离散数学第十三十四章半群与群环与域.

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离散数学群与半群

1 2 显然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成元。
2 给定群<G，⊙>，若G是有限集，则称<G，⊙>是有限群。
1
<T，○，e >是独异点，则<S×T，，<e ，假若群<G，⊙>为有限群，其子群是<H，⊙>，且|G|=n，|H|=m，则G的对于H的左陪集划分可表为G=a1H∪a2H∪···∪akH，其中k为不
为置换中的反置换，记为p-1。特别把置换
பைடு நூலகம்
x1 x1
x2 x2
xxnn称为 X 中的幺置换或
恒等置换，记为pe。
此外，用PX表示集合X中的所有置换的集合。
为了说明n个元素的集合可以有多少不同的置换，特给出如下定理：
定理 7.5.1 若 X={x1 ， x2 ， … ， xn} ，则 |PX|=n!
在正式讨论置换群以前，需要先作些必要的准备。
定义7.5.1 令X是非空有穷集合，从X到X的双射，称为集合X中的置换，并称|X|为置换的阶。
若X={x1，x2，…，xn}，则n阶置换表为
pp(xx11)
x2 p(x2)
xn p(xn)
并称
p(x1)
x1
p(x2) x2
p(xn)
xn
定义7.2.1 给定两个半群<S，⊙>与<T， ○>，则
半群<S，⊙>半群<T， ○>:=(f)(f∈TS∧(x)( y)(x， y∈S→f(x⊙y)=f(x) f(y))
并称f为从<S，⊙>到<T，○>的半群同态映射。
由定义可以知道，半群同态映射f可以不是唯一的。

