中考总复习课件：(二)代数式的恒等变形
2代数式的恒等变形 讲义
有关恒等式的证明一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。
在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。
二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca c b bc b a ab a例4 已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd例5 已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0.证明：1111=+++++c c b b a a例6 数x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x 证明：0222=+++++y x z x z y z y x (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)例7 已知a+b+c=a 2+b 2+c 2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2例8设c b a c b a ++=++1111，证明(1) a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零；(2) 对任何奇数n ，有n n n n n n c b a c b a++=++1111例9 已知ad-bc=1，求证：a 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd ≠1例10证明：1132113211211+-=++++++++++n n n。
代数式的恒等变换
代数式的恒等变换方法与技巧例：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
这时，原方程有惟一实根x =。
一、分类变换当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。
分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。
例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立：（a=；（b1=；（c2=。
解：(0)m m =≥ 记方程左边为f(x)，则()f x =1|1|1|112xx≥==≤≤由此可知，当m=时，原方程的解集为1[,1]2；当m∈时，解集为∅；当)m∈+∞m=，解得21(2)4x m=+。
即当)m∈+∞时，原方程的解集为21{(2)}4m+。
例2：在复数范围内解方程组2225553,3,3.x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：考虑数列*,n n nna x y z n=++∈N。
不难证明此数列满足递推式321()()n n n na x y z a xy yz zx a xyza+++=++-+++，其中1253,3a a a===。
利用基本恒等式，得2121()32xy yz zx a a++=-=，312311[()]33xyz a a a xy yz zx a=--++=，∴{}na的递推式化为*3213133,3n n n na a a a a n+++=-+⋅∈N由此得432313543323113349,33102733a a a a a a a a a a a a=-+⋅=---+⋅=-由53a=，得310273a-=，∴33a=。
专题01代数式的恒等变形【2022中考数学专题复习高频考点拓展讲练】(原卷版)
专题1 代数式的恒等变形（原卷版）专题诠释：代数式的恒等变形是中考最常见的题型，恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。
通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。
第一部分 典例剖析+针对训练类型一 通过恒等变形求代数式的值典例1 设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，求m 2−n 2mn 的值．典例2 已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为 ．针对练习11．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝ ．2．已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：∵a +b ＝8 ab ＝15∴（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4又∵a ＞b∴a ﹣b ＞0∴a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√5，且x ＜0，求x +1x 的值．类型二 通过恒等变形求代数式的最值典例3 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于 ．典例4（2021秋•鼓楼区校级期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式2x 2+4x−3x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x ﹣1，可设2x 2+4x ﹣3＝（x ﹣1）（2x +m ）+n ．因为（x ﹣1）（2x +m ）+n ＝2x 2+mx ﹣2x ﹣m +n ＝2x 2+（m ﹣2）x ﹣m +n ，所以2x 2+4x ﹣3＝2x 2+（m ﹣2）x ﹣m +n ，所以{m −2=4−m +n =−3，解得{m =6n =3，所以2x 2+4x−3x−1=(x−1)(2x+6)+3x−1=2x +6+3x−1． 这样，分式就被拆分成了一个整式2x +6与一个分式3x−1的和的形式， 根据你的理解解决下列问题：（1）请将分式3x 2+4x−1x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，求m 2﹣n 2+mn 的最大值．针对练习23．若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是 ．类型三 通过代数式的恒等变形求字母的取值范围典例5已知：2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．针对训练34．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k y k x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。
代数式的恒等变换
代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1：在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2：如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。
由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设p 为实常数，x =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
第二讲：代数式的恒等变形
第二讲：专题复习：代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。
2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。
恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。
3、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数式；（3）证明：0=-右边左边，或1=右边左边，此时0≠右边。
4、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】【例1】已知1=abc ，求证：1111=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知z y x 、、为三个不相等的实数，且xz y y x 1z 11+=+=+，求证：1222=z y x 。
【拓展】若0≠++z y x ，yx z c z x y b z y x a +=+=+=，，， 求证：1111=+++++c c b b a a 。
【例2】证明：a a z a y a x aaz z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-。
思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。
【巩固】1、求证⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ab ab b b a a ab ab b b a a 1114111222。
2、求证：()()()()()()d c b a a d c b d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++=+++++++++++。
【拓展】求证：()()()()()()11011921110111100209644122222+-+++-++-=-++-+-+-x x x x x x x x x x 【例3】已知ac a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
初中数学精品课件：初三总复习3课时整式
类 探
(1)只有__同__类__项___才能合并；
究
(2)在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和
字母的指数不变．
3．乘法公式恒等变形： a2＋b2＝__(_a_＋__b_)_2－__2_a_b___＝__(a_－__b_)_2_＋__2_a_b__；
(a－b)2＝__(_a_＋__b_)2_－__4_a_b__．
B．2a＋3b＝5ab
归 类
C．(a2)3＝ a6
探
D．a6÷a3＝a2
究
【错解】 A或B或D
限
(
)
时 集
训
【错因】 A．a2＋a4＝a6，不是同底数幂的乘法，指
数不能相加，故本选项错误；B.2a＋3b＝5ab，不是同类
考 点
项，不能合并，故本选项错误；C.(a2)3＝a6，幂的乘方，
限 时
管 底数不变指数相乘，故本选项正确；D.a6÷a3＝a2，同底
归 念列方程(组)是解此类题的一般方法．
类 探 究
类型之二 整式的运算
考 点
[2012·山西]先化简，再求值：
限 时
管 理
(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中，x＝－ 3.
