工程力学圆轴扭转教材
第七章 圆轴扭转 课件
二、圆轴扭转的强度条件
塔库马大桥
讨论塔库马大桥为什么会断裂？如 何防止断裂？
桥在大风中发生振荡扭曲
桥毁坏了
1．圆轴扭转的强度条件
τ max
M T max = ≤[τ ] Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度 （2）选择截面尺寸 （3）确定许可载荷
τ max
M Tmax = ≤[τ ] Wn
Wn ≥M T max / [τ ] M T max ≤Wn [τ ]
解题前须知：
1．在进行三类强度计算前，仍应遵循解题步骤：首先用 截面法求内力，然后应用强度条件进行相关计算。由于扭转 变形通常没有直接给出外力偶，还应增加外力偶矩的计算。 2．对等直圆轴来说，应计算最大扭矩截面的外周边各点 处。对于阶台轴，由于各段抗扭截面系数Wn不同，应将各处 应力均考虑计算。 3．注意区分空心圆与实心圆抗扭结面系数Wn不同。
4 4 4
抗扭截面系数 Wn/mm3
πD 4 D Wn = = / R 32 2 πD 3 = ≈ 0.2 D 3 16 Iρ
πD3 空 I = πD − πd = πD (1 − α 4 ) Wn = = 1−α 4 ) ( ρ R 16 32 32 32 心 4 4 ≈ 0.2 D 3 (1 − α 4 ) ≈ 0.1D (1 − α ) 轴 Iρ
解题过程
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大 扭转截面系数Wn和极惯性矩Iρ。
《工程力学》课件——14 圆轴扭转
圆轴扭转的刚度条件：
max
Mn G I
180o
θ — 单位扭转角（θ = φ/l（°/m））
Mn — 横截面上的扭矩 G — 剪切弹性模量（Gpa）
Iρ — 横截面对其形心极惯性矩(mm4)，与截面形状 和大小有关的几何量
X
Z
Y
《工程力学》
《 圆轴扭转 》
工程实际中受扭的零件
轴构件： 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴
扭转受力的特点
BA
mc
mc
m
A
B
扭转受力的特点： 在构件两端作用两个大小相等、方向相反且作用面垂直于构件轴线的力偶矩 致使构件任意两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形式的变形即为扭转变形
φ — 扭转角（弧度）
Mn — 横截面上的扭矩 G — 剪切弹性模量（Gpa）
Iρ — 横截面对其形心极惯性矩(mm4)，与截面形状和大小有关的几何量
圆轴扭转变形
单位扭转角：
max
Mn G I
θ — 单位扭转角（θ = φ/l（rad/m））
Mn — 横截面上的扭矩 G — 剪切弹性模量（Gpa）
扭矩确定
扭矩
• 圆轴扭转时其横截面上的内力为一力偶矩，称为扭矩（Mn） • 规定符号的正负按右手螺旋法则确定
正
m
T
Tm(a)m源自(b)TT
m
负
圆轴扭转强度计算
扭转的平面假设： 圆轴扭转变形后横截面保持平面，且形状、大小、间距不改变，半径仍为直线
结论： 圆轴扭转时横截面上无正应力，只有垂直于半径方向剪应力
圆轴扭转的计算(工程力学课件)
9 549 20 637 300
Nm
318 N.m 1 477 N.m 2 1432 N.m 3 637 N.m
B
1C
A 2
D 3
扭矩图（T图）
318 N.m
477 N.m
1432 N.m
637 N.m
B
C
A
D
练习1
画扭矩图！
5
3
＋
A
B
C
练习2
3000N.m
3000
＋
1200
T图（N.m）
G E
材料的三个弹性常数
2(1 ) 由三个中的任意两个，求出其第三个
扭转的概念 扭矩和扭矩图
扭转变形
角应变
扭转角
受力特点
大小相等、方向相反， 作用面垂直于杆件轴线的外力偶矩
变形特点 任意横截面绕杆轴线产生转动
典型构件
以扭转变形为主的杆件通常称为轴 最常用的是圆截面轴
扭转的工程实例
螺丝刀杆工作时受扭
输出功率： PB 10 kW PC 15 kW PD 20 kW
M eA
9
549
PA n
9 549 45 1 432 300
Nm
M eB
9
549 PB n
9
549 10 318 300
Nm
M eC
9 549 PC n
9 549 15 477 300
Nm
M eD
9 549 PD n
（1）条件 （2）求约束力
扭矩 T图
T
Ip
Tl l FN l
GI P
EA
扭转
拉压
max
Tmax Wp
6.圆轴扭转PPT课件
A
B O
A
BO
Me
Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（）：直角的改变量。
2021/3/9
授课：XXX
3
二、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m954P9(Nm) 其中：P — 功率，千瓦（kW）
n
n — 转速，转/分（rpm）
m702P4(Nm) n
2021/3/9
授课：XXX
1
§6–1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图
一、概念与实例
1. 丝锥杆发生扭转变形。
2. 方向盘操纵杆
2021/3/9
授主要变形的构件。 如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：
提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。
2021/3/9
授课：XXX
19
⑤ 确定最大剪应力：
由
T
Ip
知：当 Rd2, max
ma xTIpd 2IpTd 2W TP (令 WIp
d) 2
max
T max WP
Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
