4-4 平抛运动、圆周运动的临界问题

能力提升课 第四讲 平抛运动、圆周运动的临界问题
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热点一 平抛运动中的临界问题 (师生共研) 1．有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在 着临界点． 2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程 中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点． 3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存 在着极值，这些极值点也往往是临界点．
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2．两类模型对比
轻绳模型
轻杆模型
情景 图示
弹力 弹力可能向下，也可能等于零
特征
弹力可能向下，可能向上，也可能等 于零
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受力 示意图
力学 方程
mg＋FT＝mvr2
mg±FN＝mvr2
临界 特征
FT＝0，即 mg＝mvr2，得 v＝ gr v＝0，即 F 向＝0，此时 FN＝mg
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2．与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰 好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．
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2－1. [摩擦力有关的临界问题] 如图所示，叠放在水平转台上的小物体 A、B、C 能随转台一起以角速度 ω 匀速转动，A、B、C 的质量分别为 3m、2m、m，A 与 B、 B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为 μ，B、C 离转台中心的距离分别为 r、1.5r. 设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法中正确的是( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B．在绳 b 被烧断瞬间，绳 a 中张力突然增大到 mg＋mω2la C．无论角速度 ω 多大，小球都不可能再做完整的圆周运动 D．绳 b 未被烧断时，绳 a 的拉力等于 mg，绳 b 的拉力为 mω2lb
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解析：绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向 C 点，对小球受力分析，受 重力 G，a 绳子的拉力 F1，b 绳子的拉力 F2，根据牛顿第二定律有：F1＝ mg； F2＝mω2lb；小球的线速度为：v＝ωlb；绳子断开后，杆停止转动，由于惯性，小 球将绕 A 点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面 ABC 的竖直平面内摆动，若 速度较大，也有可能在垂直于平面 ABC 的竖直平面内绕 A 点做完整的圆周运动， 故 A、C 错误，D 正确；在最低点时：Fa－ mg＝mωllab2；解得：Fa＝mg＋mωllab2， 则 a 绳中张力突然增大到 mg＋mωllab2，B 错误． 答案：D
根长为 L＝0.8 m 的轻杆，一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m＝0.2 kg 的小球，
运动规律得L21＝v1t,2h＝12gt2，联立解得 v1＝L41 hg.当发射机正对右侧台面的某个
角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大．由平抛运动规律得 L21＋L222
＝v2t′，3h＝12gt′2，联立解得 v2＝12
4L216＋hL22g.即速度 v 的最大取值范围为L41
hg＜v＜12
v＝ gr 的意义
物体能否过最高点的临界点
FN 表现为拉力还是支持力的临界点
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[典例 2] 一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直 面内做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 gR C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
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热点三 竖直面内圆周运动的临界问题 (师生共研) 1．轻绳和轻杆模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一 是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有 支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．
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[典例 1] (2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的 长和宽分别为 L1 和 L2，中间球网高度为 h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能 以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 3h.不计空气的 作用，重力加速度大小为 g.若乒乓球的发射速率 v 在某范围内，通过选择合适的 方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 v 的最大取值范围是( )
4L216＋hL22g，D 正确，选项 A、B、C 错误．
答案：D
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[反思总结] 处理平抛运动临界问题应抓住两点
1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设 定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界状态的条件． 2．要用分解速度或者分解位移的方法分析平抛运动的临界问题．
恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为 g，则球 B 在最高点时，下列说法
正确的是( )
A．球 B 的速度为零
B．球 B 的速度为 2gL
C．球 A 的速度为 2gL
D．杆对球 B 的弹力方向竖直向下
答案：B
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3－4.[斜面上的轻杆模型分析] 如图所示，在倾角为 α＝30°的光滑斜面上，有一
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2－3.[接触与脱离的临界问题] 用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固 定在一光滑锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为 ω，线的张力为 FT，则 FT 随 ω2 变化的图象是图乙中的( )