集 训
解：原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5.
归
当 x＝－ 3时，原式＝(－ 3)2－5＝3－5＝－2.
当 a＝－3，b＝12时，
原式＝2×(—3)×12＝－3.
类型之三 整式的规律型问题
考 点
[2011·汕头]如图3－1是由从1开始的连续自
限 时
管 理
然数组成的三角形数表，观察规律并完成各题的解答．
集 训
中考总复习知识点：(二)代数式恒等变形(含针对性练习题、中考题.和课件配套)
D.-42
3.分解因式：① 5x 125x3 ；② 8x2 y 2 y3 ；③ x y3 4y x2 4y x；
④16x4 72x2 81.⑤ x2 x 12 ；⑥ (x y)2 (x y) 2 ；⑦ (x 1)(x 2) 20 .
4.下列分解因式正确的是( )
A. 4x2 4x 2 (2x 1)2 1
《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解
x4 4 (x2 2)( x2 2) ，若在实数范围，还可继续分解至 (x2 2)(x 2)(x 2) . *在高中时还可进一步分解》 【拓展型问题】： 1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式
分解吗？① (2x 3)(x 1) ；② (x y z)(x y z) ；③ a bm n .
11.观察下列等式：（1）42 12 35 ；（2）52 22 3 7 ；（3）62 32 39 ；（4）
72 42 311；……则第 n （ n 是正整数）个等式为
。
12.⑴已知
x
1 x
6
0, 求x 2
1 x2
的值
；⑵已知 a b 2, ab 1, 求3a2 3b2的值 ；
B（ . 2x2）3 8x5
C. 6x2m 2xm 3x2
D. 2x2 3x2 5x4
3.要使多项式 (x2 px 2)( x q) 不含关于 x 的二次项，则 p、q 之间的关系是
()
A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.乘积等于 1
4.下列各6（ x 2） x (2 x) (x 2)(x 6)
去括号 合并同类项
加减法
整式系多单数项项式式次运数算同底数幂相乘
代数式与面积恒等式课件
通过面积恒等式，可以将复杂的代数式简化成易于理解和计算的形 式。
代数式与面积恒等式的相互转化
代数式转化为面积恒等式
在某些情况下，可以将代数式转化为面积恒等式的形式，从而利用面积恒等式 的性质来解决问题。
面积恒等式转化为代数式
在解决一些面积恒等式问题时，可以通过代数式的变形和推导，将面积恒等式 转化为易于计算和证明的形式。
代数式与面积恒等式在椭圆中的应用
通过代数式和面积恒等式表示椭圆的周长、面积和体积，并利用代数式和面积恒等式进行相关计算和 证明。
05
总结与展望
代数式与面积恒等式的总结
代数式与面积恒等式在数学中的重要地位
代数式与面积恒等式是数学中基础且重要的概念，它们在数学各个领域中都有广泛的应用 。
代数式与面积恒等式的性质和特点
04
代数式与面积恒等式的实例 分析
代数式在几何图形中的应用实例
代数式在矩形中的应用
通过代数式表示矩形的周长、面积和体积，并利用代数式进行相关计算和证明。
代数式在三角形中的应用
通过代数式表示三角形的边长、面积和角度，并利用代数式进行相关计算和证明 。
面积恒等式在几何图形中的应用实例
面积恒等式在平行四边形中的应用
以简化面积恒等式的形式，使其更易于理解和计算。
代பைடு நூலகம்式证明面积恒等式
03
在证明面积恒等式时，可以利用代数式的变形和推导，逐步推
导出面积恒等式的正确性。
面积恒等式在代数式中的应用
面积恒等式证明代数式相等
利用面积恒等式，可以证明两个代数式相等，从而解决代数问题 。
面积恒等式求解代数式
在求解代数式的问题中，可以利用面积恒等式来寻找代数式的解或 解的规律。
第一讲：代数式与恒等变形
第 1 章代数式与恒等变形四个公式知识连接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们拥有近似实数的属性，能够进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式( a b)(a b) a2b2；完整平方公式(a b)2 a 22ab b2，而且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着宽泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会碰到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1多项式的平方公式：(a b c)2 a 2b2c22ab2bc 2ac2立方和公式： ( a b)(a 2ab b2 )a3b33立方差公式： ( a b)(a2ab b2 )a3b34完整立方公式： (a b)3a33a2b3ab2b3注意：（ 1）公式中的字母能够是数，也能够是单项式或多项式；（2）要充足认识公式自己的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提升运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应该从发现，总结出公式的思想过程中学习探究，归纳，抽象的科学方法；（4）因为公式的范围在不停扩大，本章及初中所学的只是是此中最基本，最常用的几个公式。
一计算和化简例 1 计算：(a b) 2 ( a b)(a 2ab b2 )变式训练：化简( x y)( x y)( x2y2xy)( x2y2xy) y6二利用乘法公式求值；例 2 已知x23x 10 ，求x31的值。
x3变式训练：已知 a b c 3 且 ab bc ac 2 ，求 a2b2 c 2的值。
三利用乘法公式证明例 3 已知a b c 0, a3b3c30 求证：a2009b2009c20090变式训练：已知14(a2b2c2 ) (a 2b 3c)2，求证： a : b : c1: 2 : 3习题精练1 化简：(a b)(a2ab b2 ) (a b)32 化简( a 1)( a2 a 1)(a 1)( a2 a 1)(a61)( a12 1)3 已知x y 10 且 x3y3100 ，求代数式x2y2的值；4 已知a1x 20,b1x 19,c1x 21 ，求代数式 a2b2c2ab bc ac 的202020值；5 已知( x y z)23(x2y2z2 ) ，求证： x y z6 已知a4b4c4 d 44abcd 且 a, b, c, d 均为正数，求证：以 a, b, c, d 为边的四边形为菱形。
中考数学专题02 代数式【考点精讲】(解析版)
考点1：代数式的概念与求值1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2．代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。