圆轴扭转的概念不实例扭矩不扭矩图62圆轴扭转时的应力不强度计算63圆轴扭转时的变形不刚度计算第六章圆轴扭转第六章圆轴扭转圆轴扭转的概念不实例扭矩不扭矩图圆轴扭转的概念不实例扭矩不扭矩图丝锥杆发生扭转变形
第六章 圆轴扭转
§6–1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 §6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算 §6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算
工程力学第七版电子课件第七章圆轴扭转
§7-1 圆轴扭转的力学模型
在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反,且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使 杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动这样的变形形式称为扭转变形。
§7-1 圆轴扭转的力学模型
工程中把以扭转为主要变形的杆件称为轴, 其中圆形截面的轴称为圆轴,其受力可简化为 如图7-3所示。 工程中的传动轴 (见图7-4)往往只给出轴的转 速n 和轴传递的功率P ,需通过下面的公式确定 外力偶矩:
§7-2 扭矩和扭矩图
二、扭矩图
用横坐标表示轴的各截面位置,纵坐标 表示相应横截面上的扭矩大小。扭矩为正 时,曲线画在横坐标上方;扭矩为负时,曲线 画在横坐标下方,从而得到扭矩随截面位 置而变化的图线,称为扭矩图。
§7-2 扭矩和扭矩图
传动轴上主动轮与从动轮位置不同,轴的最大扭矩数值也不同。显然,从强度 观点看后者较为合理。
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
2.扭转应力切应力 根据静力平衡条件,推导出截面上任意点的切应力计算公式:
圆轴扭转时,横截面边缘上各点的切应力最大,其值为
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
极惯性矩I ρ 与抗扭截面系数 W n 表示了截面的几何性质,其大小与截面的形状和尺寸有关
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
如已知汽车传动轴所传递的功率P=80kW,其转速 n =582r/min,直径d =55mm,材料的许用切应力 [τ ]=50 MPa,试分析并计算下列问题: 1.计算作用在传动轴上的外力偶矩。 2.计算传动轴所受的扭矩。 3.计算传动轴的抗扭截面系数。 4.校核传动轴的强度。
§7-3 圆轴扭转时的应力及强度条件
二、圆轴扭转的强度条件 1.圆轴扭转强度条件
《工程力学》课件——第七章 扭转6
第7章扭转§7.6 扭转变形计算刚度条件1 2 圆轴扭转时的变形刚度条件一、圆轴扭转时的变形pT d dxGI ϕ=l d ϕϕ=∫l pT dx GI =∫p Tl GI =相对扭转角ϕ抗扭刚度p GI 分段轴或阶梯轴：pd T GI dx ϕ=之前推导出扭转刚度条件 二、刚度条件pd T dx GI ϕ=ϕ′=ϕ′用 表示变化率d dxϕ称为单位长度扭转角(相当于l =1)(rad/m)p T GI lϕϕ′==180 (/m)p T GI ϕπ′=× []maxmaxT GI ϕϕ′′=≤扭转强度条件 扭转刚度条件 []max tT W ττ=≤316t DW π=[]maxmaxpT GI ϕϕ′′=≤432p DI π=已知 、 和，校核强度 T D []τ已知 和，设计截面 T []τ已知 和 ，确定许可载荷 []τD已知 和，设计截面 T []ϕ′已知 、和 ，校核刚度 T []ϕ′D 已知 和 ，确定许可载荷 []ϕ′D（与应力相关）（与应变相关）maxtTW τ=max 180p T GI ϕπ′=×[]ϕ′<例 1 某传动轴所承受的扭矩 T = 200 N ·m ，轴的直径 d = 40 mm 。
材料的[τ ] = 40 MPa ，切变模量G = 80 GPa ，许用单位长度扭转角[ϕ ′] =1˚/m。
试校核该轴的强度和刚度。
3336162003.14(4010)1615.910Pa 15.9MPa T d π−×=××=×=[]<τ418032Td Gππ×解：(1) 校核轴的强度(2) 校核轴的刚度该轴满足强度和刚度条件。
934322001808010 3.14(4010) 3.14−××××××0.57 /m °=例2 某传动轴设计要求转速 n = 500 r/min，输入功率 P 1 = 50 kW ，输出功率分别 P 2 = 20 kW 及 P 3 = 30 kW ，已知：G = 80 GPa ，[τ ] = 70 MPa ，[ϕ′ ] = 1º/m，试确定：①AB 段直径D 1和 BC 段直径 D 2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如图T316[]t DTW πτ=≥234.6 mm D ′≥432p D I π=≥141.2 mm D ′≥由刚度条件得：AB 段 BC 段由强度条件得：245.2 mm D ′′≥151.4 mm D ′′≥1251.4 mm , 45.2 mm D D ≥≥综上，得： ②若全轴选同一直径时51.4 mmD ≥234.6 mmD ′≥141.2 mmD ′≥由强度条件得： 由刚度条件得： []418032 p D T I G πϕπ=≥×′T换位后T换位前③ 轴上的最大扭矩（绝对值）越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。
工 程 力 学 教 案-圆轴扭转
