吴祈宗：运筹学培训教程.ppt

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大学课件运筹学 PPT_绪论

必要的。
3）数量化的分析方法有助于我们得到正确结论，做出科学决策。
§0.2 运筹学的产生和发展
0.2.1古代的运筹学思想
●田忌赛马
——对策博奕
●都江堰水利工程 ——功能组织
●北宋丁渭修复皇宫——系统思想
●明代铸造永乐大钟——过程安排
●哥尼斯堡七桥问题——图论方法
0.2.2运筹学学科的产生
●第二次世界大战——军事目的
§0.1 引例
分钱游戏
有一慈善者拿出100元拟分给A和B，分配规则是：由A提出分配方案，B同意分配方案，则执行分配方案，B反对时则慈善者收回这100元。假设A和B都是理性的，则A应该提出什么样的方案，B怎么办？
§0.1 引例
0.1.3 启示
1）解决管理问题要有整体意识或系统观念。 2）建立研究对象各部分之间的联系对解决问题是非常
（2,1）（1,2）
-,+
+,-
+,-
-,+
最优方案红军：集中兵力进攻。蓝军：分兵把守
§0.1 优化
蓝军
方案1 方案2 方案3 方案4
（3,0）（0,3）（2,1）（1,2）
红方案A（2,0） -,+
+,-
-,+
+,-
军
方案B（0,2） +,-
-,+
+,-
-,+
方案C（1,1） +,-
0.3.1§运0.筹3学的运定义筹学的研究对象
4、运筹学的研究对象
各类有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
0.3.1§运0.筹3学的运定义筹学的研究对象
5、运筹学的基本方法定量化和模型化方法。

最优化方法PPT

共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统，否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星（金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)，以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁地表示成：Min F(X)或Max F(X)。

运筹学课件汇总

其中， A为 mn矩阵，d为m维向量
F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量，f(x) = aiTx
1.5基本概念和符号
(2) 梯度（一阶偏导数向量）： f (x)＝( f / x1 , f / x2 , … , f / xn )TRn 线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c
d =(d1 ,d2 ,…,dn)T 表示从0指向d 的方向
实用中，常用 x + d 表示从x 点出发沿d 方向
移动d 长度得d 到的点。
x+(1/2)d
0
x
1.5 基本概念和符号
(2) 向量运算：x , y Rn
x
,
y
的内积：xTy
=
n
xi
yi
=
x1y1+
x2y2+
…+
xn
yn
i =1
x , y 的距离： ‖x－y ‖= [(x － y)T(x － y)](1/2)
1.1 什么是运筹学
• 运筹学是为决策机构在对其控制下的业务活动进行决策时，提供一门以量化为基础的科学方法。
• 运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
• 运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术，否则的话，问题的结果会更坏。
• 一个有用的定理
设 xRn，R，L为Rn 的线性子空间。若 xTy ≤ , yRn 且 y ≥ 0，则
x ≤ 0， ≥ 0 若 xTy ≤ , y L Rn ，则
x L， ≥ 0 (特别地, 当L＝Rn时,x =0)

北京理工大学运筹学吴祈宗第2章

26
设备能力（h） 65 40 75
2.线性规划的图解法
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？用图解法求解。
解：设变量xi 为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2
s.t. 3x1+ 2x2 ≤ 65 (A)
目标函数随着取值不同，为一族相互平行的直线。首先，任意给定目标函数一个值，可作出一条目标函数的等值线（直线）；然后，确定该直线平移使函数值增加的方向；最后，依照目标的要求平移此直线。
24
2.线性规划的图解法
结果
若目标函数等值线能够移动到既与可行域有交点又达到最优的位置，此目标函数等值线与可行域的交点即最优解（一个或多个），此目标函数的值即最优值。否则，目标函数等值线与可行域将交于无穷远处，此时称无有限最优解。
29
2.线性规划的图解法

