河南省新乡市2018届高三数学第一次模拟测试试题理2017110602163

合集下载

河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试理数试题含答案

锥的高是底面半径的 2 倍，则圆锥的体积为 ___________．
16.由 1， 2， 3 三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有
_________个．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）
17.（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 cos B
2.已知复数 z 15i ，则 z 的虚部为（
）
3 4i
9 A． i
5
9 B． i
5
9
C．
5
9
D．
5
3.统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，
则新生婴儿体重在
2700,3000 克内
的频率为（
）
A ． 0.001 B． 0.1 C．0.2 D ． 0.3
4.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（
已知函数 f x x 2 x 1 ．
（1）求不等式 f x 7 的解集；（2）若实数 m, n 0 ，且 f x 的最小值为 m n，求 m2 n2 的最小值，并指出此时 m, n
的值．
一、选择题
参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 B
D
D
C
C
B
D
A
A
A
C
D
二、填空题
13. 65 14.3
所以 E X
1
1
15
0
2000
4000
81 6000

河南省新乡市2017-2018学年高三上学期第一次调研测试数学(理)试题 Word版含答案

2017-2018学年数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|,2,1,0,1,2A x y B ⎧⎪===--⎨⎪⎩，则()R C A B ⋂=（）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2.已知复数1534iz i=+，则z 的虚部为（） A ．95i - B ．95i C ．95- D ．953.统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000克内的频率为（）A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.34.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）A ．32πB ．16πC ．12πD ．8π5.函数()ln 21f x x x =+-的零点必落在区间（） A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,26.已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b =（）A ．25B ．16C ．8D ．47.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（）A ．[]2,1--B ．[]2,0-C ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.执行下面的程序框图，则输出结果s =（）A ．2116 B ．8564 C ．6332 D ．127649.已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知函数()()1,1010lg 2,10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()4,1-C ．()2,4-D ．()(),42,-∞-+∞11.已知双曲线()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>，过双曲线Γ的右焦点，且倾斜角为2π的直线l 与双曲线Γ交地,A B 两点，O 是坐标原点，若AOB OAB ∠=∠，则双曲线Γ的离心率为（） AB12.已知数列1234,,,a a a a 满足()1411111,1,2,322n n n na a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（） A ．1,12⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ B ．{}1,2±± C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ D ．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,m =，若,m n 间的夹角为3π，则23m n -=____________．14.经过抛物线28y x =的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________． 15.已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为___________．16.由1，2，3三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有_________个．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=．（1）求a ；（2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值． 18.（本小题满分12分）如图①所示，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，且01,135,3AD BC a BAD AE BC ==∠=⊥于点,E F 为BE 的中点．将ABE ∆沿着AE 折起至AB E '∆的位置，得到如图②所示的四棱锥B ADCE '-.（1）求证：//AF 平面B CD '；（2）若平面AB E '⊥平面AECD ，求二面角B CD E '--的余弦值． 19.（本小题满分12分）甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金．约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为34，乙每关通过的概率为12，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立．（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；（2）设X 表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 20.（本小题满分12分）设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t 的斜率k 的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数()()()22ln ,f x x ax g x f x ax x =-=+-．（1）求函数()f x 的极值；（2）设120x x >>，比较()()121221212g x g x x x x x x --+-与1的大小关系，并说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知四边形ABDC 是圆O 的内接四边形，,B D 是圆O 上的动点，AD 与BC 交于F ，圆O 的切线()CE C 为切点与线段AB 的延长线交于,E BCD CBD∠=∠．（1）证明：CD 是BCE ∠的平分线；（2）若AD 过圆心，,2BC BE AE ==，求AB 的长． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为11x t y t=-+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=，点P 的极坐标为74π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；（2）若将直线l 向右平移2个单位得到直线l '，设l '与C 相交于,A B 两点，求PAB ∆的面积．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x =-++．（1）求不等式()7f x >的解集；（2）若实数,0m n >，且()f x 的最小值为m n +，求22m n +的最小值，并指出此时,m n的值．参考答案一、选择题二、填空题1283π 16. 42三、解答题17.解：（1）原式化为22222222a cb bc a cabc abc a+-+-+=，解得1a=．．．．．．．．．．．．．．．．．6分18.解：（1）取B C'的中点G，连接,FG DG．∵F为B E'的中点，∴//FG EC，且12FG EC=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵图①中四边形ABCD为等腰梯形，//AD BC，且1,,1353AD BC a AE BC BAD==⊥∠=，∴12,//,2EC a AD EC AD EC==，∴//,AD FG AD FG=，∴四边形ADGF 为平行四边形，∴//AF DG ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∵AF ⊄平面,B CD DG '⊂平面B CD '，∴//AF 平面B CD '．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）易证,,EA EB EC '两两垂直，故以点E 为原点，EB '为x 轴，EC 为y 轴，EA 为z 轴，建立空间直角坐标系，∴()()(),0,0,0,,,0,2,0B a D a a C a '，所以()(),2,0,0,,B C a a CD a a '=-=-，设平面B CD '的法向量为(),,n x y z =．则()()()(),2,0,,200,,,,0B C n a a x y z ax ay CD n a a x y z ay az ⎧'=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩令1z =，得()2,1,1n =，．．．．．．．．．．．10分显然(),0,0EB a '=为平面AECD 的一个法向量，所以cos ,EB n '==，．．．．．．．．．．．．．．．．11分由图知平面B CD '与平面AECD 所成的二面角为锐角，所以所求的余弦值为．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）甲、乙获得2000元奖金的概率有两种情况：①第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；②第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错．故其概率为：31111114424248P =⨯⨯+⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）根据题意，0,2000,4000,6000X =，()1110428P X ==⨯=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ()120008P X ==；()21231131111540004424424128P X C ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ()321333118160004442128P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分随机变量X 的分布列为所以()158102000400060004515.62588128128E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）（写成361258也对）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由题意得142a =，∴2a =，故抛物线2C 的方程为22x y =-，又e =，∴c =1b =，从而椭圆1C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1122:2,,,,l y kx P x y Q x y =+．由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221416120k x kx +++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()()2216412140k k ∆=-⨯+>，∴3,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．9分1212221612,1414k x x x x k k-+==++，根据题意，得000900POQ OP OQ <∠<⇔>，∴()()()()()2121212121212222222212412116164240141414OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k k k =+=+++=+++++--=+⨯+=>+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴22k -<<，综上得32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）依题意()()21122,0,ax f x ax x x x-'=-=∈+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ①若0a ≤，则()0f x '>在()0,+∞上恒成立，函数()f x 无极值；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分②若0a >，则()f x '=，此时10,0x +>>，令()0f x '>，解得0x <<，令()0f x '<，解得x > 故函数()f x的单调增区间为⎛ ⎝，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎭，故函数()f x 的极大值为()11ln 2122f a ==-+，无极小值. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 有极大值()1ln 212a -+，无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）依题意，()()()121112222212121212ln ln ln ,1g x g x x x x x g x x x x x x x x x x x --=---=-+-+-，要比较()()121221212g x g x x x x x x --+-与1的大小，即比较12212x x x +与1212ln ln x x x x --的大小． ∵120x x ->，∴可比较()1122212x x x x x -+与12ln ln x x -的大小．．．．．．．．．．．6分令()121x t t x =>，即比较2211t t -+与ln t 的大小．设()221ln 1t G t t t -=-+，则()()()()()3222221121111t t t t t G t tt t t --++-'=-=++，因为1t >，所以()0G t '<，所以函数()G t 在()1,+∞上单调递减，故()()10G t G <=，所以()0G t <对任意1t >恒成立，所以()112122212ln ln x x x x x x x -<-+，所以()()1212212121g x g x x x x x x --<+-………………………………12分 22.解：（1）因为CE 是圆的切线，所以ECD CBD ∠=∠，又BCD CBD ∠=∠，所以ECD BCD ∠=∠，故CD 是BCE ∠的平分线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）因为AD 为圆心，易得,,BD AB AC CD AC AB ⊥⊥=，因为BC BE =，所以BEC BCE EAC ∠=∠=∠，所以AC EC AB ==，由切割线定理得2=EC AE BE ，即()2AB AE AE AB =-，即2240AB AB +-=，解得1AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.解：（1）根据题意，直线l 的普通方程为2y x =+，曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）l '的普通方程为y x =，所以其极坐标方程为4πθ=，所以ρ=，故AB =，因为OP l '⊥，所以点P 到直线l '的距离为，所以162PAB S ∆=⨯=．．．．．．．．10分 24.解：（1）原不等式等价于212121737127x x x x x ⎧>-≤≤<-⎧⎧⎨⎨⎨->>->⎩⎩⎩或或，解得34x x <->或，综上所述，不等式()7f x >的解集为()(),34,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）依题意，可知3m n +=，()()22222222222m n m n mn m n m n m n +=++≤+++=+，故2292m n +≥，当且仅当32m n ==时等号成立…………………………10分。

河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学(理)试题(图片版)扫描版含答案

数学(理科)试題第1页(共8页)新乡市2017届高三第一次调研考试数学(理科)本试題卷分第I 卷(选择題)和第II 卷(非选择题)两部分.考生作答时■将答案答在答题卡上(答题注意事项见答題卡)，在本试题卷上答题无效•考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一■选择题:本大題共12小题，毎小题5分•在毎小題给岀的四个选项中■只有一项是符合題目要求的. _________(1) 巳知集合厂厶二石}宀 I -2, -1,0,1,21,则(G M )CB 二(A)|2| (B)|l,2|(C){ -2,-1}(D){ -2.-1.0}(2) 已知复数则z 的虔部为3 *4i(A)-|-i (B)爭 (5-备 (D)y(3) 统计新生婴儿的体重，其频率分布宜方图如图所示，则新生婴儿休重在(2 700,3 000] 克内的频率为(A)0.001 (B)0. 1 (C)0.2 (D)0.3(4) 如图是一个儿何体的三视图■根据图中数据■可得该几何体的泱面枳为绝密*启用前(A)32r(D)8n(7) 已知$ftz fy 满足—y ・4w0.则的取備范围足 (A)[ -2,-1] (B)[ -2.01(8) 执行F 面的程序框图，则输岀结果$ =(7^)(唬⑻卷 (矚(9)已知函数心)4in 伽于于)的部分图象如图所示侧把函数/(%)的图象向左平移于厉得到的臥数图象的解析式是(5)函数/(*) =lnx+2x-l 的零点必落在区间(A)(冷) ⑻(罔(：)仕」)(C)8(0)4(C)[0自(D)矇(A)y =2ain 2x (C)厂 2sin (2 一于)(10) 已知函数/(*)川击)l-lg(x+2)f x>10f(A)( -4t 2)(B)( -4J)(C)(-2,4) (D)(-ac t -4)U (2t +Qo)(11) 已知双曲线八亍-存1(。

>0,6 >0),过双曲线厂的右焦点，且傾斜角为壬的直统/与戏曲线厂交于儿〃两点,0是坐标原点，若厶A()R= /0AB,则双曲线厂的离心率为g 呼 (B)血护 (C)牡型 (D)出空(12) 已知数列 5 ,a ? ,aj,a 4 满足"二叫，"2J =a <«-i - j =, ,2,3),则 a (所有町能的值构成的族合为 … "(A){±y t ±l} (B)| ±1,±2| (C){± 茁 ±2}(D){士;,±1・±2}第U 卷本卷包括必考题和选考題两部分.第13-21題为必考题，毎个试题考生都必须作答.第22 -24题为选考題,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题.每小题5分.(13) 已知向虽m = (2,4),lnl=j5,若wt./t 间的夹角为于，则12m -3/1!二 __________________ , (14) 经过抛物线於=8x 的焦点和顶点且与准线相切的岡的半径为_ •(15〉已知一个圆供内接于球0(圆俳的底面圆周及顶点均在球面I ：),若球的羊径尺二5. 圆锥的高是底面半轻的2倍，则圆維的体枳为—__・(16) 由1.2,3三个数字组成的五位数中•相邻的数字不相同的五位数共有个. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在AMC 中，角S,C 的对边分别为a,b,c,已知畔+警上乂；"〉. (I )求勺(U )若= *.求面积的敲大值.(B)y=2sinpx-yj (D)y ・2sin( —-扌)若/(8-m 2) </(2m),则实数m 的取值范围是(18) (本小題满分12分)如图①所示，典边形ABCD为等胺梯形,AD//BC, RAP= pC=a, A BAI) = 135% 朋丄〃C于点为BE的中点.将ZXA眈沿若折起至△川TE的位置，得到如图②所示的四棱锭B9 -ADCE.(1 )求证〃平面Bg(11)若平面AB f E丄半面A£CD■求二向角B‘-CD-E的余兹值.(19) (本小题满分12分)甲、乙時位数学老师纽队参加某电视台闯关节目•共3关，甲作为嘉宾参与答题.若甲冋答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为屮提供一次帮助机会.若乙冋答正确,则甲继续闯关•若某一•关通不过,则收获前面所有累枳奖金.约定每关通过得到奖金2 000元.设甲毎茏通过的概率为;•乙每关通过的概牢为;，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立.(I )求甲、乙获得2 000元奖金的概率；(U )设X衣示屮、乙网人扶得的奖金数.求随机变粧X的分命列和数学期望Eg(20) (本小题满分12分〉设0为唯标原点,已知椭圆C,X + ^ = l(a>6 >0)的离心率为；,抛物线C2：?=-ay的准线方程为y = y.(I )求椭圈G和抛物线C?的方程；(U )设过定点"(0,2)的直线f与椭圆C,交于不同的两点P,Q,若0在以PQ为直径的圆的外部，求直线X的斜率k的取值范围.(21) (本小题满分12分〉已知函数/(巧=ln ax z t g(x) =/(*)-*•(I )求函数/(*)的极值；(U)设务＞和＞0,比较宀*七型与1的大小关系•并说明理由.X\ +«2 x l一％2请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的M-fi计分.作答时谓写清题号.(22) (本小题満分10分)选修4・1 ：几何证明选讲如图，已知四边形ABDC是圆0的内接四边形是側0上的动点与8C交于F,圆0的切线CE(C为切点)与线段AB的延氏线交于£,乙BCD =厶CBD.(I)证明:CO是厶BCE的平分线；(U )若AD过圆心,BC■ BE t AE・2,求佃的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与鑫数方程在克角坐标系％分中，以。