工程力学教案【理、工科】注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份。
重复班授课可不另填写教案。
§4-1 扭转的概念和实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。
扭转有如下特点：1. 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶--扭转力偶。
其相应力分量称为扭矩。
2. 变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
若杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量则这种受力形式称为纯扭转。
§4-2 扭矩扭矩图1.外力偶矩如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。
如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义角速度(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n(单位：转/分，r/min)的关系为。
因此功率N的单位用千瓦（KW）时有关系，即(4-1a)式中：-传递功率（千瓦，KW），-转速（r/min）如果功率单位是马力(PS)，由于1KW =1000 N·m/s =1.36 PS，式（4-1a）成为(4-1b)式中：-传递功率（马力，PS）-转速（r/min）2. 扭矩求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转力--扭矩。
如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A截面上扭矩T，称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。
或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。
【例4-4】传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。
试画出轴的扭矩图。
【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩从受力情况看出，轴在BC，CA，AD三段的扭矩各不相等。
现在用截面法，根据平衡方程计算各段的扭矩。
在BC段，以表示截面I-I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。
工程力学课件 第8章 圆轴的扭转
工程力学
3
二、扭矩与扭矩图
1.外力偶矩的计算
1.1.1作电用于路轴的上的组外成力偶矩，通常不是直接给出其数值，而是给出 轴的转速和传递的功率，此时需要按照理论力学中推导的功率、转 速、力矩三者的关系来计算外力偶矩的数值。
式中： Me——外力偶矩，单位为牛顿·米(N·m)； P——轴传递的功率，单位为千瓦(kW)； n——轴的转速，单位为转/分(r/min)。 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入功率的齿轮、皮带轮作 用的力偶矩为主动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、 皮带轮作用的力偶矩为阻力矩，方向与轴的转向相反。
1.1.1 电路的组成
若取右部分作为研究对象，如图(c)所示
用同样的方法，也可求得
方向与Mx相反。
Mx＝Mx′称为截面Ⅱ－Ⅱ上的扭矩。它是作用在横截面上的内力 偶矩，是切于截面作用的内力合成的结果，大小等于截面以左(或以 右)所有外力偶矩的代数和。
工程力学
6
由于Mx与Mx′同是截面Ⅱ－Ⅱ上的扭矩，应具有相同的正负号， 因此，对扭矩的正负号做出如下规定：用右手螺旋法则将扭矩表示 为矢量，即四指弯向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向。
第二部分 材料力学
第八章 圆轴的扭转
工程力学
本章主要研究圆形截面轴的扭转变 形。主要内容有外力偶矩的计算，轴的 扭矩的计算，轴的应力与强度的计算， 轴的变形与刚度的计算。本章的重点是 圆轴扭转强度和刚度的计算
第一节 扭转的概念、扭矩与扭矩图
一、扭转的概念 1.1.1机电器中路的的轴往组往成会发生扭转变形，如汽车中由方向盘带动的操
工程力学
7
运用上述结论可得，轴AB段各截面上的扭矩为
或
1.1.1 电路的组成
工程力学圆轴扭转教材共65页文档
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 பைடு நூலகம்接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
工程力学课件-第八章 圆轴的扭转
MA f18 MB
MC
f24 f22
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-MPa单位制
A
1000 B 1000 C
t max1
T1 WT 1
p D13
16
T1
1 -
d D1
4
T /N·m
150
A
150103 16
243p
[1
-
(18
/
24)
4
]
80.8MPa
100
B
C
27
2) 计算各段应力:
)4
)
a=d/D=0
Ip
p D4
32
WT
p D3 ( 1- a 4)
16
WT
pD3
16
20
研究思路：
变形几何条件
+
材料物理关系
+
静力平衡关系
g rdf /dx ---(1)
tr
Ggr
Gr
df
dx
G df
dx
r 2 dA MT
A
---(2) ---(3)
圆轴扭转剪应力公式：
tr
MT r
故有：
f AB
MT L
/
GIp
