专训2 垂径定理的四种应用技巧
典中点圆专训2 垂径定理的四种应用技巧
典中点圆专训2 垂径定理的四种应用技巧
◐名师点金◑
圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形,然后借助勾股定理,,在这三个量中知道任意两个,可求出第三个。
技巧1：巧用垂径定理求点的坐标
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标。
技巧2：巧用垂径定理解决最值问题(对称法)
2.如图,AB，CD是半径为5的⊙0的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点
F，P为直线EF上的任意一点，求PA+PC的最小值。
技巧3：巧用垂径定理计算
3.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。
(1)求证：E是OB的中点； (2)若AB=8，求CD的长。
技巧4：巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4.某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部截面为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？。
4.垂径定理及其推论有哪些应用？
4．垂径定理及其推论有哪些应用？垂径定理是圆的内容中一个重要定理，这个定理及其推论都有广泛的应用．为此首先需要着重研究它们的基本图形的结构特征与基本关系有哪些？如图所示，从垂径定理中得到下列性质：(1)有 4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△OAD与Rt △OBD； Rt△OAM与Rt△OBM； Rt△MAD与Rt△MBD．特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．(2)有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB．弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线与底边AB的中垂线．(3)有3条弧相等：(4)添辅助线方法：连接半径或作垂直于弦的直径(或弦心距)，是两种重要的添线方法．可见垂径定理及其推论为证明线段相等、角相等、垂直关系与利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据．例1 已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．求证：CE=DF．证明过O作 OH⊥CD于 H，∴CH=DH，∵AE⊥CD， BF⊥CD，∴ AE∥OH∥BF．∵O是直径AB的中点，∴H是EF的中点，∴EH=FH，CH=EH=DH-FH，则CE=DF．说明：通过作弦心距这条辅助线，使垂径定理与平行线等分线段定理相沟通，从而证得了本命题．例2 已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F是上任意一点，AF的延长线交DC的延长线于G．求证：∠AFD=∠GFC．证明连接AD．∵AB是直径，弦CD⊥AB于E，∴，从而有∠AFD=∠ADC．又AFCD是圆内接四边形，∴∠GFC=∠ADC．则∠AFD=∠GFC．说明：当出现圆内“直径与弦垂直”时，应利用垂径定理．同时还要利用四点共圆所构成圆内接四边形的性质．两者结合可证角相等．例3 已知：C是的中点，O为所在圆的圆心，CM⊥AB于M，CM=2，AB=8．求：⊙O的直径．解连接OA并延长CM．∵C是的中点，∴，又CM⊥AB，∴CM的延长线必过圆心，设OA=x，OM=x-2，由勾股定理知x2=42+(x-2)2．解得x=5，∴2x=10，则⊙O的直径为10．说明：利用垂径定理及其推论，就可构造与半径相关的直角三角形；应用勾股定理就可计算线段长的问题．即把几何问题转化为代数问题．要记牢垂径定理的这个作用．应用：(1)已知：⊙O，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：AC=BD．(2)已知：AB是⊙O的直径，线段CD与⊙O交于E，F，且AC⊥CD，BD⊥CD，垂足为C、D．求证：CE=DF．(3)已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，AB与CD交于M，且CM=MD， CD=8，AB=10．求：O到CD的距离．(答案： 3)．(4)已知：⊙O的直径AB垂直于弦CD，弦AE的延长线与CD的延长线交于F．求证：AC·CF=AF·CE．。
如何妙学垂径定理
好几种实用的解决 办法 。 比如 ， （ １ ） 在拱 桥中央用一根 ２ ｍ长的竹竿去测 。 （ ２ ） 在拱 桥中 四、 运用所 学解 决问题 ．
在运用垂径定理解决问题时 ， 我们往往会发现 ： １ ． 图形在变化 ， 因此我们就必须掌握它有哪些变式？
央 吊一根 ２ ｎ ｌ 的绳索去测 ， 绳索接近水面的一端固定重 物。 学生各
采取应急措施 ， 因此只有求出桥拱的半径 Ｒ， 然 后运 用几何代 数式 的同侧 ； 另一种是放在直径 的两侧 。方法想出后 ， 请 同学把实 际问
解求 。 解： 不需 要采取应 急措施 。 设桥拱的半径为 Ｒ， 则： 月 一 （ Ｒ 一 题抽象化 ， 求 出两根木棍 间的距离 。本题容易忽略第二种方法 ， 本
二、 引 导 学 生正 确 理 解 垂 径 定 理
能漏解。②垂径定理往往要与勾股定 理结合 。作 图时常常要构造
直角三角形 ， 再利用勾股定理计算 。
垂径定理是 由圆具有对称性引 申而来的。讲解 垂径定理要先
２ ． 解题时 ， 还需作辅助线 ， 那就需要提供正确的添加辅助线 的
让学生复 习弦 、 弧、 直径 、 轴对称图形的性 质 ， 特别是对称轴垂直平 位 置 。
垂径定理及应用
