江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中考前热身数学试题 含解析
2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。
江苏省南通市如皋市2021届高三上学期期中考试数学试卷含答案
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（）A．B．1C．2D．32．已知集合M＝{1，2}，集合N满足M∪N＝{0，1，2}，则集合N的个数为（）A．3B．4C．6D．73．已知，b＝log25，c＝log37，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（）A．30B．60C．120D．2405．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（）A．x2+y2+4x+1＝0B．x2+y2+4x+3＝0C．x2+y2﹣4x﹣1＝0D．x2+y2﹣4x+1＝06．正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，则该棱锥外接球的表面积为（）A．B．4πC．12πD．6π7．将函数的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象（）A．B．C．D．8．函数y＝tan2x﹣2tan x的最大值为（）A．B．3C．0D．﹣3二、多项选择题（共4小题）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（）A．直线A1E∥平面ACD1B．直线B1D⊥平面ACD1C．平面A1EF∥平面ACD1D．平面A1B1CD⊥平面ACD110．下列关于函数的描述正确的是（）A．函数y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是f（0）＝0B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），事件“点P（a，b）恰好落在直线x+y＝n上”对应的随机变量为X，P（X ＝n）＝P n，X的数学期望和方差分别为E（X），V（X），则（）A．P4＝2P2B．C．E（X）＝4D．12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（）A．B．|k1﹣k2|＝2C．AB过定点（2，0）D．AF•BF的最小值为8三、填空题（共4小题）13．已知正三角形ABC的边长为3，，，则＝．14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则ac的最大值为；实数λ满足，则λ取值范围为．16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为．四、解答题（共6小题，总分70分）17．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为．（1）求BC边上的高；（2）求sin（A﹣C）．18．数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求通项a n；（2）若等差数列{b n}的各项均为正数，且，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2正三角形，侧面ACC1A1是菱形，且平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC 的中点，．（1）证明：EF∥平面ABB1A1；（2）若①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②C1C与底面所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值．20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围x（cm）与肺活量y（mL ）的样本，计算平均值，，并求出线性回归方程为．高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572 3700460040004300440034003200380044003500肺活量胸围7083789181749176104903600450037004100470037004600400047003700肺活量（1）求a的值；（2）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率．（参考公式及数据：，，，．）附：相关性检验的临界值表n﹣2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.53721．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），点（1，e）和都在椭圆E上，其中e为椭圆E的离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点Q（﹣2，2）的直线l与椭圆E分别交于点M，N，直线OQ与BM交于点T，试问：直线AT与BN是否一定平行？请说明理由．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x．（1）当时，求y＝f（x）零点的个数；（2）当x∈[0，2π]时，求y＝f（x）极值点的个数．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（）A．B．1C．2D．3【分析】根据模的定义即可求出．解：a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则1+a2＝4，解得a＝，故选：A．2．已知集合M＝{1，2}，集合N满足M∪N＝{0，1，2}，则集合N的个数为（）A．3B．4C．6D．7【分析】根据题意可看出N一定含元素0，可能含元素1，2，从而可得出集合N的个数．解：∵M＝{1，2}，M∪N＝{0，1，2}，∴N一定含元素0，可能含元素1，2，∴集合N的个数为：22＝4．故选：B．3．已知，b＝log25，c＝log37，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出，然后即可得出a，b，c的大小顺序．解：∵，log25＞log24＝2，1＝log33＜log37＜log39＝2，∴b＞c＞a．故选：D．4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（）A．30B．60C．120D．240【分析】根据题意，先计算“5人排成一排”的排法数目，又由其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的，分析可得答案．解：根据题意，将5人排成一排，有A55＝120种排法，其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的，则甲排在乙左边的排法有×120＝60种，故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（）A．x2+y2+4x+1＝0B．x2+y2+4x+3＝0C．x2+y2﹣4x﹣1＝0D．x2+y2﹣4x+1＝0【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得圆的半径，即有圆的标准方程，化为一般式方程可得结论．解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，则F（2，0），双曲线的渐近线方程为x±y＝0，由题意可得F到渐近线的距离为d＝＝，即有圆F的半径为，圆心为（2，0），则所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝3，化为x2+y2﹣4x+1＝0，故选：D．6．正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，则该棱锥外接球的表面积为（）A．B．4πC．12πD．6π【分析】首先判断SA，SB，SC两两垂直，再将三棱锥补为正方体，运用正方体的对角线即为其外接球的直径，求得半径，再由球的表面积公式可得所求值．解：由正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，且22+22＝（2）2，可得SA，SB，SC两两垂直，以SA，SB，SC为正方体的三条相邻的棱，将正四棱锥扩展为正方体，可得正方体的对角线即为该棱锥外接球的直径，设球的半径为R，可得2R＝2，即R＝，可得球的表面积为S＝4πR2＝12π，故选：C．7．将函数的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象（）A．B．C．D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：根据函数的图象可得A＝1.5﹣1＝0.5，＝4﹣0，ω＝，结合五点法作图，φ＝0，故所给的图为y＝sin（x）+1的图象，故将函数的图象向右平移个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象，故选：B．8．函数y＝tan2x﹣2tan x的最大值为（）A．B．3C．0D．﹣3【分析】利用二倍角公式化简函数y＝tan2x﹣2tan x，再利用换元法求出分母的最小值，即可求出y的最大值．解：当＜x＜时，tan x＞1，函数y＝tan2x﹣2tan x＝﹣2tan x＝＝，设t＝，t∈（0，1）；则f（t）＝t3﹣t，所以f′（t）＝3t2﹣1；令f′（t）＝0，解得t＝；当t∈（0，）时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；当t∈（，1）时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；所以t＝时，f（t）取得最小值为f（）＝﹣＝﹣，所以y的最大值为＝﹣3．故选：A．二、多项选择题（共4小题，每小题有多个选项符合要求，每小题5分）9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（）A．直线A1E∥平面ACD1B．直线B1D⊥平面ACD1C．平面A1EF∥平面ACD1D．平面A1B1CD⊥平面ACD1【分析】利用反证法思想说明A与C错误；证明直线与平面垂直判断B；再由平面与平面垂直的判定判断D．解：如图，取CC1的中点G，连接D1G，EG，可证A1D1＝EG，A1D1∥EG，得四边形A1EGD1为平行四边形，则A1E∥D1G，若直线A1E∥平面ACD1，则D1G∥平面ACD1或D1G⊂平面ACD1，与D1G∩平面ACD1＝D1矛盾，故A错误；由正方体的结构特征可得A1B1⊥平面AA1D1D，则A1B1⊥AD1，又AD1⊥A1D，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面DA1B1，得AD1⊥B1D，同理可证AC⊥B1D，又AD1∩AC＝A，∴直线B1D⊥平面ACD1，故B正确；而B1D⊂平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面ACD1，故D正确；连接A1C1，A1B，BC1，由A1A∥C1C，A1A＝C1C，可得四边形AA1C1C为平行四边形，则A1C1∥AC，∵A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1，同理AD1∥平面A1BC1，又AC∩AD1＝A，∴平面A1BC1∥平面ACD1，若平面A1EF∥平面ACD1，则平面A1EF与平面A1BC1重合，则EF⊂平面A1BC1，与EF∥平面A1BC1矛盾，故C错误．故选：BD．10．下列关于函数的描述正确的是（）A．函数y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是f（0）＝0B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数y＝f（x）是奇函数，若其定义域步包含0，f（0）＝0一定不成立，反之若f（0）＝0，即函数图象过原点，函数f（x）不一定为奇函数，故f（0）＝0是函数y＝f（x）是奇函数的既不充分又不必要不充分条件，A错误；对于B，“两面派”函数既是奇函数又是偶函数，可以为x轴关于原点对称的一部分，其定义域有无数种情况，即两面派”函数一定有无数个，B正确；对于C，若f（x）为奇函数且在其定义域内可导，函数f（x）的图象关于原点对称，则其图象任意一点的切线斜率必定关于y轴对称，即其导函数必为偶函数，C正确；对于D，f（x）＝，其导数f'（x）＝，是奇函数，但f（x）不是偶函数，D错误；故选：BC．11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），事件“点P（a，b）恰好落在直线x+y＝n上”对应的随机变量为X，P（X ＝n）＝P n，X的数学期望和方差分别为E（X），V（X），则（）A．P4＝2P2B．C．E（X）＝4D．【分析】求出对应的点P，从而求出对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，推导出P （X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，P（X＝6）＝，由此能求出结果．解：由题意得对应的点P有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），∴对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，P（X＝6）＝，对于A，p4＝P（X＝4）＝≠2P2＝，故A错误；对于B，P（3≤X≤5）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）＝＝，故B正确；对于C，E（X）＝＝4，故C正确；对于D，V（X）＝（2﹣4）2×+（3﹣4）2×+（4﹣4）2×+（5﹣4）2×+（6﹣4）2×＝，故D正确．故选：BCD．12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（）A．B．|k1﹣k2|＝2C．AB过定点（2，0）D．AF•BF的最小值为8【分析】设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线的方程两边对x求导，可得切线的斜率，切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．解：由题意可得F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，对y2＝4x两边对x同时求导，可得2yy′＝4，即y′＝，所以过A的切线的方程为x﹣x1＝＝（y﹣y1），化为x＝y﹣①，同理可得过B的切线方程为x＝y﹣②，由①②解得x＝，由P的横坐标为﹣2，即＝﹣2，则y1y2＝﹣8，k1k2＝＝﹣，故A正确；因为|k1﹣k2|＝||＝||不为定值，故B错误；因为AB的直线方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝y1+x﹣，即y＝（x﹣2），所以AB恒过定点（2，0），故C正确；将|AF|，|BF|转化为到准线的距离，即|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+（+）＝5+（+）≥5+2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号，所以|AF|•|BF|的最小值为9，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题5分）13．已知正三角形ABC的边长为3，，，则＝﹣．【分析】利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可．解：正三角形ABC的边长为3，，，可得＝，＝，则＝（）•（）＝﹣+•＝﹣+﹣＝﹣．故答案为：﹣．14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝﹣39．【分析】把（1﹣2x）5按照二项式定理展开，可得a0和a3的值，从而得到a0+a3的值．解：∵（1﹣2x）5（1+x）＝（1﹣10x+40x2﹣80x3+80x4﹣32x5）•（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝1+（﹣80+40）＝﹣39，故答案为：﹣39．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则ac的最大值为；实数λ满足，则λ取值范围为[2，+∞）．【分析】题意可知a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0），△＝b2﹣4ac＝0，所以，进而得到，再利用基本不等式即可求出ac的最大值，由已知条件可得λ＝2+﹣2，利用基本不等式结合0＜a＜1，即可求出λ取值范围．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），∴a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0），∵开口向上且值域为[0，+∞），∴△＝b2﹣4ac＝0，∴b＝2，∴，∴，∴，∴1＝，即，当且仅当a＝c＝时，等号成立，∴，即ac，当且仅当a＝c＝时，等号成立，∴ac的最大值为（当且仅当a＝c＝时最大），∵＝1﹣b＝a+c＝a+（1﹣）2＝2a﹣2+1，∴λ＝2﹣2+＝2+﹣2，∵a+c＝2a﹣2+1＝1﹣b＜1，即2a﹣2＜0，∴a﹣＜0，∴a﹣＝＜0，∴0，∴0＜a＜1，∴＝2，当且仅当即a＝时，等号成立，又∵a→0时，→+∞，∴λ∈[2，+∞），故答案为：，[2，+∞）．16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为77．【分析】设最小者年龄为n，年龄最大的两位老人年龄为m，m﹣1，由题意可知n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，得到m＝798﹣9n，再根据100＜m＜110求出n的取值范围，进而得到n的值．解：由题意可知，20位老人的年龄之和为1748，设最小者年龄为n，年龄最大的两位老人年龄为m，m﹣1，则有n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，整理得：m＝798﹣9n，∴100＜798﹣9n＜110，∴76.4＜n＜77.5，∴n＝77，即20位老人中年龄最小的岁数为77岁．故答案为：77．四、解答题（共6小题，总分70分）17．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为．（1）求BC边上的高；（2）求sin（A﹣C）．【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求sin A的值，结合A为锐角，可得A＝，由余弦定理可得a的值，根据三角形的面积公式即可求解BC边上的高．（2）由余弦定理可求cos C的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，根据两角差的正弦公式即可求解sin（A﹣C）的值．解：（1）因为b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为＝bc sin A＝sin A，解得sin A＝，因为A为锐角，可得A＝，由余弦定理可得a＝＝＝，设BC边上的高为h，则ah＝×h＝，解得h＝．即BC边上的高为．（2）因为cos C＝＝＝，可得sin C＝＝，sin（A﹣C）＝sin A cos C﹣cos A sin C＝×﹣＝﹣．18．数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，．（1）证明数列{a n}是等比数列，并求通项a n；（2）若等差数列{b n}的各项均为正数，且，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用已知条件求出数列，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项的和为S n，a1＝1，①，当n≥2时，②，①﹣②得：，整理得a n+1＝3a n，即（常数），所以数列{a n}是以a2＝3为首项，3为公比的等比数列．所以（首项符合通项），所以．（2）设公差为d的等差数列{b n}的各项均为正数，且，即b1+b2+b3+b4＝24，已知a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以，故，解得或（舍去），故b n＝2n+1，所以，故①，②，①﹣②得：﹣2T n＝3+2（3+9+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n＝，整理得：．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2正三角形，侧面ACC1A1是菱形，且平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，．（1）证明：EF∥平面ABB1A1；（2）若①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②C1C与底面所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值．【分析】（1）取A1B1的中点M，连接ME，MB，易证四边形MEFB为平行四边形，从而有EF∥MB，故而得证；（2）过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，由平面ACC1A1⊥平面ABC，推出C1O⊥平面ABC．选择条件①：先求得OC＝1，可证OB⊥AC，故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次得平面ACC1A1和平面EFG的法向量与，再由cos＜，＞＝，得解；选择条件②：易知∠C1CO＝60°，从而得OC＝1，接下来同①；选择条件③：易知∠A1AE＝30°，从而有∠C1CO＝60°，接下来同②中．【解答】（1）证明：取A1B1的中点M，连接ME，MB，则ME∥B1C1∥BF，ME＝B1C1＝BC＝BF，∴四边形MEFB为平行四边形，∴EF∥MB，∵EF⊄平面ABB1A1，MB⊂平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1．（2）解：过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，∴C1O⊥平面ABC，选择条件①：三棱锥C1﹣ABC的体积V＝•C1O•S△ABC＝•C1O•×2×＝1，∴C1O＝，在Rt△C1OC中，OC＝＝1，∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），E（0，﹣1，），F（，，0），G（0，，），∴＝（，，﹣），＝（0，，），∵OB⊥AC，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，OB⊂平面ABC，∴OB⊥平面ACC1A1，∴平面ACC1A1的一个法向量为＝（，0，0），设平面EFG的法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝1，则x＝，z＝，∴＝（，1，），∴cos ＜，＞＝＝＝，故平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值为．选择条件②：∵C1C与底面所成的角为60°，∴∠C1CO＝60°，∴OC＝1，∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，下面的过程同条件①中的步骤．选择条件③：∵BB1∥AA1，∴∠A1AE即为异面直线BB1与AE所成的角，即∠A1AE＝30°，∵AA1＝2，A1E＝1，∴∠AA1E＝60°，即∠C1CO＝60°，下面的过程同条件②中的步骤．20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围x（cm）与肺活量y（mL ）的样本，计算平均值，，并求出线性回归方程为．高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572 3700460040004300440034003200380044003500肺活量胸围708378918174917610490 3600450037004100470037004600400047003700肺活量（1）求a的值；（2）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率．（参考公式及数据：，，，．）附：相关性检验的临界值表n﹣2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.537【分析】（1）把样本点的中心坐标代入线性回归方程，即可求得值；（2）由已知数据及相关系数公式求得r值，结合临界值表得结论；（3）求出全校高一男生大肺活量的概率，再由二项分布的概率计算公式求解．解：（1）由已知可得，＝4030，则样本点的中心的坐标为（80，4030），代入，得4030＝32.26×80.5+a，即a＝1433.07；（2）假设H0：变量x，y不具有线性相关关系，由参考公式，，得r＝＝，由相关性检验临界值表知，r0.01＝0.561，而0.601＞0.561，∴有99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的；（3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500ml的有5个，∴全校高一男生大肺活量的概率为，设从本校高一年级任意抽取4名男同学恰有2名男生是大肺活量的概率为p，则p＝．