5多目标规划实例
合集下载
多目标规划应用实例
02
投资者需要在满足一定风险承 受能力的前提下，最大化投资 组合的预期收益，同时考虑市 场波动、政策风险等因素。
03
投资决策问题需要考虑多个目 标之间的权衡和折中，以实现 整体最优。
目标函数
收益最大化
投资者希望获得尽可能高的投资回报率，通 常以预期收益率作为目标函数。
风险最小化
投资者希望将投资风险降至最低，通常以方 差或标准差作为目标函数。
城市发展需满足环境保护的相关法律法规和标准。
3
3. 资源利用约束
城市发展需遵循资源利用的可持续性原则。
求解方法与结果分析
• 多目标规划问题通常采用权重法、目标规 划法、遗传算法等求解方法进行求解。通 过对不同方案进行比较和评估，可以得出 最优解或满意解。在城市规划与交通管理 中，多目标规划的应用可以帮助决策者全 面考虑各种因素，制定出更加科学、合理 的城市规划方案，提高城市运行效率，促 进城市的可持续发展。
多目标规划能够为决策者提供一个 系统的方法来权衡和比较不同目标 之间的优劣，从而提高决策的科学 性和合理性。
折衷与平衡
多目标规划可以帮助决策者在多个 目标之间找到一个相对最优的折衷 方案，实现不同目标之间的平衡发 展。
多目标规划的方法与步骤
方法
多目标规划常用的方法包括层次分析 法、多属性决策分析、数据包络分析 等。
问题描述
目标函数
• 目标函数包括两个部分：最小化生产成本 和运输成本。生产成本由各个工厂的生产 费用决定，运输成本则取决于各个工厂之 间的运输距离和运输量。
约束条件
• 约束条件包括：各个工厂的生产能力限制、市场需求量限制以及产品种类限制等。这些约束条件确保了生产计 划的可实施性和有效性。
多目标规划_0526.ppt
多目标规划问题的典型实例
❖ 例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？
假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
x12 x22 1
且此时木梁的截面面积为 x1x2 。同时根据材料力学的知识，木梁的强度取决于截面矩
值 f x1, f x2 就可以确定哪个更优。但对于多目标规划而言，给定任意两个可行解
x1, x2 R ，因为目标函数 Fx1,Fx2 均为向量，故可能不存在 Fx1,Fx2 之间的大小
关系，既无大于等于关系，也无小于等于关系。
例如我们首先直观的看一个多目标规划的图解实例。假设问题的目标为求函数
不得少于 60kg，于是得到约束条件如下：
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min max
f1 x 2x1 1.5x2 f2 x x1 x2
x1 x2 x3 40 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 20x1 700 25x2 800 15x3 500 x1, x2 , x3 0
多目标规划问题的数学模型
上述问题可以归结为标准形式：
V- min s.t.
Fx gi x 0 (i 1,2,...,m) hi x 0 (i 1,2,...,l)
量
1 6
x1
x22
，故若要使得重量最轻，实际上目标即为横截面积最小，又要强度最大，故目
标为截面矩量最大，于是容易列出如下数学模型：
多目标优化方法及实例解析
非劣解可以用图1说明。
图1 多目标规划的劣解与非劣解
而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
3
每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？
多目标规划的非劣解
在图1中，max(f1, f2) .就方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目标值 f1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。 在各个方案之间，显然：④比①好，⑤比④好, ⑥比②好, ⑦比③好……。
120
70
单件利润
3000
10
3
设备台时
2000
5
4
煤炭
3600
4
9
钢材
资源限制
乙
甲
单位 产品 资源 消耗
解:设生产甲产品: x1 ，乙产品: x2 ,
(1)
若在例3中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。 试建立目标规划模型。
求解多目标规划的方法大体上有以下几种： 一种是化多为少的方法 ， 即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等； 另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。 对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。
图1 多目标规划的劣解与非劣解