GI p称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。26
例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m MC=100N·m，材料G=80GPa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
解: 1) 画扭矩图。
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
工程力学 第9章圆轴扭转
第9 章圆轴扭转§9.1 扭转的概念及实例§9.2 扭矩和扭矩图§9.3 圆轴扭转时的应力和强度条件§9.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件§9.5 矩形截面和薄壁杆的自由扭转1基本要求1.理解扭转的概念，熟练掌握扭矩的计算和扭矩图的绘制方法。
2.明确纯剪应力状态的概念，深刻理解剪应力互等定理及剪切胡克定律。
会计算剪切应变能。
3.理解圆轴扭转时的剪应力和扭转角公式的推导过程，明确其中平面假设的意义和方法。
4.熟练掌握受扭圆轴强度和刚度的计算方法。
§9.1 扭转的概念及实例受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶。
将任意两横截面间绕轴线转动的相对转角称为扭转角,用φ表示。
变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。
工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。
符号：用右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若矢量方向与横截面外法线方向一致（正），反之为（负）。
1、扭矩扭转时横截面上的内力，它是一个位于横截面平面内的力偶，该力偶矩称为扭矩求法：截面法取左端，由于矩平衡说明：这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得相同的正负号。
∑=0m mT =0=−T m 二、扭矩与扭矩图扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。
2、扭矩图扭矩图的做法与轴力图相似例1已知:n=300r/min,主动轮A 输入功率传动轴转速P A =400KW,三个从动轮输出功率分别为P B =120KW ，P C =120KW , P D =160KW 试画轴的扭矩图。
A B C D§9.3 圆轴扭转时的应力和强度条件一、变形试验1、实验现象﹢各圆周线的形状、大小，两圆周线间的距离都没有发生变化，但都绕轴转过了不同的角度。
﹢纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩形都变成了平行四边形。
2、平面假设圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过程中，始终保持为平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。
工程力学教学课件第4章扭转
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
如图求圆轴指定截面的内力。
由截面法：（1）截开，留下左半段，去掉右半段；
（3）考虑留下部分的平衡
同样，亦可留下右半段作为研究对象，可的同样的结果，如图。
§4.3 薄壁圆管的扭转
第 4 章 扭 转
用截面法，考虑一部分圆管的平衡：
A0为平均半径所作圆的面积。
§4. 3 薄壁圆管的扭转
第 4 章 扭 转
二、剪应力互等定理
a
c
d
dx
b
dy
´
´
t
z
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
第 4 章 扭 转
三、剪切虎克定律
剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。
根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。
扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针为正，顺时针为负。
（2）用内力代替去掉部分对留下部分的作用； T称为扭矩。
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
扭矩图
§4. 2 扭矩及扭矩图
第4 章 扭 转
解:
(1)计算外力偶矩
第 4 章 扭 转
扭矩和扭矩图
§4.2 扭矩及扭矩图
第 4 章 扭 转
扭矩和扭矩图
T = Me
§4.2 扭矩及扭矩图
工程力学教案-圆轴扭转
工程力学教案【理、工科】注：教案按授课次数填写，每次授课均应填写一份◊重复班授课可不另填写教案。
§4-1扭转的概念和实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。
扭转有如下特点：1.受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶一扭转力偶。
其相应力分疑称为扭矩。
2.变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
若杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量则这种受力形式称为纯扭转。
图4-2桥式起重机的传动轴•宓•••八・• §4-2扭矩扭矩图1.外力偶矩刊如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩加不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率“和转速n计算得到的。