故从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率是．21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），点（1，e）和都在椭圆E上，其中e为椭圆E的离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点Q（﹣2，2）的直线l与椭圆E分别交于点M，N，直线OQ与BM交于点T，试问：直线AT与BN是否一定平行？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得，解得a2，b2，即可得椭圆E的方程．（2）根据题意设直线l的方程为x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l的方程与椭圆的方程，消去x，可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，结合韦达定理得y1+y2，y1y2，写出直线BM方程与OQ的方程，联立解得T（，﹣），记直线AT，BN的斜率分别为k1，k2，再作差k2﹣k1＝0，即可得证．解：（1）将（1，e）和代入椭圆E方程得：，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆E的方程为＝1．（2）AT∥BN．理由如下：依题意，A（﹣2，0），B（2，0），直线l不与x轴平行，设直线l的方程为x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，所以△＞0，且y1+y2＝，y1y2＝，直线BM的方程为y＝（x﹣2），直线OQ的方程为y＝﹣x，联立方程组，解得，即T（，﹣），记直线AT，BN的斜率分别为k1，k2，则k1＝＝﹣，k2＝，所以k2﹣k1＝+＝，由于x1y2+x2y1+2y1y2﹣2（y1+y2）＝[ty1﹣2（t+1）]y2+[ty2﹣2（t+1）]y1+2y1y2﹣2（y1+y2）＝2（t+1）y1y2﹣2（t+2）（y1+y2）＝2（t+1）×﹣2（t+2）×＝0，所以k1＝k2，所以AT∥BN．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x．（1）当时，求y＝f（x）零点的个数；（2）当x∈[0，2π]时，求y＝f（x）极值点的个数．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的零点个数即可；（2）求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而确定函数的极值点的个数．解：（1）由题意f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x，，f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，由于≤x≤π，cos x≤0，又sin x≤1，∴f′（x）≥0，f（x）在[，π]上单调递增，∵f（）＝﹣3＜0，f（π）＝π﹣1＞0，∴函数f（x）在[，π]上有唯一零点；（2）由题意f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sin x，x∈[0，2π]，则f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，令h（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x，h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x，①当0≤x≤时，∵cos x≥，1﹣2cos x＜1﹣2×＝1﹣＜0，∴f′（x）＝1﹣sin x﹣（x+2）cos x＝（1﹣2cos x）﹣sin x﹣x cos x＜0，∴函数f（x）在[0，]上无极值点，②当＜x＜π时，h（）＝0，当＜x＜π时，∵cos x＜0，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＞0，∴h（x）在[，π]上递增，h（x）＞h（）＝0，即f′（x）＞0，当＜x＜时，sin x＞cos x，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＝2（sin x﹣cos x）+x sin x＞0，∴h（x）在（，）递增，h（x）＜h（）＝0即f′（x）＜0，∴是f（x）在（，π）上的极小值点，③当π＜x≤时，sin x＜0，cos x≤0，则f′（x）＞0，f（x）无极值点，④当＜x≤2π时，cos x＞0，sin x＜0，∴h′（x）＝﹣2cos x+（x+2）sin x＜0，∴h（x）在（，2π）上递减，且h（）＝2＞0，h（2π）＝﹣2π﹣1＜0，∴h（x）在（，2π）上有唯一零点x2，当＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x2＜x＜2π时，f′（x）＜0，故x＝x2是函数f（x）的一个极大值点，综上，函数f（x）存在2个极值点．。
江苏省南通中学2020-2021学年高三上学期12月考前热身练数学答案
2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学12月考前热身练数学试题参考答案1．A 【解析】{}{}21,,1,,2x y x y =，则（1）201002x x x x y y y y ==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或 ， 当00x y =⎧⎨=⎩时，与集合的元素互异性矛盾，故舍去； 当10x y =⎧⎨=⎩时，与集合的元素互异性矛盾，故舍去； （2）22x y y x =⎧⎨=⎩ ，00x y =⎧⎨=⎩ （舍去）或1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，111,,24A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ，111,,42B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭符合题意，因此x 的取值集合为1{}2，选A.2．C 【解析】由于()f x 是偶函数，故()()33a f f=-=，()331log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，43c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭由于()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()()34log 233f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b ＜c ＜a . 故选：C3．B 【解析】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2， ∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B.4．C【详解】由于一天有1440分钟，所以有1440种不同的结果，其中符合要求的有19：49，19：58，18：59，09：59共四种，所以所求概率为41. 1440360=5．A【解析】因为函数()f x 的定义域是{}0x x≠，且()()x x x xx x x xe e e ef x f xe e e e----++-==-=---，所以函数()f x是奇函数，故排除选项D；又22()11x xx x xe ef xe e e--+==+--，所以()f x在(0,)+∞上单调递减，且(1)1f>，故排除选项B，C；故选：A.6．A【解析】如图，记COPα∠=，在Rt OBC中，2cosOBα=，2sinBCα=，在Rt OAD中，3323OA DA BCα===，所以232cosAB OB OAαα=-=，设矩形ABCD的面积为S，223(2cos)2sin3334sin cos2sin2cos23334323)6S AB BCααααααααπα=⋅=-⋅=-=+-=+-由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S 取最大值，为432323-=, 故选：A.7．D 【解析】由条件可得2212c e a ==1+2222b e a ，=1+2b m a m +⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 当a>b 时，b m b a m a +>+，则2212e e <，所以e 1<e 2； 当a<b 时，b m b a m a+<+，则2212e e >，所以e 1>e 2． 所以当a>b 时，e 1<e 2；当a<b 时，e 1>e 2．选D ． 8．D 【解析】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 9．AD 【解析】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为： 甲：26，28，29，31，31 乙：28，29，30，31，32；可得：甲地该月14时的平均气温：15（26+28+29+31+31）=29， 乙地该月14时的平均气温：15（28+29+30+31+32）=30， 故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； 由方差公式可得：甲地该月14时温度的方差为：()()()()()22222226292829292931313131=3.65s -+-+-+-+-=甲乙地该月14时温度的方差为：()()()()()2222222830293030303130323025s -+-+-+-+-==乙，所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差. 故选：AD10．ACD 【解析】由于BC 固定，所以倾斜的过程中，始终有AD //EH //FG //BC ， 且平面AEFB //平面DHGC ，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）； 当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形EFGH 的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变；BC 为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状， 且棱11//B C 平面EFGH ，棱1111//B C A D ，∴11//A D 平面EFGH ； ∵体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值， 即EA BF +为定值， 综上ACD 正确． 故选：ACD.11．ACD 【解析】解：设等比数列的公比为q ，则2132a a a a q q+=+， 当20a >，0q <时，1322a a a +<，故A 不正确；2222221322()()2a a a a q a q+=+，∴2221322a a a +当且仅当13a a =时取等号，故B 正确； 若13a a =，则211a a q =，21q ∴=，1q ∴=±，12a a ∴=或12a a =-，故C 不正确；若31a a >，则211a q a >，2421(1)a a a q q ∴-=-，其正负由q 的符号确定，故D 不正确 故选：ACD ．12．ABC 【解析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()1313134247777μλμλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭423+=. 当且仅当3μλ=时，等号成立.所以，λμ+的最小值为423+，ABC 选项均不满足423λμ++≥. 故选：ABC.13．平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD .【解析】解：画出图形如下，AB 是平面α的垂线，AB 平面ABD ，AB 平面ABC ，所以平面ABD ⊥平面BCD . 平面ABC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面α，所以AB CD ⊥，又CD AC ⊥，AB AC A ⋂=，所以CD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ACD ，所以平面ABC ⊥平面ACD ， 故答案为：平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD . 14．－2 －1094 1093 2187 【解析】当1x =时，701234567(12)1x a a a a a a a a -=+++++++=-；当1x =-时，7701234567(12)3x a a a a a a a a -=-+-+-+-=；当0x =时，01a =；故1234567112a a a a a a a ++++++=--=-；7135********a a a a --+++==-；7024613=10932a a a a -++++=；由展开式可知1357a a a a ，，，均为负值，0246a a a a ，，，均为正值，012702461357()()1093(1094)2187a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++=--=故答案为：－2；－1094；1093；2187.15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，平面ABD ⊥平面ABC ，DK ⊥AB ，DK ∴⊥平面ABC ，DK AF ∴⊥.又DG AF ⊥，AF ∴⊥平面DKG ，AF GK ∴⊥.容易得到，当F 运动到E 点时，K 为AB 的中点，t ＝AK ＝2AB＝1；当F 运动到C 点时，在Rt ADF 中，易得AF 5AG 5GF 5， 又易知Rt AGK Rt ABF ∽，则AG AB AK AF＝， 又AB ＝2，AK ＝t ，则t ＝12. t ∴的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．1k ≥【解析】∵当0x >时，()222112e x f x e x e x x +==+≥=，当且仅当21e x x =，即1=x e时等号成立． ∴当()0,x ∈+∞时，函数()f x 的最小值为2e ．∵()2x e x g x e=，∴()222()(1)x x x xe e xe e x g x e e--=='， ∴当1x <时，()0,()x g g x '>单调递增， 当1x >时，()0,()x g g x '<单调递减，∴当1x =时，()g x 有最大值，且最大值为(1)g e =． ∵对任意1x ,2x ∈(0,+∞)，不等式()()121g x f x kk ≤+恒成立，∴21e ek k ≤+，解得1k ，∴正数k 的取值范围是[1,)+∞． 故答案为[1,)+∞．17．【解析】（1）由222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，利用正弦定理化简得222a b c ab +-=，∴()2221cos 0,,222a b c ab C C ab ab π+-===∈，即3C π=，∵sin sin()sin()sin()2sin 2C B A B A B A A +-=++-=， ∴sin cos 2sin cos B A A A =，当cos 0A =，即2A π=，3C π=,2,3c b ==,此时12=233ABCS =⨯⨯； 当cos 0A ≠，得到sin 2sin B A =，利用正弦定理得2b a =， 由已知222a b c ab +-=可得222442a a a +-=，即24=3a ，此时2114sin 2223ABCSab C a ==⨯==（2）AB 边上的中线为CD,则1()2CD CA CB =+， ∴222222cos3||44a b ab a b ab CD π++++==，∵1cos 2C =，2c =， ∴由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即224a b ab +-=，2242a b ab ab ab ab =+-≥-=，当a=b=2时取等号，∴22242144a b ab ab CD +++==>，且2424+8||=344ab CD +=≤， 则||CD的范围为．18．【解析】（1）由1*3(1),2n n b n N -+-=∈，可得2,,1,,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 又()1121nn n n n b a b a +++=-+，当1n =时，1221a a +=-，由12a =可得：232a =-， 当2n =时，2325a a +=，可得：38a =.（2）因为21212221n n n a a --+=-+①， 2221221n n n a a ++=+②，②-①，得21212132-+--=⨯n n n a a ，即2132-=⨯n n c . 于是14n nc c +=，所以{}n c 是等比数列． （3）因为12a =，由（2）知，当*k N ∈且2k ≥时，2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-故对任意*2121,2.k k k N a --∈=由①得212122221--+=-+k k k a ，所以21*212,2-=-∈k k a k N . 因此，21234212()()().2k k k kS a a a a a a -=++++++=于是，21212212.2---=-=+k k k k k S S a 故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k kk k k k k kk k kk kS S k k k a a ------+-++=+=-=----- 所以，对任意*n N ∈，21221212121221212212----⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n n n n n n S S S S S S S S a a a a a a a a ()()2221112111141244441441⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n nn()()2221112141244441441⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n nnn ()()22211121111=412444123441441⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+++++≤-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭n n nn n n n ()*n N ∈. 19．【详解】（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设),0Db ，则()0C ，，()002P ，，，233E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)0B b -，，∴()22PC =-，，22 ,,33BE b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22 33DE b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，， ∴44033PC BE ⋅=-=，0PC DE ⋅=， ∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=， ∴PC ⊥平面BED .（2）()002AP =，，，()2,,0AB b =-，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =，则2020m AP z m AB x by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取()20b m =，，， 设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =，则222032023n PC p r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 取21,,2b n ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝， ∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n bb =-=⋅，故2b =， ∴()1,1,2n =-，()222DP =--，，， ∴1cos ,2n DP DP n n DP⋅==⋅， 设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=， ∴30θ=︒，∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30.20．【解析】设A ，B ，C ，D 分别为第一，二，三，四个问题．用Mi (i ＝1，2，3，4)表示甲同学第i 个问题回答正确，用Ni (i ＝1，2，3，4)表示甲同学第i 个问题回答错误，则Mi 与Ni是对立事件(i ＝1，2，3，4)．由题意得，P (M 1)＝34，P (M 2)＝12，P (M 3)＝13，P (M 4)＝14，所以P (N 1)＝14，P (N 2)＝12，P (N 3)＝23，P (N 4)＝34.（1）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q ，Q ＝M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4， P (Q )＝P (M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4) ＝P (M 1M 2M 3)＋P (N 1M 2M 3M 4)＋P (M 1N 2M 3M 4)＋P (M 1M 2N 3M 4)＋P (N 1M 2N 3M 4) ＝34×12×13＋14×12×13×14＋34×12×13×14＋34×12×23×14＋14×12×23×14＝14. （2）由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4.由于每题答题结果相互独立，所以P (ξ＝2)＝18， P (ξ＝3)＝34×12×13＋34×12×23＝38，P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝12. 随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278. 21．【解析】（1）由题意得2412a =⎧=，，解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为24x ＋23y ＝1.（2）①点A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0．设点P 的坐标为(m ，n )，由对称性知点Q 的坐标为(－m ，－n )．所以k 1＝2n m -，k 2＝2n m +.所以k 1k 2＝2n m -·2n m +＝224n m -. 又因为点P 在椭圆C ：24x ＋23y ＝1上，所以24m ＋23n ＝1，即m 2－4＝－43n 2，所以k 1k 2＝2243n n -＝－34.同理k 3k 4＝－34.所以k 1k 2＋k 3k 4＝34⎛⎫- ⎪⎝⎭＋34⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－32，为定值． ②由题意，A (2，0)，B (0．设l ：y＋t . 由点A (2，0)，B (0)位于直线l的两侧，得20022t t ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭－＋＜0，＜t.由222143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，，消去y 并整理，得3x 2＋＋2t 2－6＝0. 由判别式∆＝)2－4×3×(2t 2－6)＞0，得t 2＜6.t时，显然，判别式∆＞0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由根与系数的关系得，x 1＋x 2x 1x 2＝2263t -. |PQ |点A (2，0)到直线l：y x ＋t 的距离d 1.＜t，所以d 12t点B (0，3)到直线l ：y ＝32x ＋t 的距离d 2＝3032314t ⨯+－＋＝237t-.因为－3＜t ＜3，所以d 2＝()237t -.因此，四边形APBQ 的面积APQBPQAPBQ S SS=+四边形＝12·|PQ |·(d 1＋d 2) ＝12×73×2183t -×()()232377t t ⎡⎤+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦＝226t-.因为－3＜t ＜3，显然，当t ＝0时，(S 四边形APBQ )max ＝26. 22．【解析】（Ⅰ）由题意知，曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，又'()ln 1,af x x x=++所以1a =. （Ⅱ）1k =时，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln8110,h e e =-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =. 因为所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以020(1),(0,](){,(,)x x lnx x x m x x x x e+∈=∈+∞.当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)'(),xx x m x e-=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减；可知24()(2),m x m e≤=且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24e.。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中数学试题及答案解析