而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
3
每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？
多目标规划的非劣解
在图1中，max(f1, f2) .就方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目标值 f1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。 在各个方案之间，显然：④比①好，⑤比④好, ⑥比②好, ⑦比③好……。
120
70
单件利润
3000
10
3
设备台时
2000
5
4
煤炭
3600
4
9
钢材
资源限制
乙
甲
单位 产品 资源 消耗
解:设生产甲产品: x1 ，乙产品: x2 ,
(1)
若在例3中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。 试建立目标规划模型。
求解多目标规划的方法大体上有以下几种： 一种是化多为少的方法 ， 即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等； 另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。 对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。
运筹学(第5章 目标规划)
解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：
多目标优化问题,应用实例
多目标优化问题,应用实例多目标优化问题是指在给定多个目标函数的条件下，寻找一组最优解，使得这些目标函数都能达到最优或尽可能接近最优的问题。
在实际应用中，多目标优化问题广泛应用于各个领域，如工程设计、资源分配、机器学习等。
下面以工程设计为例，介绍一个多目标优化问题的实例。
假设某公司要设计一个新型的电动汽车，希望在汽车性能优化的基础上最大限度地减少能源消耗和排放量。
在设计过程中，我们需要考虑多个目标函数，包括汽车的运行速度、行驶里程、能耗、排放量、安全性等。
这些目标之间通常存在着不可调和的矛盾，比如提高汽车的运行速度可能会增加能耗和排放量，减少能耗和排放量可能会牺牲行驶里程等。
为了解决这个多目标优化问题，我们需要首先建立一个数学模型来描述汽车的性能与各个目标之间的关系。
然后，我们可以采用不同的优化算法进行求解，如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
这些算法可以通过评价每个解的目标函数值并利用优化技术来逐步改进当前解，直到找到一组最优解或较优解。
在具体实施中，我们可以设置一些限制条件，如汽车的最大速度、最大行驶里程、最大能耗、最大排放量等，以保证车辆的安全性和合法性。
然后，我们可以通过对各个目标函数进行加权求和的方式，将多个目标转化为单一的综合目标函数，从而简化多目标优化问题。
与传统的单目标优化问题相比，多目标优化问题具有很多优势。
首先，它可以提供更多的解集选择，以满足不同用户的需求。
其次，多目标优化问题可以更好地反映实际问题的复杂性和多样性。
最后，多目标优化问题可以帮助决策者更好地了解问题的整体情况，并做出更合理的决策。
总结起来，多目标优化问题是一个常见且重要的优化问题，它可以应用于各个领域，如工程设计、资源分配、机器学习等。
在实际应用中，我们需要通过建立数学模型、选择适当的优化算法和设置合理的限制条件来解决这些问题。
这些努力将为我们提供一组最优或较优的解集，从而帮助我们做出更好的决策。
多目标规划教材(PPT 116张)
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
多目标规划
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
甲级糖数量最大。
那么这种先在第1优先层次极小化总花费， 然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化 糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目 标最优化问题。可将其目标函数表示为：
L-min{P1[f1(X)]，P2[f2(X)，f3(X)]} 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示 按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化 模型的例子
……………… minfp(x1，……，xn)
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
则模型一般式也可简记为
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统