河南省新乡市第一中学2017-2018学年高三上学期第一次(9月)月考数学(理)试题 Word版含答案

2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}1x A x R x -=∈≤+，2{|(2)(1)0}B x R x a x a =∈---<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．{1}[2,)+∞D ．(1,)+∞ 2.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（）A ．．12- C ．12 D 3.已知平面直角坐标系内的两个向量，(1,2)a = ，(,32)b m m =-，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c a b λμ=+（λ，μ为实数），则m 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞4.已知把函数()sin f x x x =的图象向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（） A ．6x π=B ．76x π=C. 12x π= D ．56x π= 5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则32()21f x x kx x =--+的极大值为（）A ．2B ．52 C.3 D ．726. ABC ∆中三边上的高的大小依次为113，15，111，则ABC ∆为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不存在这样的三角形7.已知两个力12,F F 的夹角为90，它们的合力F 的大小为10N ，合力F 与1F 的夹角为60，那么1F的大小为（）A． B ．5N C. 10N D．8.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，那么不等式(1)3f x +>的解集是（）A ．(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．(,2)(0,)-∞-⋃+∞ C. (,0)(2,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞9.定积分0|sin cos |x x x dx ⎰-的值是（）A．2．2．10.已知函数()sin 2[0,])2f x x x π=-∈，()3g x x =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 分别位于()f x ，()g x 的图象上，则221212()()x x y y -+-的最小值为（）A ．2(18)72π+ B．12 C. 2(18)12π+ D．2(15)72π-11.已知函数2()cos ()1(0,0,0)2f x A x A πϖϕϖϕ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)(3)(2016)f f f f ++++ 的值为（）A ．2468B ．3501 C.4032 D ．573912.已知三角形ABC 内的一点D 满足2DA DB DB DC DC DA ===- ，且||||||DA DB DC == .平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC = ，则2||BM 的最大值是（） A ．494 B ．434D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数x ，y 满足约束条件310203640x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y =+的最小值为__________.14.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2(1)PD PC PA PB λ+=++，且PBA ∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为___________.15.设曲线1*()n y x x N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则20161201622016320162015log log log log x x x x ++++ 的值为___________.16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列，则角A 的大小是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，134(2)n n a S n -=+≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22lo g 7n n a b +=，12n n n b c +=，其中*n N ∈，记数列{}n c 的前项和为n T ，求22n n n T ++的值.18. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠= ，AE ED =，H 为AD 的中点.（1）求证：EH ⊥平面ABCD ；（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分12分）为了解游客对2015年“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄在[22,52]内的游客中随机抽取了1000人，并且作出了各个年龄段的频率直方图（如图所示），同时对这1000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表：（1）求统计表中m 和n 的值；（2）从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，离心率为3A ，B 在椭圆上，1F 在线段AB 上，且2ABF ∆的周长等于（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M ，N ，求PMN ∆面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()1xf x e ax =--（e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（2）求证：22222232323ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)nn ⨯⨯⨯++++++<--- .请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1112x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（其中参数t R ∈，a 为常数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C的方程为)4πρθ=+.（1）求曲线C 的普通方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，且||AB =，求常数a 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）求函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积S .新乡市一中2016-2017高三上期第一次月考数学试卷答案一、选择题1-5:CADDB 6-10:CBBDA 11、12：CA 二、填空题 13. 15-14.-1 15.-1 16. 3π 三、解答题17.解：（1）21347a S =+=，134(2)n n Qa S n -=+≥ ∴134n n a S +=+.两式相减得：14(2)n n a a n +=≥………………2分∴231232222n n nT L =++++ ① 231111122222n n n n nT L +-=++++ ② ①-②得，221111121212222222n n n n n n T L +++=+++-=-.……………………11分∴222222n n n n n n T T ++=-⇒+=.……………………12分18.解：（1）证明：因为//AB EF ，EF EA ⊥，所以AB EA ⊥. 因为AB AD ⊥，且EA AD A ⋂=，所以AB ⊥平面AED . 因为EH ⊂平面AED ，所以AB EH ⊥.……………………3分因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EH AD ⊥.又AB AD A ⋂=，所以EH ⊥平面ABCD .……………………5分（2）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H xyz -，则(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，(0,1,1)F ，(0,1,0)O ，(1,2,0)C -，设点(0,,2)(02)P m m <≤，于是有(1,1,1)DF = ，(,1,1)FP m =-.设平面PDF 的法向量(,,)n x y z = ，则0,0,n DF n FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,0,x y z mx y z ++=⎧⎨+-=⎩ 令1z =，得21x m =-，11m y m --=-，所以21(,,1)11m n m m --=-- .………………8分平面BDF 的法向量(1,1,0)OA =- ，所以||cos 3||||OA n OA n π=，即21|(1,1,0)(,,1)|12m ---= 1m =-.……………………11分所以点P 的坐标为(1,2,0)-，与点C 的坐标相同，所以2BP BC ==.………………12分 19.解：（1）年龄在[37,42)内的频率为1(0.010.0220.032)50.45-+⨯+⨯⨯=，故年龄在[37,42)内的人数为450，则4320.96450m ==，年龄在[27,32)内的人数为10000.025100⨯⨯=，1000.9595n =⨯=.（2）因为年龄在[42,47)内且满意的人数为144，年龄在[47,52)内且满意的人数为96，因此采用分层抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52)内且满意的人数分别为6,4.………………5分依题意可得0,1,2,3,4X =.4064410151(0)21014C C P X C ====；3164410808(1)21021C C P X C ====；2264410903(2)2107C C P X C ====；1364410244(3)21035C C P X C ====；04644101(4)210C C P X C ===.………………10分 X 的分布列为0123414217352105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………12分 20.解：（1）由2ABF ∆的周长为4a =，a =c e a ==，得c =2221b a c =-=.所以椭圆的标准方程为：2213x y +=.……………………1分（2）设(,)p p Px y ，则224p p x y +=.（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则p x =，1p y =±，另一切线的斜率为0，从而PM PN ⊥.此时，11||||222PMN S PM PN ∆==⨯⨯= ………………6分（ⅱ）若切线的斜率均存在，则p x ≠P 的椭圆的切线方程为()p p y y k x x -=-，代入椭圆方程，消y 并整理得：222(31)6()3()30p p p p k x k y kx x y kx ++-+--=. 依题意0∆=，222(3)210p p p p x k x y k y -++-=.………………9分设切线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，从而22122213133p pppy x k k x x --===---，即PM P N ⊥.线段MN 为圆O 的直径，||4MN =.………………10分所以222111||||(||||)||4242PMN S PM PN PM PN MN ∆=≤+== ，当且仅当||||PM PN ==PMN ∆取最大值4.由（ⅰ）（ⅱ）可得：PMN S ∆最大值是4.………12分21.解：（1）'()x f x e a =-，∴0a ≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增：0a >时，(,ln )x a ∈-∞时，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增.………………4分（2）由（1），0a >时，min ()(ln )f x f a =，∴(ln )0f a ≥，即ln 10a a a --≥，记()ln 1(0)g a a a a a =-->.()1(ln 1)ln Qg a a a =-+=-，∴()g a 在(0,1)上增，在(1,)+∞上递减，∴()(1)0g a g ≤=，故()0g a =，得1a =.………………8分（3）1n =时，22332(31)2n n ⨯=<-，2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n n n n n n n n---⨯⨯⨯<==--------， 2n ≥时，2133112(31)2231k nk nk =<+-<--∑.………………10分由（2）可知1xe x ≥+，即ln(1)(1)x x x +≤>-，则0x >时，ln(1)x x +<，故22222212323233ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)(31)n knn k k L =⨯⨯⨯++++++<<----∑，即原不等式成立.………………12分22.解：（1）由DE 与圆相切于点D 可得EDC DAC ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，又DA C D AB ∠=∠，∴E DCD C B ∠=∠，∴//BC DE .………………4分（2）因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠，由（1）知，ACF CED ∠=∠，所以CFA ACF ∠=∠.………………6分设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=，所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，则7x π=，所以227BAC x π∠==.………………10分 23.解：（1）)cossin sin )2cos 2sin 444πππρθθθθθ=+=-=-，2222cos 2sin 22x y x y ρρθρθ=-⇐+=-，所以曲线C 的普通方程为：22220x y x y +--=.………………4分（2）将曲线C 的方程变形为22(1)(1)2x y -++=与直线l 的参数方程联立得：22231()22042t a t t at ++=⇒+-=. 首先2803a ∆>⇒<，由韦达定理12t t a +=-，2122t t a =-.………………7分由参数t的含义知：12||||AB t t =-=，即228351a a -=⇒=，满足283a <，故1a =±，综上常数a 的值为1±.………………10分24.原不等式等价于：11221x x x <-⎧⎨--+-≥⎩① 或111221x x x -≤<⎧⎨++-≥⎩②或11221x x x ≥⎧⎨+-+≥⎩③.解①得：∅；解②得：213x ≤<；解③得：12x ≤≤. ∴原不等式的解集是2{|2}3x x ≤≤.…………6分（2）依题意：31()311131x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-+≥⎩.∴()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标分别为1(,0)3，(3,0)，(1,2). ∴所求三角形的面积118(3)2233S =⨯-⨯=.………………10分。

河南省新乡市2017届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

2016~2017学年(上)高三模拟考试能力提升训练卷理数一．函数的性质部分1．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，则有A ．且B ．或C ．D ．2．定义在上的函数满足，当时，，当时，．则A ．335B ．338C ．1678D ．20123．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是A ．B ．C ．D ．二．函数与导数小题部分4．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为A ．2014B ．2013C ．1D ．-15．函数2cos y x x =+[0,]2π上的最大值是6．已知函数()323f x x x x =-+的极大值为m ，极小值为n ，则m +n =A ． 0B ．2C ．-4D ．-2 三．函数与导数大题部分7．设和是函数的两个极值点，其中．(1)．求的取值范围；(2)．若，求的最大值．8．设．(1)．如果存在使得成立，求满足上述条件的最大整数；(2)．如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．9．已知函数．（1）．求的单调区间；（2）．若对于，不等式恒成立，求的取值范围．四．不等式部分10．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是______11．若，则的最小值是______12．如果，则的最小值为______五．空间几何体三视图部分13．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为______14．某几何体的三视图(单位:)如图所示，则该几何体的体积为_______，表面积为_________．15．已知一个空间几何体的三视图及有关数据如下图所示，则该几何体的表面积为_____六．圆锥曲线小题部分16．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与的离心率之积为，则的渐近线方程为A．B．C．D．17．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于两点，若，则A．B．C．D．19．椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是A．B．C．D．七．圆锥曲线大题部分20．椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．（1）．求椭圆的标准方程；（2）．设不过原点的直线与椭圆交于两点两点，且直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．21．已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（1）．求椭圆的方程；（2）．过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证为定值，并计算出该定值．22．已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为．经过点的直线与椭圆交于两点．（1）．求椭圆方程；（2）．当直线的倾斜角为45°时，求线段的长；（3）．记与的面积分别为和，求的最大值．2016~2017学年(上)高三模拟考试能力提升训练卷答案理数参考答案1．B 解析：由已知得，又因，所以，解得或．故选B ．2．B 解析：根据题意函数的周期为，所以，所以．所以答案为：B ．3．C 解析：是奇函数，选项A 错;是指数函数，非奇非偶，选项B 错;是偶函数，但在上单调递增，选项D 错;只有选项C 是偶函数且在上单调递减．故选C ．4．D 5．66．D 7．答案：（1）函数的定义域为．依题意，方程有两个不等的正根(其中)．故，并且，故的取值范围是．（2）．当时，．若设，则．于是有，∴，构造函数(其中)则．所以在上单调递减，．故的最大值是e ．8．答案：（1）存在使得成立，等价于，由，得，故在单调递减，在单调递增，所以，故，则满足条件的最大整数（2）依题有，在上函数由（1）可知，在上，在上，恒成立等价于恒成立．设可知，在上是减函数，又，所以当时，，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即实数的取值范围为9．答案：（1），当时，在和上是单调递增，在上单调递减当时，在上单调递增当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）．因为，所以由，得，即对恒成立．由1可知，当时，在上单调递增，则成立，，当时，在为增函数，恒成立，符合要求，当时，在上单调递减，上单调递增，则即综上所述，．10．答案：解析：先求的最小值，，当且仅当时取等号，则恒成立，可求得的取值范围是．11．答案：解析：由，得，且，∴，由，得．∴(当且仅当时取等号)，即的最小值为．12．答案：4解析：由得，所以，且，则，当且仅当，即时，取得最小值．13．答案：由三视图可得，这是一个四棱锥底面是一个上下底分别为2和4，高为2的直角梯形，棱锥高为2．故答案为：414．答案：;解析：由三视图可知该几何体是如下图所示侧棱底面矩形的四棱锥：所以其体积为：，又，所以其表面积为：;故应填入;．15．答案：解析：下图为三视图对应的直观图，其表面由两个全等的正方形，两个全等的梯形和两个矩形组成．由三视图中数据可得该几何体的表面积．16．答案：A解析：椭圆的离心率为，双曲线的离心率为．由题意知，即．两边平方得，∴，∴的渐近线方程为，即，故选A．17．答案：A解析：如图，过作准线的垂线，垂足分别为，由于到直线的距离为定值，∴，又∵，由抛物线定义知，∴，由知，，∴直线的方程为，把代入上式，求得，，∴，故，故选A。