例题作图（2）
第2步图示(1) 分别作出各约束半平面
3x1+ 2x2 ≤ 65
2x1+ x2 ≤ 40
3x2 ≤ 75
x1 ≥ 0
X2 ≥ 0
30
2.线性规划的图解法

例题作图（3）
第2步图示(2) 各约束半平面的交－可行域
31
2.线性规划的图解法
（3）任意给定目标函数一个值（例如37500）作一条目标函数的等值线，并确定该等值线平移后值增加的方向（向上移动函数值增大），平移此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置，得到交点 (5,25)T ，即最优解。此目标函数的值为70000。

运筹学ppt课件

– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组合
网络优化
内
优排序问题化统筹图
容
对策论
随排队论
机优化
13
组织宝洁公司法国国家铁路
应用
Interface 每年节支期刊号（美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿降低成本并加快了市场进入速度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，

运筹学讲义完整版

第35页
等可能准则
n
max{
i
1 n
Vij
j=1
}
S1 A1 20 A2 9 A3 6
S2
S3
Vi =
1 3
Vij
1 -6
5
80
5
2 3
max=5
2 3
54
5
选 A2
第36页
5.后悔值准则（Savage原则）（最小机会损失决策）
定义：称每个方案aj在结局Si下的最大可能收益与现收益的差叫机会损失，又称后悔值或遗憾值。记Rij(si,aj)=MaxQij(si,aj)-Qij(si,aj)
第27页
收益矩阵
事件高
方案
S1
A1
20
A2
9
A3
6
中
低
S2 S3(万元)
1
-6
8
0
5
4
第28页
1.乐观准则（Hurwicz原则、MaxMax ）（冒险型决策）
对于任何行动方案，都认为将是最好的状态发生，即益损值最大的状态发生。然后，比较各行动方案实施后的结果，取具有最大益损值的行动为最优行动的决策原则，也称为最大最大准则。
第39页
（3）在机会损失表中，从每一行选一个最大的值，即每一方案的最大机会损失值 Max Rij(si,aj) （4）再在选出的 Max Rij(si,aj)选择最小者：
第37页
对于任何行动方案aj ,都认为将是最大的后悔值所对应的状态发生。然后，比较各行动方案实施后的结果，取具有最小后悔值的行动为最优行动的决策原则，称为后悔值准则。记
R (s,aopt) = Min Max Rij(si,aj) ji

运筹学课件

25
如何学习运筹学课程
在建数学模型时，要结合实际应用。际应用
26
据美劳工局1992年统计预测:社会对运筹学应用分析人员的需求从1990 年到2005年，其增长百分比预测为73%, 增长速度排到各项职业的前三位。
18
运筹学的推广应用前景
结论: --运筹学在国内或国外的推广应用前景是非常广阔的。 --工商企业对运筹学应用的需求是很大的。 --在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做。
的管理，库存方式、库存量等。
运输问题：确定最小成本的
运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等。
8
运筹学在工商管理中的应用
人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等。市场营销：广告预算、媒介选择定价、产品开发与销售计划制定等。
9
运筹学在工商管理中的应用
21
如何学习运筹学课程
学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多向自己提问，例如一个方法的实质是什么，为什么这样进行，怎么进行等。自学时要掌握三个重要环节：
22
如何学习运筹学课程
1.认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，同时参考其他有关书籍。一般每一本运筹学教材都有自己的特点，但是基本原理、概念都是一致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使学习深入。但是，把时间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。
财务和会计：包括预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。其他：设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等。
10
运筹学的产生和发展
运筹学思想的出现可以追溯到很早—“田忌齐王赛马”（对策论）、孙子兵法等都体现了优化的思想。 “运筹学”这一名词最早出现在第二次世界大战期间—— 美、英等国家的作战研究小组为了解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略、战术问题而提出的。