分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目 标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策。
多目标规划模型实证结果
伍、多目標規劃模型實證結果本章根據經建會研擬經濟建設計畫與減量期程，設定多目標規劃模型，估計出2020年國內生產毛額與二氧化碳排放量。
再由前文估算各產業部門二氧化碳排放量，設定多目標規劃模型；模擬能源密集部門增進能源使用效率時，2020年國內生產毛額與二氧化碳排放量；最後以經建計畫中兩兆雙星方案，其發展資訊與服務產業的概念，模擬資訊與服務產業附加價值提高時，2020年國內生產毛額與二氧化碳排放量。
由多目標規劃模型模擬結果，提出政策建議。
一、模型假設與說明因應《京都議定書》，我國政府目前研議的減量期程如下：1、基準年2000年，目標年2020年加減五年，排放目標2.23億公噸CO2或每人平均9.1~11公噸CO2。
2、基準年2000年，目標年2025年，並於2015年回歸2005年排放量。
3、比照附件一國家回歸至1990年水準。
4、2025年排放水準為3.61億公噸CO2。
在經濟建設方面，以經建會研擬｢新世紀國家建設計畫｣產業發展套案為主：2006-2015年平均經濟成長率為5%，農業平均成長1.0%、工業平均成長3.9%(製造業平均成長4.3%)、服務業平均成長5.5%。
本文設定多目標規劃模型，決策變數(即國內各部門產值)目標年為2020年；由相異的二氧化碳管制方案，求得三非劣解，藉以估算多目標非劣解集合。
模型資料來源為主計處公佈2004年產業關聯表，以2004年產業關聯表各部門生產總值，根據產業發展年平均成長率目標，設定2020年的產業成長上限；其中｢礦物｣、｢石油煉製品｣、｢非金屬礦物製品｣三部門成長上限依據新世紀國家建設計畫對能源供給與需求的限制，｢電力｣、｢燃氣｣、｢自來水｣部門年平均成長率則比照服務業年平均成長率5.5%。
在電力資源與水資源限制式方面，總量上限依據｢新世紀國家建設計畫｣產業發展上限與林師模、黃宗煌(2006)估算產業關聯表45部門電力資源係數與水資源係數，估算電力資源與水資源上限，作為2020年電力資源與水資源總供給量上限。
目标管理-第5章多目标决策分析 精品
5.1.4 目标准则体系风险因素的处理
多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉 及风险因素的各子目标分别加以处理。对存在风险因素的 所有目标准则都分别作这样的技术处理。于是，风险型多 目标问题就转化为确定型多目标问题。
1 第一节 多目标决策的目标准则体系 2 第二节 多维效用并合方法 3 第三节 层次分析方法 4 第四节 DEA方法 5 第五节 目标规划方法
（一）问题 经过统计分析测算，我国人口发展周期应是人均寿命70年。制定人口控制目 标，宜以100年为时间范围。需要确定，在100年内，我国人口控制最合理的 总目标是多少。 （二）方案 对我国总人口目标的14个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为 2亿、3亿、4亿、5亿、6亿、7亿、8亿、9亿、10亿、11亿、12亿、13亿、14
第五章 多目标决策分析
例1:学校的扩建
– 满足入学要求： – 扩建费用最少：
例2:候选人选择
– 年龄和健康状况： – 工作作风： – 品德： – 才能
例3: 学生毕业后的择业选择
– 收入： – 工作强度： – 发展潜力： – 学术性： – 社会地位： – 地理位置： – 个人偏好：
多目标决策的概念
以上四个分目标，在计算并合效用时，将“吃用”和“实力”并合为效用值V1 为 ，“最低总生育率”和“各国对比”并合为V效2 用值 。
5.2 多维效用并合方法
3.子目标
分目标“吃用”和“实力”还不能用单一准则进行评价，需要作进一步 的分解
分目标“吃用”先分解为“吃”和“用”两个子目标。子目标“吃”和 “用”还需要再作分解。“吃”分解为人均粮食需求和人均鱼肉需求两个更 低一层次的子目标，简称“粮食”和“鱼、肉”。这两个子目标均可以用单 一准则评价，无需继续分解。同样，“用”也可以分解为人均土地需求、人 均空气需求、人均用水需求三个低一层子目标，简称“土地”、“空气”、 “水”，不必再继续分解。这样，分目标吃用最后分解为5个最低一层子目 标，其评价效用值分别为 ui (i 1,2,,5)
多目标规划与决策概述
最终权重的计算公式
好电脑
价格
性能
A
服务
购置
配件 功能
容量 速度
期限
方便
勇于开始，才能找到成功的路
B
联想
HP
...
DELL
C
i
wkc wbbj wa
-算例-
0.5 价格
好电脑
0.4
0.6
购置
配件
0.5 0.5 0.4 0.6
0.5 服务 1 期限 0.2 0.8
联想
HP
勇于开始，才能找到成功的路
性能
服务
购置
配件
功能
勇于开始，才能找到成功的路
容量 速度
期限 方便
联想
HP
...
