杆的纵向振动与轴的扭转振动

★如果杆的质量相对附加质量很小，AL/M<<1， 1亦
为小值，可近似地取tg11，因此特征方程可以简化为
AL
M
L
a
tg
L
a
1tg 1
12
12
AL
M
因 =L/a a E
由此计算得基频
1
a L
AL
M
EA LM
k M
式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度，M为附加质量。
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School of Mechanical Engineering, Yanshan University
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考虑到 uL,t dU L Ft
x
dx
F t Asint Bcost
2uL,
t 2
t
U
L
d
2F t
dt 2
2U
L
F
t
故下端边界条件为
由顶端边界条件 U(0)=0
EAdU L 2MU L
示。微元纵向应变为
u
u x
dx
u
u
dx
x
★x截面上的内力为N； x+dx截面上的内力为
N N dx x
★内力N是x, t的函数
Nx,t Ax AxE AxE u
x
★根据牛顿 运动定律得
x
A
x
dx
2u t 2
f x,t dx N N dx N f x,t dx N dx
x
x
杆纵向振动的 偏微分方程为
例-1 求如图所示的上端固定、下端有一附 加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和 振型函数。
解：上端固定的边界条件为
u0,t 0 或 U0 0
下端具有附加质量M，在振动时产生对杆端的惯性力。 取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，下端 点的边界条件为
EA uL, t
x
M
2uL, t
t 2
xAx
2u t 2
x
EAx
u x
f x,t
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xAx
2u t 2
x
EAx
u x
f
x, t
★若杆的单位体积质量
(x)== 常 数 ， 截 面 积
A(x)=A= 常 数 ， 杆 纵 向 振 动 的偏微分方程简化为
L，弹性模量为E； (2)杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。
坐标：以u(x,t)表示杆x截面在时刻t的位移，即位移是截 面位置x和时间t的二元函数。
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★在杆上取微段dx。微元受力如图所
例2 求如图所示的一端固定一端弹性支承的杆作纵向振 动的固有频率和振型函数。
解：左端为固定端，边界条件为 u0,t 0 或 U 0 0
右端联结一刚度为k的弹簧。弹簧力与杆轴向内力大 小相等，方向相反，即
EAux,t ku(L,t) 或 EAdU x kU (L)
x xL
dx xL
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1
k M
★这一结果与单自由度系统的结果相同， 说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬 挂的质量小得多时，可以略去杆的质量。
★例如，当AL/M=1/10时，误差仅为1.25。
★若进一步取
1
1
13
3
AL
M
tg 1 1 13 3
1
AL M 1 12 3
★将第一次的近似 12 =AL/M代入上式，可得
sin
2r 1
2L
xcos2r 1at
2L
在自由端x=L处振幅最大，即
umax
8FL
2EA
r1
(1)r1 (2r 1)2
解：一端固定一端自由杆的固 有频率和振型函数为
r
2r 1
2L
E
U
r
x
sin
2r 2
1
L
x
r 1,2,
因 u(x,t) U (x)F (t) Ur (x)Fr (t) Ur (x) Ar sin rt Br sin rt
r 1
r 1
u(x,t)
r 1
sin
2r 1 2
L
x
Ar
sin
(2r
1)
2L
a
t
Br
cos
(2r
1)
2L
a
t
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常数Ar和Br决定于初始条件
ux,0 Fx
EA
ux,0 0
t
第一个条件给出了t=0时是均匀初始应变；因在t=0时释放此力， 所以第二个条件表示初始速度为零。
故由第二个初始条件得
ux,t U xdFt
t
dt
r 1
sin
2r 1
2L
x
Ar
2r 1a
2L
cos 2r 1a t
2L
Br
2r 1a sin
2L
2r
1a
2L
t
故杆的位移u(x,t)可以表示为
Ar 0
ux,t
r1
sin
2r 1
2L
x
Br
cos
2r 1at
2L
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★例如，附加质量M等于杆的质量时，有
1
0.866 L
E
精确解时，系数为 0.86，误差仅为0.7。
因此，只要杆的质量不大于附加质量，由简化公式计算的基频能 够满足工程实际应用的要求。
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L a
tanL a EA
L a
kL
★由上式可求得各个固有频率r的数值解。
★与各个r相应的振型函数为
Urx
sin r
a
x
r 1,2,
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例3 如图所示的一端固定一端自由的均质杆。设在自由 端作用轴向力F，在t=0时释放。求杆运动规律u(x,t)。
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自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为
dU x dU x 0
dx x0
dx xL
dU x
0 dx
x0
C0
U
x
C
sin
a
x
D
cos
a
x
dU x
dx
C
a
cos
ux,t UxFt
2u t 2
a2
2u x2
杆纵向自由振动的偏 微分方程可以分解为
两个常微分方程
d
2F t
dt 2
2
F
t
0
d2U