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3－2.[绳模型问题] 如图所示，轻绳的一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m 的 小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器 测得轻绳拉力 FT、轻绳与竖直线 OP 的夹角 θ 满足关系式 FT＝a＋bcos θ，式中 a、 b 为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )
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如图，窗子上、下沿间的高度 H＝1.6 m，墙的厚度 d＝0.4 m．某人在离墙壁距 离 L＝1.4 m，距窗子上沿高 h＝0.2 m 处的 P 点，将可视为质点的小物体以速度 v 垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g 取 10 m/s2，则 v 的取值范围是( ) A．v＞7 m/s B．v＞2.3 m/s C．3 m/s＜v＜7 m/s D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
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解析：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小 球过最高点的速度 v＝ gR时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若 v＜ gR， 则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝mvR2，随 v 增大，F 减小，若 v＞
gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝mvR2，随 v 增大，F 增大， 故 C、D 均错误． 答案：A
解析：设绳长为 L，锥面与竖直方向夹角为 θ，当 ω＝0 时，小球静止，受重力 mg、支持力 FN 和绳的拉力 FT 而平衡，FT＝mgcos θ≠0，A 错误；ω 增大时，FT 增大，FN 减小，当 FN＝0 时，角速度为 ω0，当 ω＜ω0 时，由牛顿第二定律得 FTsin θ－FNcos θ＝mω2Lsin θ，FTcos θ＋FNsin θ＝mg，解得 FT＝mω2Lsin2 θ＋mgcos θ， 当 ω＞ω0 时，小球离开锥面，绳与竖直方向夹角变大，设为 β，由牛顿第二定律 得 FTsin β＝mω2Lsin β，所以 FT＝mLω2，可知 FT－ω2 图线的斜率变大，所以 B 正确，C、D 错误． 答案：B
b A.2m
3b C. m 答案：D
B．2mb D．3bm
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3－3. [杆模型问题] 如图所示，长为 3L 的轻杆可绕光滑水平转轴 O 转动，在杆
两端分别固定质量均为 m 的球 A、B，球 A 距轴 O 的距离为 L.现给系统一定能量，
使杆和球在竖直平面内转动．当球 B 运动到最高点时，水平转轴 O 对杆的作用力
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热点二 水平面内圆周运动的临界问题 (自主学习) 水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题， 一类是与弹力有关的临界问题．
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1．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只 是摩擦力提供向心力，则有 fm＝mrv2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦 力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在 一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力 达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
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A.L21 B.L41 C.L21 D.L41
6gh＜v＜L1
g 6h
hg＜v＜
4L21＋L22g 6h
6gh＜v＜12
4L21＋L22g 6h
hg＜v＜12
4L21＋L22g 6h
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解析：当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小．由平抛
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Βιβλιοθήκη Baidu
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解析：人过最高点时，FN＋mg＝mvR2，当 v≥ gR时，不用保险带，人也不会掉下 来，当 v＝ 2gR时，人在最高点时对座位产生的压力为 mg，A、B 均错误；人在 最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于 mg， C 错误，D 正确． 答案：D
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A．B 对 A 的摩擦力一定为 3μmg
B．C 与转台间的摩擦力大于 A 与 B 间的摩擦力
C．转台的角速度一定满足 ω≤
2μg 3r
D．转台的角速度一定满足 ω≤
μg 3r
答案：C
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2－2.[绳子张力的临界问题] (2019·山东滕州一中检测)质量为 m 的小球由轻绳 a、b 分别系于一轻质木架上的 A 和 C 点，绳长分别为 la、lb(且 la≠lb)，如图所示， 当轻杆绕轴 BC 以角速度 ω 匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳 a 在竖直方向，绳 b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳 b 被烧断的同时轻 杆停止转动，则( )
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[反思总结]
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3－1.[过山车问题] 乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为 m 的人随车在竖直平面 内旋转，下列说法正确的是( ) A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉 下来 B．人在最高点时对座位不可能产生大小为 mg 的压力 C．人在最低点时对座位的压力等于 mg D．人在最低点时对座位的压力大于 mg
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解析：小物体穿过窗口并落在地上，需满足的条件为能穿过窗口的右上沿和左下 沿，结合公式 h＝12gt2，x＝vt，沿右上沿时，x1＝L＝1.4 m，h1＝h＝0.2 m 时，代 入数据得 v1＝7 m/s，沿左下沿时，x2＝L＋d＝1.8 m，h2＝H＋h＝1.8 m 时，代入 数据得 v2＝3 m/s，则 3 m/s＜v＜7 m/s，故选 C. 答案：C