代数,半群,群,环,域的定义

代数,半群,群,环,域的定义代数是一门研究数学结构和运算规则的学科。

它研究的对象可以是数字、符号、函数、向量等，通过定义运算规则和结构特征，来研究其性质和相互关系。

在代数中，有一些基本的数学结构，包括半群、群、环和域。

半群是代数中最基本的结构之一。

它由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算满足结合律。

换句话说，对于半群中的任意三个元素a、b和c，(a·b)·c = a·(b·c)。

例如，自然数集合N（包括0）和加法运算构成了一个半群。

因为对于任意三个自然数a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)。

群是半群的扩展，它在满足结合律的基础上，还满足单位元和逆元的存在。

单位元是群中的一个特殊元素，对于群中的任意元素a，有a·e = e·a = a，其中e 是单位元。

逆元是指对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a·b = b·a = e。

例如，整数集合Z（包括0）和加法运算构成了一个群。

因为对于任意整数a，存在一个整数-b，使得a+(-b) = (-b)+a = 0。

环是一个更加复杂的数学结构，它由一个集合和两个二元运算组成，分别是加法和乘法。

环中的加法满足结合律、交换律和存在零元素的特点。

乘法满足结合律和分配律。

例如，整数集合Z（包括0）和加法、乘法运算构成了一个环。

域是环的进一步扩展，它在满足环的基础上，还满足乘法的逆元存在。

换句话说，对于域中的任意非零元素a，存在一个元素b，使得a·b = b·a = 1。

例如，有理数集合Q（包括0）和加法、乘法运算构成了一个域。

以上是对代数、半群、群、环和域的简要定义。

这些数学结构在代数中扮演着重要的角色，它们的性质和相互关系被广泛应用于数学和其他领域的研究中。

离散数学-群

同理可证，e ◦ a = a。所以 e = g-1 是 G 中关于 ◦ 的单位元。对任意的 a G，令 b = g-1 a-1 g-1，有
a ◦ b = a g (g-1 a-1 g-1) = g-1。同理可证，b ◦ a = g-1。所以 G 的每个元素都有逆元。综上所述，< G; ◦ > 是群。
注：
因为半群 < S; > 中是可结合的，所以可以定义元素的幂。
对任意 a S，定义
a1 = a，an + 1 = an a (n = 1, 2, …)，
并且对于任意正整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
3
定理5-1 设 < S; > 是一个有限的半群，则必有 a S，使得 a 是一个幂等元，即 a a = a 。
第二部分抽象代数
0
第五章群
本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重讨论具有一个二元运算的代数系统，常称为二元代数，包括半群、独异点和群。半群和独异点在自动机理论、形式语言及程序设计的数学基础中占有重要的地位，而群是抽象代数中最古老且发展得最完善的代数系统，在计算机科学中，对于代码的查错和纠错、自动机理论等各个方面的应用的研究，群是其基础。
代数系统中唯一的单位元常记为 e。 5
在独异点 < S; > 中，也可定义元素的幂：
对任意 a S，有
a0 = e，an + 1 = an a (n = 0, 1, 2, …)，
并且对于任意非负整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
设 < S; > 为独异点，则关于运算的运算表中没有两行或两列是相同的。

【离散数学】知识点及典型例题整理

【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。

【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。

【Abel群/交换群】·适合交换律。

可能不只有两个元素适合x2=1【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。

【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。

单位子群{1}和G称为平凡子群。

【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。

a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。

若G的元数是一个质数，则G必是循环群。

n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。

共有ϕ（n）个。

【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）}【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。

H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。

任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。

求右陪集：H本身是一个；任取a∉H而求aH又得到一个；任取b∉H∪aH而求bH又一个。

G=H∪aH∪bH∪…【正规子群】G中任意g，gH=Hg。

（H=gHg-1对任意g∈G都成立）Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。

1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。

2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。

3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。

证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。

故Ha=aH。

4G的任意多个子群的交集是G的子群。

并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。

5 H是G的子群。

离散数学半群与含幺半群(独异点)

例： < R, • >是半群，<{2,4}, •}是否是半群？ < (0,1), •>是否是半群？
∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
3
定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b，则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
1
定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |；若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a，定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
7
作业
• P190 （5）
8

西北工业大学《离散数学》课件-第14章

{a} {a}{b} {b{}a,b{}a,b} x x ∼x ∼x {a} {a}{b} {b}{a,b{}a,b} {a,b{}a,b} {a} {a} {a} {a} {a.b{}a.b{}b} {b} {a} {a} {a} {a} {b} {b} {b} {b{}a,b{}a,b} {a} {a} {b} {b} {b} {b} {a,b{}a,b}{a,b{}a,{bb}} {b}{a} {a} {a,b{}a,b}
的逆元
12
实例
集合运算
Z,Q,R 普通加法+ 普通乘法
单位元
0 1
零元无 0
Mn(R) P(B)
矩阵加法+ 矩阵乘法
并交对称差
n阶全0矩阵 n阶单位矩阵
B
无 n阶全0
矩阵
B 无
逆元
x逆元x x逆元x1 (x1给定集合)
X逆元X X的逆元X1 （X可逆）
的逆元为 B的逆元为B X的逆元为X
交与对称差对可分配无
10
特异元素：单位元、零元
定义14.7-9 设◦为S上的二元运算, (1) 如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有
el◦x = x (或 x◦er = x)，则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
2
14.1 代数系统的基本概念
定义14.1 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算，简称为二元运算．函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简称一元运算. S 中任何元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S 中任何元素的运算结果都属于 S，即 S 对该运算封闭．

离散数学-近世代数-代数结构

添加标题
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)，若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元。注意：单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解：作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
b
c
d
a
b
b
b
d
b
a
a
d
b
c
c
b
c
a
d
a
a
c
d
*
1
2
3
4
1
4
1
2
4
2
4
2
3
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1
4
3
3
4
1
2
1
1
设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)，其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理一个代数系统，其零元若存在，则唯一。定理一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e，即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。

群、环、域的基本概念与性质

群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核，记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规子群。
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域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关，是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解性等问题。
THANKS
子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则称$I$是环$R$的理想。