求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。
【例1】（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A ．8nm （元） B ．8nm（元） C ．8mn（元） D ．8mn（元） 【答案】A【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可； 【详解】∵m 千克的售价为n 元， ∴1千克商品售价为n m， ∴8千克商品的售价为8nm（元）； 故选A ．【例2】（2021·内蒙古中考真题）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3-【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解． 【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=+-+=．故选：C【例3】（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．专题02 代数式【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知： 第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+， 第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +．有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.1．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）A ．先打九五折，再打九五折B ．先提价50%，再打六折C ．先提价30%，再降价30%D ．先提价25%，再降价25%【答案】B【分析】设原件为x 元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】设原件为x 元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x ×0.95=0.9025x 元， ∵先提价50%，再打六折，∴调价后的价格为1.5x ×0.6=0.90x 元， ∵先提价30%，再降价30%， ∴调价后的价格为1.3x ×0.7=0.91x 元， ∵先提价25%，再降价25%，∴调价后的价格为1.25x ×0.75=0.9375x 元， ∵0.90x ＜0.9025x ＜0.91x ＜0.9375x 故选B2．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x 的值为3，则输出y 值为___________．【答案】2【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解． 【详解】 解：∵x =3＜4∴把x =3代入1(4)y x x =-≤， 解得：312y =-=， ∴y 值为2， 故答案为：2．3．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ．考点2：整式相关概念1．单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.2．多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.3．整式：单项式与多项式统称整式.4．同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.【例4】（2021·青海中考真题）已知单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，则m n +=______． 【答案】3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m ，n 的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项， ∴2m =4，n +2=-2m +7， 解得：m =2，n =1， 则m +n =2+1=3．故答案是：3．【例5】（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，……，第n 个单项式是（ ） A ．21n n a + B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．()21n n a +【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n 个单项式，本题得以解决． 【详解】解：∵一列单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，...， ∴第n 个单项式为21n n a +， 故选：A ．【例6】已知（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，求m 2﹣2m +2＝ ． 【答案】17【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式， ∴3+|m |+1＝7且m ﹣3≠0， 解得：m ＝﹣3，∴m 2﹣2m +2＝9+6+2＝17． 故答案为：17．1．①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的 次数2．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数1．（2021·上海中考真题）下列单项式中，23ab 的同类项是（ ） A ．32a b B ．232a bC ．2a bD ．3ab【答案】B【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项 【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致， ∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意； 故选B2．关于多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2，下列说法正确的是（ ） A ．三次项系数为3B ．常数项是﹣2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，﹣2D ．这个多项式是四次四项式【答案】B【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；B 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的项为5x 4y ，﹣3x 2y ，4xy ，﹣2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意； 故选：B ．