北京理工大学运筹学吴祈宗第5章

x1
x2
x3
xk
xk+1
xn
n+1
T1
T2
Tk
Tn
2
1.多阶段决策过程的最优化
动态规划方法与“时间”关系很密切，随着时间过程的发展而决定各时段的决策，产生一个决策序列，这就是“动态”的意思。然而它也可以处理与时间无关的静态问题，只要在问题中人为地引入“时段”因素，就可以将其转化为一个多阶段决策问题。在本章中将介绍这种处理方法。
2.动态规划的基本概念
（四）、策略和允许策略集合策略 (Policy) 也叫决策序列．策略有全过程策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指由依次进行的 n 个阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示为 p1,n{u1,u2,…,un}。从 k 阶段到第 n 阶段，依次进行的阶段决策构成的决策序列称为k部子策略,表示为 pk,n{uk,uk+1,…,un} ，显然当 k=1 时的k部子策略就是全过程策略。
5
1.多阶段决策过程的最优化
3)连续生产过程的控制问题：一般化工生产过程中，常包含一系列完成生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入和输出，以使总产量最大。
6
1.多阶段决策过程的最优化
许多问题的发展过程都与时间因素有关。在这类多阶段决策问题中，阶段的划分常取时间区段来表示，并且各个阶段上的决策往往也与时间因素有关。这就使它具有了“动态”的含义，所以把处理这类动态问题的方法称为动态规划方法。实际中尚有许多不包含时间因素的一类 “静态”决策问题，就其本质而言是一次决策问题，是非动态决策问题，但是也可以人为地引入阶段的概念当作多阶段决策问题，应用动态规划方法加以解决。

运筹学教程 (7)

13
2.决策的分类与过程

4.方案实施。这是决策过程的最终阶段。这个过程解决的主要有追踪协调和反馈控制。追踪协调是对决策方案的实施偏离决策目标时要进行根本性修正，并对目标之间、系统之间、方案之间的不一致现象给予协调和调整。反馈控制是对方案实施中主客观情况的变化，及时对决策方案和行为进行修正，以保证决策目标的顺利实现。
5
2.决策的分类与过程
战术决策是为了保证完成战略决策规定的目标而进行的决策。比如对一个企业来说，产品规格的选择、工艺方案的制定、厂区的合理布置等等。执行决策是按照战术决策的要求对执行方案的选择。比如产品合格标准的选择制定，日常生产调度等等。
6
2.决策的分类与过程
2.按决策的结构分类。可以分为程序性决策和非程序决策。程序性决策一般是有章可循，规格化，可以重复的决策。非程序性决策一般是无章可循，凭借经验和直觉等，往往是一次性的，有战略性的决策。
结果选择方案k2 。很明显如果取值不同，可以得到不同的结果。当情况比较乐观时，应取的大一些，反之，应取的小一些。
27
i
4.不确定型的决策问题
四.等可能准则等可能准则也叫做Laplace准则，它是十九世纪数学家Laplace提出来的。他认为，当决策者无法事先确定每个自然状态出现的概率时，就可以把每个状态出现的概率定为 1/n ， n 是自然状态数，然后按照最大期望值准则决策。见表7.6。
31
4.不确定型的决策问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表7.7
决
1
策
表
j
自然状态
2
5 4 7 5 5
aij
Ki
决策方案
3

运筹学PPT

线性规划
线性规划研究的主要问题

一类是已有一定数量的资源（人力、物质、时间等），研究如何充分合理地使用它们，才能使完成的任务量为最大。另一类是当一项任务确定以后，研究如何统筹安排，才能使完成任务所耗费的资源量为最少。

—— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同的方面，都是求问题的最优解（ max 或 min ）。
模型特点
1 都用一组决策变量X = (x1,x2,…,xn)T表示某一方案，且决策变量取值非负； 2 都有一个要达到的目标，并且目标要求可以表示成决策变量的线性函数； 3 都有一组约束条件，这些约束条件可以用决策变量的线性等式或线性不等式来表示。
——— 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划
基本定理