dx2
x
2U
x
0
a
0 x L
两个常微分方程的解
d
2F t
dt 2
2
F
t
0
Ft Asint Bcost
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(1)两端固定
固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为
U0 UL 0
U x C sin x D cos x
a
a
将边界条件代 入振型函数
U 0 0
D0
U L 0
C sin L 0
a
固有频率为
r
ra
L
r
L
E
D=0 C=1
r 1,2,
振型函数为
Ur
x
sin
r
L
x
r 1,2,
(2)两端自由
EA cos L 2M sin L
aa
a
固有频率方程变化为 EA 1 tg L
Ma
a
EAL a2M
L
a
tg
a
L
因a2=E/。整理后得
AL L tgL
M aa
上式为特征方程，即固有频率方程。方程左边为杆的质 量与附加质量的比值。当给定比值后，通过数值法可以
求得各个固有频率r的数值解，也可以用作图求出。
1
AL M 1 AL 3M
AL M AL 3
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所以基频1为
1
a L
AL M AL / 3
EA / L
M AL / 3
k
M AL / 3
★上式就是将杆质量的三分之一加到质量M上所得的单自由度系 统的固有频率计算公式。 ——和瑞利法所得的结果相一致。
dx
U x Csin x Dcos x
a
a
D0
由下端边界条件
固有频率方程
dU x C cos x D sin x
dx a a a a
EA cos L 2M sin L
aa
a
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式中： A, B为待定常 数，由两个初始条件 决定。
d2U
dx2
x
2U
x
0
a
0xL
式中： C, D为待定常 数，由两个端点的边 界条件决定。
U x C sin x Dcos x
a
a
边界条件对固有频率、振型的影响
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边界条件为
U 0 0
dU x
dx
0
xL
U
x
C
sin
a
x
D
cos
a
x
dU
dx
x
C
a
cos
a
x
D
a
sin
a
x
由此得
D 0 C cos L 0
aa
频率方程为 cos L 0
a
D=0 C=1
固有频率为
r
2r 1
2
a L
2r 1
2L
E
r 1,2,
振型函数为
Ur
x
Csin
r
a
x Dcos r
a
x
sin
2r 1 2
L
x
r 1,2,
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对于上述三种边界条件：两端固定的杆； 两端自由的杆； 一端固定、一端自由的杆。
前三阶振型图为：
实例
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1
1a
L
0.86 L
E
2 3.43
2
2a
L
3.43 L
E
M=0，即一端固定、一端自由的杆
1
2L
E
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★与一端固定一端自由的等直杆比较，杆下端的附加质
量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。
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由左端边界条件U(0)=0
D0
U x Csin x Dcos x
a
a
由右端边界条件
dU x
EA
kU (L)
dx
xL
由此得 EA cos L k sin L
aa
a
tan L a
令β=-EA/kL，则
a
x
D
a
sin
a
x
=0，杆作刚
体纵向平动
dU x 0 D sin L 0
dx
aa
xL
固有频率为
r
ra
L
r
L
E
0
sin
a
L
0
C=0 D=1
r 1,2,
振型函数为
Ur
x cos r
L
x
r 1,2,
(3)一端固定一端自由的杆
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3.2 杆的纵向振动
★假设: (1)杆的横截面在振动时始终 保持为平面，并作整体运动； (2)略去杆纵向伸缩引起的横 向变形。
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已知:
(1)杆的单位体积的质量为(x)，截面积为A(x)，杆长为
xdx
L Fx sin (2r 1) xdx 0 EA 2L
由上述方程可得
Br
2r
8FL
12
1r1
2 EA
r 1,2,3,
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所以杆的纵向运动为
u
x,t
8FL
2EA
r1
1r1 2r 12
2u t 2
E
2u x2
1 A
f
x, t
如果f(x,t)=0，则杆纵向自由振动的偏微分方程为
2u t 2
a2
2u x2
a E a为弹性波沿x轴的传播速度。
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类似于弦的横向振动，仍然采用分离变量法求解杆 纵向振动的偏微分方程。设u(x，t)表示为
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由第一个初始条件得
Fx
EA
r 1
Br
sin
2r 1
2L
x
用 sin 2r 1 x 乘以上式的两边。考虑到三角函数的正
2L
交性，在0xL上积分，可得的Br的值，有
Br
L
sin
2
(2r
1)
0
2L
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AL L tgL
M aa
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设质量比AL/M=1，=L/a，则特征方程简化为
tg 1
作出tg和1/两个图形，
如图所示。两个图形的交
点1和2,…，便是各阶固
有频率。
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