江苏省南通市2020-2021学年度第一学期期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．若集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∩B 为()A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{x |0≤x ≤3}2．已知复数z 满足(2－i)z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为()A ．1B ．－1C ．0D ．i3．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝23log (72),0,23(3),,2x x f x x ⎧--<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩ 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)等于()A ．log 25B ．2log 5-C ．2-D ．04．两正数a ，b 的等差中项为52，等比中项为，且a >b ，则双曲线22221x y a b-=的离心率e 为()A.13 B.53C.3D.35．设函数11()sin ||222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象关于原点对称，则θ的值为()A ．6π- B.6πC ．3π- D.3π6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的最小值为()A ．8B ．16C ．32D ．647．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2019的值为()A ．1008B ．1009C ．1010D ．10118．设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为()A.232e 3 B.233e 2 C.322e 3 D.323e 2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知0<b <a <1，c >1，则下列各式中不成立的是()A ．a b <b a B ．c b >c aC ．log a c >log b cD ．b log c a >a log c b10．下列四个命题中正确的是()A ．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域相同B ．函数y y ＝3x 的值域相同C ．函数y ＝|x ＋1|与函数y ＝2x ＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数D ．1lg 1x y x+=-是奇函数11．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是()A ．若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥αB ．若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥αC ．若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥nD ．若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m12．把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移4π个单位长度得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是()A ．g (x )在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增B ．g (x )的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．g (x )的最小正周期为4πD ．g (x )的图象关于y 轴对称第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝1y，P (B )＝4x ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．14．已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+ 的最小值为________．15．将数列{a n }中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列．a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6，a 7a 8，a 9，a 10，a 11，a 12，a 13，a 14，a 15……记数阵中的第1列a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，T n 为数列{b n }的前n 项和，T n ＝5n 2＋3n ，则b n ＝________，a 1025＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知函数f (x )＝|ln |,0e,2ln ,e,x x x x <≤⎧⎨->⎩若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d (a 1∈Z ，d ∈Z )，前n 项的和为S n ，且S 7＝49,24<S 5<26.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项的和为T n ，求T n .18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A＋3a ＝c .(1)求cos B ；(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝6，求AB的长．19.(12分)如图，四棱锥S－ABCD2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－S的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SC∶SE的值；若不存在，试说明理由．20.(12分)在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的概率分布及均值．21.(12分)设椭圆22221x ya b+=(a>b>0)的离心率e＝12，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－a(其中e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意x∈(0,2]，不等式f(x)>x－a恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：123ee1 n n nn nn n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案精析1．B2.A3.B4.D5.D6.C 7．C [当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，①故a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，②由②－①得，a n ＋1－a n ＋2(S n －S n －1)＝1，即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)，所以S 2019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2018＋a 2019)＝1010.]8．B [设P (x 0，y 0)，由于点P 为切点，则1022032ln 02x ax a x b +=+，又点P 的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即x 0＋2a ＝23a x ，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0，又a >0，x 0>0，∴x 0＝a ，于是，b ＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，设h (x )＝52x 2－3x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝2x (1－3ln x )(x >0)，所以h (x )在(0，13e )上单调递增，在(13e ，＋∞)上单调递减，b 的最大值为12333e e 2h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.9．ABC [由于0<b <a <1，c >1，根据指数函数与幂函数的图象与性质有a b >a a >b a ，故选项A 错误；根据指数函数的图象与性质有c b <c a ，故选项B 错误；根据对数函数的图象与性质有log a c <log b c ，故选项C 错误；因为a b >b a ，c >1，则log c a b >log c b a ，即b log c a >a log c b ，故选项D 正确．]10．ACD [A 项，函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域都是R ，故A 正确；B 项，函数y值域为[0，＋∞)，函数y ＝3x 的值域为(0，＋∞)，故B 错误；C ，当x ∈[0，＋∞)时，函数y ＝|x ＋1|＝x ＋1是增函数，函数y ＝2x ＋1是增函数，故C 正确；D 项，lg 11x y x+=-的定义域是(－1,1)，令()1lg 1x f x x +=-，1111()lg lg lg ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，故函数1lg1x y x +=-是奇函数，故D 正确．]11．AD [A 正确，B 中直线l 可能平行于α也可能在α内，故B 错；C 中直线l ，m ，n 可能平行也可能相交于一点，故C 错；D 正确．]12．BCD [把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短为原来的12得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象向右平移4π个单位长度得到函数()sin 2sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象．若,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2,626x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()g x ,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确；由1062g π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭知，g (x )的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；g (x )的最小正周期为π，故C 错误；∵1(0)12g =-≠±，∴g (x )的图象不关于y 轴对称，故D 错误．]13．9解析由事件A ，B 互为对立事件，其概率分别P (A )＝1y，P (B )＝4x ，且x >0，y >0，所以P (A )＋P (B )＝1y ＋4x＝1，所以144()5y x x y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭524y x 9x y ≥+⋅=，当且仅当x ＝6，y ＝3时取等号，所以x ＋y 的最小值为9.14．－4解析由题意，以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为2，所以可得A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，设P (x ，y )，则PA ＝(－x ，－y )，PB ＝(2－x ，－y )，PC ＝(2－x,2－y )，PD ＝(－x,2－y )，所以PA ＋PB ＝(2－2x ，－2y )，PC ＋PD ＝(2－2x,4－2y )，因此(PA ＋PB )·(PC ＋PD )＝4(1－x )2－4y (2－y )＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4，当且仅当x ＝y ＝1时，取得最小值－4.15．10n －2216解析T n 为数列{b n }的前n 项的和，T n ＝5n 2＋3n ，b n ＝T n －T n －1＝(5n 2＋3n )－[5(n －1)2＋3(n －1)]＝10n －2(n ≥2)，验证n ＝1时，b 1＝T 1＝8也符合，故b n ＝10n －2，a 1024＝b 11＝108，a 1025＝2a 1024＝216.16.212e ,e 2e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭解析画出函数f (x )＝|ln |,0e 2ln ,e x x x x <≤⎧⎨->⎩的图象(如图所示)．不妨令a <b <c ，则由已知和图象，得0<a <1<b <e<c <e 2，且－ln a ＝ln b ＝2－ln c ，则ab ＝1，bc ＝e 2，则a ＋b ＋c ＝221e 1e b b bb b +++=+，令21e ()g x x x+=+，因为221e ()10g x x+'=-<在x ∈(1，e)时恒成立，所以g (x )在(1，e)上单调递减，所以2211e 2e 2e eb b ++<+<+.17．解(1)由题意得1176749,25424526,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪<+<⎪⎩∵a 1∈Z ，d ∈Z ，解得11,2,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 21n n =+.18．解(1)在△ABC 中，由正弦定理得sin B cos A ＋33sin A ＝sin C ，又C ＝π－(A ＋B )，所以sin B cos A ＋3sin A ＝sin (A ＋B )，故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝33sin A ，又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝33.(2)因为D ＝2B ，所以cos D ＝2cos 2B －1＝13-，又在△ACD 中，AD ＝1，CD ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×13⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12，所以AC ＝，在△ABC 中，BC ，AC ＝cos B ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即12＝AB 2＋6－2·AB ×33，化简得AB 2－AB －6＝0，解得AB ＝.故AB 的长为19．(1)证明连结BD 交AC 于O ，连结SO ，由题意得，SO ⊥AC .在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又SO ∩BD ＝O ，SO ，BD ⊂平面SBD ，6所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SD .(2)解由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz如图所示．设底面边长为a ，则高SO ＝62a .则S 0,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 0,,02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ,0,02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又SD ⊥平面PAC ，则平面PAC 的一个法向量26,0,22DS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面SAC 的一个法向量2,0,02OD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1cos ,2||||DS OD DS OD DS OD ⋅==- ，又二面角P －AC －S 为锐二面角，则二面角P －AC －S 为60°.(3)解在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .由(2)知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,22DS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,22CS a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .设CE tCS = ，t ∈[0,1]，则BE =BC +CE =BC +tCS ＝226,(1),222a a t at ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，又BE ∥平面PAC ，所以BE ·DS ＝0，解得t ＝13.即当SC ∶SE ＝3∶2时，BE ⊥DS ，而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC .所以侧棱SC 上存在点E ，当SC ∶CE ＝3∶2时，有BE ∥平面PAC .20．解(1)因为A ，B ，C 三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则C 镇应选取80×40200＝16(人)，所以这40人中有16人来自C 镇，因为x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户．(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35，显然X 可取0,1,2,3，且X ～B 33,5⎛⎫⎪⎝⎭，则28(0)35125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，12133236(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21233254(2)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3327(3)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的概率分布为X0123P 8125361255412527125所以均值E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝95.21．解(1)由题设条件可得c a ＝12，a ＋c ＝3，解得a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)当矩形ABCD 的一组对边所在直线的斜率不存在时，得矩形ABCD 的面积S＝，当矩形ABCD 四边所在直线的斜率都存在时，不防设AB ，CD 所在直线的斜率为k ，则BC ，AD 所在直线的斜率为1k-，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝(8km )2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，得m 2＝4k 2＋3，显然直线CD 的直线方程为y ＝kx －m ，直线AB ，CD间的距离1d ===同理可求得BC ，AD间的距离为2d ==所以四边形ABCD 的面积为S ABCD ＝d 1d 2＝=14=≤.(当且仅当k ＝±1时等号成立)，又SABCD >＝综上可得外切矩形面积的取值范围是[14]．22．(1)解因为f (x )＝e x －ax －a ，所以f ′(x )＝e x －a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间R 上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )>0，x >ln a ，令f ′(x )<0，x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)解因为对任意的x ∈(0,2]，不等式f (x )>x －a 恒成立，即不等式(a ＋1)x <e x 恒成立．即当x ∈(0,2]时，a <e x x －1恒成立．令g (x )＝e xx －1(x ∈(0,2])，则g ′(x )＝22(1)e x x -.令g ′(x )>0,1<x ≤2，g ′(x )<0，，0<x <1，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增．∴x ＝1时，g (x )取最小值e －1.所以实数a 的取值范围是(－∞，e －1)．(3)证明在(1)中，令a ＝1可知对任意实数x 都有e x －x －1≥0，即x ＋1≤e x (当且仅当x ＝0时等号成立)．令x ＋1＝k n(k ＝1,2,3，…，n )，则k n <1e k n -，即e e e k k n n k n n -⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故()()123e e 11231e e e e e e (e 1)e (e 1)n n n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++=< ⎪ ⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .。
2020-2021学年江苏省南通市海门中学高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年江苏省南通市海门中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知i 为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数( )A. B. 0C. 1D. 0或12.设，为椭圆C ：的两个焦点，点P 在椭圆C 上，若，，成等差数列，则椭圆C 的离心率为( )A. 1B.C.D.3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用．后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，，则下列命题正确的是( ) A. 若，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则4.设等比数列的前n 项和为若，则等比数列的公比为( )A. 2 B. 1或2 C.或2D.或1或25.不等式的解集是( )A. B.C.D.6.设等差数列的公差，前n 项和为若，则( )A. 9B. 5C. 1D.7.若，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知数列满足，且，则时，使得不等式恒成立的实数a 的最大值是( )A. 19B. 20C. 21D. 22二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知复数z在复平面上对应的向量，则( )A. B. C. D.10.下面命题正确的是( )A. “”是“”的充分不必要条件B. 数列是等比数列的必要条件C. 命题“，”的否定是“，”D. 时，“”是“”的必要不充分条件11.设数列满足…，记数列的前n项和为，则( )A. B. C. D.12.已知，，且，则( )A. 的最小值为9B.C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知，i为虚数单位，复数z满足：，则当k为奇数时，__________；当时，__________.14.若存在性命题：，使得是假命题，且全称命题：，是真命题，则实数m的取值范围是______.15.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等差数列，则______.16.已知，，则当取得最小值时，______.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期9月月考数学试题
参考答案
1．
【分析】
利用集合交集的定义可求出集合 .