DELL
这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次。 处于最上面的层次通常只有一个元素。
实例2：
某城市附近有三个地表水库（A、B、C）的 水可以利用。A距城市最近，是主要的供水水源； B距城市的距离介于A、C之间。水库C的库容是 水库B的两倍。
多目标规划与决策概述
2021/7/11
水资源系统的开发和利用都是多目标、多宗旨 的。
水利枢纽工程，如长江三峡具有防洪、发电、 航运、调水等功能。
随着社会经济的发展，水资源系统也愈来愈复 杂。
多目标决策的概念：
决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个 目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为 多目标决策，MOP。 目标之间的不可公度性。 目标之间的矛盾性。 一般没有绝对的最优解。
Байду номын сангаасi 1
权重怎么得到？
获得权重-Delphi 法
德尔斐方法是专家会议调查法的一种发展, 在七八十年代成为主要的评价方法，得到了广 泛的应用。
多目标规划ppt
多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 + x2 = 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* ∈ R ，如果对于 ∀x ∈ R 均有 F ( x ) ≤ F ( x ) ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n = 1, p = 2 时绝对最优解的示意图。
以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集 非劣解集。 非劣解集
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
x2 L xn ] ； F ( x ) = f1 ( x )
T
f2 ( x ) L
f p ( x ) , p ≥ 2
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数 F ( x ) 和约束函数 gi ( x ) 、hi ( x ) 可以 是线性函数也可以是非线性函数。
令 R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m} ，则称 R 为问题的可行域，V-min F ( x ) 指的是
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 购得的原料总量为： f 2 ( x ) = x1 + x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f ( x ) 的同时
目标规划模型
目标规划模型1. 目标规划模型概述1)引例目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面的例子，我们可看出这两者的区别。
例1 某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A 、B 两种产品，每生产一件A 产品或者B 产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A 产品或者400件B 产品可卖出去，每出售一件A 产品可获利10元，每出售一件B 产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目标进行相应的生产。
（1）尽量避免生产能力闲置；（2）尽可能多地卖出产品，但关于能否多卖出A 产品更感兴趣； （3）尽量减少加班时间。
显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划模型所难胜任的，对这类问题，须使用新的方法与手段来建立对应的模型。
2）有关的几个概念（1）正、负偏差变量+d 、-d 正偏差变量+d 表示决策值),,2,1(n i x i =超过目标值的部分；负偏差变量-d 表示决策值),,2,1(n i x i =未达到目标值的部分；通常而言，正负偏差变量+d 、-d 的相互关系如下：当决策值),,2,1(n i x i =超过规定的目标值时，0 ,0=>-+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =未超过规定的目标值时，0 ,0>=-+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =正好等于规定的目标值时，0 ,0==-+d d 。
（2）绝对约束与目标约束绝对约束是务必严格满足的等式约束或者不等式约束，前述线性规划中的约束条件通常都是绝对约束；而目标约束是目标规划所特有的，在约束条件中同意目标值发生一定的正偏差或者负偏差的一类约束，它通过在约束条件中引入正、负偏差变量+d 、-d 来实现。
（3）优先因子（优先级）与权系数目标规划问题常要求许多目标，在这些诸多目标中，凡决策者要求第一位达到的目标给予优先因子1P ，要求第二位达到的目标给予优先因子2P ，……，并规定1+>>k k P P ，即1+k P 级目标的讨论是在kP 级目标得以实现后才进行的（这里n k ,,2,1 =）。
运筹学多目标规划演示文稿
1， 投资第i个项目 0，不投资第i个项目
约束条件： n
i1
ai xi
A
xi 0或1（i 1,, n)
第十页，共57页。
§2 多目标规划模型及其解的概念
目标函数：何为最佳的经济效益？
（1）收益最大：
n
max f1 ( x1 ,, xn ) bi xi i 1
（2）投资最少：
n
min f2 ( x1 ,, xn ) ai xi i 1
运筹学多目标规划演示文稿
第一页，共57页。
运筹学多目标规划
第二页，共57页。
§1 多目标决策简介
一、多目标决策问题实例
• 干部评估－德、才兼备
• 教师晋升－教学、科研、论文等
• 购买冰箱－价格、质量、耗电、品牌等 • 球员选择－技术、体能、经验、心理
• 找对象－容貌、学历、气质、家庭状况
第三页，共57页。
三、多目标决策与单目标决策区别
• 点评价与向量评价
单目标： 方案dj ←评价值f(dj) 多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))
• 全序与半序: 方案di与dj之间
单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况
先引进一些记号，记
F1
(
f11，……，f
1 p
)
Ep
F2
(
f12，……，f
2 p
)
Ep
(1)" "：F 1 F 2意味着向量F 1的每个分量都要严格的小于向
量F
2对应的分量。即对于i
1，……，p，均有f
1 i
目标规划与多目标规划
100.0000 200.0000 90.00000 110.0000 100.0000 50.00000 250.0000
总费用为3360.
