由振动的幅值仅取决于系统的（）。
A:固有频率B:质量C:初速度和初位移D:刚度答案:C4.已知某单自由度系统质量为m，刚度为k，阻尼系数为c，阻尼因子为ξ。
若令系统刚度为4k，则下列说法正确的是（）。
A:新的阻尼因子为1/2 ξB:新的阻尼因子为1/4 ξC:新的阻尼系数为1/2 cD:新的阻尼系数为1/4 c答案:A5.单自由度系统只有当阻尼比时，才会产生振动现象。
（）A:ξ<1B:ξ≤1C:ξ>1D:ξ=1答案:A6.已知结构的自振周期T=0.3s，阻尼比ξ=0.04，质量m在y0=3mm，v0=0的初始条件下开始振动，则至少经过个周期后，振幅可以衰减到0.1mm以下。
（）A:14B:13C:12D:11答案:A7.速度导纳的单位是（）。
03-2 杆的纵向振动与轴的扭转振动
由此得 频率方程为
D0
C
a
cos
a
L0
D=0 C=1
a 2r 1 a 2r 1 E 固有频率为 r 2 L 2 L
振型函数为
Ur
cos
L0
r 1,2,
r
a x
x Csin
r
a
x Dcos
2r 1 sin x L 2
杆纵向振动的 偏微分方程为
2u u x A x 2 EA x f x, t t x x
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2u u x A x 2 EA x f x, t t x x
E
ra r 固有频率为 r L L
0 sin L 0 a
体纵向平动
r 1,2,
r 1,2,
C=0 D=1
振型函数为
U r x cos
r x L
(3)一端固定一端自由的杆 边界条件为
U 0 0 dU x 0 dx xL
a AL 1 L M AL / 3
EA / L M AL / 3
k M AL / 3
★上式就是将杆质量的三分之一加到质量 M上所得的单自由度系 统的固有频率计算公式。 ——和瑞利法所得的结果相一致。 ★例如，附加质量M等于杆的质量时，有
0.866 E 1 L
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杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2 2u 2 u a 2 t x2
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
u( x, t ) U ( x)( A cos pt B sin pt )
即为杆的主振动的一般形式。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
p12 2 Al l 2 M a
Ml
对于基频情况，有 p EA 1 其中
EA 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不 l
计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。
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1 杆的纵向振动
1.3主振型的正交性
这里只讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。 因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的 质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向 振动微分方程式为 2u u
U ( x) C cos px px D sin a a
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
U (0) 0 , U (l ) 0
sin
C0 , D sin p l0 a
p l0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
ia π pi l (i 1,2, )
关于楔形直杆纵振和扭振的若干问题
关于楔形直杆纵振和扭振的若干问题楔形直杆纵振和扭振是力学中常见的问题，它们可以帮助我们了解杆的动力学特性。
本文将针对楔形直杆纵振和扭振的若干问题做一次概括性介绍。
首先，我们来谈谈楔形直杆纵振的特性。
楔形直杆纵振是指杆体在垂直方向上振动所产生的振动。
由于杆体的楔形形状，这种纵振具有两个独立的振动模式，即正弦振动和拉格朗日振动。
正弦振动的特性是，在振动的一段时间内，受力的位置会发生周期性的变化，而拉格朗日振动的特性则是，受力的位置不会发生变化，而是会随着振动的周期性而变得更加平坦。
其次，我们来谈谈楔形直杆扭振的特性。
楔形直杆扭振是指杆体在水平方向上振动所产生的振动。
由于杆体的楔形形状，这种扭振有两个独立的振动模式，即正弦振动和拉格朗日振动。
正弦振动的特性是，振动的一段时间内，受力的位置会发生周期性的变化，而拉格朗日振动的特性则是，受力的位置不会发生变化，而是会随着振动的周期性而变得更加平坦。
再次，我们来看看楔形直杆纵振和扭振的自振频率。
自振频率是指杆体在不受外界力作用时振动的频率，它是由杆体质量、弹性和长度决定的。
由于楔形直杆的楔形形状，它的自振频率比圆柱形直杆要低，但比圆柱形直杆的自振频率高。
最后，我们来谈谈楔形直杆纵振和扭振的振幅。