【详解】
因为集合 ， ，
所以 ，故答案为 .
【详解】
依题意 ，即 ，解得 .
【点睛】
本小题主要考查具体函数定义域的求法，主要是偶次方根的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开方数为非负数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
5．
【分析】
设长方体 的底面积为 ，高为 ，可得出 ，则三棱锥 的底面积为 ，高为 ，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥 的体积.
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
16．如图，在直三棱柱 中， ，点 为棱 的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连结 .
求证：（1） ；
（2）平面 平面 .
17．现有一张半径为 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图 阴影部分），并卷成一个深度为 的圆锥筒，如图 .
（1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为 ，求圆锥筒的容积；
3．
【分析】
根据分层抽样总体和样本中， 型号的产品所占的比例相等列等式求出 的值.
【详解】
由于在总体和样本中， 型号的产品所占的比例相等，则有 ，解得 ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查分层抽样中的计算，解题时要根据分层抽样的特点列等式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.
4．
【分析】
根据偶次方根被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域.
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期阶段检测(二)数学试题
江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测高三数学试题一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.1.设集合{}2|log 2M x x =<，集合1|82x N x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ） A.MN =∅ B.M N ⊆ C.{|34}M N x x =-<<D.N M ⊆2.已知复数1z i=-，则z =（ ）A.1 D.2 3.设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体.由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种.如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体.古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）.现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体.设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为（ ）A. B. C. D.5.现代健康生活的理念，每天锻炼1小时，健康工作50年，幸福生活一辈子.我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动.在某校举行的秋季运动会中，来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了4100⨯米接力赛，则甲乙互不接棒的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.236.已知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，点M 是圆上的一动点，则MA MB ⋅的取值范围是（ ）A.[]1,0-B.[]1,3-C.[]0,3D.[]1,4-7.“白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼”，古诗《登鹳雀楼》是一首登高的名作，诗人王之涣描绘了一幅美妙的山水画，从此也令鹳雀楼名声大作，世人也能领略鹳雀楼之美.鹳雀楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说有鹳雀在此停留.下面是复建的鹳雀楼的示意图，游客（视为一质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则鹳雀楼的高AB 约为（ ） 1.73≈）A.65米B.74米C.83米D.92米8.已知实数a ，b ，c R ∈，满足ln(2)ln ln 0a b c a b c ==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a >> B.c a b >>C.b c a >>D.b a c >> 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知双曲线222212x y k k-=，对于k R ∀∈且0k ≠，则下列四个选项中因k 改变而变化的是（ ）A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程 10.已知函数1()sin 233f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期为π B.()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C.5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为1 11.设x ，(0,)y ∈+∞，S x y =+，P xy =，以下四个命题中正确的是（ ）A.若1P =，则S 有最小值2B.若2S P =，则S 有最小值4C.若21S P P=+，则2S 有最小值2 D.若3S P +=，则P 有最大值1 12.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列说法中正确的是（ ）A.平面11A D P ⊥平面1A APB.多面体1CDPD 的体积为定值C.1APD △恒为锐角三角形D.直线1D P 与BC 所成的角可能为6π 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上）13.已知数列{}n a 满足0n a >，且11a =，22112n n n n a a a a ++-=（*n N ∈），则n a =___________. 14.某校科学社团研究一种卫星接收天线，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为1m ，则该抛物线的焦点到定点的距离为__________m.15.将函数2()2sin sin 21f x x x =+-图像先向左平移一个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若1()2g α=，,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos α=___________. 16.已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面11B CD 截球O 的截面面积为______.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题①ABC △的面积为26AB AB BC +⋅=-在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，A 为钝角，sin 4A =__________. （1）求边a 的长；（2）求sin 2C 的值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，且23a =，47a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且112n n S b =-（*n N ∈）. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：2n T <.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，G 、P 是线段AB 、SD 的中点.（1）证明：//GP 平面SBC ；（2）若3BAD π∠=，2AB SA SB ===，SD =SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）苏果超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价每瓶6元.未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为350瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为420（单位：瓶）时，求Y 的期望值.21.（本题满分12分） 已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点坐标为()1,0F ，其左右顶点分别为A ，B ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过点()4,0P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，AC ，BD 交于点T ，求AP AT ⋅的值.22.（本题满分12分）已知函数()ln f x x =，函数2ln ()(1)x x g x x e =+.（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当(0,)x ∈+∞时，证明：当2m ≤时，(1)()mf x g x +≤.江苏省海门中学2020-2021年度第一学期阶段检测高三数学试题一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】B解：设AC x =，则2BC x =在Rt ABE △中，2BC BE x ==，∴279BD x =+3tan 30279x x ︒==+∴24.7x =≈ ∴374AB x =≈，选B.8.【答案】A解：令ln ()x f x x =，21ln ()0x f x x -'==，x e =()f x 在(0,)e ，(,)e +∞ ∴max 1()()f x f e e== ln 0c c -<，∴ln 0c c>，∴1c > ln(2)ln 0a b a b=< ∴01b <<，102a <<()f x 在(0,1) ln 2ln ln 2ln ln 2()()a a f b f a a a a a+==+=+ ∴()()f b f a >，∴b a >综上c b a >>，选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.【答案】AC 10.【答案】AC11.【答案】AD解：1P =，即1xy =2S x y =+≥=，当且仅当1x y ==时取“=”，A 正确2S P =，即2x y xy +=，即11122x y+=1111()12222222x y S x y x y x y y x ⎛⎫=+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22x y y x=，即1x y ==时取“=”，最小值为2，B 错 21S P P=+ 若21()2x y xy xy +=+≥，当且仅当1xy xy =即1xy =即1y x=时取“=” 此时221()4x y x x ⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭矛盾，C 错 ∴2S 最小值不能是2. 32x y xy xy xy ++=≥+，∴230xy xy +-≤1)0≤，∴1xy ≤ 即max 1xy =，当且仅当1x y ==时取“=”，D 正确选AD12.【答案】ABD解：对于A ，∵11A D ⊥平面1A AP ，11A D ⊂平面11A D P∴平面11A D P ⊥平面1A AP ，A 正确对于B ，11C DPD P CDD V V --=，∵1CDD S △，P 到平面1CDD 的锤子数学距离均为定值故1C DPD V -为定值，B 正确对于C ，设1A P x =，∴AP =1PD =1AD =此时1AD 最长，考察2221111122cos 022x x x APD AP PD AP PD +++-∠===⋅⋅ 当02x <<时，1cos 0APD ∠<，1APD ∠为锐角，当2x =时，1APD ∠为直角，C 错对于D ，即求1D P 与11A D 所成角11A D P ∠1111tan 1A P A D P A P ∠==∈，3∈，∴11A D P ∠可能为6π，D 正确 选：ABD. 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上）13.【答案】12n - 14.【答案】1.4415.解：1()2(1cos 2)sin 211cos 2sin 21224f x x x x x x π⎛⎫=⋅-+-=-+-=- ⎪⎝⎭()f x 向左平移4π244x ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭再将每一点的横坐标变为原来锤子数学的2倍，变为()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴1()2g α=142πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∵,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则0,42ππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭cos 04πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴1cos cos cos cos sin sin 44444442424ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 16.【答案】6π解：连接1AC ，则1AC 经过点O 且1AC ⊥平面11B CD由1C 到平面11B CD1OC = 知O 到平面1B CD，且圆O 半径为12∴221266S ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦截面. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：选①（1）1242bc bc == 2b c -=，∴(2)24b b -=，6b =，4c =∵A为钝角，∴1cos 4A ==- 在ABC △中由锤子数学余弦定理得8a ==. （2）在ABC △中由正弦定理得4sin sin sin sin a c C A C C =⇒=⇒= ∴7cos 8C =，7sin 22sin cos 28C C C ===. 18.解：（1）∵{}n a 为等差数列，设公差为d∴4222a a d -==，∴32(2)21n a n n =+-=- ∵112n n Sb =-① 2n ≥时，11112n n S b --=-② ∴11111223n n n n n b b b b b ---⇒=-⇒=①② 在①式中令1n =得123b = ∴{}n b 为等比数列，且首项为23公比为13，∴1212333n n n b -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭（2）242(21)33n n n n c n -=-⋅= ∴12312610464233333n n n n n T ---=+++++① 23111264104642333333n n n n n n n T -+---=+++++② -①②得1231141193224444224213333333313n n n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=++++-=+-- 11424244433333n n n n n ++-+=--=- ∴2223n n n T +=-. 19.解：（1）证明：取SC 的中点E ，连接PE ，BE∵G ，P 分别为AB ，SD 的中点，底面ABCD 是菱形 ∴//12BG CD ，//12PE CD ，//BG PE ∴四边形PGBE 为平行四边形∴//GP BE ，∵GP ⊄平面SBC ，BE ⊂平面SBC∴//GP 平面SBC .（2）∵3BAD π∠=，AB AD =，∴ABD △为等边三角形，又∵SAB △为等边三角形，G 为AB 中点∴AB SG ⊥，AB DG ⊥，∵2AB =，∴SG =DG =∴2226SG DG SD +==∴SG DG ⊥，∴SG ⊥底面ABCD分别以图中GB ，GD ，GS 所在的直线为x ，y ，z 轴建立锤子数学空间直角坐标系∴(1,0,0)B，C，S，∴(1,0,SB =，SC =设平面SBC 的一个法向量()1000,,n x y z =，平面SGD 的一个法向量2(1,0,0)n =∴001100000020x n SB n SC x ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩令0x =得01z =，01y =-，∴1(3,1,1)n =-设平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角为θ，1n ，2n 所成角为ϕ， ∴121215cos |cos |5n n n n θϕ⋅===⋅20.解：（1）最高气温锤子数学低于20的概率为21618190905+== 最高气温位于区间[)20,25的概率为362905= 最高气温不低于25的概率为25742905++= X 的所有可能取值为200，350，5001(200)5P X ==，2(350)5P X ==，2(500)5P X == 六月份X 的分布列如下：（2）①当这天锤子数学最高气温低于20时，利润20062202420440Y =⨯+⨯-⨯=-此时1(40)5P Y =-= ②当这天最高气温位于[)20,25时，利润35067024204560Y =⨯+⨯-⨯=∴2(560)5P Y == ③当这天最高气温不低于25时，利润42064204840Y =⨯-⨯=2(840)5P Y == Y 的分布列如下∴Y 的期望值122()40560840552555E Y =-⨯+⨯+⨯=21.解：（1）由题意知22222192141c a ab b a bc =⎧⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）设直线l 的锤子数学方程为(4)y k x =-，()11,C x y ，()22,D x y ，(2,0)A -，(2,0)B ()22222(4)34816123412y k x x k x x x y =-⎧⇒+-+=⎨+=⎩ ()2222343264120k x k x k +-+-=，212221223234641234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩直线AC 方程为11(2)2y y x x =++，BD 方程为22(2)2y y x x =-- 联立两直线方程锤子数学得21212222T T x y x x x y ++=⋅-- 而2222143x y +=，∴22222324y x x y +=⋅-- ∴()()()()()()12121222121212222423324444416T T x x x x x x x x k x x k x x x x ++++++=-⋅=-⋅----++⎡⎤⎣⎦ 222222222226412644331443434344366412128163434k k k k k k k k k k k -++++=-⋅=-⋅=-⋅⎡⎤-⋅-+⎢⎥++⎣⎦∴1T x =，∵(6,0)AP =，()3,T AT y =，∴18AP AT ⋅=.22.解：（1）1()f x x'=，1k =，切点(1,0) ∴()f x 在1x =处的锤子数学切线方程为1y x =-.（2）即证：当2m ≤时，2sin ln(1)(1)x m x x e+≤+ 而22sin 2sin (1)(1)ln(1)(1)2ln(1)2ln(1)x x x x e m x x e x x e++-+≥+-+≥-+ 令2(1)()2ln(1)x g x x e +=-+，2(1)2()1x g x e x +'=-+，令()0g x '=得1x =，且当01x <<时，()0g x '<，()g x ；当1x >时，()0g x '>，()g x∴()1)12ln 0g x g ≥=-=故2sin (1)ln(1)x x em x +≥+，证毕！。