3．若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为 ． 【答案】0【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m 、n 的值，然后求解即可． 【解答】解：根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9， 解得：m ＝﹣1，n ＝1， 则m +n ＝﹣1+1＝0． 故答案为：0．考点3：整式的运算 1．幂的运算性质：（1）同底数幂相乘底数不变，指数相加. 即：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 都是整数). （2）幂的乘方底数不变，指数相乘. 即：(a m )n ＝a mn (m ，n 都是整数).（3）积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：(ab )n ＝a n b n (n 为整数).（4）同底数幂相除底数不变，指数相减. 即：a m ÷a n ＝a m -n (a ≠0，m,n 都为整数). （5）a 0=1(a ≠0), a -n =a1(a ≠0). 2．整式的运算：（1）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项.（2）整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘；单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m (a +b +c )=ma +mb +mc ；多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m +n )(a +b )=ma +mb +na +nb .（3）整式的除法：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加. 3．乘法公式：（1）平方差公式:(a ＋b )(a -b )＝a 2-b 2. （2）完全平方公式:(a ±b )2＝a 2±2ab +b 2.（3）常用恒等变换:a 2＋b 2＝(a ＋b )2-2ab=(a -b )2＋2ab ；(a -b )2＝(a ＋b )2-4ab.【例7】（2021·河南中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22()a a -=-B ．2222a a -=C ．23a a a ⋅=D ．22(1)1a a -=-【答案】C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案． 【详解】解：A 、22()a a -=，原计算错误，不符合题意； B 、2222a a a -=，原计算错误，不符合题意； C 、23a a a ⋅=，正确，符合题意；D 、22(1)21a a a -=-+，原计算错误，不符合题意； 故选：C ．【例8】（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．()2211a a -=- C ．632a a a ÷=D ．326(2)4a a =【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案． 【详解】解：A ：()221a a a a -=-=，故 A 错误； B ：()22121a a a -=-+，故 B 错误； C ：63633a a a a -÷==，故C 错误； D ：()()2232332622·44a a a a ⨯===．故选：D【例9】（2021·江苏连云港市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．325a b ab +=B ．22523a b -=C ．277a a a +=D ．()22112x x x -+-=【答案】D【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案． 【详解】解：A ，3a 与2b 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B ，25a 与22b 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意； C ，合并同类项后2787a a a a +=≠，故选项错误，不符合题意；D ，完全平方公式：()22211221x x x x x =-++-=-，故选项正确，符合题意； 故选：D ．1．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算：()24a a -⋅的结果是（ ） A ．8a B ．6aC ．8a -D ．6a -【答案】B【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：原式24246a a a a +=⋅==． 故选B ．2．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ） A ．23a a a += B ．()32622a a =C ．623a a a ÷=D ．325a a a ⋅=【答案】D【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：a 与2a 不是同类项，不能相加，故选项A 错误； 选项B ：()32628aa =，故选项B 错误；选项C ：62624a a a a -÷==，故选项C 错误； 选项D ：33522a a a a +⋅==，故选项D 正确； 故选：D ．3．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】A 、，正确，故该选项符合题意；B 、,错误，故该选项不合题意；C 、，错误，故该选项不合题意；D 、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意； 故选：A ．考点4：整式化简求值【例10】（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得． 【详解】解：原式，，将代入得：原式．1．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．4=±()2234636m n m n =24833a a a ⋅=33xy x y -=4=±()2234639m n m n =24633a a a ⋅=3xy 3x ()()212(2)x x x +++-1x =1x =22214x x x =+++-25x =+1x =2157=⨯+=2(21)(21)(23)x x x +---1x =-【详解】解：原式= = =，当x =-1时，原式==-22．