河南省新乡市2018届高三第一次模拟测试理数试题及答案解析

新乡市2018届高三年级第一次模拟测试数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜2x －x ≤0}，B ＝{x ｜a －1≤x ＜a}，若A ∩B 只有一个元素，则a ＝A ．0B ．1C ．2D ．1或22．设复数z 满足iz ＝｜2＋i ｜＋2i ，则｜z ｜＝A ．3BC ． 9D ．103．点P （x ，y ）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则y x的最小值为 A ．—2 B ．—53C ．—25D ．—13 4．“a ＞1”是“4(x （a ∈R ）的展开式中的常数项大于1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 关于x 轴的对称点为Q ，且OP uu u r · OQ u u u r ＝2，则点P 的轨迹方程为A ．222x y ＋＝B ．222x y －＝C ．22x y ＋＝D ．22x y －＝6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，则该几何体的体积为A ．8－2πB ．8－πC ．8－23π D ．8＋2π 7．若23log (log )a ＝34log (log )b ＝42log (log )c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a8．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为A ．20B ．25C ．30D ．759．设k ∈R ，函数f （x ）＝sin （kx ＋6π）＋k 的图象为下面两个图中的一个，则函数f （x ）的图象的对称轴方程为A ．x ＝2k π＋6π（k ∈Z ） B ．x ＝kx ＋3π（k ∈Z ） C ．x ＝2k π－6π（k ∈Z ） D ．x ＝k π－3π（k ∈Z ） 10．抛物线M ：2y ＝4x 的准线与x 轴交于点A ，点F 为焦点，若抛物线M 上一点P 满足PA⊥PF ，则以F 为圆心且过点P 的圆被y 2．24）A B C D 11．在三棱锥D —ABC 中，CD ⊥底面ABC ，AE ∥CD ，△ABC 为正三角形，AB ＝CD ＝AE＝2，三棱锥D —ABC 与三棱锥E —ABC 的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为A ．163π B ．6π C ．203π D ．223π 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2C ＝54a cosA —14c cosB ＋12，且b ＝2，则a 的最小值为A B C ．9625 D ．11225 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．已知向量a ，b 满足｜b ｜＝2｜a ｜＝2，a 与b 的夹角为120°，则｜a －2b ｜＝_____________．14．若2tan α＝tan420°，则tan （α＋3π）＝_____________． 15．在一次53．5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若用简单随机抽样方法从中选取2人，则这2人成绩的平均数恰为100的概率为_______________．16．若函数f （x ）＝33231,03,0x x a x x x a x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋－＞＋－≤恰有3个零点，则f （a ）的取值范围为_______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，且a 17＝33，S 7＝49．（1）证明：a 1，a 5，a 41成等比数列；（2）求数列{n a ·3n }的前n 项和n T ．18．（12分）已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的检测程序，第一道检测、第二道检测、第三道检测通过的概率分别为2532，45，45，每道程序是相互独立的，且一旦检测不通过就停止检测，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求检测过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部该智能手机进入检测，记这3部手机可以出厂销售的部数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥E —ABCD 中，底面为等腰梯形，且底面与侧面ABE 垂直，AB ∥CD ，F ，G ，M 分别为线段BE ，BC ，AD 的中点，AE ＝CD ＝1，AD ＝2，AB ＝3，且AE ⊥AB ．（1）证明：MF ∥平面CDE ；（2）求EG 与平面CDE 所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）经过（0，12），且椭圆C的离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，OP ⊥OQ ，且l 与圆心为O 的定圆W 相切．直线l '：y ＝－x ＋n （n ≠0）与圆W 交于M ，N 两点，G （3，－3）．求△GMN 的面积的最大值．21．（12分）已知函数f （x ）＝（x －1）（2x ＋2）x e ＋2（2x ＋x ＋2）．（1）证明：曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线经过曲线y ＝4cos （x －1）的一个最高点；（2）证明：k ∀∈（0，1），f （x ）＞x （kx ＋2）＋k 对x ∈R 恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ（0≤θ≤4π）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C ；（2）若直线x t y t m ⎧⎨⎩＝＝＋（t 为参数）与曲线C 有公共点，求m 的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲] （10分）已知函数f （x ）＝｜x －3｜．（1）求不等式f （x ）＋f （2x ）＜f(12)的解集；（2）若x 1＝3x 3－x 2，｜x 3－2｜＞4，证明：f （x 1）＋f （x 2）＞12．。

2018-2019年新乡市高三第一次模拟测试数学（理科）

新乡市第一次模拟测试数学（理科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|2'>4},B={x|0<x-lM5},则（《A）B=A.（x|2<x<5}B.{x|x<5}C.{x|l<x〈2}D.{x|x>l}2.若复数z满足z（2-z）=18+llz,则z的实部为A.-5B.5C.-8D.83.为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己制定了7天的训练计划:第1天跑5000m,以后每天比前1天多跑200米，则这个同学7天一共将跑A.39200mB.39300mC.39400mD.39500m4.若二项式—J的展开式存在常数项，则正整数〃的最小值为A.7B.8C.14D.165.设函数/'（xXe-'-e'-5x,则不等式/（x2）+/（-x-6）<0的解集为A.（-3,2）B.（—8,—3）（2*）x-4<07.设不等式组尤+y Z3,表示的可行域M与区域N关于y轴对称，若点P（x,y）eN，则z=2x+y的最小值为y-1>0A.-9B.9C.-7D.78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个,小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为A.MB 如1077 359八 958 「 289C. D.1077 3599.巳知点是抛物线V =牝上的动点，则jD'dSGT)* 的最小值A.3B.4C.5D.610.将函数/(x) = sin 4x + cos 4x 的图像向左平移生个单位长度后，得到g(x)的图像，则g(x) =811 .设 3 = log? 3, = log3 4,c = log 5 8,则A 3 1 •/A.----sin 4x 4 4"31 4C.----cos 4jv 4 4n 1 3 •』B.----sin 4x 4 4「13 4D.----cos 4尤4 4\.a>b> c B.a> c>b C.c> a>b D.c>b> a 12. 已知函数/■(x) = "‘x>°，若函数g(x) = f(f(x))-2恰有5个零点，且最小的零点小于则。

2018年河南省高考数学一诊试卷(理科)

2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．25．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E ⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（）A．[1，]B．（，3]C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵集合M={x|≤0}={x|1＜x≤3}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x|﹣6x2+11x﹣4＞0}={x|}，∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|}=（1，）．故选：C．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，则=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵在等比数列{a n}中，若a2=，a3=，∴公比q===，∴=，∴===．故选：A．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9=10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥9﹣1=8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，∴f′（x）=+（2e2﹣a），x＞0，当a≤2e2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞2e2时，由f′（x）=0，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣2e2）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2），∴•≥（a＞2e2），令F（x）=，x＞2e2，F′（x）==，令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2，H′（x）=ln（x﹣2e2）+1，由H′（x）=0，得x=2e2+，当x∈（2e2+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（2e2，2e2+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=2e2+时，H（x）取最小值H（2e2+）=﹣2e2﹣，∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H（3e2）=0，∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）==﹣，∴•的最小值为﹣，即有的最小值为﹣．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=﹣5．【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=C63•（﹣1）3+C62•（﹣1）2=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，若S99=，则k=2．【解答】解：当n≥2时，恒有ka n=a n S n﹣S成立，）=﹣S，即为（k﹣S n）（S n﹣S n﹣1化为﹣=，可得=1+，可得S n=．由S99=，可得=，解得k=2．故答案为：2．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC==；又由cosC===，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=6，则AD=；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则==，变形可得：CE=BC=，cosC=，则sinC==，S△ADE=S△ACD﹣S△ACE=×2×2×﹣×2××=．18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．（1）求甲获得奖品的概率；（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则．（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．，，，．X的分布列为随机变量X的概率分布列为：所以数学期望．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．（1）证明：B1C∥平面A1DE；（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，同理可证，BC∥平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．解：（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，则，．设平面ABB1的一个法向量，则，即，取z 1=1，得．同理，设平面BB 1C的一个法向量，又，，由，得，取z=﹣1，得，所以，故二面角A﹣BB1﹣C的正弦值为：=．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【解答】解：（1）根据题意，设直线l的方程为y=k（x﹣3），联立方程组得，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，y1y2=﹣6p，又，所以p=2，从而抛物线E的方程为y2=4x．（2）证明：因为，，所以，，因此==，又，y1y2=﹣6p=﹣12，所以，即为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x=是它的极值点．（1）求a的值；（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．【解答】解：（1）f（x）=（x+1）e ax（a≠0）的导数f′（x）=e ax+a（x+1）e ax=（ax+a+1）e ax，因为是f（x）的一个极值点，所以，所以a=﹣3．（2）由（1）知f（x）=（x+1）e﹣3x，f′（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x，易知f（x）在上递增，在上递减，当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，；当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递减，；当，即时，．（3）证明：g（x）=（x+1）e﹣3x+2x+3xlnx，设g（x）=m1（x）+m2（x），x∈（0，1），其中，m2（x）=3xlnx，则，设h（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x+2，则h'（x）=（9x+3）e﹣3x＞0，可知m1'（x）在（0，1）上是增函数，所以m1'（x）＞m1'（0）=0，即m1（x）在（0，1）上是增函数，所以．又m2'（x）=3（1+lnx），由m2'（x）＞0，得；由m2'（x）＜0，得，所以m2（x）在上递减，在上递增，所以，从而．所以，对任意x1，x2∈（0，1），．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。

2018年河南省高考数学一模试卷(理科)