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
硬约束（供应约束）
系列软约束 （1）用户4必须全部满足
（2）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100单位
（3）每个用户的满足率不低于80%； 四个用户的80%需求量分别为160,80,360,200，即
（4）应尽量满足个用户的要求
（5）新运费尽量不超过不考虑各个目标费用的10%： （6）因道路限制，工厂2到用户4的路线的运输任务应尽量避免： （7） 用户1和用户3的满足率尽量平衡：
2 目标规划的模型
例2 在上述例1的基础上，计划人员还要求考虑如下意见：
1 由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I产 量的一半；
2 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
3 最好能够节约4小时设备工时；
4 计划利润不少于48元。
分析：把这四条意见分别看成营销部门、材料部门、设备管理 部门、财务部门四个部门的目标愿望。那么在决策的时候，如 何协调者四个部门的意愿呢。同等对待每个目标意愿，势必陷 于矛盾中。故当务之急是确定四个目标的重要程度或轻重缓急。 然后根据重要程度逐一协调。下面引入一些新的变量来解决问 题。
目标决策值f
X2-x1/2 5x1+10x2 4x1+4x2 6x1+8x2
总费用为3360.
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
硬约束（供应约束）
系列软约束 （1）用户4必须全部满足
（2）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100单位
（3）每个用户的满足率不低于80%； 四个用户的80%需求量分别为160,80,360,200，即
（4）应尽量满足个用户的要求
（5）新运费尽量不超过不考虑各个目标费用的10%： （6）因道路限制，工厂2到用户4的路线的运输任务应尽量避免： （7） 用户1和用户3的满足率尽量平衡：
2 目标规划的模型
例2 在上述例1的基础上，计划人员还要求考虑如下意见：
1 由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I产 量的一半；
2 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
3 最好能够节约4小时设备工时；
4 计划利润不少于48元。
分析：把这四条意见分别看成营销部门、材料部门、设备管理 部门、财务部门四个部门的目标愿望。那么在决策的时候，如 何协调者四个部门的意愿呢。同等对待每个目标意愿，势必陷 于矛盾中。故当务之急是确定四个目标的重要程度或轻重缓急。 然后根据重要程度逐一协调。下面引入一些新的变量来解决问 题。
目标决策值f
X2-x1/2 5x1+10x2 4x1+4x2 6x1+8x2
把大目标细化为小目标的例子
把大目标细化为小目标的例子标题，如何把大目标细化为小目标，以健身为例。
健身是许多人的大目标，但是要实现这一目标，需要将其细化为一系列小目标。
以下是一个例子：
大目标，减掉10公斤的体重。
小目标：
1. 设定每周减重1公斤的目标。
2. 制定每天的饮食计划，包括合理的饮食结构和摄入热量。
3. 制定每天的运动计划，包括有氧运动和力量训练。
4. 每周至少进行3次有氧运动和2次力量训练。
5. 每天保持充足的睡眠时间。
6. 每周定期进行体重和身体成分的测量，以检查进展并进行调整。
通过将大目标细化为一系列小目标，可以更容易地实现健身目标。
每个小目标都是可量化和可操作的，使得整个过程更具体、可行，并且可以及时调整。
这种方法也可以应用到其他领域的目标设定中，帮助我们更有效地实现自己的愿望和抱负。
多目标规划实例
地下水水质指数的约束条件 为：
PW IPW I(r,
,z) 3
i 1
si
PI W
n ci s i1 i