2020-2021学年江苏省南通中学高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（理科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= ．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是．3．（5分）函数y=的定义域为．4．（5分）若角α的终边经过点P（a，2a）（a＜0），则cosα= ．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么= （用和表示）7．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．8．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为．9．（5分）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．16．（14分）设公差不为零的等差数列{a n}的前5项的和为55，且a2，﹣9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列b n=，求证：数列{b n}的前n项和S n＜．17．（14分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）设矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求 A﹣1，B．22．（10分）设矩阵A=，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= {3} ．【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B⊆A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合补集的定义，计算可得答案、【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B⊆A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，分析可得a=2，即B={2，4}，则∁A B={3}，故答案为：{3}．【点评】本题考查集合之间包含关系的运用，关键是由A∩B=B分析得到B是A的子集．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0 ．【分析】根据特称命题的否定规则：将量词改为任意，结论否定，即可得到其否定．【解答】解：将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”故答案为：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是掌握特称命题的否定规则，属基础题．3．（5分）函数y=的定义域为（0，1] ．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log0.2x≥0，解得：0＜x≤1，故函数的定义域是（0，1]，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）若角α的终边经过点P（a，2a）（a＜0），则cosα= ．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，【解答】解：由于a＜0，角α的终边经过点P（a，2a），则x=a，y=2a，r=|OP|=﹣a，∴cosα==．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是 2 ．【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简==，代入即可求解．【解答】解：∵a3+2a6=0，∴=﹣，即q3=﹣，∴====2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么=（用和表示）【分析】根据条件即可得出，这样代入即可用表示出．【解答】解：根据条件：==．故答案为：．【点评】考查三等分点的概念，向量数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，以及向量加法的几何意义．7．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是[﹣2，5] ．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义，求出a的范围即可．【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+4，得p：a﹣4＜x＜a+4；由（x﹣1）（2﹣x）＞0，解得：1＜x＜2，故q：1＜x＜2，若p是q的必要不充分条件，即（1，2）⊆（a﹣4，a+4），故，解得：a∈[﹣2，5]，故答案为：[﹣2，5]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．8．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为﹣2 ．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx﹣a的图象上又在直线x﹣y+1=0上，即可求出a的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y'|x=m==1解得，m=1切点（1，n）在直线x﹣y+1=0上∴n=2，而切点（1，2）又在曲线y=lnx﹣a上∴a=﹣2故答案为﹣2．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．【分析】有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求AC的长．【解答】解：因为S△ABC===，∴|AB|=4，由余弦定理得：|AC|===．故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是（1，3] ．【分析】根据函数f（x）是奇函数，求出m，然后根据函数表达式，求出函数的单调递增区间，即可求a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，满足f（﹣x）=﹣f（x），即x2﹣mx=﹣（﹣x2+2x）=﹣x2﹣2x，解得m=2．∴f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象可知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1＜a﹣2≤1，即1＜a≤3．故答案为：（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是x=﹣．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令（k∈Z ）时，，因此，当k=﹣1 时，得到，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴，故答案为：x=﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为32【分析】以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设出C的坐标（x，y），由已知可得x2+y2=36，把用含有x的代数式表示，展开数量积得答案．【解答】解：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则A（﹣2，0），B（2，0），设C（x，y），∵O为为△ABC的重心，∴O（），，，∵OA⊥OB，∴，化简得：x2+y2=36．∵，∴=x2+y2﹣4=32．故答案为：32．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为[1，）．【分析】由2S n=（n+1）a n，n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，则2a n=2（S n﹣S n﹣1），整理得：=，则=═…===1，可得：a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围．【解答】解：∵a1=1，2S n=（n+1）a n，∴n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，∴2a n=2（S n﹣S n﹣1）=（n+1）a n﹣na n﹣1，整理得：=，∴=═…===1，∴a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2．∴1≤t＜，故答案为：[1，）．【点评】本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（2，3] ．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1 与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点，当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．【分析】（1）由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值；（2）由（1）及函数图象经过点M（1，）求得函数具体解析式，在由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）的最值可求．【解答】解：（1）f（x）=（+）•（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由题意得：周期，故；（2）∵图象过点M（1，），∴﹣cos（2φ）=，即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，则f（x）=﹣cos（）．当﹣1≤x≤1时，，∴．∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1，当x=1时，．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．16．（14分）设公差不为零的等差数列{a n}的前5项的和为55，且a2，﹣9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列b n=，求证：数列{b n}的前n项和S n＜．【分析】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n=（﹣），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得，即有或（舍去），故数列{a n}的通项公式为a n=7+2（n﹣1）即a n=2n+5；（2）证明：由（1）a n=2n+5，得，则=．故原不等式成立．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．（14分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…（2分）∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）∴cosB=sinB，即tanB=1．…（5分）又∵B∈（0，π），∴．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…（7分）又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴，…（9分）又∵，…（10分）∴．…（11分）∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．【分析】（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（Ⅲ）问题等价于在[1，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a=1时，，…（2分），…（3分）所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为即：5x﹣4y﹣4=0…（4分）（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}…（1分）…（2分）当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增当a＞2时，令f′（x）=0，即：ax2+2﹣a=0，，f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，所以，f（x）单调递增区间为，单调减区间为．…（4分）（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，则．令g′（x）=0，则…（2分）若，即a=1时，g′（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；…（3分）若，即a＜1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为，因为g（1）=0，所以不合题意．…（4分），即a＞1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立综上知，a的取值范围是[1，+∞）．…（5分）【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出；（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C即可；（3）由于对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．两式相减可得可得b n+1=，即b n=，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】解：（1）∵S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，∴a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n=2•（）n﹣1=22﹣n．（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．②．①﹣②可得b n+1a1=﹣=，∴b n+1=，∴b n=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，b n=，也适合．∴b n=，（n∈N*）是等差数列．【点评】本题考查a n=，将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式，然后再求通项或和的公式是一种常考模式，注意灵活地运用“错位相减法”的解题策略．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）设矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求 A﹣1，B．【分析】由逆矩阵的公式A﹣1=×A*，求得其伴随矩阵和|A|，即可求得 A﹣1，由AB=×=，列二元一次方程组，求得a和b的值，即可求得矩阵B．【解答】解：|A|=ad﹣bc=﹣7+6=﹣1，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=，设B=AB=×=，，解得：，∴B=．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，矩阵与矩阵的乘法的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．22．（10分）设矩阵A=，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．【分析】由矩阵A，求得丨A丨及A*，A﹣1=×A*，求得A﹣1，由特征多项式f（λ）=0，求得矩阵的特征值，代入求得特征向量．【解答】解：丨A丨==1﹣4=﹣3，A*=，A的逆矩阵为A﹣1=×A*=，则特征多项式为f（λ）=（λ+）2﹣=λ2+λ﹣，令f（λ）=0，解得：λ1=﹣1，λ2=，设特征向量为，则=﹣，可知特征值λ1=﹣1，对应的一个特征向量为，同理可得特征值λ2=，对应的一个特征向量为．…（10分）【点评】本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．【分析】由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，转化成化为直角坐标方程为x2+y2=2x，转化成标准方程，即可求得圆心与半径，将直线l的方程转化成标准方程：x+y﹣2m，由题意可知：=1，求得m=﹣或m=．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=2x．即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆．…3分直线l的极坐标方程是ρ in（θ+）=m，即ρcosθ+ρsinθ=m，化为直角坐标方程为x+y﹣2m=0．…6分由直线l与曲线C有且只一个公共点，∴=1，解得m=﹣或m=．∴所求实数m的值为﹣或．…10分．【点评】本题考圆的参数方程转化成标准方程，直线的极坐标转化成直角坐标，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．【分析】根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：将直线l的参数方程（t为参数，t∈R），化为普通方程为x﹣y﹣6=0．因为点P在曲线C：（θ为参数）上，所以设P（4cosθ，3sinθ）．点P到直线l的距离d==，其中tanφ=，φ是锐角．所以当cos（θ+φ）=1时，d min=．所以点P到直线l的距离的最小值为．…10分．【点评】本题考查的知识点是直线与椭圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，三角函数的最值，难度中档．。
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题:p x R ∀∈，2210x +>，则p ⌝是( ) A ．x R ∀∈，2210x + B ．x R ∃∈，2210x +> C ．x R ∃∈，2210x +<D ．x R ∃∈，2210x +2．（5分）函数1()3f x x =-的定义域是( ) A ．[2，3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞3．（5分）已知命题:12p x -<<，:|1|1q x -<，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）幂函数()f x kx α=过点(4,2)，则(k α+= ) A ．32B ．3C ．12D ．25．（5分）若实数x ，y 满足21x y +=，则x y 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．18D ．1166．（5分）若关于x 的不等式0ax b +<的解集为(2,)+∞，则0bx a +<的解集是( ) A ．1(,)2-∞B ．1(,)2+∞C ．1(,)2-∞-D ．1(,)2-+∞7．（5分）函数y =( )A ．(-∞，2]B ．[1，2]C ．[2，)+∞D ．[2，3]8．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A B C →→的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF ∆的面积y 与运动时间x （秒)之间的函数图象大致形状是( )A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分） 9．（5分）下列命题是真命题的是( ) A ．(10)0lg lg = B ．ln e ππ=C ．若e lnx =，则2x e =D ．(1)0ln lg =10．（5分）若a ，b ，c R ∈，0a b <<，则下列不等式正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab b >C ．||||a c b c >D ．22(1)(1)a c b c +<+11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有( ) A ．若0x <，111[()]2()2x x x x x x +=--+--=---，故0x <时，1x x+的最大值是2-B ．当1x >时，22211x x x x +--，当且仅当21x x =-取等，解得1x =-或2．又由1x >，所以取2x =，故1x >时，原式的最小值为22421+=- C ．由于222222999442(4)42444x x x x x x +=++-+-=+++，故2294x x ++的最小值为2D ．当x ，0y >，且42x y +=时，由于24244x y x y xy =+=12xy ，又1111222412x y x y xy+==，故当x ，0y >，且42x y +=时，11x y +的最小值为412．（5分）已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，下列说法正确的是( )A ．