和你谈谈“垂径定理及应用”我们先来探究一下垂径定理的推导过程：在透明的纸片上面画一个圆O ，作任意一条非直径的弦CD ，再作直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）．沿着这条直径将圆对折（如图2），我们不难发现：弧AC=弧AD ， 弧BC=弧BD ，CP=DP ，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是根据圆是特殊轴对称图形得到的．由轴对称图形及轴对称的特征，我们还可以发现：如果一条直线具备①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．这五个条件中的任意两个，不然具备其余的三个，简称“知二推三” ．但注意把“经过圆心平分弦”作为题设时，必须是平分非直径的弦，是因为圆的任意两条直径都相互平分． 垂径定理及其推论能使很多问题轻松获解，下面结合例题加以分析．一、求圆半径、弦长或弦心距的长度例1 小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm ，深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为（ ）A ．10cmB ．14.5cmC ．19.5cmD ．20cm 解析：根据题意抽象出几何图形（如图3），则问题可转化为：“在⊙O 中，AB 是弦，OC 是半径，OC ⊥AB 于点D ，且AB=10cm ，CD=2cm ，求⊙O 的直径” ． 设⊙O 的半径是r ，由垂径定理可得AD=AB 21=5cm ，且OD=OC —CD=r —2． 在Rt △AOD 中，由勾股定理可得222)2(5—r r +=．解得r =7.25．所以⊙O 的直径为14.5cm ．故选B ．练习：1．如图4，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC=8，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．23 B ．3 C ．5 D ．62．如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ） 图1 图2 图3 图4 图5A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 二、求相关角的度数例2 如图6，⊙O的半径为5，弦AB=35，则∠AOB= ．解析：过圆心O作OC⊥AB，垂足为C．由垂径定理可得BC=AB21=325，在Rt△BCO中，OC=22BCOB—=22)325(5—=25，∵∠OCB=090，OB=2OC，∴∠OBC=030．又∵OB=OC，∴∠OAC=∠OBC=030，故∠AOB=0180—∠OAC—∠OBC=0120．练习：3．如图7，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC．若∠AOB=046，则∠ADC为（）A．044B．046C．023D．088 4．如图8，已知AB是⊙O的直径（∠ACB=090），弦CD⊥AB，AC=3，BC=1，则∠ABD的度数为．反思：在运用垂径定理解题过程中，常见的一条辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形．这条辅助线的功能并不只局限于产生定理的结论，适当延伸，当我们连接弦的端点和圆心时便形成一个直角三角形，进而通过解此直角三角形求弦长、半径、直径、圆心到弦的距离，甚至还可求一些相关角的度数．因此，应该重视这条辅助线．参考答案：1．B；2．D；3．C；4．060．图6图7 图8。
初中数学垂径定理的巧妙学习
初中数学垂径定理的巧妙学习垂径定理是“圆”中最基本、最重要的定理之一，是《圆》一章的重要考点，同时垂径定理及其推论在解决问题中有着广泛的应用．由于垂径定理及其推论涉及的弦 （线段）、弧以及相等、垂直等关系较多，初学者不易掌握，本讲将从三个方面介绍如何学好垂径定理．一、正确理解圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴．根据对称性，把图1中的圆按直径CD 对折，点A 和点B 重合，所以直径CD 垂直平分弦AB ．这个结论用文字叙述就是：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 从命题的角度来分析这个定理的结构，可知题设有两个：①过圆心（CD 是直径）；②垂直于弦（CD AB ）；结论有三个：③平分弦（AE=BE ）；④平分弦所对的优弧（）；⑤平分弦所对的劣弧（）．在具体运用时，常这样表述：因为CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， 所以AE=BE ，，．总之，理解圆的轴对称性是理解垂径定理的关键．二、巧妙记忆1．事实上，对于一个圆和一条直线，只要具备下列五个条件中的任何两个，就可以推出其余三个．①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．譬如：（1）①② ③④⑤，即是垂径定理；（2）①③ ②④⑤，即是垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；按照这种方式，还可以得到其他一些真命题，如：②③ ①④⑤、①④ ②③⑤、……，它们都是正确的．相信同学们还能写出余下的结论．特别说明：（1）推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直．（2）垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据．2．熟悉以下基本图形、基本结论．⊥AC BC =AD BD =AD BD =AC BC =⇒⇒⇒⇒图1三、灵活运用例1 如图（1），⊙O 中，弦的长为cm ，圆心到的距离为4cm ，则⊙O 的半径长为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm解析：过圆心O 作于C ，如图（2）则又由垂径定理得， 在Rt △AOC 中，由勾股定理得：．即⊙O 的半径长为5cm ，故选C ．点评：在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理，勾股定理等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线（往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例），构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理和勾股定理来求解．例2 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径．假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图(1)所示，求这个小孔直径AB 的长．分析：小孔直径AB 正是⊙O 的弦，因此我们可利用垂径定理将半径OA 、弦长AB 的一半AC 及弦心距OC 转化到一个直角三角形中，从而使问题获解．解：连接OA （如图(2)），因为OC ⊥AB 且OC ＝9－6＝3，故在Rt △AOC 中， 有． 根据垂径定理，得．点评：垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆心到弦的距离、弦长和弓形高等数量的计算，要能灵活运用．