振幅是指杆体在振动时受力的幅度，它受杆体的质量和初始位置的影响。
由于杆体的楔形形状，楔形直杆的振幅比圆柱形直杆要小，但比圆柱形直杆的振幅高。
以上就是本文对楔形直杆纵振和扭振的若干问题的概括性介绍。
我们可以从中了解到，楔形直杆的振动模式、自振频率和振幅都会受到杆体形状、质量和初始位置的影响，因此了解这些参数有助于我们更好地理解楔形直杆的动力学特性。
机械振动-轴的扭转振动
Ip
2 (x,t) ，
t 2
(1)
扭矩与单位转角之间有： (x,t) dx M dx
x
GJ p
(2)
代入(1)式，得轴的扭转振动运动方程为：
x
GJ
p
(x,t)
x
dx
IP
2 (x, t)
t 2
(3)
§5.3轴的扭转振动
x
GJ
p
(x,t)
x
dx
IP
2 (x, t)
t 2
(4)
对于圆轴来说转动惯量
剩下的Bn或An和φn 初始条件
带入一般解
扭转振动的方程的解为各阶主振动的叠加
(x, t)
(Ansin
n1
pn a
x
Bn
cos
pn a
x)(sinpnt n )
§5.3轴的扭转振动
解的形式
(x, t) (x) T(t)
(Asin p x B cos p x)(sinpt)
a
a
端点条件：
§5.3杆的扭转振动
如图所示，杆的单位体积质量为p，圆形截面极惯性距为Jp， 抗剪模量为G，圆轴上受一扭矩M， 轴上x处，t时刻相对于其左端面的扭转角度以θ(x,t)表示。
§5.3轴的扭转振动
从其上截取长度为dx的一小段来分析
转动惯量为Ip，圆形截面极惯性距为Jp,列出刚体转动方程：
M
M x
dx M
(5) 令： a2 G
P 则方程式转化为：
(6)
§5.3轴的扭转振动
杆的扭转振动和弦振动及杆的纵向振动 解的形式相同
(x, t) (x) T(t)
(Asin p x B cos p x)(sinpt)
杆的纵向振动与轴的扭转振动
振动方向不同：杆的纵向振动方向 与杆的轴线方向平行而轴的扭转振 动方向则与轴的截面垂直。
实际应用场景
机械制造：在机械制造中杆的纵向振动与轴的扭转振动常常同时存在影响机器的正常运转。
交通运输：车辆、船舶等交通工具中的传动系统如发动机、变速箱等都涉及到杆的纵向振动 与轴的扭转振动。
建筑工程：在建筑工程中如桥梁、高层建筑等需要考虑到风、地震等外力作用下杆的纵向振 动与轴的扭转振动的影响。
对系统稳定性的影响
振动可能导致系统失稳产生共振现象 振动会加速系统各部件的疲劳损伤降低使用寿命 振动会影响系统的测量精度和控制稳定性 适当抑制振动可以提高系统的稳定性和可靠性
对系统效率的影响
振动会使系统中的 元件磨损导致效率 降低
振动会产生额外的 热量影响系统的热 效率
振动会干扰信号传 输影响系统的信息 传递效率
杆的纵向振动与轴的扭转振动在工 程实际中常常同时存在需要综合考 虑它们的耦合效应。
振动类型不同：杆的纵向振动是拉 伸或压缩振动轴的扭转振动是旋转 振动。
区别
振动频率不同：杆的纵向振动频率 通常较高而轴的扭转振动频率相对 较低。
添加标题
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影响因素不同：杆的纵向振动主要受 轴向力、阻尼和支撑的影响而轴的扭 转振动主要受扭矩、阻尼和转动惯量 的影响。
,
汇报人：
目录
定义与原理
添加标题
定义：杆的纵向振动是指杆在轴向方向上的振动是机械振动的一种形式。
添加标题
原理：当外力作用于杆的一端或杆本身的重力引起杆的轴向变形时杆的轴向会产生周期性的振动即杆的纵 向振动。这种振动可以通过弹性理论和动力学方程进行描述和预测。
影响因素
飞行器结构动力学 第5章 弹性体振动
第5章 工程振动测试和实验
5.1
弦 的 振 动
例5-1 设张紧弦在初始时刻被拨到如图5-2所示的位置， 然后无初速度地释放。求弦的自由振动。
图5-2
例5-1示意图
l 6h l x , 0 x 6 解：按题设，有 y ( x, 0) 6h l (l x) , xl 6 5l
y ( x, 0) 0 t
第5章 工程振动测试和实验
5.1
故有
弦 的 振 动
i 1, 2,
Ai 0 ,
12h l 6 ix 12h l ix Bi 2 x sin dx 2 (l x) sin dx 0 l l 5l l 6 l 72h i sin , i 1, 2, 2 5(i ) 6
( x, t ) X ( x)(t )
且有
(t ) A sin t B cos t
X ( x) C sin
c
x D cos
c
x
第5章 工程振动测试和实验
5.3 轴的扭转振动
轴在固定端的边界条件为
X (0) 0
（a）
轴在l端截面处的扭矩应为
GI p (l , t ) x
因而弦的自由振动可表示为（只写出前4项）：
y ( x, t )
72h 1 x sin cos 2 l l 5 2 1 3x 3 sin cos 9 l l T
T
t
0.866 2x 2 sin cos 4 l l T
T
t
0.866 4x 4 t sin cos 16 l l
dX dX (0) (l ) 0 dx dx
机械振动-轴的扭转振动
如图所示，杆的单位体积质量为p，圆形截面极惯性距为Jp， 抗剪模量为G，圆轴上受一扭矩M， 轴上x处，t时刻相对于其左端面的扭转角度以θ (x,t)表示。
§5.3轴的扭转振动
从其上截取长度为dx的一小段来分析