函数()y sgn x =是奇函数B ．对任意的x R ∈，()1x sgn e =C ．函数()x y e sgn x =-的值域为(,1)-∞D ．对任意的x R ∈，||()x x sgn x = 三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数2()2f x x x =+，21x -且x Z ∈，则()f x 的值域是 ．14．（5分）设m =，n，p ，则m ，n ，p 的大小顺序为 ． 15．（5分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = ．16．（5分）已知二次函数2()1f x ax x =-+，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合{|13}A x x =-<<，集合2{|2(52)50}B x x k x k =+--<，k R ∈． （1）若1k =时，求R B ，AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围． 18．已知定义在(1,1)-的函数2()1ax b f x x +=+满足：(0)0f =，且12()25f =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在(1,1)-上是增函数． 19．已知10.2503278()(2020)64P -=--，333322log 2log log 89Q =-+．（1）分别求P 和Q ； （2）若25a b m ==，且11Q a b+=，求m ． 20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，4AD =米． （1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？（2）当DN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知二次函数2()(f x ax bx c a =++，b ，)c R ∈满足： ①对任意实数x ，都有()f x x ； ②当(1,3)x ∈时，有21()(2)8f x x +成立． （1）求证：f （2）2=；（2）若(2)0f -=，求函数()f x 的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数[0x ∈，)+∞，有1()24m f x x ->恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）设函数2(1)()(0x xa t f x a a--=>且1)a ≠是定义域为R 的奇函数． （1）求t 的值；（2）若f （1）0>，求使不等式2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x R ∈恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数()f x 的图象过点3(1,)2，是否存在正数m ，(1)m ≠使函数22[()]()x x a a mf x g x m -+-=在[1，2log 3]上的最大值为m ，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题:p x R ∀∈，2210x +>，则p ⌝是( ) A ．x R ∀∈，2210x + B ．x R ∃∈，2210x +> C ．x R ∃∈，2210x +<D ．x R ∃∈，2210x +【考点】命题的否定；全称量词和全称命题【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题 【解答】解：由题意x R ∀∈，2210x +>， 的否定是x R ∃∈，2210x + 故选：D ．【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．2．（5分）函数1()3f x x =-的定义域是( ) A ．[2，3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞【考点】函数的定义域及其求法【分析】由函数解析式列出关于不等式组2030x x -⎧⎨-≠⎩，求出它的解集就是所求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则2030x x -⎧⎨-≠⎩，解得2x 且3x ≠，∴函数的定义域是[2，3)(3⋃，)+∞．故选：C ．【点评】本题的考点是求函数的定义域，即根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，对数的真数大于零等等，列出不等式求出它们的解集的交集即可． 3．（5分）已知命题:12p x -<<，:|1|1q x -<，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由|1|1x -<，解得：02x <<， 则p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 4．（5分）幂函数()f x kx α=过点(4,2)，则(k α+= ) A ．32B ．3C ．12D ．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数的定义求出1k =，由函数图象过点(4,2)求出α，再计算k α+． 【解答】解：幂函数()f x kx α=中，1k =， 由函数图象过点(4,2)，所以24α=，解得12α=； 所以13122k α+=+=． 故选：A ．【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 5．（5分）若实数x ，y 满足21x y +=，则x y 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．18D ．116【考点】7F ：基本不等式及其应用【分析】根据2111(12)2()488xy x x x =-=--+，即可求出最大值．【解答】解：实数x ，y 满足21x y +=， 12y x ∴=-，22111(12)22()488xy x x x x x ∴=-=-+=--+， 当14x =，12y =时取等号， 故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题． 6．（5分）若关于x 的不等式0ax b +<的解集为(2,)+∞，则0bx a +<的解集是( )A ．1(,)2-∞B ．1(,)2+∞C ．1(,)2-∞-D ．1(,)2-+∞【考点】7E ：其他不等式的解法【分析】由题意知，2x =是方程0ax b +=的根，且0a <，推出2b a =-，再代入0bx a +<，解之即可．【解答】解：由题意知，2x =是方程0ax b +=的根，且0a <， 所以2b a =-，所以不等式0bx a +<可化为20ax a -+<， 解得12x <， 故选：A ．【点评】本题考查一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．（5分）函数y =( )A ．(-∞，2]B ．[1，2]C ．[2，)+∞D ．[2，3]【考点】复合函数的单调性【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数243t x x =-+-的减区间，可得函数y =【解答】解：由2430x x -+-，得2430x x -+，解得13x ，∴函数y =[1，3]，令243t x x =-+-，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为2x =， 则函数243t x x =-+-在[2，3]上是减函数，开方不改变单调性，又2t y =是增函数，∴函数y =[2，3]．故选：D ．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是中档题．8．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A B C →→的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF ∆的面积y 与运动时间x （秒)之间的函数图象大致形状是( )A ．B ．C ．D ．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【分析】点E 在线段AB 上时，2AE x =，(01)x <，12222y x x =⨯=．点E 在线段BC 上时，2(1)BE x =-，(12)x ，237()24y x =-+．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．【解答】解：点E 在线段AB 上时，2AE x =，(01)x ，12222y x x =⨯=．点E 在线段BC 上时，2(1)BE x =-，(12)x <，22211137222(1)[22(1)]2(2)34()22224y x x x x x x x =-⨯⨯----⨯-⨯⨯-=-+=-+．利用一次函数与二次函数的单调性可知：A 正确． 故选：A ．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分段函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分） 9．（5分）下列命题是真命题的是( ) A ．(10)0lg lg = B ．ln e ππ=C ．若e lnx =，则2x e =D ．(1)0ln lg =【考点】命题的真假判断与应用；对数的运算性质 【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．【解答】解：(10)10lg lg lg ==，所以A 正确； ln e ππ=，满足对数的运算法则，所以B 正确；若e lnx =，则e x e =，所以C 不正确； (1)0ln lg ln =，无意义，所以D 不正确；故选：AB ．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，命题的真假的判断，是基础题． 10．（5分）若a ，b ，c R ∈，0a b <<，则下列不等式正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab b >C ．||||a c b c >D ．22(1)(1)a c b c +<+【考点】3R ：不等式的基本性质【分析】取特殊值判断A ，C ，根据不等式的基本性质判断B ，D 即可． 【解答】解：取2a =-，1b =-，0c =，显然A ，C 错误； 对于:0BD a b <<，故2ab b <，22(1)(1)a c b c +<+，BD 正确， 故选：BD ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道常规题． 11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有( ) A ．若0x <，111[()]2()2x x x x x x +=--+--=---，故0x <时，1x x+的最大值是2-B ．当1x >时，22211x x x x +--，当且仅当21x x =-取等，解得1x =-或2．又由1x >，所以取2x =，故1x >时，原式的最小值为22421+=- C ．由于222222999442(4)42444x x x x x x +=++-+-=+++，故2294x x ++的最小值为2D ．当x ，0y >，且42x y +=时，由于24244x y x y xy =+=12xy ，又1111222412x y x y xy+==，故当x ，0y >，且42x y +=时，11x y +的最小值为4 【考点】1F ：归纳推理；7F ：基本不等式及其应用；2K ：命题的真假判断与应用 【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．【解答】解：对于A ，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A 的运算方法正确； 对于B ，当1x >时，222112(1)11111x x x x x x +=-++-+=---， 当且仅当211x x -=-，即1x =时，等号成立，即B 的运算方法错误； 对于C ，取等的条件是22944x x +=+，即243x +=±，显然均不成立，即C 的运算方法错误； 对于D ，第一次使用基本不等式的取等条件为4x y =，而第二次使用基本不等式的取等条件为x y =，两者不能同时成立，即D 的运算方法错误． 故选：BCD ．【点评】本题考查利用基本不等式处理最值问题，理解“一正二定三相等”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．12．（5分）已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，下列说法正确的是( )A ．函数()y sgn x =是奇函数B ．对任意的x R ∈，()1x sgn e =C ．函数()x y e sgn x =-的值域为(,1)-∞D ．对任意的x R ∈，||()x x sgn x = 【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．【解答】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，显然函数是奇函数，所以A 正确；因为：0x e >，所以，对任意的x R ∈，()1x sgn e =，所以B 正确； 函数()x y e sgn x =-的值域为(,)-∞+∞，所以C 不正确； 对任意的x R ∈，,0||()0,0,0x x x x sgn x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，所以D 正确；故选：ABD ．【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的简单性质的应用，是基础题．三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数2()2f x x x =+，21x -且x Z ∈，则()f x 的值域是 {1-，0，3} ． 【考点】34：函数的值域【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可． 【解答】解：函数2()2f x x x =+，21x -且x Z ∈所以2x =-，1-，0，1；对应的函数值分别为：0，1-，0，3； 所以函数的值域为：{1-，0，3} 故答案为：{1-，0，3}．【点评】本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，注意定义域是易错点．14．（5分）设m =，n ，p =，则m ，n ，p 的大小顺序为p n m << ．【考点】不等式比较大小【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．【解答】解：m ，n ，p =，则1m 1n，1p =∴111m n p<<， p n m ∴<<，故答案为：p n m <<．【点评】本题考查了不等式的大小比较，考查了运算能力，属于基础题． 15．（5分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = 3 ．【考点】函数的值【分析】根据题意，用特殊值法分析：令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，联立两个式子分析可得答案．【解答】解：根据题意，()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，①令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，②， 联立①②解可得：1()32f =；故答案为：3【点评】本题考查函数值的计算，注意特殊值的应用，属于基础题．16．（5分）已知二次函数2()1f x ax x =-+，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是 [1，)+∞ ．【考点】二次函数的性质与图象【分析】不妨设12x x >，由条件可得1122()()f x x f x x ->-，构造新函数2()()21g x f x x ax x =-=-+，显然()g x 在[1，)+∞上单调递增，再对a 分情况讨论，利用()g x 的单调性即可求出a 的取值范围．【解答】解：不妨设12x x >，1212()()1f x f x x x ->-，1212()()f x f x x x ∴->-，即1122()()f x x f x x ->-，令2()()21g x f x x ax x =-=-+， ()g x ∴在[1，)+∞上单调递增，①当0a =时，()21g x x =-+，显然不成立，②当0a ≠时，则0212a a >⎧⎪-⎨-⎪⎩，解得1a ，综上所述，实数a 的取值范围是：[1，)+∞， 故答案为[1，)+∞．【点评】本题主要考查了二次函数的单调性，构造新函数是本题的解题关键，属于中档题． 四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合{|13}A x x =-<<，集合2{|2(52)50}B x x k x k =+--<，k R ∈． （1）若1k =时，求R B ，AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围． 【考点】充分条件、必要条件、充要条件；交、并、补集的混合运算【分析】（1）1k =时，可得B ，利用补集交集运算可得． （2）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，可得A B ，进而即可得出实数k 的取值范围．【解答】解：（1）1k =时，22350x x +-<，解得512x -<<，即5(2B =-，1)，则(R B =-∞，5][12-，)+∞，5(2AB =-，3)，（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，A B ∴，由22(52)50x k x k +--<可得5()()02x k x -+<，当52k >-时，解得52x k -<<，即5(2B =-，)k ，A B3k ∴，当52k =-时，解集为∅，即B =∅，此时不满足AB当52k >-时，解得52k x <<-，即5(,)2B k =-，此时不满足AB ，∴实数k 的取值范围是[3，)+∞．【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．已知定义在(1,1)-的函数2()1ax b f x x +=+满足：(0)0f =，且12()25f =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在(1,1)-上是增函数．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3E ：函数单调性的性质与判断【分析】（1）根据题意，由(0)0f =可得b 的值，进而由12()25f =计算可得a 的值，即可得函数的解析式；（2）任取1x ，2(1,1)x ∈-，且12x x <，用作差法证明即可得结论． 【解答】解：（1）根据题意，对于函数()f x ， 由(0)0f =，即(0)01b f ==，即0b =；则2()1axf x x=+， 又12()25f =，所以1a =；则2()1xf x x=+． （2）证明：任取1x ，2(1,1)x ∈-，且12x x <，则22121122121222221212()()()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ 121221121222221212()()()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+---==++++； 又1211x x -<<<，∴221212120,10,10,10x x x x x x -<->+>+>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <； 故()f x 在(1,1)-上是增函数．【点评】本题考查函数解析式的求法与函数单调性的证明，关键是求出函数的解析式． 19．已知10.2503278()(2020)64P -=--，333322log 2log log 89Q =-+．（1）分别求P 和Q ； （2）若25a b m ==，且11Q a b+=，求m ． 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解． （2）先把指数式化为对数式得到2log a m =，5log b m =，代入11Q a b+=，即可求出m 的值． 【解答】解：（1）111110.25031334442733478()(2020)82[()]1(82)()121644433P ---=--=⨯+-=⨯+-=+-=，333333333232482log 2log log 84log 8()log 9232999Q log log log ⨯=-+=-+===．