如轴在m作用下匀速转动护角，则力偶做功为丿=尬0,由功率定义dA d /Tv =——== m @dt dt角速度⑵（单位：弧度/秒，rad/s）与转速n（单位：转/分，r/min）的关系为0 = 2讪60。
图43外力偶矩的计算■XV 1 八g 2TZ?^Mx 10" = m • -----因此功率N的单位用千瓦（KW〉时有关系6° ,即m = 9550—@7・购）冷（4-la）式中：“-传递功率（千瓦，KW）,用-转速（r/min）如果功率单位是马力（PS）,由于1KW =1000 N • m/s =1. 36 PS,式（4-la）成为N型= 7024—、n㈣型）(4-lb)式中：传递功率（马力，PS）转速(r/min)2.扭矩T求出外力偶矩朋后，可进而用截面法求扭转力一扭矩。
如图4-4所示圆轴，由=°,从而可得A-A截面上扭矩TF称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，T矢量离开截面为正，指向截面为负。
或矢量与橫截面外法线方向一致为正，反之为负。
图4-4扭矩【例4-4】传动轴如图4-5a 所示，主动轮A 输入功率= 50马力，从动轮B 、 C 、D输出功率分别为N 厂叽二刃=300 rf min图4-5【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩叫=7024^- = 1170brm― 71叫=m c =7024^A = 351N*m亠 一n= 7024^-= 468 Nmn从受力情况看出，轴在BC, CA, AD 三段的扭矩各不相等。
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例题 一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m, 功 率 P=60kW ， [t] =40MPa ，求轴的外直径 D 和 内直径d。 解：
P 60 m 9549 9549 2291.76N m n 250
229176 . 6 40 10 3 D3 D (1 4 ) (1 0.8 4 ) 16 16
Me Me
T Me
Me
Mx
T
+
n
Mx T’
Me
T Me
扭矩T的符号规定：
Me Mx T
n
+
Me Mx
T
n
_
功率与扭矩间的换算关系：
作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。 在传动轴计算中，通常给出传动功率 P 和转递 n ， 主动轮上的外力偶矩（输入力偶 则传动轴所受的外加扭力矩 Me可用下式计算： 矩）的转向与轴的转动方向相同，而 P 从动轮上的外力偶矩（输出力偶矩） M e 9549 [N m] n 的转向与轴的转动方向相反，是阻力 偶矩。 其中P 为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单
解：
PA 50PS PB PC 15PS PD 20PS n=300rpm
PA 50 mA 7024 7024 1170N m n 300
PB 15 mB mC 7024 7024 351N m n 300 PD 20 mD 7024 7024 468N m n 300
t max t max
最大剪应力 最大剪应力不超出材料的剪切比 例极限—线弹性范围 在圆轴的任一或指定横截面上 Ip T max T D 2 t max 令抗扭截面系数：Wp IP IP max
t max
T WP
求轴内的最大剪应力 1、一般圆轴（非等直）： 对整根轴而言，T＝T(x)， = (x)，IP＝IP(x) ，故：
位为转/分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s）， 则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
扭矩图
扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为 扭矩图。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图 的方法相似。
例题
圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力 偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶 矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。 试画出圆轴的扭矩图。
t max
T 1.5 103 51MPa ＜ t 60MPa 9 WP 29400 10
2、确定实心轴的直径
根据题意，实心轴的最大剪应力 t max 51MPa
T t max 3 D实 16
3 16 1.5 10 D实 3 m 53mm 6 5110
A D2 d 2
2 2 d
Wp Ip
D4 d 4
32
Ip D2
3
D4
32
4 1
D
16
max
1
4
=d / D
例题：内外径分别为 20mm 和 40mm 的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN· m作用，计算横截面上A点 的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。
T(x)
d
T x d dx GI P x
T x dx GI p x
沿轴线方向积分，得到
dx
AB d
A
B
B
A