2．（2020•凉山州）化简求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x +2）2+4（x +3），其中x =2． 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x 的值代入计算可得答案． 【详解】原式＝4x 2﹣9﹣（x 2+4x +4）+4x +12 ＝4x 2﹣9﹣x 2﹣4x ﹣4+4x +12 ＝3x 2﹣1， 当x =2时， 原式＝3×（2）2﹣1 ＝3×2﹣1 ＝6﹣1 ＝5． 考点5：因式分解因式分解的步骤：(概括为“一提，二套，三检查”) （1）先运用提公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ).（2）再套公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )，a 2±2ab +b 2=(a ±b )2(乘法公式的逆运算).（3）最后检查：分解因式是否彻底，要求必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.【例11】（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x - B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A 【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可 【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ．【例12】（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（ ）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+2241(4129)x x x ---+22414129x x x --+-1210x -()12110⨯--C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【例13】（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ． 【答案】49【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】∵a ＝7﹣3b ， ∴a +3b ＝7， ∴a 2+6ab +9b 2 ＝（a +3b ）2 ＝72 ＝49， 故答案为：49．本考点是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。
【优质】初中数学奥赛专题复习 知识梳理 例题精讲 第十一讲 代数式的恒等变形(拔高篇,适合八年级使用)
代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。
2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。
恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。
3、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数式；（3）证明：0=-右边左边，或1=右边左边，此时0≠右边。
4、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】【例1】已知1=abc ，求证：1111=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知z y x 、、为三个不相等的实数，且xz y y x 1z 11+=+=+，求证：1222=z y x 。
【拓展】若0≠++z y x ，y x zc z x yb z y xa +=+=+=，，，求证：1111=+++++c cb ba a 。
【例2】证明：a a z a y a x a az za ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-。
思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。
【巩固】1、求证⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ab ab b b a a ab ab b b a a 1114111222。
2、求证：()()()()()()d c b a a d c b d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++=+++++++++++。
【拓展】求证：()()()()()()11011921110111100209644122222+-+++-++-=-++-+-+-x x x x x x x x x x【例3】已知a c a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
2024河南中考数学一轮知识点复习专题 代数式与整式 课件
考点1 代数式及其求值
用运算符号连接数和字母组成的式子叫做代数式，单独一个数或
代数式
一个字母也是代数式.
列代数 把问题中的数量关系用代数式表示出来，就是列代数式.如：某件
式
.
上衣的原价是 元，降价 20% 后的售价为①______元.
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.如 2 ⋅
32 = 2 × 3 ⋅ 2 ⋅ = 63 .
（2）单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
+ +
即 + + = ⑮_______________.
（3）多项式乘多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，
考点6 因式分解
积
1.定义：把一个多项式化为几个整式的⑲____的形式，这种变形叫做把这个
多项式因式分解.
2.因式分解的基本方法
++
（1）提公因式法： + + = ⑳_____________.
最大公约数
系数:取各项整数系数的㉑____________
公因式的确定 字母:取各项相同的字母
5 ÷ 2 =
3
= ⑫_____（
， 为正整数）
2
3
= 6
= ⑬_______（
为正整数）
23 2 =
46
考点5 整式的运算
合并同类项
1.整式的加减运算：先去括号，再 ⑭____________.
2.整式的乘法运算
（1）单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，对于
代数恒等变形
代数恒等变形代数恒等变形是数学中重要的一部分，一般来讲，代数恒等变形是将一个复杂的代数式子转化为较为简单或者更容易计算的形式的过程。