转动惯量为Ip，圆形截面极惯性距为Jp,列出刚体转动方程：
M
M x
(Asin p x B cos p x)(sinpt)
a
a
端点条件：
X=0, Θ=0
B=0
X=l, dΘ/dx=0
代入上式
§5.3轴的扭转振动 初始条件：
带入 得
§5.3轴的扭转振动
对于任意的x都要成立，即
带入
得
cosn 0
n
2
sinn 1
§5.3轴的扭转振动
三角函数的正交性 并对全长l积分
dx M
Ip
2 (x,t) ，
t 2
(1)
扭矩与单位转角之间有： (x,t) dx M dx
x
GJ p
(2)
代入(1)式，得轴的扭转振动运动方程为：
x
GJ
p
பைடு நூலகம்
(x,t)
x
dx
IP
2 (x, t)
t 2
(3)
§5.3轴的扭转振动
x
GJ p
左右同*
§5.3轴的扭转振动
n
2
回代，得
a
a
（振型）
（振动）
一般解中有4个待定常数::
利用杆的两个端点条件
A或B 和固有频率Pn
剩下的Bn或An和φn 初始条件
连续系统振动-杆的纵向振动PPT课件
达朗贝尔原理：
2019年10月15日
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx) F
p(x,t)dx
7
p( x, t )
0 x dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
达朗贝尔原理：
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
2
t 2
a02
2
x2
1
Ip
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
2019年10月15日 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 固有频率和模态函数
p( x, t ) x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
a0 E /
2u t 2
a02
2u x 2
自由振动
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
I
p
dx
2
t 2
2019年2t210月 1a5日02
2
x2
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燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
考虑到 uL,t dU L Ft
x
dx
F t Asint Bcost
2uL,
t 2
t
U
L
d
2F t
dt 2
2U
L
F
t
故下端边界条件为
由顶端边界条件 U(0)=0
EAdU L 2MU L
1
1a
L
0.86 L
E
2 3.43
2
2a
L
3.43 L
E
M=0，即一端固定、一端自由的杆
1
2L
E
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★与一端固定一端自由的等直杆比较，杆下端的附加质
量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。
L，弹性模量为E； (2)杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。
坐标：以u(x,t)表示杆x截面在时刻t的位移，即位移是截 面位置x和时间t的二元函数。
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★在杆上取微段dx。微元受力如图所
故由第二个初始条件得
ux,t U xdFt
t
dt
r 1
sin
2r 1
2L
x
Ar
2r 1a
2L
cos 2r 1a t
2L
Br
2r 1a sin
2L
2r
1a
2L
t
故杆的位移u(x,t)可以表示为
Ar 0
ux,t
r1
sin
2r 1
2L
x
Br
cos
2r 1at
2L
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★例如，附加质量M等于杆的质量时，有
1
0.866 L
E
精确解时，系数为 0.86，误差仅为0.7。
因此，只要杆的质量不大于附加质量，由简化公式计算的基频能 够满足工程实际应用的要求。
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(1)两端固定
固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为
U0 UL 0
U x C sin x D cos x
a
a
将边界条件代 入振型函数
U 0 0
D0
U L 0
C sin L 0
a
固有频率为
r
ra
L
r
L
E
D=0 C=1
r 1,2,
振型函数为
Ur
x
sin
r
L
x
r 1,2,
(2)两端自由
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由左端边界条件U(0)=0
D0
U x Csin x Dcos x
a
a
由右端边界条件
dU x
EA
kU (L)