表示地下水污染程度较轻，一般可以作为生活饮用水，处理 简单、经济、水质完全符合国家颁布的生活饮用水标准。
工程地质条件约束
○ i.地下水位约束。地下水位埋深小于3m，对城市建筑施工不利， 大于100m则导致城市取水困难，因此对地 下水位埋深H要求：
如果记L为单位土地面积的征用费，则它应该是点
的函数。那么，
对于追求“土地征用费最低”这一目标的目标函数可以表示为：
城市用水费用。城市用水费用，主要取决于打井费用和配套设备及抽水 费用。在冲积扇的下部，地下水位浅，用水费用低廉。而在冲积扇的中 上部，地下水位深，用水费用高。如果记W为单位土地面积上的城市用 水费用，则所追求 “用水费用最低”这一目标的目标函数可以表示为：
地下水的水质。地下水对绿洲型城市优化选址的影响， 除了水资源量外，还有水质问题。水质的好坏，直接影 响到城市居民的身体健康和工业用水的成本及其产成品 的质量。在能够作为城市区位选址的地段，地下水的水 质，特别是有关毒理学指标，如氟化物、氰化物、砷、 汞、酚、铬等及其表征水质状况的指标，如硬度、
胺基、化学耗氧量、氨等，经过简单的净化处理后均应 符合国家生活饮用水卫生标准和工业用水水质标准。
○ ii.地基承载力约束。对于不同的楼层建筑，要求的地基承载力条件不同，设 为城市建筑施工所
要求的最低地基承载力，则地基承载力F应满足：
模型分析与评价
○ 以上仅仅是借助于多目标规划的数学语言，对绿洲型城市的区位选址问题作了一般性的理论描述。 模型中的目标函数以及所有约束条件中所涉及的环境地质要素均是坐标点的函数。如果要将上述描 述性的模型
PW IPW I(r,
,z) 3
i 1
si
PI W
n ci s i1 i
表示地下水污染程度较轻，一般可以作为生活饮用水，处理 简单、经济、水质完全符合国家颁布的生活饮用水标准。
工程地质条件约束
○ i.地下水位约束。地下水位埋深小于3m，对城市建筑施工不利， 大于100m则导致城市取水困难，因此对地 下水位埋深H要求：
如果记L为单位土地面积的征用费，则它应该是点
的函数。那么，
对于追求“土地征用费最低”这一目标的目标函数可以表示为：
城市用水费用。城市用水费用，主要取决于打井费用和配套设备及抽水 费用。在冲积扇的下部，地下水位浅，用水费用低廉。而在冲积扇的中 上部，地下水位深，用水费用高。如果记W为单位土地面积上的城市用 水费用，则所追求 “用水费用最低”这一目标的目标函数可以表示为：
地下水的水质。地下水对绿洲型城市优化选址的影响， 除了水资源量外，还有水质问题。水质的好坏，直接影 响到城市居民的身体健康和工业用水的成本及其产成品 的质量。在能够作为城市区位选址的地段，地下水的水 质，特别是有关毒理学指标，如氟化物、氰化物、砷、 汞、酚、铬等及其表征水质状况的指标，如硬度、
胺基、化学耗氧量、氨等，经过简单的净化处理后均应 符合国家生活饮用水卫生标准和工业用水水质标准。
○ ii.地基承载力约束。对于不同的楼层建筑，要求的地基承载力条件不同，设 为城市建筑施工所
要求的最低地基承载力，则地基承载力F应满足：
模型分析与评价
○ 以上仅仅是借助于多目标规划的数学语言，对绿洲型城市的区位选址问题作了一般性的理论描述。 模型中的目标函数以及所有约束条件中所涉及的环境地质要素均是坐标点的函数。如果要将上述描 述性的模型
5多目标决策分析
一. 多目标决策的含义及特点 1.多目标决策的含义
多目标决策是根据多个目标准则来比较、排序多个方案， 从中选择出一个或几个方案的决策过程。
2.多目标决策的特点
多目标性； 目标间的不可公度性； 目标之间的矛盾性； 定性指标与定量指标相混合
多目标决策问题的目标准则结构复杂多样， 但以下三种较为典型：
Y 4 1 1/2 C.R.=0.025 0.3331
Z5 2 1
0.5695
③书面表达能力
XYZ
X 1 3 1/3 λmax=3.5607 Y 1/3 1 1 C.R.=0.539 * Z3 1 1
调整判断矩阵为：
X YZ
X 1 3 1/3 λmax=3.0328 0.2583
Y 1/3 1 1/5 C.R.= 0.032 0.1047
Z 3 51
0.6370
④口才
XY Z
X 1 1/3 5 λmax=3.0651 0.2790