例3 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图(1)是水平放置的破裂管道的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．分析：把它抽象为数学问题，就是已知⊙O 中，弦AB=16cm ，弓形高是4cm ，求⊙O 的半径长．本题的解题关键是作垂直于弦的半径，然后构造直角三角形，应用勾股定理求解．但我们发现在构造的Rt△ADO 中（如图(2)），只知道一条边AD 的长，无法直接用勾股定理，因此我们可设△O 半径为x ， 则OD=x -4，然后利用勾股定理列出方程便可以求出圆的半径长．解：如图(2)，设圆形截面的圆心为O ，过O 作OC△AB 于D ，交弧AB 于C ，连接OA ． △ OC△AB ， △AD ＝21AB ＝21×16＝8（垂径定理）． 由题意可知，CD ＝4cm ． AB 6O AB OC AB ⊥4OC cm =12AC AB ==3cm 2222345OA AC OC =+=+=22226333AC OA OC =-=-=263AB AC ==图(1) 图(2)图(1)图(2) 图(1) 图(2)设半径OA=x ，则OD ＝（x －4）．在Rt△AOD 中，由勾股定理得：OD 2＋AD 2＝OA 2， △( x －4)2＋82＝x 2．△x ＝10．点评：本题利用勾股定理列方程求解，这是方程思想在解几何计算题中的应用．在利用垂径定理解决计算问题时，用方程思想解题的关键是若在直角三角形中，只知道一条边长，而另外两条边可用同一未知数表示出来，此时我们便可用勾股定理建立方程求解．例4 如图（1），AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你写出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．答：OE=OF ．证法1：连接OA 、OB ，如图(2)．∵ OA=OB ，∴ ∠A=∠B ．又 AE=BF ，∴ △ADO ≌△ADO （SAS ）． ∴OE=OF ．证法2：作OM ⊥AB 于M ，如图(3)．∴ AM=BM （垂径定理）．∵ AE=BF ，∴ EM=FM ．∴ OE=OF （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．点评：比较本题的两种证明方法可以看出，运用垂径定理要简单的多．【小结】1．本讲主要学习的内容：垂径定理及垂径定理推论的应用．2．在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理，勾股定理等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理和勾股定理来求解．3．在利用垂径定理解决计算问题时，若在直角三角形中，只知道一条边长，而另外两条边可用同一未知数表示出来，此时我们可用勾股定理建立方程求解．希望同学们通过本讲的学习能够掌握垂径定理，并能灵活运用垂径定理．图(1) 图(2) 图(3)。
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
垂径定理的性质及其应用
垂径定理的性质及其应⽤第⼀课时垂直于弦的直径的性质及其应⽤⼀、⽬标要求1、理解圆及其有关概念，知道弧、弦、直径之间的关系。
2、能⽤垂直于弦的直径的性质解决简单的计算问题。
⼆、重难点垂径定理及其推论的相关计算。
三、教学过程⼀、实验活动，提出问题：1、实验：让学⽣⽤⾃⼰的⽅法探究圆的对称性，教师引导学⽣努⼒发现：圆具有轴对称、中⼼对称、旋转不变性.2、提出问题：⽼师引导学⽣观察、分析、发现和提出问题.通过“演⽰实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．⼆、垂径定理及证明：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂⾜为E．求证：AE=EB，= ，= ．证明：连结OA、OB，则OA=OB．⼜∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，⼜是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，= ，= ．从⽽得到圆的⼀条重要质．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．组织学⽣剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB，= ，= .为了运⽤的⽅便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学⽣记混.三、应⽤和训练例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆⼼O到AB的距离为3cm，求⊙O 的半径．分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，⽽AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．解：略．说明：①学⽣独⽴完成，⽼师指导解题步骤；②应⽤垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦⼼距d、⼸形⾼h关系：r = h+d；r2= d2+ (a/2)2例2、已知：如图，在以O为圆⼼的两个同⼼圆中，⼤圆的弦AB交⼩圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）说明：此题为基础题⽬，对各个层次的学⽣都要求独⽴完成．练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学⽣分析思路，学⽣之间展开评价、交流．指导学⽣归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦⼼距等问题的常⽤⽅法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦⼼距.四、⼩结反思五、课后作业六、反馈信息。
垂径定理的应用