dx
xL
由此得 EA cos L k sin L
aa
a
tan L a
令β=-EA/kL，则
1
AL M 1 AL 3M
AL M AL 3
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所以基频1为
1
a L
AL M AL / 3
EA / L
M AL / 3
k
M AL / 3
★上式就是将杆质量的三分之一加到质量M上所得的单自由度系 统的固有频率计算公式。 ——和瑞利法所得的结果相一致。
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自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为
dU x dU x 0
dx x0
dx xL
dU x
0 dx
x0
C0
U
x
C
sin
a
x
D
cos
a
x
dU x
dx
C
a
cos
dx
U x Csin x Dcos x
a
a
D0
由下端边界条件
固有频率方程
dU x C cos x D sin x
dx a a a a
EA cos L 2M sin L
aa
a
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例-1 求如图所示的上端固定、下端有一附 加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和 振型函数。
解：上端固定的边界条件为
u0,t 0 或 U0 0
下端具有附加质量M，在振动时产生对杆端的惯性力。 取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，下端 点的边界条件为
EA uL, t
x
M
2uL, t
t 2
解：一端固定一端自由杆的固 有频率和振型函数为
r
2r 1
2L
E
U
r
x
sin
2r 2
1
L
x
r 1,2,
因 u(x,t) U (x)F (t) Ur (x)Fr (t) Ur (x) Ar sin rt Br sin rt
r 1
r 1
u(x,t)
r 1
sin
2r 1 2
L
x
★如果杆的质量相对附加质量很小，AL/M<<1， 1亦
为小值，可近似地取tg11，因此特征方程可以简化为
AL
M
L
a
tg
L
a
1tg 1
12
12
AL
M
因 =L/a a E
由此计算得基频
1
a L
AL
M
EA LM
k M
式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度，M为附加质量。
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式中： A, B为待定常 数，由两个初始条件 决定。
d2U
dx2
x
2U
x
0
a
0xL
式中： C, D为待定常 数，由两个端点的边 界条件决定。
U x C sin x Dcos x
a
a
边界条件对固有频率、振型的影响
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xAx
2u t 2
x
EAx
u x
f x,t
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xAx
2u t 2
x
EAx
u x
f
x, t
★若杆的单位体积质量
(x)== 常 数 ， 截 面 积
A(x)=A= 常 数 ， 杆 纵 向 振 动 的偏微分方程简化为
1
k M
★这一结果与单自由度系统的结果相同， 说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬 挂的质量小得多时，可以略去杆的质量。
★例如，当AL/M=1/10时，误差仅为1.25。
★若进一步取
1
1
13
3
AL
M
tg 1 1 13 3
1
AL M 1 12 3
★将第一次的近似 12 =AL/M代入上式，可得
L a
tanL a EA
L a
kL
★由上式可求得各个固有频率r的数值解。
★与各个r相应的振型函数为
Urx
sin r
a
x
r 1,2,
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例3 如图所示的一端固定一端自由的均质杆。设在自由 端作用轴向力F，在t=0时释放。求杆运动规律u(x,t)。
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由第一个初始条件得
Fx
EA
r 1
Br
sin
2r 1
2L
x
用 sin 2r 1 x 乘以上式的两边。考虑到三角函数的正
2L
交性，在0xL上积分，可得的Br的值，有
Br
L
sin
2
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
1)
0
2L
示。微元纵向应变为
u
u x
dx
u
u
dx
x
★x截面上的内力为N； x+dx截面上的内力为
N N dx x
★内力N是x, t的函数
Nx,t Ax AxE AxE u
x
★根据牛顿 运动定律得
x
A
x
dx
2u t 2
f x,t dx N N dx N f x,t dx N dx
x