2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．（5 分）已知会合 A={ x| x2﹣ 2x﹣3＞0} ，B=N，则会合（ ?R A）∩ B 中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（ 5 分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣ 6B．13C．D．3．（ 5 分）已知 f（x）=sinx﹣tanx，命题 p：? x0∈（ 0，），f （x0）＜0，则（）A．p 是假命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0B．p 是假命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 0C．p 是真命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0D．p 是真命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 04．（5 分）已知程序框图如图，则输出i 的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5 分） 2018 年元旦假期，高三的8 名同学准备拼车去旅行，此中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4 名同学（乘同一辆车的4 名同学不考虑地点），此中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A．18 种B．24 种C．48 种D．36 种6．（5 分）《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如下图，此中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．（5 分）设不等式组表示的平面地区为D，若圆 C：（x+1）2+y2=r2（r ＞0）不经过地区 D 上的点，则 r 的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．[，]8．（5 分）若等边三角形ABC的边长为 3，平面内一点 M 知足 6﹣3=2，则?的值为（）A．﹣B．﹣ 2C．2D．9．（ 5 分）对于函数 f（x）=3sin（ 2x﹣）+1（x∈R），以下命题正确的选项是（）A．由 f（ x1）=f（ x2） =1 可得 x1﹣ x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成f（ x） =3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象对于点（，1）对称D．y=f（x）的图象对于直线x=﹣对称10．（ 5 分）设函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，若对于 x∈[ 1， 3] ，f （x）＜﹣ m+4 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A．（﹣∞， 0]B．C．D．11．（ 5 分）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆 M ：x2+y2﹣10x=0 所截得的两条弦长之和为12，已知△ ABP的极点 A，B 分别为双曲线的左、右焦点，极点 P 在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（ 5 分）已知定义在R 上的函数 f（ x）和 g（x）分别知足 f（x）=，e2x﹣2+x2﹣ 2f（0）?x，g′（x）+2g（ x）＜ 0，则以下不等式恒成立的是（）A．g（2016）＜ f（2）?g（ 2018）B．f （2）?g（ 2016）＜ g（ 2018）C．g（2016）＞ f （2）?g（ 2018）D．f（2）?g（ 2016）＞ g（2018）二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）设 a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的睁开式中含x2项的系数为．14．（ 5 分）若函数 f （x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．15．（ 5 分）已知三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面 ABC，如有一半径为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．（ 5 分）如图， OA，OB 为扇形湖面 OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣地区I 和地区Ⅱ，点 C 在上，∠ COA=θ，CD∥OA，其中，半径 OC及线段 CD 需要用渔网制成．若∠ AOB=，OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70 分）17．（ 12 分）已知 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，且 a1＜2，a n＞0， 6S n=+3a n+2，n∈N* ．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）若对 ? n∈ N* ，b n（﹣）n ，求数列 { b n 的前2n 项的和2n ．=1 } T18．（12 分）如下图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AB∥CD，∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2 ，点 E 为 AD 的中点，BD∩ CE=H，PH⊥平面 ABCD，且 PH=4．（1）求证： PC⊥BD；（ 2）线段 PC上能否存在一点 F，使二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是？若存在，请找出点 F 的地点；若不存在，请说明原因．19．（ 12 分）某地域为认识学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出 160 名，其数学构成绩（均为整数）的频次散布直方图如下图．（ 1）预计此次考试数学成绩的均匀分和众数；（ 2）假定在（ 90，100] 段的学生中有 3 人得满分 100 分，有 2 人得 99 分，其他学生的数学成绩都不同样．现从 90 分以上的学生中任取 4 人，不一样分数的个数为 ξ，求 ξ的散布列及数学希望 E （ξ）．20．（12 分）已知椭圆 C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点 F 是抛物线 C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点（ 2，4）在抛物线 C 2 上．（ 1）求椭圆 C 1 的方程；（ 2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 1 于 A ，B 两点， M （ 0，2），直线 AM 与 BM的斜率乘积为﹣ ，若在椭圆上存在点 N ，使| AN| =| BN| ，求△ ABN 的面积的最小值．21．（ 12 分）已知函数 f （x ）=ae x +x 2﹣bx （a ，b ∈ R ），其导函数为 y=f ′（ x ）．（ 1）当 b=2 时，若函数 y=f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点，务实数 a 的取值范围；（ 2）设 a ≠0，点 P （m ， n ）（m ， n ∈ R ）是曲线 y=f （x ）上的一个定点，能否存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立？并证明你x xx的结论．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 1：（ t 为参数）， l 2：（t 为参数），此中 α∈（ 0，），以原点 O 为极点， x 轴第 5页（共 25页）非负半轴为极轴，取同样长度单位成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出 l1， l2的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 l1，l 2分别与曲线 C 交于点 A，B（非坐标原点），求 | AB| 的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．设函数 f （x）=| x﹣a| （ a＞ 0）．（1）当 a=2 时，解不等式 f（x）≥ 1﹣ 2x；（2）已知 f（x）+| x﹣1| 的最小值为 3，且 m2n=a（ m＞0，n＞0），求 m+n 的最小值．2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．【剖析】可先求出会合A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ，而后进行交集、补集的运算即可．【解答】解： A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ；∴?R A={ x| ﹣1≤x≤3} ；∴（ ?R A）∩ B={ 0，1，2，3} ．应选： C．【评论】考察一元二次不等式的解法，以及描绘法、列举法表示会合的观点，交集和补集的运算．2．【剖析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0 且虚部不等于求解 a 的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得 a=﹣6．应选： A．【评论】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，是基础的计算题．3．第 7页（共 25页）否认是全称命题写出结果．【解答】解：f（ x）=sinx﹣tanx，x∈（ 0，），当x=时，∴ f（x）=，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，是真命题，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，则￢p：? x∈（0，），f（x）≥ 0．应选： C．【评论】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，基本知识的考察．4．【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当 S=1时，不知足退出循环的条件，故S=1，i=3；当 S=1时，不知足退出循环的条件，故 S=3，i=5；当S=3时，不知足退出循环的条件，故 S=15， i=7；当S=15时，不知足退出循环的条件，故 S=105，i=9；当 S=105时，不知足退出循环的条件，故 S=945， i=11；当S=945时，不知足退出循环的条件，故 S=10395，i=13；当S=10395时，知足退出循环的条件，故输出的 i=13，应选： D．【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采纳模拟循环的方法解答．5．【剖析】分类议论，第一类，一班的 2 名同学在甲车上；第二类，一班的2 名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，一班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不一样的班级，从三个班级中选两个为C2=3，而后分别从选择的班级中再选第 8页（共 25页）择一个学生为 C21C21=4，故有 3×4=12 种．第二类，一班的 2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为 C31=3，而后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有 3×4=12 种，依据分类计数原理得，共有 12+12=24 种不一样的搭车方式，应选： B．【评论】此题考察计数原理的应用，考察组合知识，考察学生的计算能力，属于中档题．6．【剖析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形联合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图；正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，此中一条侧棱 PD⊥底面 ABCD，且侧棱 AD=1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且 PA=PC= ，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．应选： C．【评论】此题考察了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【剖析】作出题中不等式组表示的平面地区，获得如图的△MNP 及其内部，而圆 C 表示以（﹣ 1，﹣1）为圆心且半径为 r 的圆．察看图形，可得半径r ＜CM或 r＞CP 时，圆 C 不经过地区 D 上的点，由此联合平面内两点之间的距离公式，即可获得 r 的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面地区，获得如图的△ MNP 及其内部，此中M（1，1）， N（2，2），P（1，3）∵圆 C：（x+1）2 +y2=r2（r ＞0）表示以 C（﹣ 1，0）为圆心，半径为r的圆，∴由图可得，当半径知足r＜ CM 或 r＞CP时，圆 C 不经过地区 D 上的点，∵CM==，CP==．∴当 0＜r ＜或r＞时，圆C不经过地区D上的点，应选： A．【评论】此题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面地区，求半径r的取值范围．侧重考察了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面地区等知识，属于中档题．8．【剖析】依据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，而后进行数目积的运算即可．【解答】解：等边三角形 ABC 的边长为 3；∴；；∴；∴==，=；∴= ==﹣2．应选： B ．【评论】考察向量数目积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9．【剖析】依据函数 f （ x ）=3sin （ 2x ﹣ ）+1（ x ∈ R ），联合三角函数的性质即可判断各选项．【解答】解：函数 f （x ） =3sin （2x ﹣ ）+1（x ∈R ），周期 T=，对于 A ：由 f （ x 1） =f （ 2），x =1可能 x 1 与 x 2 对于此中一条对称轴是对称的，此时 x 1﹣x 2 不是 π的整数倍；∴ A不对．对于 B ：由引诱公式， 3sin （2x ﹣ ） +1=3cos[ ﹣（ 2x ﹣ ） ]+ 1=3cos （ 2x﹣）+1．∴ B 不对．第11页（共 25页）∴C不对，对于 D：当 x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f（x）的图象对于直线x=﹣对称．应选： D．【评论】此题主要考察利用y=Asin（ωx+φ）的信息特点，判断各选项的正误，属于中档题．10．【剖析】利用分别参数法，再求出对应函数在x∈ [ 1，3] 上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意， f（x）＜﹣ m+4，可得 m（ x2﹣x+1）＜ 5．∵当 x∈[ 1， 3] 时， x2﹣x+1∈[ 1，7] ，∴不等式 f（ x）＜ 0 等价于 m＜．∵当 x=3 时，的最小值为，∴若要不等式 m＜恒成立，则一定 m＜，所以，实数 m 的取值范围为（﹣∞，），应选： D．【评论】此题考察恒成立问题，考察分别参数法的运用，解题的要点是分别参数，正确求最值，属于中档题．11．【剖析】依据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再依据点到直线的距离公式可得=4，获得5b=4c，即可求出a= c ，依据正弦定理可得第12页（共 25页）== =【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M ：x2+y2﹣ 10x=0，即（x﹣ 5）2+y2=25 所截得的两条弦长之和为 12，设圆心到直线的距离为d，则 d==4，∴=4，即 5b=4c，即 b= c∵ a2=c2﹣ b2=c2，∴a= c，∴| AP﹣BP| =2a，由正弦定理可得∴sinB= ， sinA====2R，，sinP=，∴== =，应选： C．【评论】此题考察了双曲线的简单性质以及圆的相关性质和正弦定理，属于中档题12．【剖析】 f（x）=2x﹣2 2﹣ 2f（0）?x，令 x=0，则 f （0）= ．由 f ′e +x（x）=f （′1）?e2x﹣2+2x﹣2f（0），令 x=1，可得 f（0）．从而得出 f （′1），f（ x），（）．令（）2x （），及其已知2x[ g′f 2h x =e g x g′（x）+2g（x）＜0，可得 h′（x）=e （x）+2g（x）] ＜0，利用函数 h（ x）在 R 上单一递减，即可得出．【解答】解： f（x） =2x﹣ 2 2e +x ﹣2f（ 0） ?x，令 x=0，则 f（0）=．∵f （′ x）=f ′（1）?e2x﹣2+2x﹣ 2f（0），令 x=1，则 f ′（ 1） =f ′（1）+2﹣2f（0），解得 f（ 0） =1．∴ f （′ 1） =2e2．∴ f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2）=e4．令 h（x） =e2x g（x），∵ g′（x） +2g（x）＜ 0，∴h′（x） =e2x g′（x）+2e2x g（ x） =e2x[ g′（ x）+2g（ x） ] ＜ 0，∴函数 h（ x）在 R 上单一递减，∴ h（2016）＞ h（ 2018），∴e2016×2g（2016）＞ e2018×2g（ 2018），可得： g（2016）＞ e4g（2018）．∴g（ 2016）＞ f（ 2）g（2018）．应选： C．【评论】此题考察了利用导数研究函数的单一性极值与最值、结构法、方程与不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．第14页（共 25页）出 r 的值，问题得以解决．【解答】解：因为 a= （cosx﹣sinx）dx=（ sinx+cosx）| =﹣ 1﹣ 1=﹣2，∴（﹣2 ﹣）6+ ）6的通项公式为r+1 6﹣r 6r 3﹣r ，=（2 T =2 C ?x令 3﹣r=2，求得 r=1，故含 x2项的系数为 26﹣1C61=192．故答案为： 192【评论】此题主要考察定积分、二项式定理的应用，二项式睁开式的通项公式，属于基础题．14．【剖析】由已知中函数f（ x）为奇函数， f（﹣ x）=﹣f（ x）恒成立，可得 a，b 的值，从而可得 f （a+b）的值．【解答】解：∵函数 f （x）==为奇函数，故 f（﹣ x） =﹣ f（ x）恒成立，故．即，∴ f（x）=，∴f（a+b） =f（1）=1﹣ 2=﹣1，故答案为：﹣ 1．【评论】此题考察的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15．【剖析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA1的长度．【解答】解：由题意，△ ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ ABC外接圆圆心 G，即 GA=GB=GC=2，从而正三角形 ABC边长 2 ，设球心 O，由题意， E、D 在球面上， OE=OD=2，F 为 DE中点，则 OF⊥DE， OF=GD= GC=1，在 Rt△OEF中， OE=2， OF=1，∴EF= ，∴ DE=2 ，∴AA1=2 ．故答案为： 2 ．【评论】此题考察正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，经过两者的关系求出正三棱柱的体积，考察计算能力，逻辑推理能力．16．【剖析】确立∠ COD，在△ OCD中利用正弦定理求得CD 的长度，依据所需渔网长度，即图中弧 AC、半径 OC和线段 CD长度之和，确立函数的分析式，利用导数确立函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由 CD∥OA，∠ AOB=，∠ AOC=θ，得∠ OCD=θ，∠ ODC=，∠COD=﹣θ；在△ OCD中，由正弦定理，得CD= sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ），可得 f （θ）=θ+1+ sin（﹣θ），所以 f ′（θ）=1﹣cos（﹣θ），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（ 0，），第16页（共 25页）令 f ′（θ）=0，得 cos（﹣θ）=，所以﹣θ= ，所以θ= ．θ（0，）（，）f （′θ）+0﹣f（θ）极大值所以 f （θ）∈（ 2，] ．故所需渔网长度的最大值为．【评论】此题考察了正弦定理的应用问题，也考察了函数模型的建立与最值应用问题，是难题．三、解答题（共70 分）17．【剖析】（1）6S n=+3a n+2，n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（ a n+a n﹣1）（a n﹣ a n﹣1﹣3）=0，由 a n＞0，可得 a n﹣a n﹣1=3，n=1 时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得 a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2） b n=（﹣ 1）n =（﹣ 1）n（3n﹣2）2． b2n﹣1+b2n=﹣（ 6n﹣ 5）2+（6n﹣ 2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组乞降即可得出．【解答】解：（1）6S n =+3a n+2， n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1= +3a n +2﹣（+2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴ a n﹣ a n﹣1=3，n=1 时， 6a1= +3a1+2，且 a1＜2，解得 a1=1．∴数列 { a n} 是等差数列，首项为1，公差为 3．∴a n=1+3（ n﹣ 1）=3n﹣2．=（﹣ 1）n（3n﹣ 2）2．（ 2） b n =（﹣ 1）n∴b+b=﹣（ 6n﹣5）2+（6n﹣ 2）2=3（ 12n﹣7）=36n﹣21．第17页（共 25页）∴数列 { b n 的前2n 项的和 2n （）﹣21n=﹣ 2} T =36 1+2+ +n 21n=18n ﹣3n．【评论】此题考察了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与乞降公式、分组乞降方法，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【剖析】（1）推导出△ BAD≌△ EDC，∠ DBA=∠DEH，从而 BD⊥EC，由 PH⊥平面 ABCD，得 BD⊥PH，由此能证明 BD⊥平面 PEC，从而 PC⊥ BD．（2）推导出 PH、 EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为 x，y， z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：（1）∵ AB∥CD，∠ BAD=90°，∴∠ EDC=∠BAD=90°，∵DC=DA=2AB，E 为 AD 的中点，∴ AB=ED，∴△ BAD≌△ EDC，∴∠ DBA=∠DEH，∵∠ DBA+∠ADB=90°，∴∠ DEH+∠ADB=90°，∴ BD⊥EC，又∵ PH⊥平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，∴ BD⊥PH，又∵ PH∩ EC=H，且 PH，EC? 平面 PEC，∴ BD⊥平面PEC，又∵ PC? 平面 PEC，∴ PC⊥BD．解：（ 2）由（ 1）可知△ DHE∽△ DAB，由题意得 BD=EC=5，AB=DE= ，∴，∴EH=1， HC=4，DH=2，HB=3，∵ PH、EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为x，y，z 轴的坐标系，H（0，0，0），B（3，0，0），C（0，4，0），D（﹣ 2，0，0），P（0，0，4），假定线段 PC上存在一点 F 知足题意，∵与共线，∴存在独一实数λ，（0≤λ≤ 1），知足 =λ，解得F（0，4﹣4λ， 4λ），设向量=（x，y， z）为平面 CPD的一个法向量，且=（0，﹣ 4，4），=（﹣2，﹣4，0），∴，取 x=2，得=（2，﹣ 1，﹣ 1），同理得平面 CPD的一个法向量=（0，λ，λ﹣1），∵二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是，∴ | cos＜＞| ===，由 0≤λ≤ 1，解得λ=，∴=，∵CP=4 ，∴线段 PC上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【评论】此题考察线线垂直垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．19．【剖析】（1）把组中值看作各小组的均匀数，依据加权均匀数公式计算；（ 2）依据组合数公式计算各样状况的概率，得出散布列．【解答】解：（1） =45×0.005×10+55×0.015×10+65× 0.02×10+75× 0.03×10+85×0.025×10+95× 0.005×10=72（分），众数为 75 分．（2） 90 分以上的人数为 160×0.005×10=8人．∴ξ的可能取值为 2， 3， 4，P（ξ =2）==，P（ξ =3）==，P（ξ =4）==．∴ξ的散布列为：ξ 2 3 4P∴ξ的数学希望是 E（ξ）=2× +3×+4×=．【评论】此题考察了频次散布直方图，失散型随机变量的散布列和数学希望，属于中档题．20．【剖析】（1）先求出 p 的值，即可求出 c 的值，依据离心率求出 a 的值，即可得到椭圆方程，（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（ x1，1），（2，2），由，yB x y依据直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，求出m=0，再依据弦长公式求出| AB|和| ON| ，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：（1）∵点（ 2， 4）在抛物线 y2=2px 上，∴16=4p，第20页（共 25页）∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆 C1：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，∴= ，∴a=2 ，∴b2=a2﹣ c2=8﹣4=4，∴椭圆 C1的方程为+，=1（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（x1，1 ），（ 2 ， 2 ），y B x y 由，消 y 可得（ 1+2k2） x2 +4kmx+2m2﹣8=0，∴ x1 2 ， 1 2 ，+x = x x =∴ y1 2 （ 1 2 ）+2m= ，12 212 （ 1 2） 2=+y =k x +x y y =k x x +km x +x +m∵ M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，∴ k1?k2=?===﹣，解得 m=0，∴直线 l 的方程为 y=kx，线段 AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得 | AB| ==，∵| AN| =| BN| ，∴ ON 垂直均分线段 AB，当 k≠0 时，设直线 ON 的方程为 y=﹣x，同理可得|ON|== ，∴ S △ ABN = | ON| ?| AB| =8，当 k=0 时，△ ABN 的面积也合适上式，令 t=k 2+1， t ≥1，0＜ ≤ 1，则S =8=8=8，△ABN∴当 = 时，即 k=±1 时， S △ABN 的最小值为．【评论】此题考察椭圆的标准方程，直线与椭圆的地点关系，考察椭圆与二次函数函数的应用，考察计算能力，属于难题．21．【剖析】（1）当 b=2 时，f （ x ）=ae x +x 2﹣ 2x ，（ a ∈ R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣2，（ a ∈ R ），由题意 a=，令 h （ x ）= ，则 =0，解得 x=2，由此能求出当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2 ）由f （ x ） =ae x +x 2 ﹣ bx ，得 f ′（ x ） =ae x +2x ﹣ b ，假定存在 x 0 ，则，利用导数性质推导出不存在实数x （0 x 0≠m ）使得 f （x 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立．x【解答】解：（1）当 b=2 时， f （x ）=ae x +x 2﹣2x ，（a ∈R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣ 2，（a ∈R ），由题意得 ae x +2x ﹣ 2=0，即 a= ，令 h （x ） =，则=0，解得 x=2，当 x ＜2 时， h ′（ x ）＜ 0，h （x ）单一递减，当 x ＞2 时， h ′（ x ）＞ 0，h （x ）单一递加， ∴ h （ x ）min =h （ 2）=﹣ ，∵当 x=﹣ 1 时， h （﹣ 1） =4e ＞0，当 x ＞2 时， h （x ）=＜0，由题意适当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2）由 f （x ）=ae x +x 2﹣bx ，得 f ′（x ）=ae x +2x ﹣ b ，假定存在 x 0，则有 f （x 0）==，即，∵ f （′）= +2 ﹣b ，==+（x 0+m ）﹣ b ，∴+2?﹣ b=+（x 0 +m ）﹣ ，b即 = ，∵ a ≠0，∴，令 t=x 0﹣ m ＞，则，两边同时除以 e m ，得，即，令 g （t ） =，∴ ，令 h （t ） =﹣ ﹣1 在（ 0，+∞）上单一递加，且 h （0）=0，∴ h （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，即 g ′（t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴ g （ e ）在（ 0，+∞）上单一递加， g （0）=0，∴ g （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴= 不可立，同理， t=x 0﹣ m ＜0 时，∴不存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f ′（）（0﹣ m ）成立． x xx【评论】此题考察利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、知足条件的实数能否存在的判断与证明，考察函数与方程思想、转变与化归思想，考察运算求解能力、推理论证能力，考察创新意识，是中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．【剖析】（1）考察直线 l 1，l 2 参数方程与极坐标方程的互化，曲线 C 的极坐标方程与直角坐标方程的互化．要点都是消去参数t ．（ 2）利用 l 1， l 2 极坐标方程，联合余弦定理，计算出 | AB| 的长度．【解答】解：（1）l 1，l 2 的极坐标方程为 θ1=α（ρ∈R ）， θ2=α+ （ρ∈R ）．曲线 C 的极坐标方程方程为 ρ﹣4cos θ=0．即得 ρ2﹣4ρcos θ=0，222利用 ρ x +y ，x=ρcos θ得曲线 C 的直角坐标方程为（ x ﹣2）2+y 2=4．（ 2）因为 ρ1=4cos α， ρ2=4cos （α+ ），所以|AB|2﹣ ρ1． ρ222（）﹣ cos αcos=+2 cos=16[ cos α+cos（）]=16[ cos 2α+ （cos α﹣ sin α）2﹣cos α（ cos α﹣ sin α）] =8，所以| AB| 的值为 2 ．【评论】考察极坐标方程与参数方程，一般方程的互化．记准互化公式和原则是要点，属于中档题目．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]第24页（共 25页）23．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）依据绝对值不等式的性质求出 a 的值，联合基本不等式的性质求出 m+n 的最小值即可．【解答】解：（1）当 x≥2 时， x﹣ 2≥ 1﹣ 2x，得 x≥1，故 x≥2，当 x＜2 时， 2﹣x≥1﹣2x，得 x≥﹣ 1，故﹣ 1≤x＜2，综上，不等式的解集是 { x| x≥﹣ 1} ；（ 2）∵ f（ x）+| x﹣ 1| 的最小值是 3，∴ f（x）+| x﹣1| ≥| x﹣ a﹣（ x﹣ 1） | =| a﹣ 1|=3，故 a=4，∵ m+n= + +n≥3 =3，当且仅当=n 即 m=2， n=1 时取“=．”【评论】此题考察认识绝对值不等式问题，考察绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．第25页（共 25页）。