Y 3 1 7 C.R.=0.062 0.6491
Z 1/5 1/7 1
0.0719
⑤道德水平
XYZ X 1 1 7 λmax=3.00 Y 1 1 7 C.R.=0.000 Z 1/7 1/7 1
0.4667 0.4667 0.0667
P3 1/3 λmax=3.029 1/5 C.I.=0.014
W 0.1867
0.1577
P3 3 5
1 C.R.=0.02
0.6555
层次总排序：B ≻ C ≻ A
C1 0.6333
C2
C3
0.1061 0.2604
总排序结果
P1 0.1818 P2 0.7272 P3 0.0910
多目标决策是根据多个目标准则来比较、排序多个方案， 从中选择出一个或几个方案的决策过程。
2.多目标决策的特点
多目标性； 目标间的不可公度性； 目标之间的矛盾性； 定性指标与定量指标相混合
多目标决策问题的目标准则结构复杂多样， 但以下三种较为典型：
Y 4 1 1/2 C.R.=0.025 0.3331
Z5 2 1
0.5695
③书面表达能力
XYZ
X 1 3 1/3 λmax=3.5607 Y 1/3 1 1 C.R.=0.539 * Z3 1 1
调整判断矩阵为：
X YZ
X 1 3 1/3 λmax=3.0328 0.2583
Y 1/3 1 1/5 C.R.= 0.032 0.1047
Z 3 51
0.6370
④口才
XY Z
X 1 1/3 5 λmax=3.0651 0.2790
Y 3 1 7 C.R.=0.062 0.6491
Z 1/5 1/7 1
0.0719
⑤道德水平
XYZ X 1 1 7 λmax=3.00 Y 1 1 7 C.R.=0.000 Z 1/7 1/7 1
0.4667 0.4667 0.0667
P3 1/3 λmax=3.029 1/5 C.I.=0.014
W 0.1867
0.1577
P3 3 5
1 C.R.=0.02
0.6555
层次总排序：B ≻ C ≻ A
C1 0.6333
C2
C3
0.1061 0.2604
总排序结果
P1 0.1818 P2 0.7272 P3 0.0910
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对于地下水位而言，从城市建筑的 角度来考虑，地下水位不应过高。如果 埋深小于3m，则会对建筑基础不利。但 是，地下水位也不应过低，如果埋深大 于100m，则会导致城市用水费用（主要 包括打井费用、配套设备费用和电费等） 过高，这样也将提高城市建设的代价。
④环境地质灾害
地震、滑坡、泥石流、洪水等环境地 质灾害在地处于干旱内陆的新疆时有发生， 特别是在春夏季节，泥石流、洪水灾害较 为多见。因此，绿洲型城市的区位选址还 应该考虑环境地质灾害因素。城市选址应 该尽量避开地质灾害的多发地段，特别应 该避开受泥石流、洪水可能影响的地段。
②水文地质条件
a) 地下水资源量。水资源是影响城市区 位的重要因素，是城市区位选址必须考虑 的首要因素。对于绿洲型城市，地下水是 城市主要的供水源，地下水位及其富水性 直接关系到一个地段是否可以作为城市的 选址位置，因为地下水的开发利用潜力 （如地下水天然补给量、允许开采量等） 直接关系到城市的发展规模和方向。
A) 城市土地征用费。一般来说，城市建 设征地的费用由土地的农业适宜性决定， 即越适宜于农业利用的土地，其征用费就 越高，反之，就越低。位于冲积扇上不同 部位的土地宜农性差异是显著的。在扇面 的上部（r较小，z较大的部位），由于地 表物质组成较粗，地下水位深，土地宜农 性较差，因而征用费也较低。在扇面的中 部，土地的宜农性仍然较差，因而征用费
(2)绿洲型城市区位选址的多目标规划模型
冲积扇型城市是新疆绿洲型城市的典 型代表，本模型旨在回答在冲积扇的什么 部位建立城市最为合理或已建城镇合理发 展规划问题。因此，冲积扇的扇形地区域 就是城市选址所允许的空间范围。也是规 划模型的求解区域。为了便于进行理论分 析和建立模型的需要，在数学形态上，可 以将这个求解区域近似地看成是一个规则
①土地条件