半群与群的基本概念

第一节半群与群的基本概念定义1.1 设代数系统<S,*>，其中*为二元运算。

如果*是可结合的,则称<S,*>为一个半群（semigroup ），如果半群的二元运算有单位元，则称此半群为独异点（含幺半群）。

如果独异点的每个元素都是可逆的，则称它为群(group)。

根据定义，代数系统<G ,*>为成一个群当且仅当二元运算*满足下述条件： (1)适合结合律(*)**(*),,,a b c a b c a b c G =∀∈。

(2)有单位元e G ∈∀∈==，**a G a e e a a 。

(3)a G ∀∈,有逆元1a G −∈，使得11**a a a a e −−==群<G ,*>可简记作G ，a*b 可略去*，简记作ab 。

如果半群，独异点和群中的运算是可交换的，则分别称作为交换半群，交换独异点和交换群。

交换群又称作阿贝尔（Abel ）群。

如果群中的运算不是可交换的，则称它为非交换群。

习惯上，常将群中的二元运算叫作乘法，记做。

定义1.2 若群G 所含元素个数有限，则称G 是有限群,否则称G 是无限群。

群G 中元素个数称作群的阶。

当G 是有限群时，用|G|表示它的阶。

例1.1，,Z +<+>是半群，但不是独异点，因为它没有单位元，,N <+>是独异点，但不是群,因为除0外其它元素无逆元。

而,Z +是一个群，并且是一个交换群，叫作整数加法群。

例1.2模n剩余类加法群<⊕>,n Z 是阿贝尔群,这里{[0],[1],,[1]}n Z n =−L ,[][][()mod ]x y x y n ⊕=+, [0]是它的单位元，对于每个x=0,1,2,…,n-1，[x]的逆元是[-x]=[n-x]。

例1.3 (),n M R <•>是独异点，这里•是矩阵乘法，n 阶单位矩阵是单位元，但它不是可交换的,而且不是每一个矩阵都是可逆的。

6.2-群的定义(离散数学)

理解群的定义
例.群中消去律一定成立。群中消去律一定成立。证明：是群，证明：设(G, *)是群，其单位元是，是群其单位元是1，对于G中任意三个元素中任意三个元素a，，，对于中任意三个元素，b，c，（1）若 a * b = a * c，则）， a-1 * (a * b) = a-1 *( a * c)，即， (a-1 * a) * b =(a-1 * a) * c，亦即， 1 * b =1 * c，，故b = c。。（2）同理可证：若 b * a = c * a，则b = c ）同理可证：，
6.2.2 群 -- 群的定义
如果满足下面条件：设（G，）为半群，如果满足下面条件：，） (1) 有壹（单位元）：G中有一个元素，适合有壹（单位元）中有一个元素1，中有一个元素对于G中任意元素都有1a 中任意元素a，对于中任意元素，都有 = a1 = a; (2) 有逆：对于G中任意，都可找到G中一个对于中任意a，都可找到中一个中任意元素a 满足aa 元素 -1，满足 -1 = a-1a = 1，，则称（G，）为群。则称（，）为群。如果群G包含的元素个数有限，则称为如果群包含的元素个数有限，则称G为有包含的元素个数有限限群，否则称G为无限群。否则称为
6.2.2 群 -- 群的例
为自然数集，设N为自然数集，规定上的运算“⊙”如为自然数集规定N 上的运算“ 下：a ⊙ b = a + b + ab。。已证：为半群。已证：（N， ⊙）为半群。，不是群。但（N， ⊙）不是群。，反证：若不然，是群，反证：若不然，（N， ⊙）是群，则一定有，单位元素，设为e 则对N中任意元素a 单位元素，设为e，则对N中任意元素a，都有 e ⊙ a = a，即e + a + ea = a， a 因此，e=0 矛盾。因此，因此， e=0 ，但 0N ，矛盾。因此，（ N， ⊙ ），无单位元素，故不是群。无单位元素，故不是群。