CDABOE C ADOOABM 垂径定理的应用一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心. 二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE ＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ） 考点分析：垂径定理及推论的应用，证明. 典型例题分析类型1. 垂径定理及推论概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是……（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ， 则半径OA 的长为………（ ）A. cm 34B. cm 54C. cm 32D. cm 8图1－2 图1－3 图1－4 图2－14. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.5.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于___cm ，OM 的长为___cm类型2. 垂径定理分类讨论1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<<2.已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB =8cm ，CD =6cm ，求AB 、CD 之间的距离.3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，半径OB =5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度ACBDABD C E.O1.如图3－1，在圆O中，直径AB垂直于弦CD，并且交CD于E，直径MN交CD于F，且OEFDFO2==，求COD∠.2.如图3－2，AB为⊙O的直径，且AB⊥弦CD于E，CD＝16，AE＝4，求OE的长.图3－23.如图3－3，在ABCRt∆中，∠C=900，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心、AC为半径的圆交斜边于D，求AD的长.图3－34.如图3－4，已知：AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300，求CD的长.5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB =2CD =4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.类型4. 垂径定理相关证明1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，．求证：OCM OBN ∠=∠．图4－12．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－23．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N 分别是，的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．图4－3类型5. 垂径定理的综合应用 1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB cm ，则水管中水深是_______cm. 图5－1 2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？图5－2 3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？图5－3【拓展提升】1. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦图6－12.如图6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一动点，C 、D 是⊙O 的两点，有∠CPB ＝∠DPB.求证：PC ＝PD.COABE F D3. 已知：如图6－3，A,是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD ＝800，B 是中点.（1）在CD 上求作一点P ，使得AP+PB 最短；（2）若CD ＝4cm ，求AP+PB 的最小值.图6－34. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.图6－4 变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图6－52：如果弦CD 是动弦，与直径AB 不相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，此时是否有： CE ＝DF ；OE ＝OF.如果有请证明，如果不成立，请说明.。
垂径定理巧记口诀
垂径定理的巧记口诀
垂径定理的巧记口诀可以根据其内容概括为“五二三或知二推三”。
具体来说，垂径定理包含五点内容：过圆心的直径、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的两条弧、平分弦（不是直径）垂直于弦。
其中任取两个作为题设，另外三个作为结论都是成立的。
例如，已知平分于弦的直径，垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧，则弦被直径平分，弦所对的两条弧也被平分。
此外，垂径定理还可以通过实际操作进行巧记。
具体操作如下：在纸上画一圆，标明直径AB；沿AB对折，在两半圆上任找一重合点记为C与D；打开，连接C、D；把AB和CD的交点记作E，圆心记为O，根据轴对称图形的性质可知AB垂直平分CD，通过实际操作得AC 与AD重合，BC与BD重合，CE与DE重合。
由此可得出：若AB是直径，且AB垂直于CD，则AC=AD，BC=BD，CE=DE。
以上是垂径定理的巧记口诀和操作方法，通过这些方法可以更好地理解和记忆垂径定理。
九年级数学下册 3.3 垂径定理“垂径定理”与解题思路分析素材 (新版)北师大版
“垂径定理”与解题思路分析垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。
因此，课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明。
所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。
二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理(推论)中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：(1)经过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分这条弦，(4)平分这条弦所对的劣弧，(5)平分这条弦所对的优弧。