即73P =，2Q =． （2）25a b m ==，2log a m ∴=，5log b m =， ∴251111log 2log 5log 10m m m a b log m log m+=+=+=， log 102m ∴=，∴m【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了指数式与对数式的互化，是基础题．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，4AD =米． （1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？ （2）当DN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．【考点】5C ：根据实际问题选择函数类型 【分析】（1）设DN 的长为(0)x x >米，23(4)AMPN x S AN AM x+==，表达(4)AN x =+米和3(4)x AM x+=，要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，解不等式即可得DN 的长的范围； （2）利用基本不等式可得当且仅当：483x x=，即：4x =时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48．【解答】解：（1）设DN 的长为(0)x x >米，则(4)AN x =+米．DN DCAN AM =，3(4)x AM x +∴=，23(4)AMPN x S AN AM x+==， 由矩形AMPN 的面积大于50，得：23(4)50x x+>，又0x >，得：2326480x x -+>，解得：803x <<或6x >，即：DN 长的取值范围是：(0，8)(63⋃，)+∞．（2）矩形花坛AMPN 的面积为，223(4)324484848324232448x x x y x x x x x x+++===+++=，当且仅当：483x x=，即：4x =时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48． 故DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米．答：（1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长的范围：(0，8)(63⋃，)+∞；（2）当DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米． 【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础 21．（12分）已知二次函数2()(f x ax bx c a =++，b ，)c R ∈满足： ①对任意实数x ，都有()f x x ； ②当(1,3)x ∈时，有21()(2)8f x x +成立． （1）求证：f （2）2=；（2）若(2)0f -=，求函数()f x 的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数[0x ∈，)+∞，有1()24m f x x ->恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】6P ：不等式恒成立的问题【分析】（1）根据题意可知：2f （2）2，由此确定f （2）2=；（2）根据()f x x 恒成立，利用判别式0恒成立、结合f （2）2=可求出a 的值，最后结合(2)0f -=，即可求出系数b ，c 的值；（3）根据0x ，分离参数m ，再利用基本不等式即可求出m 的范围． 【解答】解：（1）由题意得2f （2）21(22)28+=，所以f （2）2=． （2）结合（1）知f （2）422a b c =++=， 由()f x x 恒成立得2(1)0ax b x c +-+恒成立，故20(1)40422a b ac a b c >⋯⋯⎧⎪--⋯⋯⎨⎪++=⋯⋯⎩①②③，将③代入②得21(2)02a c -，故4c a =⋯④．又(2)420f a b c -=-+=⋯⑤， 联立③④⑤解得11,82a b c ===．所以2111()822f x x x =++．（3）由[0x ∈，)+∞，且1()24m f x x ->恒成立可得： 2111,02824mx x x x <++， ()0i x =时，104<恒成立，此时m R ∈；()0ii x >时，原式化为：11142m x x<++恒成立，因为111112114242x x x x +++=x =故此时1m <综合()()i ii 可知m 的取值范围为(,1-∞． 【点评】本题考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题的解题思路．属于中档题．22．（12分）设函数2(1)()(0x xa t f x a a--=>且1)a ≠是定义域为R 的奇函数． （1）求t 的值；（2）若f （1）0>，求使不等式2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x R ∈恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数()f x 的图象过点3(1,)2，是否存在正数m ，(1)m ≠使函数22[()]()x x a a mf x g x m -+-=在[1，2log 3]上的最大值为m ，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）根据()f x 为R 上的奇函数，可得(0)0f =，然后求出t 的值，再检验得到的t 值是否符合题意；（2）先根据f （1）0>，求出a 的范围，然后利用定义法判断()f x 的单调性，再根据2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x R ∈恒成立，得到关于k 的不等式，进一步求出k 的范围；（3）根据函数()f x 的图象过点3(1,)2，求出a ，令()x x t f x a a -==-，根据()f x 是单调递增函数，得到t 的范围，然后得到22()()tmt g x h t m -+==，再求出m 的值即可．【解答】解：（1）是奇函数，(0)0f ∴=，1(1)0t --=，解得2t =．当2t =时，21()x x x xa f x a a a--==-，()()x x f x a a f x -∴-=-=-， ()f x ∴是奇函数，满足题意，2t ∴=．（2）2(1)()x xa t f x a --=，f （1）0>，∴10a a ->，又0a >，1a ∴>，设1x ∀，2x R ∈，12x x <，则21122111()()x x x x f x f x a a a a -=-+-，∴212121121221()1()()()()(1)x x x x x x x x x x a a f x f x a a a a a a ++--=-+=-+，12x x <，1a >，∴210x x a a ->，又121110x x a++>>．21()()0f x f x ∴->，21()()()f x f x f x >是单调递增函数．2()(1)0f kx x f x -+-<，22()(1)(1)1f kx x f x f x kx x x -<--=--<-恒成立，即2(1)10x k x -++>恒成立，∴△2(1)40k =+-<，31k ∴-<<，k ∴的取值范围为(3,1)-．（3）函数()f x 的图象过点3(1,)2，∴13(1)(0)2f a a a =-=>，解得22[()]2x x a a mf x a m -+-=， 设()x x t f x a a -==-，由（2）知()f x 是单调递增函数， ∴当[1x ∈，2log 3]时，38[,]23t ∈，2222x x t a a -=+-，∴22()()tmt g x h t m -+==，38[,]23t ∈，其最大值为m ，也即22t mt -+有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三种情况：①233()2122m -+=，解得136m =，此时对称轴为1312t =，左端点处取的是二次函数最小值，而1m >，也即()h t 最小值，不合题意舍去．②288()2133m -+=，解得7324m =，此时对称轴为7348t =，右端点离对称轴更远，取的最大值，而1m >，也即()h t 最大值，符合．③22142m m m -+=，解得2m =±，此时对称轴为1t =±，不在区间上，∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，7324m =． 【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义判断函数的单调性，不等式恒成立问题和函数最值得求法，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
江苏省南通市2021届高三上学期期中考试考前热身练数学试题参考答案
高三年级数学考前热身练答案精析1．B 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7．C [当n ≥2时,a n ＋2S n －1＝n ,① 故a n ＋1＋2S n ＝n ＋1,②由②－①得,a n ＋1－a n ＋2(S n －S n －1)＝1, 即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2),所以S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝1 010.] 8．B [设P (x 0,y 0),由于点P 为切点,则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ,又点P 的切线相同,则f ′(x 0)＝g ′(x 0), 即x 0＋2a ＝3a 2x 0,即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0,又a >0,x 0>0,∴x 0＝a , 于是,b ＝52a 2－3a 2ln a (a >0),设h (x )＝52x 2－3x 2ln x (x >0),则h ′(x )＝2x (1－3ln x )(x >0),所以h (x )在(0,e 13)上单调递增,在(13e ,＋∞)上单调递减,b 的最大值为h (13e )＝3223e .]9．ABC [由于0<b <a <1,c >1,根据指数函数与幂函数的图象与性质有a b >a a >b a ,故选项A 错误； 根据指数函数的图象与性质有c b <c a ,故选项B 错误； 根据对数函数的图象与性质有log a c <log b c ,故选项C 错误； 因为a b >b a ,c >1,则log c a b >log c b a ,即b log c a >a log c b ,故选项D 正确．] 10．ACD [A 项,函数y ＝a x (a >0且a ≠1), y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域都是R ,故A 正确； B 项,函数y ＝x 值域为[0,＋∞), 函数y ＝3x 的值域为(0,＋∞),故B 错误；C,当x ∈[0,＋∞)时,函数y ＝|x ＋1|＝x ＋1是增函数, 函数y ＝2x＋1是增函数,故C 正确；D 项,y ＝lg 1＋x 1－x 的定义域是(－1,1),令f (x )＝lg 1＋x1－x,f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x ),故函数y ＝lg 1＋x 1－x是奇函数,故D 正确．]11．AD [A 正确,B 中直线l 可能平行于α也可能在α内,故B 错；C 中直线l ,m ,n 可能平行也可能相交于一点,故C 错；D 正确．]12．BCD [把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上各点的横坐标缩短为原来的12得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象,再将图象向右平移π4个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 若x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6,则2x －π6∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6, ∴g (x )⎝⎛⎭⎫－π6，π6上单调递增,故A 正确； 由g ⎝⎛⎭⎫π6＝12≠0知,g (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称,故B 错误； g (x )的最小正周期为π,故C 错误； ∵g (0)＝－12≠±1,∴g (x )的图象不关于y 轴对称,故D 错误．] 13．9解析 由事件A ,B 互为对立事件,其概率分别P (A )＝1y ,P (B )＝4x ,且x >0,y >0,所以P (A )＋P (B )＝1y ＋4x ＝1,所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1y ＋4x ＝5＋4y x ＋xy ≥5＋24y x ·xy＝9, 当且仅当x ＝6,y ＝3时取等号,所以x ＋y 的最小值为9. 14．－4解析 由题意,以A 为坐标原点,AB 方向为x 轴,AD 方向为y 轴,建立平面直角坐标系, 因为正方形ABCD 的边长为2,所以可得A (0,0),B (2,0),C (2,2),D (0,2), 设P (x ,y ),则P A →＝(－x ,－y ), PB →＝(2－x ,－y ),PC →＝(2－x,2－y ),PD →＝(－x,2－y ),所以P A →＋PB →＝(2－2x ,－2y ),PC →＋PD →＝(2－2x,4－2y ),因此(P A →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝4(1－x )2－4y (2－y )＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4, 当且仅当x ＝y ＝1时,取得最小值－4. 15．10n －2 216解析 T n 为数列{b n }的前n 项的和,T n ＝5n 2＋3n ,b n ＝T n －T n －1＝(5n 2＋3n )－[5(n －1)2＋3(n －1)]＝10n －2(n ≥2), 验证n ＝1时,b 1＝T 1＝8也符合,故b n ＝10n －2, a 1 024＝b 11＝108,a 1 025＝2a 1 024＝216. 16.⎝⎛⎭⎫2e ＋1e ，e 2＋2 解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤e ，2－ln x ，x >e的图象(如图所示)．不妨令a <b <c ,则由已知和图象,得0<a <1<b <e<c <e 2, 且－ln a ＝ln b ＝2－ln c ,则ab ＝1,bc ＝e 2, 则a ＋b ＋c ＝1b ＋b ＋e 2b ＝b ＋1＋e 2b ,令g (x )＝x ＋1＋e 2x,因为g ′(x )＝1－1＋e 2x 2<0在x ∈(1,e)时恒成立,所以g (x )在(1,e)上单调递减, 所以2e ＋1e <b ＋1＋e 2b<2＋e 2.17．解 (1)由题意得⎩⎨⎧7a 1＋7×62d ＝49，24<5a 1＋5×42d <26，∵a 1∈Z ,d ∈Z ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1,∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 18．解 (1)在△ABC 中,由正弦定理得 sin B cos A ＋33sin A ＝sin C , 又C ＝π－(A ＋B ), 所以sin B cos A ＋33sin A ＝sin (A ＋B ), 故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B , 所以sin A cos B ＝33sin A , 又A ∈(0,π),所以sin A ≠0,故cos B ＝33. (2)因为D ＝2B ,所以cos D ＝2cos 2B －1＝－13,又在△ACD 中,AD ＝1,CD ＝3,所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12, 所以AC ＝23,在△ABC 中,BC ＝6,AC ＝23,cos B ＝33, 所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B , 即12＝AB 2＋6－2·AB ×6×33,化简得AB 2－22AB －6＝0, 解得AB ＝3 2. 故AB 的长为3 2.19．(1)证明 连结BD 交AC 于O ,连结SO , 由题意得,SO ⊥AC .在正方形ABCD 中,AC ⊥BD , 又SO ∩BD ＝O ,SO ,BD ⊂平面SBD , 所以AC ⊥平面SBD ,所以AC ⊥SD .(2)解 由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点,OB →,OC →,OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系O －xyz 如图所示．设底面边长为a ,则高SO ＝62a . 则S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ,D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0, C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0,B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0, 又SD ⊥平面P AC ,则平面P AC 的一个法向量DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ,平面SAC 的一个法向量OD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0,则cos 〈DS →,OD →〉＝DS →·OD →|DS →||OD →|＝－12,又二面角P －AC －S 为锐二面角,则二面角P －AC －S 为60°. (3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC . 由(2)知DS →是平面P AC 的一个法向量,且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ,CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ,BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0.设CE →＝tCS →,t ∈[0,1],则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at , 又BE ∥平面P AC ,所以BE →·DS →＝0,解得t ＝13.即当SC ∶SE ＝3∶2时,BE →⊥DS →,而BE 不在平面P AC 内,故BE ∥平面P AC . 所以侧棱SC 上存在点E ,当SC ∶CE ＝3∶2时,有BE ∥平面P AC .20．解 (1)因为A ,B ,C 三镇分别有基层干部60人,60人,80人,共200人,利用分层抽样的方法选40人,则C 镇应选取80×40200＝16(人),所以这40人中有16人来自C 镇, 因为x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5, 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户．(2)由直方图得,从三镇的所有基层干部中随机选出1人,其工作出色的概率为35,显然X 可取0,1,2,3,且X ～B ⎝⎛⎭⎫3，35,则 P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125,P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫351⎝⎛⎭⎫252＝36125, P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫251＝54125, P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125, 所以X 的概率分布为所以均值E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝95.21．解 (1)由题设条件可得c a ＝12,a ＋c ＝3,解得a ＝2,c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3, 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当矩形ABCD 的一组对边所在直线的斜率不存在时,得矩形ABCD 的面积S ＝83, 当矩形ABCD 四边所在直线的斜率都存在时,不防设AB ,CD 所在直线的斜率为k ,则BC ,AD 所在直线的斜率为－1k,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,与椭圆联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，可得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0, 由Δ＝(8km )2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0,得m 2＝4k 2＋3, 显然直线CD 的直线方程为y ＝kx －m , 直线AB ,CD 间的距离 d 1＝2|m |k 2＋1＝2m 2k 2＋1＝24k 2＋3k 2＋1, 同理可求得BC ,AD 间的距离为d 2＝24k 2＋31k 2＋1＝24＋3k 2k 2＋1, 所以四边形ABCD 的面积为 S ABCD ＝d 1d 2＝43＋4k 2k 2＋14＋3k 2k 2＋1＝412k 4＋25k 2＋12k 4＋2k 2＋1＝412＋k 2k 4＋2k 2＋1＝412＋1k 2＋1k2＋2≤412＋14＝14.(当且仅当k ＝±1时等号成立),又S ABCD >412＝83, 综上可得外切矩形面积的取值范围是[83,14]． 22．(1)解 因为f (x )＝e x －ax －a ,所以f ′(x )＝e x －a , ①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )在区间R 上单调递增； ②当a >0时,令f ′(x )>0,x >ln a ,令f ′(x )<0,x <ln a ,所以f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增． (2)解 因为对任意的x ∈(0,2],不等式f (x )>x －a 恒成立, 即不等式(a ＋1)x <e x 恒成立． 即当x ∈(0,2]时,a <e xx－1恒成立．令g (x )＝e xx －1(x ∈(0,2]),则g ′(x )＝(x －1)e x x 2.令g ′(x )>0,1<x ≤2,g ′(x )<0,,0<x <1,所以g (x )在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增． ∴x ＝1时,g (x )取最小值e －1.所以实数a 的取值范围是(－∞,e －1)．(3)证明 在(1)中,令a ＝1可知对任意实数x 都有e x －x －1≥0, 即x ＋1≤e x (当且仅当x ＝0时等号成立)． 令x ＋1＝kn (k ＝1,2,3,…,n ),则k n <-1e kn ,即⎝⎛⎭⎫k n n <e k －n ＝e k en , 故⎝⎛⎭⎫1n n ＋⎝⎛⎭⎫2n n ＋⎝⎛⎭⎫3n n＋…＋⎝⎛⎭⎫n n n <1e n (e 1＋e 2＋e 3＋…＋e n )＝e (e n－1)(e －1)e n <e (e －1).。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