群,环,域的基本定义

群,环,域的基本定义群、环、域是数学中的重要概念，它们在代数学、几何学等领域有着广泛的应用。

本文将对群、环、域的基本定义进行详细介绍。

一、群的基本定义群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。

设G是一个集合，*是一个在G上定义的二元运算，如果满足以下条件，则称(G, *)为一个群：1. 封闭性：对于任意的a、b∈G，a * b也属于G；2. 结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a * b) * c = a * (b * c)；3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有 a * e = e * a = a；4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得 a * b = b * a = e。

群的定义中，封闭性保证了运算结果仍在集合中，结合律保证了运算的顺序不影响结果，单位元是一个特殊的元素，任何元素与单位元进行运算都不改变其值，逆元是使得运算结果为单位元的元素。

二、环的基本定义环也是一种代数结构，它由一个集合和两个二元运算组成。

设R是一个集合，+和*是在R上定义的两个二元运算，如果满足以下条件，则称(R, +, *)为一个环：1. (R, +)构成一个交换群，即满足群的四个条件；2. (R, *)满足封闭性和结合律；3. 分配律：对于任意的a、b、c∈R，有a * (b + c) = a * b + a * c和(a + b) * c = a * c + b * c。

环的定义中，交换群的条件保证了加法运算的封闭性、结合律、单位元和逆元的存在，而分配律则描述了加法和乘法之间的关系。

三、域的基本定义域是一种更为特殊的代数结构，它由一个集合和两个二元运算组成。

设F是一个集合，+和*是在F上定义的两个二元运算，如果满足以下条件，则称(F, +, *)为一个域：1. (F, +)构成一个交换群；2. (F\{0}, *)构成一个交换群；3. 分配律成立。

域的定义中，除了交换群和分配律的条件外，还对乘法引入了一条特殊的条件，即(F\{0}, *)构成一个交换群。

离散数学教学大纲精选全文

精选全文完整版可编辑修改离散数学教学大纲一、教学目标本课程的教学目标是：1．学习和掌握离散型关系结构的构成及分析方法，包括：集合论的主要内容：集合的基本概念、二元关系、函数、自然数和基数等；图论的主要内容：图的基本概念、欧拉图与哈密尔顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图的着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用等；2. 学习和掌握离散型代数结构的构成、性质和分析方法，熟悉半群、群、环、域、格、布尔代数等有着重要应用背景的代数模型；3. 学习和掌握组合配置的存在性证明和计数方法，并用于离散结构的性质分析。