垂径定理可以简记为：由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造逆命题的技巧。
例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径)，那么这条直线垂直于弦，且平分弦所对的弧。
类似地，同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。
由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。
垂径定理连同推论在内共十条定理。
对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质(具有性质(1)、(3)时，所说的弦不是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直)。
三.灵活应用垂径定理及其推论解题垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事。
垂径定理的应用
教材第26页第8题： 已知，⊙O的半径为5㎝，弦AB∥弦CD， AB＝6㎝，CD＝8㎝，求AB与CD之间的 距离。
当圆心O在∠CAB 的外部时，如图1，
M
N
当圆心O在∠CAB 的内部时，如图2，
∠CAB=∠OAB－∠OAC ∠CAB=∠OAB－∠OAC ＝45°＋30°＝75° ＝45°－30°＝15°
图1
图2
我的收获与困惑
本题的解 答过程，对我 们今后的答题 和学习有什么 启示？
Hale Waihona Puke 我明白了! 1、当几何问题中，某些简单 要素（如点，线段等）的位置不 能确定，而题目又没有给出图形 时，应该注意分情况进行讨论 （分类讨论思想），防止漏解; 2、在日常的学习过程中，要注意 对这类图形的收集与整理，避免 出现不能正确画出图形而产生漏 解或错误(数形结合思想）。
D
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ AD=BD. ⌒
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径
AM=BM
∴
CD⊥AB,
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
如图，已知⊙O的半径OA=1，弦 AB= 2 ，则∠OAB＝ 。
当AB= 3 时 ， ∠OAB＝ 。
长岭中学
孙运华
我这节课的任务
1、掌握垂径定理及其推论， 并能运用这些关系解决有关 问题。 2、初步学会对易错题进行错 因分析，反思解题过程与学 习方法，探索纠错策略。
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
专题02 垂径定理及其应用(解析版)
专题02 垂径定理及其应用圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543符号语言：⎩⎨⎧⊥AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BD AD BC AC BE AE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。
推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt △OAE ）。
圆的对称性以及垂径定理例题讲解一、概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【答案】D【解析】平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，A说法错误过圆心且平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B错误弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，C错误【例2】下列命题中，正确的是（ ）． A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C【解析】A、B都未指出这条直线应该为垂线，所以AB都错误D未说明过弦的中点，所以错误【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下结论正确的选项是〔 〕A、AE=BEB、=C、△BOC是等边三角形D、四边形ODBC是菱形【答案】B【解析】∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，(垂径定理）不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．【例4】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【答案】B【解析】OC＝2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，∵OC＝2CD，∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形．【例5】下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
垂径定理—知识讲解(提高)
垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM ⊥AB 于M 、ON ⊥CD 于N ，连结OA ， ∵AB=CD ，CE =1，ED =3， ∴OM=EN=1，AM=2，∴.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O 两弦AB 、CD 垂直相交于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径．【答案】如图所示，过点O 分别作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，则四边形MONH 为矩形，连结OB ，∴ 12MO HN CN CH CD CH ==-=- 11()(38)3 2.522CH DH CH =+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH ==+=+=，∴ 在Rt △BOM中，OB == 【高清ID 号： 356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式2】如图，AB 为⊙O 的弦，M 是AB 上一点，若AB ＝20cm ，MB ＝8cm ，OM ＝10cm ，求⊙O 的半径.【答案】14cm.【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB．根据垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足为C，则1105mm2OA=⨯=，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．在Rt△ACO中，AC4mm=，∴ AB＝2AC＝2×4＝8mm．答：此小孔的直径d为8mm．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．。