定理 1 若线性规划问题存在可行解，则问题的可行域是凸集。引理1 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性无关的。定理 2 线性规划问题的基可行解X对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点。引理2 若K是有界凸集,则K中任意一点可以表示为K 的顶点的凸组合. 定理3 若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解。
价值系数
a1n a2 n aij mn amn
系数矩阵
C c1 c2 cn
x1 x2 决策变量 X x n
b1 b2 b b n
单纯形法的思想

考虑：若线性规划问题有最优解，必有一个基可行解是最优解。思路：找出一个基可行解，判断是否最优，否则，换一个基可行解。几何意义

运筹学第二讲ppt课件 31页

个算法时，可进行时间性能上的比较，以便从中挑选出较优算法。 1、算法的执行时间和语句的频度
一个算法的执行时间大致上等于其所有语句执行时间的总和，而语句的执行时间则为该条语句的重复执行次数和执行一次所需时间的乘积。
语句的频度(Frequency Count)：一条语句的重复执行次数。 △ 算法的执行时间=∑原操作(基本操作)的执行次数(频度)× 原操作的执行时间 △ 设每条语句一次执行的时间都是相同的，为单位时间。这样我们对时间的分析就可以独立于软硬件系统。
lim T(n)/n3 lim (2n33n22n1)/n32
n
n
一个算法的时间复杂度(Time Complexity)是该算法的执行时
间，记作T(n)，T(n)是该算法所求解问题规模n的函数。
当问题的规模趋向无穷大时，T(n)的数量级称为算法的渐近时
间复杂度，记作
T(n)=〇(f(n))
(3) x++;
(4) for(i=1；i<=n；i++)
T(n)=〇(n2)
(5) for(j=1jj<=n；j++)
(6)
y++;
例1.7 变量计数之二
ni j
ni
n
1j i(i1)/2
(1) x=1；
i1 j1 k1 i1 j1
i1
(2) for(i=1；i<=n；i++) [n(n1)(2n1)/6n(n1)/2]/2
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的
增长率相同，简称时间复杂度。我们就是要找这个f(n) 。
例1.5 交换x和y的值。
temp=x;

运筹学教程课件

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运筹学方法在中国使用情况
(随机抽样)
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运筹学的推广应用前景
据美劳工局1992年统计预测:社会对运筹学应用分析人员的需求从1990 年到2005年，其增长百分比预测为73%, 增长速度排到各项职业的前三位。
18
运筹学的推广应用前景
结论: --运筹学在国内或国外的推广应用前景是非常广阔的。 --工商企业对运筹学应用的需求是很大的。 --在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做。
3
运筹学
1.绪论 2.线性规划建模及单纯形法 3.线性规划问题的对偶与灵敏度分析 4.运输问题 5.动态规划 6.排队论 7.决策分析
8.图与网络分析
第一章绪论
5
运筹学概况简述
运筹学(Operations Research) 直译为“运作研究”。
运筹学是运用科学的方法(如分析、试验、量化等)来决定如何最佳地运营和设计各种系统的一门学科。
23
如何学习运筹学课程
2.要在理解了基本概念和理论的基础上
研究例题，注意例题是为了帮助理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出错。因为，整个课程是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程度，知识融会贯通起来，你自己就能够对所做题目的正确性作出判断。
11
运筹学的产生和发展
战后这些研究成果被应用到生产、经济领域，并得到迅速发展——有关理论和方法的研究、实践不断深入。
1947年美国数学家丹捷格(G.B.Dantzig）
提出了求解线性规划的有效方法——单纯形法。
12
运筹学的产生和发展
数学对运筹学的作用——是有关理论和方法的研究基础，是建立运筹学模型的工具。