4. 学习和掌握命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本概念和推理方法。

5. 能够理论联系实际，用上述离散数学的描述工具和分析方法对实践中的离散系统进行建模和分析。

6. 通过严谨证明及正确逻辑推理的训练，进一步培养学生的抽象思维、计算思维能力和专业素质。

二、教学内容1．集合（教材第一章）●引言●预备知识（命题逻辑）●预备知识（一阶谓词逻辑）●集合的概念和集合之间的关系●集合的运算●基本的集合恒等式2．二元关系（教材第二章）●有序对与卡氏积●二元关系●关系的表示和关系的性质●关系的幂运算和闭包●等价关系和划分●序关系3．函数（教材第三章）●函数的基本概念、性质、合成、反函数4．自然数（教材第四章）●自然数的定义●自然数的性质5．基数（教材第五章）●集合的等势、有穷集合与无穷集合●基数和基数的比较与运算6．图（教材第七章）●图的基本概念●通路与回路●无向图和有向图的连通性●无向图的连通度7．欧拉图与哈密顿图（教材第八章）●欧拉图●哈密顿图8．树（教材第九章）●树9．图的矩阵表示（教材第十章）●图的矩阵表示10．平面图（教材第十一章）●平面图的基本概念●欧拉公式与平面图的判断●平面图的对偶图与外平面图●平面图与哈密顿图11．图的着色（教材第十二章）●点着色和色多项式●平面图着色和边着色12．支配集、覆盖集、独立集与匹配（教材第十三章）●支配集、点覆盖集、点独立集●边覆盖数与匹配●二部图中的匹配13．带权图及其应用（教材第十四章）●中国邮递员问题和货郎问题14. 代数系统（教材第十五章）●二元运算及其性质●代数系统、子代数和积代数●代数系统的同态与同构●同余关系与商代数15. 半群与独异点（教材第十六章）●半群与独异点16 . 群（教材第十七章）●群的定义和性质、子群●循环群、变换群与置换群●群的分解、正规子群与商群、群的同态与同构17. 环与域（教材第十八章）●环与域18. 格与布尔代数（教材第十九章）●格的定义和性质、子格、格同态与直积●模格、分配格、有补格与布尔代数19. 组合存在性定理（教材第二十章）●鸽巢原理和Ramsey定理20. 基本的计数公式（教材第二十一章）●两个计数原则、排列组合●二项式定理与组合恒等式●多项式定理21. 组合计数方法（教材第二十二章）●递推方程的公式解法●递推方程的其他求解方法●生成函数的定义和性质●生成函数、指数生成函数及应用●Catalan数与Stirling数22. 组合计数定理（教材第二十三章）●包含排斥原理与对称筛公式●Burnside引理与Polya定理23. 命题逻辑（教材第二十六章）●引言●命题和联结词●命题形式和真值表●联结词的完全集●推理形式●命题演算自然推理形式系统N●命题演算形式系统P●N与P的等价性●赋值与等值演算●命题范式●可靠性、和谐性与完备性24. 一阶谓词逻辑（教材第二十七章）●一阶谓词演算的符号化●一阶语言●一阶谓词演算形式系统NL●一阶谓词演算形式系统KL●NL与KL的等价性●KL的解释与赋值●KL的可靠性与和谐性●KL的和谐公式集三、教学方式以课堂讲授为主，辅以作业和练习，并配备助教对作业进行批改。

离散数学半群和独异点、群与子群

定理设<S,*>是一个独异点，则在关于运算*的运算表中任何
两行或两列都是不相同的。证明设S中关于运算*的幺元是e。因为a,bS且a≠b，总有
e*a=a≠b=e*b 和 a*e=a≠b=b*e 所以，在*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。
定理
设<S, * >是独异点，对于任意a,b∈S,且a,b均有逆元，则 1) (a-1)-1=a 2) a * b有逆元，且(a * b)-1=b-1 * a-1
则称代数系统 <S，*>为半群。
例设集合Sk={x|x ∈I ∧ x≥k}，k≥0，那么<Sk,+>是一个
半群吗？（其中+是普通加法运算）分析因为加法运算在Sk上是封闭的，并且该运算可结合，
所以<Sk,+>是一个半群。注意若k＜0，则运算+在Sk上是不封闭的。
？代数系统<I+,－>是半群吗？<R，/>呢？
定理设<S，*>是一个半群，如果S是一个有限集，则必有
a∈S，使得a*a=a。
证明
因为<S，*>是一个半群。对于bS ，由*的封闭性可知 b*bS，记b2=b*b b2*b=b*b2S，记b3=b2*b=b*b2
……
由于S是有限集，所以必存在 j>i，使得bi=bj 令p=j－i，有bi=bp*bi，所以对q≥i，有bq=bp*bq 因为p≥1，所以总可以找到k≥1，使得kp≥i 就有bkp= bp*bkp
构成群，则称 <S，*>是<G,*>的一个子群。
定理设<G,*>是一个群， <S，*>是<G,*>的一个子群，那末， <G,*>中的幺元 e 必定也是<S,*>中的幺元。

离散数学讨论课(群环格域布尔代数)