河南省新乡市高三第一次模拟考试数学(理)试题附答案

新乡市高三第一次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24}xA x =>，{|015}B x x =<-≤，则()=R C A B （）A ．{|25}x x <≤B ．{|5}x x ≤C ．{|12}x x <≤D ．{|1}x x > 2.若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则z 的实部为（） A ．-5 B ． 5 C ．-8 D ．83.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑（）A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ． 39500m 4.若二项式71()nx x -的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（） A ． 7 B ．8 C. 14 D ．16 5.设函数()5xx f x ee x -=--，则不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为（）A ．(3,2)-B ．(,3)(2,)-∞-+∞ C. (2,3)- D ．(,2)(3,)-∞-+∞6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ． 28B ．30 C. 36 D ．427.设不等式组40310x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的可行域M 与区域N 关于y 轴对称，若点(,)P x y N ∈，则2z x y =+的最小值为（）A ． -9B ．9 C. -7 D ．78.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（） A ．1191077 B ．160359 C. 9581077 D ．2893599.已知点(,)M x y 是抛物线24y x =（）A ．3B ． 4 C. 5 D ．6 10.将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，则()g x =（）A ．31sin 444x - B ．13sin 444x - C. 31cos 444x - D ．13cos 244x - 11.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >> C. c a b >> D ．c b a >>12.已知函数1,0()3,0x e x f x x ax x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()(())2g x f f x =-恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞ C. (0,1) D ．(1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量,a b 满足||3a =，且()()4a b a b +-=，则||b = ．14.设P 为曲线2x =上一点，(A ，B ，若||2PB =，则||PA = ．15.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(1)(1)n n n a n S ++=-，则n S = ．16.已知,A B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.（1）试问：,,a b c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若3b c =，且ABC ∆的周长为4+ABC ∆的面积.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3AB AC ==，2CE EA =，BD DC =.（1）证明：平面PBC ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥P ABD -的体积为94，且AB AC ⊥，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值.19. 某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y 与日需求量x （单位：个）线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X （单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求X ；（ⅱ）求X 的分布列及其数学期望.相关公式：∑∑==---=n i i ni iix x y yx x b 121^)())((∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx 1221 ， x by a ^^-= 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()ln (0)af x x a x a a =--≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）对0a >时，对任意121,[,]x x e e∈，12|()()|2f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，(1,2)P -，求||||PA PB . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()13f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且211(0)k mn m n+=>，证明：16m n +≥. 试卷答案一、选择题1-5: CBABD 6-10: DCCAA 11、12：BC1.C ∵{|2}A x x =>，∴{|2}R C A x x =≤，又{|16}B x x =<≤，∴(){|12}R C A B x x =<≤.2.B 因为1811582iz i i+==+-，所以z 的实部为5. 3.A 依题意可知，这个同学第1天，第2天，…，跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑7650007200392002m ⨯⨯+⨯=. 4.B 71()n x x -的展开式的通项为8171()(1)r n r r r r n r r n n T C x C x x--+=-=-(0,1,,)r n =，令80n r -=，得8n r =，则整正数n 的最小值为8.5.D ∵()f x 是奇函数，∴2()(6)0f x f x +--<2()(6)(6)f x f x f x ⇔<---=+.又()f x 是减函数，∴22()(6)6f x f x x x <+⇔>+，故不等式2()(6)0f x f x +--<的解集为(,2)(3,)-∞-+∞.6.D 该几何体是由12个棱长为1的正方体组合而成的，所以121224S =+=前后，336S =+=左右，6612S =+=上下，从而2461242S =++=表面.7.C 作出区域N （阴影部分），由图可知，当直线2z x y =+经过点(4,1)-时，z 取得最小值-7.8.C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.9.A(,)M x y 到点(1,0)F 的距离，即点(,)M x y 到抛物线24y x =的准线1x =-(,)M x y 到点(2,1)A的距离，所以(2,1)A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离3，即min 3=.10.A ∵22222()(sin cos )2sin cos f x x x x x =+-1cos 21cos 21222x x -+=-⨯⨯31cos 444x =+， ∴3131()()cos(4)sin 4844244g x f x x x ππ=+=++=-.11.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<， ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 12.C 当0x >时，1()x e f x x -=，12(1)'()x e x f x x--=，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减；当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故min ()(1)1f x f ==.当0x ≤时，()3f x ax =+的图像恒过点(0,3)，当0,0a x ≤≤时，()(0)3f x f ≥=；当0,0a x >≤时，()(0)3f x f ≤=.()(())2g x f f x =-有5个零点，即方程(())2f f x =有5个解，设()t f x =，则()2f t =. 结合图像可知，当0a >时，方程()2f t =有三个根1(,0)t ∈-∞，2(0,1)t ∈，3(1,3)t ∈（∵2(3)23e f =>，∴313t <<），于是1()f x t =有1个解，2()f x t =有1个解，3()f x t =有3个解，共有5个解.由32ax +=，得1x a =-，再由13ax a +=-，得2314x a a=--<-，∵0a >，∴01a <<.而当0a ≤时，结合图像可知，方程(())2f f x =不可能有5个解.二、填空题 13.∵ 222()()9||4a b a b a b b +-=-=-=，∴||5b =. 14. 4由2x =得2244(0)x y x =+>，即221(0)4y x x -=>，故P 为双曲线221(0)4y x x -=>右支上一点，且,A B 分别为该双曲线的左、右焦点，则||||22PA PB a -==，||224PA =+=.15. 12n n-∵1(1)(1)n n n a n S ++=-，∴11n n n na S nS +++=，∴11()n n n n n S S S nS ++-+=，∴1(1)2n nn S nS ++=，∴{}n nS 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n nS -=，∴12n n S n-=.16.3∵AB BC ⊥，∴ABC ∆的外心'O 为AC 的中点，∴'OO ⊥平面ABC ，易证//'PA OO ，∴PA ⊥平面ABC ，从而球O 的半径R OA =，又343R π=，∴R =，∵AC =∴'AO ='1OO =，∴2PA AB ==.设PB 与AC 所成角为θ，则cos cos cosPBA BAC θ=∠∠==故tan 3θ=.三、解答题17.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-， ∴2224sin sin sin C B A =-， ∴2224c b a =-.假设,,a b c 依次成等差数列，则2a cb +=，则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=，又221532c a ac +≥>， ∴221532c a ac +≠，从而假设不成立，故,,a b c 不可能依次成等差数列.（2）∵2224c b a =-，3b c =，∴225a c =，则a =，则(44a b c c ++==1c =.从而223155cos 2136A +-==⨯⨯，则sin 6A =故ABC ∆的面积1sin 24S bc A ==.18.（1）证明：因为AB AC =，BD DC =，所以AD BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥，因为ADPA A =，所以BC ⊥平面PAD .又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAD .（2）因为1119333224P ABD V PA -=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以3PA =.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,3,0)C ，(0,1,0)E ，33(,,0)22D ，(0,0,3)P ，则31(,,0)22ED =，(0,1,3)PE =-.设平面PDE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n ED n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3102230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，令1z =，得(1,3,1)n =-，平面PAB 的一个法向量为(0,1,0)m =，则cos ,m n <>==故平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值为11. 19.（1）21x =，6y =，^2222(1521)(106)(1821)(86)(2421)(36)(2721)(26)630.7(1521)(1821)(2421)(2721)90b --+--+--+--==-=--+-+-+-， ^^6210.720.7a y b x =-=+⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为^0.720.7y x =-+.（2）（ⅰ）若日需求量为15个，则15(104)(2415)(24)72X =⨯-+-⨯-=元（ⅱ）若日需求量为18个，则18(104)(2418)(24)96X =⨯-+-⨯-=元若日需求量为21个，则21(104)(2421)(24)120X =⨯-+-⨯-=元若日需求量为24个或27个，则24(104)144X =⨯-=元故分布列为1087530487296120144101.63030303030EX =⨯+⨯+⨯+⨯== 20.（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =，又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =，则12c e a ==， 2223b a c =-=.故C 的方程为22143x y +=. （2）假设存在点P ，使得PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，3(1,)2B ，3(1,)2M -，则209(1)4PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为(1)y k x =-，设点11(,)B x y ，22(,)M x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=，根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于202(,)PM x x y =-，101(,)PB x x y =-，则212120012()PM PB x x x x x x y y ∙=-+++2222120120(1)()()k x x x k x x k x =+-++++ 2220002(485)31243x x k x k --+-=+ 因为PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=，解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)()a a a a x f x ax x x--=-=，当0a <时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.当0a >时，(0,1)x ∈，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上单调递减； (1,)x ∈+∞，'()0f x >，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增.（2）因为12max min |()()|()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()()2f x f x e -≤-，由（1）知，()f x 在1[,1)e上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以min ()(1)1f x f a ==-. 因为1()a f e e -=与()2a f e e a =-，所以max 1()max{(),()}f x f f e e=. 设1()()()2(0)a a g a f e f e e a a e-=-=-->，则'()220a a g a e e -=-->=，所以()g a 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g a g >=，所以1()()f e f e>，从而max ()()2a f x f e e a ==-，所以2(1)2a e a a e ---≤-，即10a e a e --+≤. 设()1(0)a a e a e a ϕ=--+>，则'()1a a e ϕ=-，当0a >时，'()0a ϕ>，所以()a ϕ在(0,)+∞上单调递增，又(1)0ϕ=，所以10a e a e --+≤等价于()(1)a ϕϕ≤，则1a ≤. 因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1].22.解：（1）直线l 的普通方程为：10x y +-=. 由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=，则2y x =，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）将122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，得220t -=，则122t t =-，故12||||||2PA PB t t ==.23.（1）由()13f x <，得|1||2|13x x -++<，则12113x x >⎧⎨+<⎩或21313x -≤≤⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩，解得：76x -<<，故不等式()13f x <的解集为(7,6)-.（2）证明：因为()|1||2|f x x x =-++|1(2)|3x x ≥--+=，所以3k =，因为21191(0)k mn m n m n+=+=>，所以0,0m n >>，199()()(10)1016n m m n m n m n m n+=++=++≥+= 当当当当9n m m n =，即4,12m n ==时取等号，故16m n +≥.。