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴， 两端面的相对扭转角为： Tl GI P 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶 梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：
Ti li i 1 GI Pi 为了排除长度的影响，采用单位长度相对扭转 角表示圆轴的扭转变形程度，即扭转角的变化率。 T x d x
dx GI p x
n
例题：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为
6°时，轴内最大剪应力等于 90MPa ， G=80GPa 。 求该轴长度。
T
42.44 MPa
例题：一直径为 D1的实心轴，另一内外径之 比 α ＝ d2 ／ D2 ＝ 0.8 的空心轴，若两轴横截面 上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴 外直径之比D2/D1。 解：由
T
D1
16
得：
3
T
D2
16
3
(1 0.8 )
4
D2 1 3 1192 . 4 D1 1 0.8
得 D 791 . mm
由
m
d 63.3mm
例题 汽车传递轴用45号无缝钢管制成，外径 D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时最大扭矩 T=1.5KN· m，材料的许用剪应力[t] =51MPa 1、校核轴的强度； 2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径； 3、比较实心轴和空心轴的重量。 合轴 要的 解：1、校核轴的强度 求强 D 2t 90 2 2.5 度 0.944 D 90 符 3 D 4 WP (1 ) 903 (1 0.9444 ) 29400mm4 16 16
16
3
D3
16
(1 0.54 )
得：
A空 A实
D 1.022 d1
D2
4
(1 0.52 )
2
d1
4
0.783
圆杆扭转时的变形及刚度条件
★ 受扭圆轴的相对扭转角
m A x T(x) B dx m
圆轴扭转时，任意两 截面间绕轴线相对转动的 角度称为该两截面间的相 对扭转角，如AB dx微段的相对扭转角
该式的求解可采用 函数极值的计算方 法进行
t max
T x x T x t max x I P x max WP x max
2、等直圆轴： 等直意味着IP(x)＝const，max(x)=const， 即WP(x)＝const，因此圆轴中的最大剪应力
Tmax t max WP
注意：如果对于象阶梯轴一样的分段 等直轴如何计算？
圆截面的极惯性矩与抗扭截面系数 对于实心圆截面
I p 2dA
A D2
0
2 2 d
Ip D2
D4
32
Wp
Ip
D3
16
d
D
max
对于圆环截面
I p 2 dA
z1 n3＝n1 z3
计算各轴的横截面上的最大切应力
t max E
t max H
M x1 16 1114 Pa 16.54MPa 3 -9 WP1 π 70 10
M x 2 16 557 Pa 22.69MPa 3 -9 WP 2 π 50 10
T
T A C A
C
B
D
t
B
t，
D
横截面上的剪应力
变形几何分析
d dx
剪应变的分布规律 是什么？
物性关系与应力分布
t
剪切虎克定律
t =G
O
d t G G dx
剪应力的分布规律 是什么？
静力学方程
d d 2 t d A G d A G dA T dx dx A A A
2 2
D12
D 2
例题
3
E轴将功率一半传给C轴，一半传给 H轴，已知，P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最 大切应力。
3
解：计算各轴的功 率与转速
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min
36 ＝120 r/min ＝360r/min 12
计算各轴的扭矩
16 185.7 Mx1=T1=1114 N.m t C M x3 Pa 21.98MPa max WP3 π 353 10 -9 Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
解：
Tl GI p
(1)
t max
T Wp
(2)
(1) 得： ( 2)
6 80 10 0 . 05 I G p 180 l 6 t max Wp 90 10 2
Nanjing University of Technology
第二篇 材料力学
第六章 圆轴扭转
杆的两端承受大小相等、方向相反、 作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆 的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种 受力与变形形式称为扭转
工程中承受扭转的圆轴
传动轴
扭矩与扭矩图
扭矩
应用截面法可以确定受扭杆件横截面上 的内力—扭矩，扭矩用T表示。
3、比较实心轴和空心轴的重量 两轴材料相同、长度相等，重量比等于横截面面积比
A空 D2 d 2 902 852 0.31 2 A实 D实 53
例题：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少? 解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T T
d1
圆轴扭转时的强度条件
t max
T [t ] Wp
t
在静载作用下，同一种材料在纯剪切 和拉伸时的力学性能之间存在一定的联系，因而通常 可以从材料的许用拉应力值来确定其许用剪应力值 钢： t (0.5 0.60) 铸铁： t (0.8 1) 考虑到受扭圆轴的动 荷载等因素，所取的许用 剪应力一般比静荷载下的 许用剪应力还要低一些