整环：（Ｒ，+，。）为环，它有单位元素且是可换环，无零因子，
则称（Ｒ，+，。）是一个整环。
域：设环（Ｒ，+，。）满足下列条件：（1）、R至少有两个元素（2）、（R，。）有单位元素（3）、（R，。）是可换的（4）、除零元外，其余元素均存在逆元素（a∈R的逆元可记作a-1）
环论在计算机领域的应用：（１）、广义圆环论在可持续发展中
群论在计算机领域的应用：（１）、组合群论在密码学中的应用（２）、用群论的基础知识理解信号处理中
的一些基本概念（如：时域和频域信号空间的群同构关系）
（３）、椭圆曲线密码的应用等
组合群论在密码学中的应用用群论的基础知识理解信号处理中的一些基本概念(如：时域和频域信号空间的群同构关系)
椭圆曲线密码的应用
如果半群还满足交换律，则称其为可换半群。
单元半群：设有一个代数系统(S, 。)其中“。”是二元运算，它
满足结合律，并且存在单位元素，则此代数系统叫做单元半群。即对S内任意元素a，b，c有
(a。b)。c= a。(b。c) 且存在1∈S有1.a=a。1=a。如果单元半群还满足交换律，则称其为可换单元半群。
d ∈ {0, 1, 2, ⋯ , n - 1}
用户的公开密钥定义为 Q 点：
Q = dG
设要加密的明文数据为 M , 将 M 划分为一些较小的数据块 , M = [ m 1 , m 2 , ⋯ , m t ] 。式中 : 0 ≤ mi< n 。用户 A 将数据 mi 加密发送给 B , 加密过程如下：
【1】用户 A 查公钥库 PKDB, 查到用户 B 的公开密钥 QB 。
【2】用户 A 选择一个随机数 dA , 且 dA ∈ { 0,1, 2, ⋯ , n - 1} 。【3】用户 A 计算点 X 1: (x 1 , y 1)=dAG 。【4】用户 A 计算点 X 2: (x 2 , y 2) =dAQB , 如果分量 x 2 = 0, 则转【2】。【5】用户 A 计算 C = mi x 2 mod n 。【6】用户 A 发送加密数据 ( X1 , C ) 给用户 B 。解密过程：

离散数学第10章——半群与群

e a b c
e e a b c
a a e c b
b c b c c b e a a e
特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素
二、群的定义、术语、实例
定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群. (2) 只含单位元的群称为平凡群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 (Abel) 群.
方法：根据定义验证，注意运算的封闭性
2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S 是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1}
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最
小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元.
若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元. 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
(3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环. (4) 设Zn＝{0,1, ... , n－1}，和分别表示模n的加法和乘法，则<Zn,,>构成环，称为模 n的整数环.
定义10.13 设<R,+,· >是环
(1) 若环中乘法 · 适合交换律，则称R是交换环 (2) 若环中乘法 · 存在单位元，则称R是含幺环 (3) 若a,b∈R，ab=0 a=0∨b=0，则称R是无零因子环 (4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R 是整环

大学离散数学方景龙版答案-§4.2 半群与群

20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：§4.2 半群与群习题4.21. 设G 是所有形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。

试问>*<，G 是半群吗？是有么半群吗？这里1211a a 、是实数。

解任取G 中的2个元素 =A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a 、=B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b 、 ∵ =*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a G ∈ ∴ >*<，G 是一个代数系统。

且因为矩阵的乘法满足结合律，所以>*<，G 是半群。

又因为，只要11a ＝1，则=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a *⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛001211b b B =对任何的G B ∈成立，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛00112a 是左单位元（不论12a 取什么值）。

但右单位元不存在，因为不论11b ，12b 取什么值，=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111a a B = 不可能对任何的G A ∈成立。

所以单位元不存在（事实上，若单位元存在，则左、右单位元都存在且相等还唯一），所以>*<，G 不是有么半群。

2. 在正实数集合+R 上定义运算*如下ab ba b a ++=*1试问>*<+，R 是半群吗？是有么半群吗？解略3. 在自然数集合N 上定义运算∨和∧如下：}max{b a b a ，=∨，}min{b a b a ，=∧试问>∨<，N 和>∧<，N 是半群吗？是有么半群吗？解略4. 设>*<，G 是半群，它有一个左零元θ，令}|{G x x G ∈*=θθ证明>*<，θG 构成半群。