在干旱绿洲地区，宜农性土地是很有限 的，也是很宝贵的土地资源，一般情况是不 允许作为其它用地的。通常，土质差的非宜 农性土地的城市建设征用费低，土质好的宜 农性土地征用费高。因此，绿洲型城市的区 位应该选在土质能够满足城市建设要求，而 土地征用费又较低廉的部位。显然，土地条 件是限制绿洲型城市区位选址的重要因子。
由于城市是区域经济发展和地方行政 管理中心。因此，优越的地理位置、便利 的交通、充足的水源、潜在的经济环境及 优良的自然环境等条件应该是良好城市区 位的基本特征。对于冲积扇上的绿洲型城 市而言，其区位选择与环境地质因素有着 极为密切的关系。环境地质因素对于绿洲 型城市区位选址的影响主要表现在如下几 方面。
b) 地下水的水质。地下水对绿洲型城市优化选
址的影响，除了水资源量外，还有水质问题。水
质的好坏，直接影响到城市居民的身体健康和工
业用水的成本及其产成品的质量。在能够作为城
市区位选址的地段，地下水的水质，特别是有关
毒理学指标，如氟化物、氰化物、砷、汞、酚、
铬等及其表征水质状况的指标，如硬度、SO
2 4
冲积扇型城市在新疆绿洲型城市中最为多见， 在天山南、北麓和昆仑山北麓，冲积扇发育较广， 并且许多扇型地都具有相当大的规模。新疆冲积 扇的发育与晚第三纪以来的中国西部环境的演变 有着密切的关系。晚第三纪以来，昆仑山、天山、 阿尔泰山剧烈上升，使来自海洋的湿润气流受到 阻隔，逐渐形成了新疆的干旱气候。在干旱气候 环境下，植被逐渐变的稀疏，内陆湖泊变小乃至 消亡，自然景观以荒漠为主。
r：极径，表示扇面上的点M到出山口的平 面距离；
:极角，表示线OM在平面的投影与OM0的 夹角 (OM0为极径始边）；
Z:立标，表示点M到基准平面的距离深度， 此平面可以认为是扇缘部位等高线所在的平 面。
上述各变量所表示的柱面坐标如图 5..1所示。图5.3.1 冲积扇柱面坐标
★目标函数
从前面讨论的来看，绿洲型城市的最佳区位， 应该是在尽量少占耕地或不占耕地（即土地征 用费低）的前提下，选择地下水资源丰富且取 水便利、水质优良、工程地质条件良好的区位。 另外，这个区位还应该在自然灾害危及区域以 外。经研究分析，我们拟定“城市土地征用费”和 “城市用水费用”作为本模型的两个目标，即追求 “城市土地征用费”和“城市用水费用” 最低廉。
规则的扇形体 。对扇面上的任意一点， 可以用柱面坐标表示，即用点M在平面上 的投影的极坐标 (r, ) 以及点M到平面的距 离Z（立标）描述。位于扇面上的不同点， 其环境地质条件是由差异的，任何一个环 境地质要素均可以看成是坐标点M,
即 r, , z 的函数。
★决策变量及其含义
对于建立在冲积扇上的绿洲型城市， 其最佳区位点可以用柱面坐标中的点表示。 因此，本模型的决策变量是：
Cl
NO
2
NO
3
Cu Pb 胺基、化学耗氧量、氨等，经
过简单的净化处理后均应符合国家生活饮用水卫
生标准和工业用水水质标准。
③工程地质条件
现代化城市，以高层建筑和高层建筑 群为特征。因此，城市区位选址必须考虑 工程地质条件，对于冲积扇上的绿洲型城 市而言，由于扇体的各个部位的物质组成 不尽相同，因而其地基承载力也不尽相同， 扇体各个部位的稳定性也有差异。因此， 绿洲型城市的选址，应充分考虑现代高层 建筑对地基承载力的要求。
由于山体抬升，在干旱环境下，风化产生大 量的碎屑物质，为冲积扇的形成提供了丰富的物 质来源。
冲积扇的物质组成，扇顶部位主要为粗粒相 堆积带，堆积厚度较大，主要由卵砾石组成，空 隙大、透水性强；冲积扇的中部为粗细粒过渡带； 下部和边缘为细粒相堆积带，主要由砂土、亚粘 土、粘土组成。冲积扇的扇面坡度自扇顶向扇缘 具有明显的倾斜，在扇顶部，坡角较大，而到了 扇缘带倾角很小，只有1—2°。
多目标规划应用实例
绿洲型城市区位选址的多目标规划模型 小流域综合治理的目标规划模型①
▪绿洲型城市区位选址的多目标规划模型
(1)绿洲型城市的环境地质基础及影响城 市选址的环境地质要素
新疆绿洲型城市，按地理位置可分为：冲 积扇型、洪积扇型、冲洪积平原型、河谷型、 冲积平原型、湖岸平原型等。其中，冲积扇型 城市分布最为普遍，约占39%，是新疆绿洲型城 市的典型代表。本模型主要是针对冲积扇型城 市的区位选址问题。