运筹学课件ppt下载

通过具体案例展示线性规划问题的建模过程，如生产计划、资源分配等问题。
单纯形法求解过程
单纯形法原理
介绍单纯形法的基本思想、算法步骤和求解过程。
迭代过程
详细阐述单纯形法的迭代过程，包括入基、出基、检验数计算等操作。
初始可行解
讲解如何找到一个初始可行解作为算法的起点。
终止条件
说明单纯形法的终止条件及如何判断最优解。
存储模型要素
需求、补充、成本、存储策略等。
常见存储模型
经典EOQ模型、动态规划模型、随机存储模型等。
存储论求解方法及实例分析
求解方法
数学解析法、数值计算法、仿真模拟法等。
实例分析
以某企业为例，运用存储论优化其库存管理策略，降低库存成本。
排队论基本概念及模型构建
排队论定义
研究等待线（队列）的数学理论和方法，又称随机服务系统理论。
最短路径问题
通过实例分析最短路径问题的动态规划解法，如
Dijkstra算法、Floyd算法等。
1
背包问题
针对不同类型的背包问题，探讨其动态规划解法及应用
场景。
资源分配问题
研究资源分配问题的动态规划模型及求解方法，如多阶段资源分配问题等。
生产与存储问题
分析生产与存储问题的动态规划解法，讨论其在企业生产管理中的应用。
整数约束
决策变量需满足整数约束条件，如人员数量、设备台数等。
目标函数选择
根据问题类型，选择合适的目标函数，如成本最小化、利润最大化等。
分支定界法求解过程
初始可行解
通过松弛整数约束，得到一个初始可行解。
分支过程
根据初始可行解，将问题分解为若干个子问题，分别求解。

第一章运筹学 PPT讲解

艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
运筹学的主要内容
Page 5
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等）图论存储论排队论对策论排序与统筹方法决策分析
本课程的特点和要求
Page 6
先修课：高等数学，基础概率、线性代数特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用运筹学的研究的主要步骤：
n
max Z c x j

bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（最小也可以，但我们先统一到最大）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
x2
max Z
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值

X

0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A

am1 amn
x1
X

xn
b1
B

bm
Page 16
线性规划问题的数学模型
Page 17
3. 线性规划问题的标准形式
运筹学

《运筹学》全套课件(完整版)

负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定义
整数规划是数学规划的一个分支，研究决策变量取整数值的规划问题。
02
整数规划问题的数学模型
包括目标函数、约束条件和决策变量，其中决策变量要求取整数值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概念
介绍最小费用流问题的定义、分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难度较大，需要较高的数学技巧。

北京理工大学运筹学吴祈宗第4章

根据定义可以看出闭回路的一些明显特点： (1)闭回路均为一封闭折线，它的每一条边，或为水平的，或为垂直的； (2)闭回路的每一条边（水平的或垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶点（变量格）。
22
1.运输问题模型及有关概念
关于闭回路有如下的一些重要结论： (1) 设 xab , xac , xdc , xde ,…, xst , xsb 是一个闭回路，那么该闭回路中变量所对应的系数列向量 pab , pac , pdc , pde ,…, pst , psb 线性相关； (2) 若变量组 xab , xcd , xef ,…, xst 中包含一个部分组构成闭回路，那么该变量组所对应的系数列向量 pab , pcd, pef ,…, pst 线性相关。根据上述结论以及线性规划基变量的特点，可以得到下面重要定理及其推论。
19
1.运输问题模型及有关概念
为了说明这个特征，我们不加证明的给出一些概念和结论。下面的讨论建立在表4-5 中决策变量格的基础上。定义4.1 在表4-5的决策变量格中，凡是能够排列成下列形式的 xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb (4-7) 或 xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat (4-8) 其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各不相同，我们称之为变量集合的一个闭回路，并将式（4-7）、式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。 20
按照上述方法所产生的一组变量的取值将满足下面条件： (1)所得的变量均为非负，且变量总数恰好为 m + n – 1 个； (2)所有的约束条件均得到满足； (3)所得的变量不构成闭回路。
31
2.运输问题求解