河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试文数试题含答案

年龄
态度支持不支持
20 岁以上 50 岁以下
800 200
50 岁以上（含 50 岁）
100 300
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取
m 个人，已知从持“支持”态度的人
中抽取了 9 人，求 m 的值；
（2）是否有 99.9%的的把握认为支持网络购物与年龄有关？
参考数据：
2
K2
n ad bc
3
1 1 a2 a 32
1 a3
9
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11
6 16
∴a
3
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12 分
2
20．解：（1）∵ f x ex 2x 2 ，∵ f 1
e，即 k e, f 1
e 1，．．．．．．．．．3 分
∴ 所求切线方程为 y e 1 e x 1 ，即 ex y 1 0 ．．．．．．．．．．．．．．． 4 分
2.已知复数 z 15i ，则 z 的虚部为（
）
3 4i
9 A． i
5
9 B． i
5
9
C．
5
9
D．
5
3.统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，
则新生婴儿体重在
2700,3000 克内
的频率为（
）
A ． 0.001 B． 0.1 C．0.2 D ． 0.3
4.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（
800 900 800 200 100 300
18.解：（ 1）由题意，得
，
9
m
所以 m 14 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 分

2018年高三最新河南省新乡市2018届高三第一次调研(数

河南省新乡市2018届高三第一次调研（数学）(本试卷满分150分，考试时间120分钟)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n (k )＝C k n P k (1－P )n －k,, 球的表面积公式 S ＝4πR 2（其中R 表示球的半径）球的体积公式 V ＝43πR 3 （其中R 表示球的半径）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合A ＝{x |y ＝x ＋8}，集合B ＝{y |y ＝x 2－x }，则A ∩B 为( ) A. {－2,4} B.{(－2,6)，(4,12)} C. [－14，＋∞) D.R2.等差数列{a n }前n 项和S n ，若a 1＋a 5＋a 9＝18，则S 9＝( ) A.36 B.45 C.54 D.603.以双曲线x 23－y 2＝1的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是( )A.y 2＝6x 或y 2＝－6xB.x 2＝6y 或x 2＝－6yC.y 2＝2x 或y 2＝－2xD.y 2＝3x 或y 2＝－3x 4.已知a 、b 为直线，α、β、γ为平面①a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ②a ⊥α，a ⊥β，则α∥β ③γ⊥α，γ⊥β，则α∥β ④a ⊥α，α⊥β，则α∥β 以上结论正确的是( )A.①④B.①②C.③④D.②③5.设两个非零向量e 1，e 2不共线，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2也不共线，则实数k 的取值范围为( )A.(－∞，＋∞)B.(－∞，－1)∪(－1，＋∞)C.(－∞，1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)6.直线l 被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0截得线段长为2，将直线l 沿向量a ＝(－3,4)平移后，被圆截得线段长仍为2，则直线方程为( )A.4x ＋3y ＋2＝0B.3x ＋4y ＋5＝0C.4x ＋3y －2＝0D.3x ＋4y －5＝07.8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每个人的位置，其余5人位置不变，则不同调换方式为( )A.C 38B.2C 38C.C 38A 38D.3C 388.已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β为第三象限角，则cos β2的值为( )A.－255B.－55C.±255D.±559.如图，圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播.若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设OD ＝x (0≤x ≤a )，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )10.(x －2)2 018的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S ＝( ) A.23 018 B.－23 018 C.23 018 D.－23 01811.对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使得f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值M max ＝－1叫做f (x )＝x 2＋2x 的下确界，则对于a ，b ∈R ，且a ，b 不全为0，a 2＋b 2(a ＋b )2的下确界是( )A.2B.12C.14D.412.0<a ≤15是函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上) 13.已知函数f (x )＝log 2x ，F (x ，y )＝x ＋y 2，则F (f (14),1)＝ .14.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1y ≥|x －1|，则3x －y 的最大值是 .15.已知△OFQ 的面积为S 且OF ·FQ ＝1，若12<S <32，则OF 与FQ 夹角范围为 .16.设函数f (x )定义域为D ，若对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 使f (x 1)＋f (x 2)2＝c (c 为常数)成立，则称函数f (x )在D 上均值为c ，下列五个函数①y ＝4sin x ；②y ＝x 3；③y ＝lg x ；④y ＝2x ；⑤y ＝2x －1，则满足在其定义域上均值为2的所有函数序号为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知向量a ＝(3，2)，向量b ＝(sin2ωx ，－cos 2ωx )(ω>0).(Ⅰ)若f (x )＝a·b ，且其图象上相邻的一个最高点与最低点距离为1264＋π2，求f (x )的解析式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f (x )的图象沿向量c 平移可得到函数y ＝2sin2x 的图象，求向量c.18.(本小题满分12分)从男女同学共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会. (Ⅰ)求学生甲当选的概率；(Ⅱ)求学生甲和学生乙至少有一个当选的概率；(Ⅲ)如果选得同性委员的概率等于0.5，求该班男女相差几人.19.(本小题满分12分)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ， P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，点E 是PD 的中点.(Ⅰ)求证：AC ⊥PB ； (Ⅱ)求证：PB ∥面AEC ； (Ⅲ)求二面角E －AC －B 的大小.20.(本小题满分12分)在xOy 平面上有一点列P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，…，P n (a n ，b n )，对每个自然数n ，点P n 位于函数y ＝2 000(a10)x (0<a <10)的图象上，且点P n ，点(n,0)与点(n ＋1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(Ⅰ)求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(Ⅱ)若对于每个自然数n ，以b n ，b n ＋1，b n ＋2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围.21.(本小题满分12分)如图，过抛物线C 1：x 2＝4y 的对称轴上一点P (0，m )(m >0)作直线l 与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两不同点，点Q 是点P 关于原点的对称点，以P 、Q 为焦点的椭圆为C 2.(Ⅰ)求证x 1x 2为定值；(Ⅱ)若直线l 方程为x －2y ＋4＝0且C 1、C 2以及直线l 有公共点，求C 2的方程.22.(本小题满分12分)设数列{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，令b n＝1－a1－a2－a3－…－a n，c n＝2－b1－b2－b3－…－b n，n∈N*.(Ⅰ)试用a和q表示b n和c n；(Ⅱ)若a<0，q>0且q≠1，试比较c n与c n＋1的大小；(Ⅲ)是否存在实数对(a，q)，其中q≠1，使{c n}成等比数列，若存在，求出实数对(a，q)和{c n}；若不存在，请说明理由.参考答案1. C 【解析】据题意得：A ＝R ，B ＝{y |y ＝(x －12)2－14}＝{y |y ≥－14}，故A ∩B ＝B ＝{y |y ≥－14}. 2. C 【解析】本题考查等差数列性质及前n 项和公式. 由已知得：a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18，解得a 5＝6，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9·2a 52＝54.3. A 【解析】本题考查抛物线方程的求解. 由双曲线方程得其准线方程为：y ＝±a 2c ＝±32，故p 2＝32⇒p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝±6x . 4. B 【解析】注意通过淘汰选项提高解题速度；由于垂直同一平面的两直线平行，易知(1)正确，排除C ，D.又由垂直于同一直线的两平面平行易知(2)正确，排除A ，故选B.5. D 【解析】可先确定两向量共线的条件，然后再取其补集即可；据题意若(k e 1＋e 2)∥(e 1＋k e 2)，则必有k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)⇒(k －λ)e 1＋(1－kλ)e 2＝0，由于e 1，e 2不共线，故必有(k －λ)＝(1－kλ)＝0，解之得k ＝±1，故已知两向量不共线时k 的取值范围为D 选项.6. A 【解析】解答本题可结合图形寻求解题思路；由于圆是以(1，－2)为圆心，以1为半径，故若直线l 被圆截的弦长为2，可知直线l 过圆心(1，－2)，并且若平移后弦长也为2，说明平移后直线又回到了原来位置，由平移可知点(1，－2)沿向量平移后点的坐标为(－2,2)，故k l ＝－43，故直线l 方程为y ＋2＝－43(x －1)，整理即为选项A.7. B 【解析】据题意可先从8人中选出3人，然后3人不能坐在原来位置上的方法列举易知共有2种情况，故共有2C 38，故选B.8. D 【解析】本题考查三角恒等变换；据已知得：sin[(α－β)－α]＝－sin β＝45，故sin β＝－45，又β为第三象限角，故cos β＝－35，且β2为第二或第四象限角，根据半角公式得：cos β2＝±1＋cos β2＝±55. 9. A 【解析】注意分析圆弧型声波扫过平行四边形面积随OD 长变化的趋势，来判断图象；据已知图形可知圆弧型声波从开始到过点C 时，所扫过的平行四边形面积随OD 长的增加面积增加的越来越快，从过点C 到过点A 时，平行四边形面积随OD 长的增加是匀速的，过点A 后随OD 长的增加面积增加的越来越缓慢，故只有A 符合.10. B 【解析】据题意知S ＝C 12 006(2)2 018(－2)＋C 32 006(2)2 018(－2)3＋…＋C 2 0052 006(2)1(－2)2 018 ＝－(C 12 006＋C 32 006＋…＋C 2 0052 006)(2)2 018＝－22 018·(2)2 018 ＝－23 018，故选B.11. B 【解析】本题考查阅读理解能力及用均值不等式求最值；由a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，据题意得： a 2＋b 2(a ＋b )2＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋2ab ≥a 2＋b 22(a 2＋b 2)＝12，即其下确界为12.12. A 【解析】据题意已知函数在(－∞，4]上为减函数的充要条件为：当a >0时，只需－2(a －1)2a ≥4，解得0<a ≤15，当a ＝0时易知也适合，故充要条件为：0≤a ≤15，故选A. 【易错警示】易忽视二次项系数为0这一特殊情况而误选C. 13. －1 【解析】据题意易知F (f (14),1)＝F (－2,1)＝－1.14. 5 【解析】如图作出可行域，令z ＝3x －y ，可知将直线3x －y ＝0平移至点A (2,1)处时直线z ＝3x －y 在y 轴上截距最大，即点A 为取得最大值的最优解，即z max ＝3×2－1＝5.15.(π4，π3) 【解析】本题考查平面向量数量积与三角形面积公式应用；设〈OF ，FQ 〉＝θ，故OF ·FQ ＝1⇒|OF |×|FQ |＝1cos θ①，而S ＝12|OF |×|FQ |×sin(π－θ)＝12|OF |×|FQ |×sin θ，将①式代入得：S ＝12×1cos θ×sin θ＝tan θ2，因此有12<tan θ2<32，解之得：π4<θ<π3.16. ②③⑤ 【解析】本题考查考生的阅读理解能力与分析和解决问题的能力；①由于y ＝4sin x 是周期函数，故满足条件的x 2不唯一；④由于均值为2，故当x 1＝2时，2x 1＝4，此时满足条件的x 2不存在.17. 解：(Ⅰ)f (x )＝a·b ＝3sin2ωx －2cos 2ωx (2分) ＝2sin(2ωx －π6)－1 (4分)由16＋π24＝16＋T 24⇒T ＝π，ω＝1∴f (x )＝2sin(2x －π6)－1 (6分)(Ⅱ)向左平移π12个单位再向上平移1个单位得到y ＝2sin2x 的图象 (8分)即向量c ＝(－π12，1) (10分)18. 解：(Ⅰ)学生甲当选的概率为236＝118，或C 135C 236＝118(4分)(Ⅱ)学生甲和学生乙中恰有1人当选的事件记为A ，两人都当选的事件记为B ，它们互斥， (5分)P (A )＝C 12C 134C 236＝34315，P (B )＝C 22C 236＝1630(7分)甲、乙至少有一人当选的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝34315＋1630＝23210 (8分)(Ⅲ)设男生x 人，则女生36－x 人 (9分) 选两名委员都是男生的概率为C 2xC 236＝x (x －1)36×35选两名委员都是女生的概率为C 236－xC 236＝(36－x )(35－x )36×35 (10分)两者互斥，故x (x －1)36×35＋(36－x )(35－x )36×35＝0.5 (11分)解得x ＝15或21，男15女21或男21女15，均相差6人 (12分) 19. 解：(Ⅰ)P A ⊥面ABCD ，∴AB 是PB 在面ABCD 上的射影 (1分) 又AB ⊥AC ，AC ⊂面ABCD (2分) ∴AC ⊥AB (3分)(Ⅱ)连接BD 与AC 交于O ，连接EO ， ∵ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点 (4分)又E 是PD 的中点 ∴EO ∥PB (5分) 又PB ⊄面AEC ，EO ⊂面AEC ， ∴PB ∥面AEC (7分)(Ⅲ)以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系 (8分)设AB ＝AP ＝b ，AC ＝a ，取BC 中点为G ，则G (a 2，b 2，0)，O (a 2，0,0)，OG ＝(0，b2，0)OE ＝12BP ＝(0，－b 2，b2)，AC ＝(a,0,0)∴OE ·AC ＝0，OG ·AC ＝0∴OE ⊥AC ，OG ⊥AC ，故∠EOG 是二面角E －AC －B 的平面角. (10分) 由cos ∠EOG ＝cos 〈OE ，OG 〉＝OE ·OG|OE |·|OG |＝－22∴∠EOG ＝135° 故二面角E －AC －B 的大小为135° (12分) 20. 解：(Ⅰ)点P n 位于函数y ＝2 000(a10)x 图象上，b n ＝2 000(a10)a n (2分)又∵(a n ，b n )，(n,0)，(n ＋1,0)构成一个等腰三角形∴(a n －n )2＋b 2n ＝(a n －n －1)2＋b 2n (4分) a 2n －2na n ＋n 2＝a 2n ＋n 2＋1－2na n －2a n ＋2n∴a n ＝n ＋12， ∴b n ＝2 000(a 10)n ＋12(6分)(Ⅱ)∵b n ＋1b n ＝(a 10)n ＋32(a 10)n ＋12＝a 10<1 ∴{n n }是递减正数列 (8分)欲构成三角形，需b n ＋2＋b n ＋1>b n (10分) ∴2 000(a 10)n ＋32＋2 000(a 10)n ＋52>2 000(a 10)n ＋12即(a 10)2＋a10>1⇒a 2＋10a －100>0 由a ∈(0,10)得55－5<a <10 (12分)21. 解：(Ⅰ)过点P (0，m )的直线l 的斜率k 一定存在，l ：y －m ＝kx由⎩⎪⎨⎪⎧y －m ＝kx x 2＝4y (2分) ⇒x 2－4kx －4m ＝0则x 1x 2＝－4m ，∵m 是定值 ∴x 1x 2是定值 (4分) (Ⅱ)若l 为x －2y ＋4＝0 则P ∈l∴0－2m ＋4＝0⇒m ＝2，∴P (0,2)，Q (0，－2) (6分) 设以P ，Q 为焦点的椭圆为y 2a 2＋x 2a 2－4＝1(a >2)l 与C 1的交点由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x 2＝4y ⇒A (4,4)，B (－2,1) (8分)∵C 1，C 2及l 有公共点，依题知只能有一个. 若为A ，则16a 2＋16a 2－4＝1⇒a 2＝18±365(∵a 2>4 ∴取a 2＝18＋265) 故y 218＋265＋x 214＋265＝1 (10分) 若为B ，则1a 2＋4a 2－4＝1⇒a 2＝9＋652故2y 29＋65＋2x 21＋65＝1 (12分) 22. 解：(Ⅰ)当q ＝1时，a n ＝a ，b n ＝1－na ， c n ＝2＋n (na ＋a －2)2 (2分)当q ≠1时，a n ＝aqn －1，b n ＝1－a 1－q ＋aq n1－qc n ＝2－(1－a 1－q )n －a 1－q ·q (1－q n)1－q＝2－aq(1－q )2＋q －1＋a 1－q n ＋aq n ＋1(1－q )2(4分)(Ⅱ)c n ＋1－c n ＝－b n ＋1＝－1＋a 1－q －aq n ＋11－q＝－1＋a 1－q (1－q n ＋1) (6分)∵1＋q ＋q 2＋…＋q n＝1－q n ＋11－q(q ≠1)，由已知q >0，则1＋q ＋q 2＋…＋q n >0 即1－q n ＋11－q >0，又a <0，则a 1－q(1－q n ＋1)<0亦即－1＋a 1－q(1－q n ＋1)<0 ∴c n ＋1－c n <0即c n ＋1<c n (8分)(Ⅲ)c n ＝2－aq (1－q )2＋q －1＋a 1－q n ＋aq n ＋1(1－q )2，若{c n }成等比数列，则令⎩⎪⎨⎪⎧ 2－aq (1－q )2＝0①q －1＋a 1－q ＝q ②)由②得a ＝1－q ，代入①得2－q 1－q＝0 ∴q ＝23，∴a ＝13(10分) 此时，c n ＝13×(23)n ＋1(1－23)2＝43(23)n －1 所以，存在实数对(a ，q )为(13，23)，使{c n }成为以43为首项，23为公比的等比数列 (12分) 综评：试题难度中等，具有一定区分度，选择题和填空题中9,15,16对知识的考查比较灵活，体现出考生对知识应用能力的考查，解答题注意了对通性通法的考查，但每题均有2至3问，这对考生基础题型的掌握的熟练程度本身就是一个重要的区分，所以考生在平时复习过程中既要注重准确率，同时也要提高解答的速度，做到既快又准确是高考取得优秀成绩的必由之径.。