在初中、高中甚至大学的数学学习中，我们都会学习到代数恒等变形的相关知识。
在这篇文章中，我将详细介绍代数恒等变形的相关知识，包括代数恒等的定义、代数恒等变形的基本原则、代数恒等变形的应用等。
一、代数恒等的定义代数恒等是指在代数式中，等号两边始终相等的情况，常写作A=B。
这里的A和B可以是任意的含有变量的代数式。
代数恒等一般采用已知的代数恒等或者基本公式变化来推导到简便的等式。
代数恒等在代数运算中起到重要的作用，因为它们为计算提供了便利，可以用更简单的表达形式来表示原来复杂的运算过程。
例如，三角形的勾股定理可以写成a^{2}=b^{2}+c^{2}，这就是代数恒等的一种形式。
在证明这个恒等时，我们可以使用代数运算规律和几何定理，从而将勾股定理转化为更加简单的代数式。
二、代数恒等变形的基本原则在代数恒等变形中，我们需要遵守一些基本原则，这些原则是代数恒等变形的基础。
下面是代数恒等变形的三条基本原则：1.等式两边加上相同的数或者代数式，等式仍然成立。
2.等式两边同时减去相同的数或者代数式，等式仍然成立。
3.等式两边同时乘以相同的数或者代数式，等式仍然成立。
除了这三条基本原则之外，还有一些其他的原则也需要遵守。
比如，等式两边同时开n次方时，需要保证等式两边都是非负数，等式两边同时取对数时，需要保证等式两边都是正数。
这些原则在代数恒等变形中非常重要，需要我们加以注意。
三、代数恒等变形的应用代数恒等变形在数学中有着广泛的应用，下面列举了一些常见的代数恒等变形应用：1.利用代数恒等变形来简化复杂的代数式，从而达到便于计算的目的。
2.在解经典问题时，通过使用已知的代数恒等或者基本公式，将问题转换为容易求解的一个或者多个代数式。
3.在证明定理和公式时，通过使用代数恒等变形来推导出想要的证明结果。
【初中数学课件】代数式与面积恒等式ppt课件
ab b2 bc ac bc c2
(3 )(a 2 b )2 _ _ a_ 2_ _ 4_ a_ b_ _ 4_ b_ 2_ _ _
探索3：
你能通过拼图得出等式右边的代数式吗？
( 1 ) a 2 6 a b 9 b 2 _ _ (_ a_ _ _ 3_ _ b_ )_ 2_ _ _
( 2 ) 2 a 2 7 a b 3 b 2 (_ a_ _ _ 3_ b_ )_ (_ 2_ a_ _ b) ( 3 ) 2 a 2 3 a b 2 b 2 (_ a_ _ _ 2_ b_ )_ (_ 2_ a_ _ b _ )
（4）( m n ) ( a b ) m a m b n a n b（5）(ab)2a22abb2
（1）
（3）
（4）
（5）
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
（2）
请同学们用手上的正方形和矩 形拼成一个新的矩形，并考虑根据 你的拼图，可以得到一个什么代数 恒等式？？
因式分解
若根据二次多项式所构造的几 个矩形能组合成新矩形，则该
二次多项式可因式分解。
小结：
（1）代数恒等式： 无论字母取什么值，左边恒
等于右边的式子 。 （2）可通过构造图形来验证整式的乘法。
（3）可通过构造图形对二次多项式进行 因式分解。
你能通过构造图形得出下面这个等式 的右边吗？
（a+b+c)2 = _a_2_+_b_2+__c2_+_2_a_b_+_2_a_c_+_2_b_c__
175569632ababab若根据二次多项式所构造的几个矩形能组合成新矩形则该二次多项式可因式分解
2代数式恒等变形
代数式的恒等变形代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它波及的基础知识许多，主要有整式、分式与根式的基本观点及运算法例，因式分解的知识与技术技巧等等，所以代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．两个代数式，假如关于字母在同意范围内的全部取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是经过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有一致的方法，需要依据详细问题，采纳不一样的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般能够把恒等式的证明分为两类：一类是无附带条件的恒等式证明；另一类是有附带条件的恒等式的证明．关于后者，同学们要擅长利用附带条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐渐归并等方法。
下边联合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．一．设参数法假如代数式字母许多，式子较繁，为了使求值简易，有时可增设一些参数(也叫协助未知数)，以便交流数目关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数 k，用它表示连比的比值，以便把它们切割成几个等式．例1．已知xy zab bc ca，求x+y+z的值。
例2．已知ab bc ca，a,b,c互不相等，a b2b c3c a求证：8a+9b+5c=0．二．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(马上等式两边同时转变为同一形式)．例3．已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．例4．求证：a 2bcb 2cac 2ababca b cab bccaa 2b 2c 2例5．已知222，＞，＞，＞，且111 1 。
2019届中考数学专题复习课件：第二部分 专题突破5 代数式变形(共16张PPT)
第二部分
题型五
代数式变形 基础知识过关 重点题型讲解 随堂经典练习
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B.练习 1.已知二元一次方程:(1)y=4-x;(2)2x-y=2;(3)x-2y=1; 请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程,组成一个方程组,并求 出这方程组的解; 解:不唯一 2.已知实数a,b满足a+b=2,a-b=5,则(a2+2ab+b2)•(a2-2ab+b2)的值是 100 . 3.已知(x2+1)-x=5,求-2x2+2x= -8 .
,解出 x1=2,x2=-3
解:令 t=x2-2x,则 t- =-1,
������
12
解得t1=3,t2=-4,回代,x1=3,x2=-1
第二部分
题型五
代数式变形 基础知识过关 重点题型讲解 随堂经典练习
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【例4】 阅读下面的材料: 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”
【例】将分式������ 2 -1 表示成部分分式.