垂径定理的应用以及垂径定理的推论
垂径定理的应用以及垂径定理的推论我在学数学的时候，这垂径定理可太有用了，它的推论也很有意思。
我记得老师在讲垂径定理的时候，拿了个圆规在黑板上画了个圆，又画了一条直径和弦，然后说：“同学们，垂径定理就是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
”我当时看着黑板上的图形，有点迷糊，就举手问老师：“老师，这有啥用呢？”老师笑着说：“用处可大了去了。
比如说，我们要在一个圆形的公园里修一条小路，这条小路要平分一个圆形的花坛，那我们就可以利用垂径定理，先找到花坛所在圆的直径，然后做一条垂直于这条直径的弦，这条弦就是我们要修的小路的位置。
”我听了，想象着那个画面，说：“哦，原来是这样，就像给圆做了个平均分的魔法。
”说到垂径定理的推论，老师又讲道：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
”我就跟同桌讨论：“你看，这就像个连锁反应，知道了弦被平分，就能推出直径和弦的垂直关系。
”同桌也说：“对呀，感觉数学就像个神秘的宝藏，一个定理能引出好多秘密。
”有一次做练习题，题目是已知一个圆的半径是 5 厘米，一条弦长 8 厘米，求这条弦的弦心距。
我就想到了垂径定理，先作了一条垂直于弦的半径，然后根据垂径定理，这条半径平分弦，这样就可以在直角三角形里利用勾股定理求出弦心距了。
我兴奋地跟旁边的同学说：“看，垂径定理让这道题变得简单多了，就像给我们找到了解题的捷径。
”还有在证明题里，垂径定理和它的推论也经常出现。
比如证明两条弦相等，如果能证明它们所对的弧相等，再根据垂径定理的推论，就能得出这两条弦被同一条直径平分，从而证明弦相等。
我每次做这类题的时候，都感觉自己像个侦探，利用垂径定理这个线索，一步步解开数学谜题。
我还联想到在生活中，像一些圆形的建筑设计，比如圆形的体育馆，里面的座位分区有时候也会用到垂径定理的原理，把场地合理地划分开，让观众都能有好的视角。
这垂径定理虽然是数学里的知识，但它在生活中的应用也无处不在，真的是很神奇，让我对数学又多了一份热爱和敬畏。
专训2 垂径定理的四种应用技巧
专训2垂径定理的四种应用技巧名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．巧用垂径定理求点的坐标1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D 在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．(第1题)巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．(第2题)巧用垂径定理计算3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2 3.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．(第3题)巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？答案1．解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵MN ⊥CD ，∴CN ＝DN ＝12CD ＝4. 易知OA ＝10，∴MO ＝MC ＝5.在Rt △MNC 中，MN ＝CM 2－CN 2＝52－42＝3.∴CH ＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1.∴点C 的坐标为(1，3)．(第1题)(第2题)2．解：如图，易知点C 关于MN 的对称点为点D ，连接AD ，交MN 于点P ，连接PC ，易知此时PA ＋PC 最小且PA ＋PC ＝AD.过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OC.易知AE ＝4，CF ＝3，由勾股定理易得OE ＝3，OF ＝4，∴DH ＝EF ＝7，又AH ＝AE ＋EH ＝4＋3＝7.∴AD ＝7 2.即PA ＋PC 的最小值为7 2.点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．3．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB.∴AB ＝BC ＝2 3.(2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∵AE ⊥BC ，∴∠EAB ＝∠CAE ＝12∠CAB ＝30°. 即∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，易得OA ＝2，即⊙O 的半径为2.(第4题)4．解：如图，设圆弧形桥拱AB 所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．设OA ＝r 米，则OD ＝OC －DC ＝(r －2.4)米，AD ＝12AB ＝3.6米． 在Rt △AOD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，解得r ＝3.9.在Rt △OHN 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(米)．所以FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．。
垂径定理的应用课件
对垂径定理的回顾与思考
垂径定理是几何学中的一个重要定理，它涉及到圆的性质和证明。在学习过程中 ，我们需要深入理解垂径定理的证明过程和推理逻辑，以便更好地应用它来解决 实际问题。
在回顾过程中，我们需要思考如何将垂径定理应用于实际问题的解决中，并思考 如何通过推理和证明来得出正确的结论。此外，我们还需要思考如何通过实践来 加深对垂径定理的理解和应用。
垂径定理的应用课件
目录
• 垂径定理的介绍 • 垂径定理的应用场景 • 垂径定理的应用实例 • 垂径定理的应用练习题 • 总结与回顾
01 垂径定理的介绍
垂径定理的定义
垂径定理