河南省新乡市第一中学2017-2018学年高三上学期第一次(9月)月考理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合4{|0}1x A x R x -=∈≤+，2{|(2)(1)0}B x R x a x a =∈---<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．{1}[2,)+∞D ．(1,)+∞ 【答案】C【解析】考点：1、集合的表示；2、集合的交集及其应用. 2.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（）A ．2-B ．12-C ．12D 【答案】A【解析】试题分析：角α的终边上的坐标为55(sin ,cos )66ππ，即1,2⎛ ⎝⎭，则由任意角的三角函数的定义，可得sin 2α=-，故选A. 考点：特殊角的三角函数及任意角的三角函数的定义.3.已知平面直角坐标系内的两个向量，(1,2)a = ，(,32)b m m =-，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（λ，μ为实数），则m 的取值范围是（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞ D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】试题分析：根据题意，向量,a b 是不共线的向量，因为(1,2)a = ，(,32)b m m =- ，由向量,a b不共线3212m m -⇔≠，解之得2m ≠，所以实数m 的取值范围是{}|2m m R m ∈≠且，故选D.考点：1、平面向量的坐标表示；2、平面向量基本定理.4.已知把函数()sin f x x x =的图象向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（） A ．6x π= B ．76x π=C. 12x π= D ．56x π=【答案】D【解析】考点：1、三角函数的放缩变换及平移变换；2、三角函数的图象. 5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则32()21f x x kx x =--+的极大值为（）A ．2B ．52C.3 D ．72【答案】B【解析】试题分析：因为等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，所以()2122n n S k n --=+≥，两式想减化简得，()222n n a n -=≥，又111a S k ==+，所以，121112,22k k -+===-，()3221()21,'322f x x x x f x x x =+-+=+-，可得()f x 在()2,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，因此()f x 的极小值为()512f -=，故选B. 考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值. 6.ABC ∆中三边上的高的大小依次为113，15，111，则ABC ∆为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．不存在这样的三角形【答案】C【解析】考点：1、三角形的形状判断；2、余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查三角形的形状判断、余弦定理的应用，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；(3)利用余弦定理判断出最大角为钝角或锐角.7.已知两个力12,F F 的夹角为90，它们的合力F 的大小为10N ，合力F 与1F 的夹角为60 ，那么1F的大小为（）A ．B ．5N C. 10ND ．【答案】B【解析】试题分析：因为两个力12,F F 的夹角为90，它们的合力F 的大小为10N ，合力F 与1F 的夹角为60，所以根据平面向量运算的平行四边形法则及向量的几何意义可知1F的大小为10cos605︒⨯=，故选B.考点：1、平面向量运算的平行四边形法则及向量的几何意义；2、向量的应用.8.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，那么不等式(1)3f x +>的解集是（）A ．(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．(,2)(0,)-∞-⋃+∞ C. (,0)(2,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性及绝对值不等式的解法. 9.定积分0|sin cos |x x dx π⎰-的值是（）A ．2+．2D ．【答案】D【解析】试题分析：()()4004|sin cos |cos sin cos sin x x dx x x dx x x dx ππππ⎰-=⎰-+⎰-()()404sin cos |sin cos |x x x x πππ=++--= D.考点：定积分的应用.10.已知函数()sin 2[0,])f x x x π=-∈，()3g x x =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 分别位于()f x ，()g x 的图象上，则221212()()x x y y -+-的最小值为（）A ．2(18)72π+B ．12C. 2(18)12π+D ．【答案】A【解析】考点：1、利用导数求曲线的切线方程；2、点到直线距离公式及转化与划归思想的应用.11.已知函数2()cos ()1(0,0,0)2f x A x A πϖϕϖϕ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)(3)(2016)f f f f ++++ 的值为（）A ．2468B ．3501 C.4032 D ．5739 【答案】C 【解析】试题分析：已知函数2()cos ()1(0,0,0)2f x A x A πϖϕϖϕ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得()12,02cos 12,cos ,23A f πϕϕϕ==+=∴==，即()22cos 13f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其相邻两条对称轴间的距离为2πω=，可得()22,2cos 1cos 22233f x x x ππππωπ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故根据诱导公式知()f n 的周期为4，因为()()()()()()()()535312348,123 (20162222)f f f f f f f f +++=+++=∴++++ ()()()()50412344032f f f f =+++=⎡⎤⎣⎦ ，故选C.考点：1、余弦函数的图象与性质；2、两角和的余弦公式、诱导公式及函数的周期性. 【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.求解析时（1）求主要根据函数的最值求A 的值；（2）根据周期公式2T πω=，先确定周期T的值再求ω的值，确定周期的主要途径是:①根据相邻对称轴及相邻对称中心的距离确定2T，②一个对称轴和一个对称中心确定3,44T T ，（3）参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=.12. 已知三角形ABC 内的一点D 满足2DA DB DB DC DC DA ===-，且||||||DA DB DC == .平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC = ，则2||BM 的最大值是（）A ．494 B ．434D 【答案】A【解析】BM ∴ 72=，2||BM 的最大值是494，故选A.考点：1、平面向量数量积公式及向量的模；2、平面向量的几何运算及坐标运算.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式及向量的模、平面向量的几何运算及坐标运算，属于难题.向量有几何法和坐标法两种表示方法，向量的运算也分为几何运算和坐标运算两种，因此向量问题的解答也有两种思路，即几何法和代数法：几何运算要掌握两种法则（平行四边形法则和三角形法则），同时还要熟练掌握平面向量数量积公式；坐标运算要正确建立适当的坐标系，转化为解析几何问题进行解答.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若实数x，y满足约束条件310203640x yx yx y--≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y=+的最小值为__________.【答案】1 5 -考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.14. 已知P 是ABC ∆所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2(1)PD PC PA PB λ+=++，且PBA ∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为___________. 【答案】1-考点：1、平面向量的基本定理及其意义；2、平面向量的几何运算. 15.设曲线1*()n y xx N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则20161201622016320162015log log log log x x x x ++++ 的值为___________.【答案】1-【解析】试题分析：求导函数，可得()()'1nf x n x =+，设过(1,1)处的切线斜率k ，则()'11k f n ==+，所以切线方程为()()111y n x -=+-，令0y =，可得1220151220151, (12320162016)n n x x x x n =∴==+ ，()201612016220162015201612201520161log log ...log log ...log 12015x x x x x x ∴+++===- ，故答案为1-.考点：1、利用导数研究曲线上某点切线方程；2、对数的运算及累乘法的应用.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及对数的运算及累乘法的应用，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=∙-. 16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列，则角A 的大小是_________. 【答案】3π【解析】考点：1、等差数列的性质；2、正弦定理、两角和的正弦公式；3三角形内角和定理及诱导公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质、正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式以及三角形内角和定理及诱导公式，属于难题.以三角形为载体三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，134(2)n n a S n -=+≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22l o g 7n n a b +=，12n n n b c +=，其中*n N ∈，记数列{}n c 的前项和为n T ，求22n n n T ++的值.【答案】（1）21(1)74(2)n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩；（2）222n n n T ++=. 【解析】试题解析：（1）21347a S =+=，134(2)n n a S n -=+≥ ∴134n n a S +=+.两式相减得：14(2)n n a a n +=≥222474n n n a a --=⨯=⨯.此式对1n =不成立，所以21(1)74(2)n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩.（2）222log log 427n n n a b n +===，∴122n n n n b nc +==. ∴231232222n n nT L =++++ ①231111122222n n n n nT L +-=++++ ②①-②得，221111121212222222n n n n n n T L +++=+++-=-.∴222222n n n n n n T T ++=-⇒+=.考点：1、公式1(2)n n n a S S n -=-≥的应用；2、错位相减法求和. 18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠= ，AE ED =，H 为AD 的中点.（1）求证：EH ⊥平面ABCD ；（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）2BP =. 【解析】试题解析：解：（1）证明：因为//AB EF ，EF EA ⊥，所以AB EA ⊥. 因为AB AD ⊥，且EA AD A ⋂=，所以AB ⊥平面AED . 因为EH ⊂平面AED ，所以AB EH ⊥.因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EH AD ⊥. 又AB AD A ⋂=，所以EH ⊥平面ABCD .（2）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H xyz -，则(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，(0,1,1)F ，(0,1,0)O ，(1,2,0)C -，考点：1、直线与平面垂直的判定；2、空间两向量夹角余弦公式. 19.（本小题满分12分）为了解游客对2015年“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄在[22,52]内的游客中随机抽取了1000人，并且作出了各个年龄段的频率直方图（如图所示），同时对这1000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表：（1）求统计表中m 和n 的值；（2）从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）0.96m =，95n =；（2）分布列见解析，85EX =. 【解析】试题分析：（1）根据频率分布表，求出年龄在各小组内的频数，再求出表中m 和n 的值；（2）求出年龄在在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，再根据分层抽样的方法算出抽取的人数可得0,1,2,3,4X =，分别利用组合知识及古典概型概率公式算出各随机变量的概率，根据期望公式可求期望.X 的分布列为0123414217352105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.考点：1、频率直方图的应用；2、分层抽样方法及离散型随机变量的分布列及期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，离心率为3A ，B 在椭圆上，1F 在线段AB 上，且2ABF ∆的周长等于（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O交于点M ，N，求PMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2213x y +=；（2）4. 【解析】（2）设(,)p p P x y ，则224p p x y +=.（ⅰ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则p x =，1p y =±，另一切线的斜率为0，从而PM PN ⊥.此时，11||||222PMN S PM PN ∆==⨯⨯= （ⅱ）若切线的斜率均存在，则p x ≠设过点P 的椭圆的切线方程为()p p y y k x x -=-，代入椭圆方程，消y 并整理得：222(31)6()3()30p p p p k x k y kx x y kx ++-+--=.依题意0∆=，222(3)210p p p p x k x y k y -++-=.设切线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，从而22122213133p p ppy x k k x x --===---，即P M P N ⊥.线段MN 为圆O 的直径，||4MN =.所以222111||||(||||)||4242PMN S PM PN PM PN MN ∆=≤+== ，当且仅当||||PM PN ==PMN ∆取最大值4.由（ⅰ）（ⅱ）可得：PMN S ∆最大值是4.考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、圆锥曲线最值问题.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 21.（本小题满分12分）已知函数()1x f x e ax =--（e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（3）求证：22222232323ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)nn ⨯⨯⨯++++++<--- . 【答案】（1）0a ≤时，()f x 的单调递增区间是R ，0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln )a -∞，单调递增区间是(ln ,)a +∞；（2）1a =；（3）证明见解析.【解析】试题解析：解：（1）'()xf x e a =-，∴0a ≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增：0a >时，(,ln )x a ∈-∞时，()f x 单调递减，(ln ,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增. （2）由（1），0a >时，min ()(ln )f x f a =，∴(ln )0f a ≥，即ln 10a a a --≥，记()ln 1(0)g a a a a a =-->.()1(ln 1)ln Qg a a a =-+=-，∴()g a 在(0,1)上增，在(1,)+∞上递减，∴()(1)0g a g ≤=，故()0g a =，得1a =.（3）1n =时，22332(31)2n n ⨯=<-，2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n n n n n n n n ---⨯⨯⨯<==--------， 2n ≥时，2133112(31)2231k nk nk =<+-<--∑. 由（2）可知1xe x ≥+，即ln(1)(1)x x x +≤>-，则0x >时，ln(1)x x +<，故22222212323233ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)(31)n knn k k L =⨯⨯⨯++++++<<----∑，即原不等式成立.考点：1、利用导数研究函数的单调性及求函数最值；2、不等式正明及不等式恒成立问题.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）27BAC π∠=. 【解析】试题分析：（1）先根据弦切角定理及圆周角定理证明EDC DCB ∠=∠,然后推出//BC DE ；（2）证明 CFA CED ∠=∠,然后说明CFA ACF ∠=∠.设DAC DAB x ∠=∠=,在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=,求解即可.试题解析：（1）由DE 与圆相切于点D 可得EDC DAC ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，又DAC DAB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠，∴//BC DE.考点：1、弦切角定理及圆周角定理证明；2、圆内接四边形的性质定理. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1112x y a t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（其中参数t R ∈，a 为常数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C的方程为)4πρθ=+.（1）求曲线C 的普通方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||AB =a 的值. 【答案】（1）22220x y x y +--=；（2）1±. 【解析】试题分析：（1）利用平方关系消去参数可得圆的方程, 由直线l 的极坐标方程4πθ=,可得直角极坐标方程；（2）利用直线参数的几何意义、韦达定理将AB 用a 表示，解方程即可求得常数a 的值.试题解析：解：（1）)cossin sin )2cos 2sin 444πππρθθθθθ=+=-=-，2222cos 2sin 22x y x y ρρθρθ=-⇐+=-，所以曲线C 的普通方程为：22220x y x y +--=.考点：1、简单曲线的极坐标方程；2、圆的参数方程及直线参数方程的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）求函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积S . 【答案】（1）2{|2}3x x ≤≤；（2）83S =. 【解析】试题分析：（1）通过三种情况讨论x 的范围，分别求解不等式组，最后求并集即可求出不等式的解集即可；（2）画出函数()f x 的图象，根据几何意义从而求出三角形的面积即可 .试题解析：原不等式等价于：11221x x x <-⎧⎨--+-≥⎩① 或111221x x x -≤<⎧⎨++-≥⎩②或11221x x x ≥⎧⎨+-+≥⎩③. 解①得：∅；解②得：213x ≤<；解③得：12x ≤≤. ∴原不等式的解集是2{|2}3x x ≤≤. （2）依题意：31()311131x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤<⎨⎪-+≥⎩.∴()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标分别为1(,0)3，(3,0)，(1,2). ∴所求三角形的面积118(3)2233S =⨯-⨯=.考点：1、绝对值不等式的解法；2、分段函数的图象及三角形面积公式.。