=
������ 2 +������ 2 +2������������
2 2 , 将已知变形为 a +b =6ab ������ 2 +������ 2 -2������������
整体代入,约分开方. 答案: 2 【练习1】已知a,b是关于x的一元二次方程x2+nx-1=0的两实数
根,则式子������ + ������ 的值是 (
(
������ +������ 2 ������ -������
设a>b>0,a2+b2-6ab=0,求
������ + ������ ������-������ 的值.
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m
n
m
n
15、若a(a-2)-(a2-2b)=-4，则 a2 b2 ab 2 2
16、当x=-2时，化简求值： (2x 1)2 (3x 1)(3x 1) 5x(x 1)
化简得原式=2-9x 代值计算得20 17、有一个两位数，其十位数字是x，个位 数字是y，交换这个两位数的十位数字和个 位数字，则得到的新数与原数的差是 。
这个常数是 2 .根据此规律，如果an(n为正整 数)表示这个数列的第n项，那么a18= 218， an= 2n ；
(2)如果欲求1+3+32+33+...+320的值，可令
S=1+3+32+33+...+320①.再将①式两边同乘
以3，得 3S=3+32+33+34+...+321②.
由②式减去①式，得S= 321 1； 2
中考真题 1.代数式14a3b2 7a2b 28a3b3的公因式是( C )
am an bm bn (am an) (bm bn)
a(m n) b(m n)
(a b)(m n)
【拓展问题】 2、试归纳：能进行因式分解的二项式和 三项式一般可用哪些方法？
解：一般情况下，能进行因式分解的二项 式用提公因式法或平方差公式； 三项式的方法就更多了，首选提公因式法， 其次就看是否满足完全平方公式，上述两 种方法都不行才看是否可用十字相乘法或 分组分解法.
一个关于a、b的恒等式 a2-b2=(a+b)(a-b) .
ab
ab
13、计算化简：
(1) 1 xy2 (4x3 y) 2x4 y3 2
(2)[( x y)2 (x2 y2 )] (x y) 2y
(3)(a 2)2 2a(a 2) a2 4
(4)(3xy)2 ( y2 x2 ) (4x2 y)2 8y2 9x2 y4
★三、代数式的值：
1、代数式中的字母所能取的数值(即使代数式 有意义的数值)，叫字母的取值范围. (1)整式中的字母可取任意实数； (2)分式的分母中出现的字母不能使分母为0； (3)二次根式的被开方数中出现的字母使被开 方数为非负数. 《注意：在实际问题中的代数式，字母的取 值还必须考虑符合实际情况》
9x4 y2 2x4
14、有一个边长为(m+n)的正方形，小 颖将其中的阴影部分拼成一个新的四边 形，则此过程能验证下列等式中的( B )
A（. m n）2 (m n)2 4mn
B.（m n）2 (m2 n2 ) 2mn
C.（m n）2 2mn m2 n2 D. (m n)(m n) m2 n2
7、如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边 长为b的小正方形(a＞b)，把余下部分拼成一 个矩形，通过计算两个图形(阴影部分)的面
积，验证一个等式.则该等式为( D ).
A. (a b)2 a2 2ab b2
B. (a 2b) (a b) a2 ab 2b2 C. (a b)2 a2 2ab b2
为 0.5 。
2 3 1 a
3 1 b 4 2
3
3a a b
(4 a b) (a 2) 3 0 a 2，b 2
★四、整式的分类及运算：
系数
整式
单项式 多项式
次数
运算
升(降)幂 排列
加减法 同底数幂相乘 同底数幂相除
积的乘方 幂的乘方 单÷单
单项式×单项式
多÷单
单×多 多×多 乘法公式
学而不疑则怠，疑而不探则空
中考总复习
(二)代数式恒等变形
★一、代数式的定义及书写：
1、定义：用有限次运算符号(加、减、乘、除、 乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的 式子叫代数式。
(单独的一个数或字母也是代数式). 2、书写：①字母与字母相乘、数字与字母 相乘时“×”的省略.如下表所列
错 x×y r2π (m+n)×4 (m+n)×(m+n) 4﹒2.5
(2)若各项没有公因式或对于提取公因式 后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如: 9a2 b2 (3a+b)(3a-b) .
a2n 2abn b2n -n(a2+2ab+b2) -n(a+b)2 .