过圆心作圆的弦的垂线，则垂足 到弦中点的连线与垂线重合。
定理证明
利用圆的性质和三角形的中位线 定理进行证明。
垂径定理的重要性
详细描述
已知一个圆和该圆外的一条直线，我们要证明这条直线是圆的切线。根据垂径定 理，如果一条直线与圆只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。因此，我们 只需要证明这条直线与圆只有一个交点即可证明它是圆的切线。
04 垂径定理的应用练习题
基础练习题
总结词：巩固垂径定理的基本概念和性质。 详细描述 给出一条直线和该直线所通过的圆，判断该直线是否为圆的 垂径，并说明理由。 给定圆的直径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。 已知圆的半径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。
综合练习题
详细描述
总结词：结合其他几何知识，综 合运用垂径定理解决复杂问题。
给定一个圆和该圆上的一条弦， 求作该弦的中垂线，并证明其为 圆的垂径。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的角平分 线。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的中线。
垂径定理专题精讲
(打印3份)专题培训---垂径定理（10.5）【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．举一反三：【变式1】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)(2)如图2所示，当⊙O 的圆心O 不在两平行弦AB 、CD 之间(即弦AB 、CD 在圆心O 的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O 中，平行弦AB 、CD 间的距离是14cm 或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d ．【思路点拨】此小孔的直径d 就是⊙O 中的弦AB ．根据垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O 作MN ⊥AB ，交⊙O 于M 、N ，垂足为C ， 则1105mm 2OA =⨯=，OC ＝MC －OM ＝8－5＝3mm ． 在Rt △ACO 中，AC 22534mm -=，∴ AB ＝2AC ＝2×4＝8mm ．答：此小孔的直径d 为8mm ．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.垂径定理专题试题精选一．选择题1．（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2015•广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．=D．△OCE≌△ODE 3．（2015•大庆）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2015•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC的长等于（）A．4B．6C．2D．85．（2015•台湾）如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（）A．6B．12C．15 D．306．（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．87．（2015•宜州市二模）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．8．（2015•西藏）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，BC=24，则线段OA的长为（）A．5 B．6 C．7 D．89．（2015•武汉模拟）如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm10．（2015•湖州模拟）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．5 B．7 C．9 D．1111．（2015•大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9 cmC．cm D．cm12．（2012•婺城区校级模拟）已知⊙O的半径为10，P为⊙O内一点，且OP=6，则过P点，且长度为整数的弦有（）A．5条B．6条C．8条D．10条13．（2012•枣阳市校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C是上半圆上的一点，弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当弦CD（不是直径）的位置变化时，点P（）A．到CD的距离不变B．位置不变C．等分D．随C点的移动而移动14．（2012•洪湖市模拟）A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，则过点A且长小于10的整数弦的条数是（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（2012•天台县校级模拟）如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是半径ON 上的点．若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（）A．2 B．C．D．16．（2012•合山市校级模拟）如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB=6cm，CD=12cm，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．17．（2011•师宗县校级模拟）如图：将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．B．C．3 D．18．（2011•鄂州校级模拟）如图，有半径为和2的两个同心圆，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形的面积为最大时，它的周长等于（）A． B． C．D．二．填空题19．（2015•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于度．20．