河南省新乡市第一中学2017-2018学年高三上学期第一次周练理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．先通过解二次不等式化简命题p ，通过一元二次不等式012>+-ax ax 对一切实数x 都成立，012>+-=ax ax y 的图象在x 轴上方，由此能够求出a 的取值范围简命题q ．再判断p 成立是否推出q 成立；条件q 成立是否推出p 成立，利用充要条件的定义判断出p 是q 成立的什么条件．2.已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为（） A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2【答案】A 【解析】试题分析：由p ：R x ∈∃，012≤+mx ，可得0<m ，由q ：R x ∈∀，012>++mx x ，可得042<-=∆m ，解得22<<-m ，因为q p ∨为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有0≥m ；若q 是假命题，则有2-≤m 或2≥m ，故符合条件的实数m 的取值范围为2≥m .故选A. 考点：复合命题的真假.3.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是（）A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1【答案】A考点：函数零点的判定定理.4.已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,1] B ． C ．时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈上解的个数是（）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C考点：（1）根的存在性及根的个数判断；（2）函数的奇偶性.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质，同时考查了转化的思想和函数与方程思想，数形结合思想，属较难题；首先有已知条件推导函数()x f 的性质，当涉及到关于指数函数，幂函数，三角函数以及对数函数所构成的方程的个数时，主要是利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，把解的个数转化为两图象交点的个数，即可得解.11.过点)1,1(-且与曲线x x y 23-=相切的直线方程为（）A ．20x y --=或5410x y +-=B ．02=--y xC ．20x y --=或4510x y ++=D ．02=+-y x 【答案】A 【解析】试题分析：若直线与曲线切于点()00,y x ()00≠x ，则111211020003000-+=-+-=-+=x x x x x x y k ．∵232-='x y ，∴23200-='=x y x x ，∴23120020-=-+x x x ，∴012020=--x x ，∴10=x ，210-=x ，∴过点()1,1-A 与曲线()x x x f 23-=相切的直线方程为02=--y x 或0145=-+y x ．故选：A.考点：利用导数研究曲线上某点的切线.【思路点晴】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．设切点为()00,y x ，则03002x x y -=由于直线l 经过点()1,1-，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，利用切点即在切线上又在曲线上，便可建立关于0x 的方程，从而可求方程.12.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 【答案】D考点：（1）函数在某点处取得极值的条件；（2）函数的图象.13.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是（）A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)【答案】D考点：函数的单调性与导数的关系.【思路点晴】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．属于中档题．首先根据商函数求导法则，把()()02<-'x x f x f x 化为()0<'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x f ；然后利用导函数的正负性，可判断函数()xx f 在()+∞,0内单调递减；再由()02=f ，易得()x f 在()+∞,0内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得()x f 在()0,∞-内的正负性．则()()002>⇔>x f x f x 的解集即可求得．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题14.设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(ðU A )∩B ＝∅，则m 的值是__________．【答案】1或2 【解析】试题分析：由A 中方程解得：1-=x 或2-=x ，即{}2,1--=A ，∵R U =，∴{}12-≠-≠∈=x x R x A C u 且，由B 中方程解得：1-=x 或m x -=，即{}m B --=,1，若()∅=⋂B A C U ，集合B 中只能有元素1-或2-，解得：1=m 或2．考点：交、并、补集的混合运算.15.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 【答案】()121+-x x 【解析】试题分析：当01≤≤-x 时，110≤+≤x ，由题意()()()()[]()12111121121+-=+-+=+=x x x x x f x f ，故答案为：()121+-x x ．考点：函数解析式的求法.16.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a的取值范围是________．【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡232，考点：函数的单调性.17.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.【答案】1± 【解析】试题分析：∵()x xk k x f 212⋅+-=在定义域上为奇函数，∴()()x f x f =-，xxx x k k k k 212212⋅+--=⋅+---，即： 1212212+⋅-=+-⋅x x x x k k k 或1212212-⋅--=+-⋅xx x x k k k ，根据等式恒成立可得：1=k 或1-=k ，故答案为：1±.考点：函数奇偶性的应用.18.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 m.【答案】20 【解析】试题分析：设矩形高为y ，由三角形相似得：404040yx -=，且0>x ，0>y ，40<x ，40<y ， xy y x 240≥+=⇒，仅当m y x 20==时，矩形的面积xy S =取最大值2400m ．故答案为：20．考点：基本不等式.19.若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)1,2-考点：利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点睛】本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值，是中档题．根据题意求出函数的导数，因为函数()x f 在区间()26,a a -上有最小值，所以()x f '先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：261a a -<<，进而求出正确的答案． 20.设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x2x2的大小关系是__________________．(用“<”连接)【答案】222ln ln ln x xx x x x <<⎪⎭⎫ ⎝⎛ 【解析】试题分析:令x x y ln =，则2ln 1xx y -='；∵21<<x ，∴1ln 2ln ln 1ln 0=<<<=e x ，∴0ln 1>-x ，∴0>'y ，∴x x y ln =在()2,1上为增函数，∴12122ln ln 11ln 0<<<<=x x ，∴x xx x ln ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛， ∵()2222ln 2ln ln 2ln ln x x x x x x x x x x x -=-=-，∵21<<x ，∴02>-x ，1ln 0<<x ，∴0ln ln 22>-x x x x ，即x x x x ln ln 22>，综上所述：答案为222ln ln ln x xx x x x <<⎪⎭⎫ ⎝⎛. 考点：不等式比较大小.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．（1）当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；（2）若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在[1e ，e]上有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)012=--y x ；（2）⎥⎦⎤ ⎝⎛+212,1e .考点：利用导数求闭区间上函数的最值.22.设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.（1）求b ，c 的值；（2）设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求a 的取值范围．（3）若g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何求解？（4）若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．【答案】(1)1,0==c b ；(2)()22,-∞-；(3)(]3,-∞-；(4)()22,3--. 【解析】试题分析：(1)由题意知()()⎩⎨⎧='=0010f f ，得解；(2)函数存在单调减区间，等价于存在()1,2--∈x ，使不等式()022<+-='ax x x g 成立，即max⎪⎭⎫⎝⎛+<x a x a 成立即可；(3)函数在某区间内为减函数，等价于在该区间内导数小于等于零恒成立；(4)利用排除法，先求为增函数时，再求为减函数时a 的值，得结果.(3)解方法一 ∵()22+-='ax x x g ，且()x g 在()1,2--内为减函数，∴()0≤'x g ，即()022≤+-='ax x x g 在()1,2--内恒成立，∴()()⎩⎨⎧≤-'≤-'0102g g 即⎩⎨⎧≤++≤++0210224a a解之得3-≤a ，即实数a 的取值范围为(]3,-∞-．(4)由(3)知()x g 在()1,2--上为减函数，a 的范围是(]3,-∞-，若()x g 在()1,2--上为增函数，可知x x a 2+≥在()1,2--上恒成立，又xx y 2+=的值域为(]22,3--，∴a 的范围是[)+∞-,22，∴函数()x g 在()1,2--上单调时，a 的取值范围是(][)+∞-⋃-∞-,223,，故()x g 在()1,2--上不单调，实数a 的取值范围是()22,3--．考点：（1）导数与函数的切线之间的关系；（2）利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查了导数与曲线在某点处的切线，以及利用导数研究函数的单调性的问题，是高考中常考内容，难度中档；导数的几何意义：函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，需注意函数在某区间内存在减区间和在某区间内单调递减的区别，前者转化为存在问题，使得某个式子成立，后者是在某个区间内小于等于零恒成立，属于恒成立问题.附加题1．已知函数()(ln 1)f x x x =+．（1）求函数()f x 的最小值；（2）设2'()()()F x ax f x a R =+∈，讨论函数()F x 的单调性；（3）若斜率为k 的直线与曲线'()y f x =交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点，求证：121x x k<<. 【答案】（1）21e-；（2）当0≥a 时，)(x F 在),0(+∞上是增函数；当0a <时，)(x F 在)21,0(a -上单调递增，在),21(+∞-a上单调递减；（3）证明见解析.试题解析：（1）()()02ln >+='x x x f 令()0='x f ，得21ex =当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0e x 时，()0<'x f ，当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,12e x 时，()0>'x f . 则()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0e 上递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,12e 上递增，当21e x =时，()222min111ln 1e e e x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=①()1ln (1),g t t t t =-->设1()10(1),()(1,),g t t g t t'=->>∴+∞则在上是增函数,0)1(ln 1)(1=>--=>g t t t ，g t 时当.ln 1t t >-∴ ②()ln (1)(1),()ln 0(1),h t t t t t h t t t '=-->=>>设则()(1,),h t ∴+∞在上是增函数,0)1()1(ln )(,1=>--=>∴h t t t t h t 时当 ln 1(1),t t t t ∴>-> 由①②知（*）成立，.121x k x <<∴考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）函数的综合应用.。