(3)如果用上述方法不能分解，那么可以 尝试用其他方法:
*十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)
B=53x-9-7(53x-9)=-6(53x-9)
则A-2B=-6(53x-9)-2[-6(53x-9)]
= 6(53x-9)
将x 1 代入上式，得 6[53×( 1)-9]=-107
6
6
19、探索研究：
(1)观察一列数2，4，8，16，32，...，发现从
第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，
5、已知x2-2mx+1是完全平方式，则m的 值为( C ) A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0
6、下面有四个等式，其中正确的共有 ( B )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ①[(a+b)2]4=(a+b)6 ②(ax2+by3)(-ax2+by3)=b2y6-a2x4 ③(3a6x3-9ax5)÷3ax3=a5-3x2 ④(-8a4b5c÷4ab5)(-3a3b2)=-6a6b2c
如，分解:x4-4. 若在有理数范围内，则x4-4=(x2+2)(x2-2)
若在实数范围内，还可继续分解： x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+ 2 )(x- 2 ) 【在高中时还可进一步分解】
【拓展问题】 1、根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”， 你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？
x2 2xy y2 z2 (x y z)( x y z)
【拓展问题】 1、根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”， 你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？
(1).(2x 3)(x 1) (2).(x y z)(x y z)
(3).a bm n
(3) a bm n am an bm bn
2
,
s
,
,
m
x2 y,
,a2 n
3m, x
2ab b
2
式
x t r mn
无理式 3 2 y , a , x2 1, 1
m
【思考】
无理式就是二次根式吗？ 所有的二次根式都是无理式吗？
解：无理式是被开方数含未知字母 的根式.并非所有的二次根式 都是无理式.
如， 3 是二次根式但不是无理式.
3 a 是无理式但不是二次根式.
A. 相等 B. 互为相反数
C. 互为倒数 D. 乘积等于1
4、下列各式中，相等关系一定成立的是( B )
A. 6(x 2) x(2 x) (x 2)(x 6)
B. (x y)2 ( y x)2 C. (x 6) (x 6) x2 6 D. (x y)2 x2 y2
使用. 如，5x千米/时，a2克，(a+b)厘米,
m n 元，( 3)， ( 3)cm， 1（ 3 m）厘米
a
5
4
2
⑤相同字母的积，如 a a a，一般写作a3.
中考真题
1、下列各式中，哪些是代数式？
m n， a(m n), px3 qx 1, a b b a, a
a3 , 3 2, , y x2 2.
如: x2 2x 3 (x 3)( x 1)
*分组分解法(适用于超过三项的多项式， 有分组后再提公因式和分组后再用公式 两种情况)： 如: x2 y2 2x 1 (x2 2x 1) y2
(x 1)2 y2
(x 1 y)(x 1 y)
(4)因式分解必须分解到每一个因式不能 再分解为止。 《因式分解要在指定的范围内进行.》
1、把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做因式分解。 《因式分解和整式乘法是互逆变形. 如，(m+n)(m-n)=m2-n2是整式乘法，
m2-n2=(m+n)(m-n)是因式分解》
2、因式分解的方法、步骤和要求： (1)若多项式的各项有公因式，则先
提公因式.
如: am bm cm m ( a+b-c )
对 xy或x﹒y πr2 4(m+n) (m+n)(m+n) 4×2.5
②有除法运算时，一般按照分数形式来写.
如，s÷t一般写作
s t
；
3ab÷5一般写作
3ab 5
.
③带分数与字母相乘，省略乘号，并把带分
数化成假分数. 如，a2b× 2 1 一般写作 7 a2b.
3
3
④实际问题 注意图形面积与代数恒等式的相互转换》
【思考】
1、单项式乘以多项式、多项式乘以 多项式的结果一定是多项式吗？
多项式的因式分解与多项式的乘 法运算之间是什么关系？
2、对式子a0,a-m(m为正整数)中的 底数a的取值有什么规定？为什么？
中考真题
1、下列各组式子中是同类项的是( B )
10、多项式x2-4xy+4y2是二 次 三项式.
当x=-0.5，y=-1时，该式的值为 2.25 .
11、若2xn+(m-1)x+1为三次二项式，
则m2-n2的值是 -8 .
12、从边长为a的大正方形纸板中挖去一个 边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个 相同的等腰梯形，然后拼成一个平行四边形. 根据两个图形阴影部分面积的关系，写出
D. a2 b2 (a b)(a b)
bb a
a-b
a
ab
9题如果考虑所有可能呢？一共有多少种情况？
8、不论a为何值，代数式-a2+4a-5( D )