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．21．（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=．22．（2015•黄石）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．23．（2015•永春县校级自主招生）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．24．（2015•浠水县校级模拟）如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值．25．（2015•蚌埠模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为．26．（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．三、解答题1、高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，求此圆的半径。
垂径定理ppt课件
28.4 垂径定理 *
● 考点清单解读
● 重难题型突破
■考点一
垂径定理
考
点
内容
清
单
解
读 垂直于弦的直径
平分这条弦，并
且平分这条弦所
对的两条弧
符号语言
图形
28.4 垂径定理 *
归纳总结
考
点
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直
清
单 线（线段），其本质是“过圆心”；（2）该定理中的弦为
［答案］ 解：在题图上连接 OA，∵⊙O 的直径 CD=20
考
点
清 ，0M∶OC=3∶5，∴OC=10，OM=6．∴OA=OC=10．∵AB⊥CD，
单
− =8，∴AB=2AM=16．
∴AM=
解
读
28.4 垂径定理 *
考
点
清
单
解
读
■考点二
垂径定理的推论
定义
内容
推
平分弦（不是直径）的
论
m；
28.4 垂径定理 *
（2）如答案图，过点 O 作 OH⊥FE，交 FE 的延长线
重
难
题 于点 H，由题意知 EF⊥AB，∴∠CEH=∠ECO=∠OHE=90°，
型 ∴ 四边形 OHEC 是矩形，∴OH=CE=BC-4=12 m ，OF = r =
突
破 20 m，在 Rt△OHF 中，HF= − =16m,∵HE=OC
）
C
突
破
A．5 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．10 cm
28.4 垂径定理 *
解题通法 解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出
【数学课件】2017九年级数学上方法技巧训练：垂径定理的四种应用技巧 (人教版)
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
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专训2垂径定理的四种应用技巧
名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．
巧用垂径定理求点的坐标
1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
(第1题)
巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．
(第2题)
巧用垂径定理计算
3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝23.
(1)求AB的长；
(2)求⊙O的半径．
(第3题)
巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
答案
1．解：如图，连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H.
∵四边形OCDB 为平行四边形，B 点的坐标是(8，0)，
∴CD ＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN.
又∵MN ⊥CD ，
∴CN ＝DN ＝12
CD ＝4.易知OA ＝10，∴MO ＝MC ＝5.
在Rt △MNC 中，MN ＝CM 2－CN 2＝52－42＝3.
∴CH ＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1.
∴点C 的坐标为(1，3)．
(第1题)
(第2题)
2．解：如图，易知点C 关于MN 的对称点为点D ，连接AD ，交MN 于点P ，连接PC ，易知此时PA ＋PC 最小且PA ＋PC ＝AD.过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OC.易知AE ＝4，CF ＝3，由勾股定理易得OE ＝3，OF ＝4，∴DH ＝EF ＝7，又AH ＝AE ＋EH ＝4＋3＝7.∴AD ＝72.即PA ＋PC 的最小值为72.
点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．
3．解：(1)连接AC ，
∵CD 为⊙的直径，CD ⊥AB ，
∴AF ＝BF ，
∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，
∴BE ＝CE ，
∴AC ＝AB.
∴AB ＝BC ＝2 3.
(2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，
∴△ABC 为等边三角形，
∵AE ⊥BC ，
∴∠EAB ＝∠CAE ＝12
∠CAB ＝30°.即∠OAF ＝30°，
在Rt △OAF 中，AF ＝3，
易得OA ＝2，即⊙O 的半径为2.
(第4题)
4．解：如图，设圆弧形桥拱AB 所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．
设OA ＝r 米，则OD ＝OC －DC ＝(r －2.4)米，AD ＝12
AB ＝3.6米．在Rt △AOD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝3.62＋(r －2.4)2，解得r ＝3.9.
在Rt △OHN 中，OH ＝ON 2－NH 2＝ 3.92－1.52＝3.6(米)．
所以FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．
因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．。