2020年江苏省南通市高三(上)期中数学试卷
高三（上）期中数学试卷题号一 二 总分 得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x|f(x)=lnx}，B ={−1,2，3}，则A ∩B =______．2. 若z(1+3i)=10，则z 的实部为______．3. 已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3，则a ⃗ ⋅b⃗ =______． 4. 已知函数f(x)={4x ,x ≥1x +3,x <1，若f(f(a))=16，则实数a =______．5. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±2√65x ，且过点(5,3√2)，则其焦距为______．6. 已知(m,n)为直线x +y −12=0上一点，且mn >0，则1m +4n 的最小值为______． 7. 若函数f(x)=cos(2x +θ)(0<θ<π)的图象关于直线x = π 12对称，则θ=______．8. 在棱长为6的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，F 为棱AD 的中点，E 为线段CC 1上一点，则三棱锥E −FDD 1的体积为______．9. 已知A =[0,2]，B ={x|x 3−x 2−x −a ≥0}，若A ⊆B ，则实数a 的最大值为______． 10. 已知等差数列{a n }的公差为−2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则该等比数列的公比为______．11. 如图，已知点O(0,0)，A(2,0)，P 是曲线y =√x(0≤x ≤1)上一个动点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______．12. 已知cos(x −π6)=13,x ∈(0,π)，则sin(π3−2x)=______．13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则cos(α−β)cos(α+β)=______ ．14.已知函数f(x)=λlnx+4x−x,λ≥2，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)上在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为______．二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(b2+c2−a2)tanA=√3bc．(1)求角A；(2)若a=2，△ABC的面积S=√3，求1b +1c的值．16.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．(1)求证：AC1//平面PBD；(2)求证：BD⊥A1P.17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S8=22．(1)求a n；(2)若从{a n}中抽取一个公比为q的等比数列{a kn}，其中k1=1，且k1<k2<⋯< k n<⋯.当q取最小值时，求{k n}的通项公式．18.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1倾斜角的余弦值为2√23，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．(1)求椭圆E的离心率；(2)判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；(3)若圆C的面积为4π，求圆C的方程．19.如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形BEFG的一边BG 在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF=π6，设∠BOC=θ，θ∈(π6,π2).若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为√3：2．(1)记游泳池及休息区的总造价为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2)为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．20.已知函数f(x)=lnx−1x,g(x)=ax+b．(1)若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象的切线，求a+b的最小值；(3)当b=−3时，若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象有两个交点，求实数a的取值范围．21. 已知矩阵A =[1002]，B =[1202]． (1)求B 2； (2)求A −1B 2．22. 在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为C(2,π3)，半径为2.以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t (t为参数)．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设l 与圆C 的交点为A ，B ，l 与x 轴的交点为P ，求|PA|+|PB|．23. 已知f 0(x)=e x sin(x +π4)，记f n (x)=f n−1′(x)(n ∈N ∗)．(1)f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)；(2)求S 4n =f 0(x)+f 1(x)+⋯…+f 4n−1(x)．24.已知S n=1+12+13+⋯+1n．(1)求S2，S4的值；(2)若T n=7n+1112，试比较S2n与T n的大小，并给出证明．答案和解析1.【答案】{2,3}【解析】解：A ={x|x >0}，B ={−1,2，3}， ∴A ∩B ={2,3}． 故答案为：{2,3}．可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】1【解析】解：由z(1+3i)=10，得z =101+3i =10(1−3i)(1+3i)(1−3i)=1−3i ， ∴z 的实部为1． 故答案为：1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】4【解析】解：已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3， 所以|a ⃗ +b ⃗ |=5，则a⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b ⃗ )2]=(14(25−9)=14×16=4． 故答案为：4．利用a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b ⃗ )2]，代入即可求出答案． 考查平面向量积的运算，向量公式的变形用，基础题．4.【答案】−1【解析】解：∵函数f(x)={4x ,x ≥1x +3,x <1，f(f(a))=16，∴当a ≥1时，f(a)=4a ≥4，f(f(a))=f(4a )=44a=16，解得a =12，不合题意． 当a <1时，f(a)=a +3，当a +3≥1时，f(f(a))=f(a +3)=4a+3=16，解得a =−1，当a +3<1时，f(f(a))=f(a +3)=a +3+3=16，解得a =10，不合题意． 综上，实数a =−1． 故答案为：−1．当a ≥1时，f(a)=4a ≥4，f(f(a))=f(4a )=44a=16，当a <1时，f(a)=a +3，当a +3≥1时，f(f(a))=f(a +3)=4a+3=16，当a +3<1时，f(f(a))=f(a +3)=a +3+3=16，由此能求出实数a ．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】7【解析】解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±2√65x ， 可得：ba =2√65，双曲线过点(5,3√2)，可得25a 2−18b 2=1， 解得a =52，b =√6，所以双曲线方程为：x 2254−y 26=1，则其焦距为：2√254+6=7．故答案为：7．利用双曲线的渐近线方程求出a ，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．6.【答案】34【解析】解：∵(m,n)为直线x +y −12=0上一点，且mn >0， ∴m +n =12，m ，n >0．则1m +4n =112(m +n)(1m +4n )=112(1+4+nm+4m n)≥112(5+2√n m ×4m n)=34，当且仅当n =2m ，m +n =12，即m =4，n =8时取等号． 故答案为：34．由(m,n)为直线x +y −12=0上一点，且mn >0，可得m +n =12，m ，n >0.于是1m +4n=112(m +n)(1m +4n )，展开利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】5π6【解析】解：∵函数f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于直线x= π 12对称，∴2⋅π12+φ=kπ，k∈Z，∴φ=5π6，函数f(x)=cos(2x+5π6)，故答案为：5π6．由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得θ的值．本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.【答案】18【解析】解：在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为棱AD的中点，E为线段CC1上一点，可得S△DFD1=12×6×3=9，棱锥的高为6，所以棱锥E−FDD1的体积为：13×9×6=18．故答案为：18．求出棱锥的底面面积与高，然后求解棱锥的体积．本题考查棱锥的体积的求法，是基本知识的考查，是基础题．9.【答案】−1【解析】解：∵A⊆B．∴对于任意的x∈[0,2]，x3−x2−x−a≥0恒成立，∴a≤x3−x2−x对任意x∈[0,2]恒成立，设f(x)=x3−x2−x，f′(x)=3x2−2x−1，且f′(0)=−1，f′(1)=0，∴0≤x<1时，f′(x)<0；1<x≤2时，f′(x)>0，∴f(x)在x=1取得极小值，即f(x)在x=1取得最小值，∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)=−1，∴a≤−1，∴实数a的最大值为−1．根据A⊆B即可得出a≤x3−x2−x对任意x∈[0,2]恒成立，可设f(x)=x3−x2−x，f′(x)=3x2−2x−1，从而可根据导数符号判断出f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)=−1，从而得出a≤−1，从而可得出a的最大值．本题考查了子集的定义，构造函数解决问题的方法，基本初等函数的求导公式，根据导数符号求函数极值和最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．10.【答案】12【解析】解：等差数列{a n }的公差为−2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，可得a 2a 5=a 42，即有(a 1−2)(a 1−8)=(a 1−6)2，解得a 1=10，可得该等比数列的公比为a 4a 2=10−610−2=12．故答案为：12．运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等比数列的定义，计算可得所求公比．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.【答案】−14【解析】解：如图，已知点O(0,0)，A(2,0)，P 是曲线y =√x(0≤x ≤1)上一个动点， 设P(x,y)，y =√x ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)⋅(x −2,y)=x 2+y 2−2x =x 2+x −2x =x 2−x =(x −12)2−14(0≤x ≤1)当x =12时，函数的最小值是−14， 故答案为：−14．由A(2,0)，设P(x,y)，y =√x ，利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 建立关于x 的二次函数，求出最小值即可． 考查了平面向量积的运算，配方法求最值，属于中档题．12.【答案】−4√29【解析】解：由x∈(0,π)，得x−π6∈(−π6,5π6)，又cos(x−π6)=13，∴sin(x−π6)=√1−cos2(x−π6)=2√23，则sin(π6−x)=−2√23．∴sin(π3−2x)=sin2(π6−x)=2sin(π6−x)cos(π6−x)=2×13×(−2√23)=−4√29．故答案为：−4√29．由已知求得sin(π6−x)，再由二倍角的正弦求sin(π3−2x)的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．13.【答案】17【解析】解：由题意，A(−a,0)，B(a,0)，设P(x,y)，则tanα=yx+a ，tanβ=yx−a，∴tanαtanβ=yx+a⋅yx−a=y2x2−a2∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，∴a2−b2a2=14∴a2=43b2，∴x243b2+y2b2=1，∴y2=b2−3x24，y2 x2−a2=−34，tanαtanβ=−34，∴cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ−sinαsinβ=1+tanαtanβ1−tanαtanβ=1−3 41+34=17．故答案为：17利用斜率公式，表示出tanα=yx+a ，tanβ=yx−a，利用离心率化简椭圆方程，再根据和差的余弦公式，即可求得结论．本题考查斜率公式的运用，考查椭圆的几何性质，考查和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】(8,+∞)【解析】解：∵f(x)=λlnx +4x −x,λ≥2， ∴f′(x)=λx −4x 2−1．由题意可得f′(x 1)=f′(x 2)(x 1,x 2>0，且x 1≠x 2). 即有λx 1−4x 12−1=λx 2−4x 22−1，化为4(x 1+x 2)=λx 1x 2， 而x 1x 2<(x 1+x 22)2， ∴4(x 1+x 2)<λ(x 1+x 22)2， 化为x 1+x 2>16λ对λ∈[2,+∞)都成立，∵λ≥2，∴16λ∈(0,8]，∴x 1+x 2>8．则x 1+x 2的取值范围为(8,+∞)． 故答案为：(8,+∞)．求得f(x)的导数f′(x)，由题意可得f′(x 1)=f′(x 2)(x 1,x 2>0，且x 1≠x 2)，化为4(x 1+x 2)=λx 1x 2，因此x 1+x 2>16λ，λ∈[2,+∞)，求出16λ的范围得答案． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)由(b 2+c 2−a 2)tanA =√3bc ，及余弦定理b 2+c 2−a 2=2bccosA ， 得2bcsinA =√3bc ， 又bc >0， 得sinA =√32，因为△ABC 为锐角三角形， 所以0<A <π2， 故A =π3．(2)因为a=2，A=π3，根据余弦定理b2+c2−a2=2bccosA，得b2+c2−4=bc，又S=12bcsinA=√34bc=√3，解得bc=4，……①所以b2+c2−4=4，即b2+c2=(b+c)2−2bc=(b+c)2−8=8．又b+c>0，所以b+c=4，……②根据①②得，1b +1c=b+cbc=44=1，所以，1b +1c的值为1．【解析】(1)由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得sinA=√32，结合范围0<A<π2，可求A的值；(2)由余弦定理得b2+c2−4=bc，利用三角形的面积公式可求bc=4，可求b+c=4，进而化简所求即可得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】证明：(1)连结AC交BD于O点，连结OP，因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以O点是AC的中点，所以AO=OC．又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP=PC1，在△ACC1中，AOOC =C1PPC=1，所以AC1//OP，又因为OP⊂面PBD，AC1⊄面PBD，所以AC1//平面PBD．(2)连结A1C1．因为ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又AC∩CC1=C，AC⊂面AC1，CC1⊂面AC1，所以BD⊥面AC1，又因为P∈CC1，CC1⊂面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，因为A1∈面ACC1A1，所以A1P⊂面AC1，所以BD⊥A1P.【解析】(1)连结AC交BD于O点，连结OP，可证在△ACC1中，AOOC =C1PPC=1，可证AC1//OP，利用线面平行的判定定理即可证明AC1//平面PBD．(2)连结A1C1，利用直四棱柱的性质可证CC1⊥BD，由面ABCD是菱形，可证AC⊥BD，利用线面垂直的判定定理可证BD⊥面AC1，可证A1P⊂面AC1，即可证明BD⊥A1P.本题主要考查了线面平行的判定定理，直四棱柱的性质，线面垂直的判定定理的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，a1=1，S8=22，则S8=8a1+12×8×7d=8+28d=22，解得d=12，所以a n=a1+(n−1)d=1+12(n−1)=n+12；(2)法一：因为{a kn }为公比q的等比数列，a k1=1，所以a kn=q n−1，又a kn =1+k n2，所以a k n+1+1a k n=k n+1+12k n+12=q，即k n+1=qk n+q−1，所以k n+1+1=q(k n+1)，又k1=1，k1+1=2≠0，所以{k n+1}是公比q的等比数列，所以k n=2×q n−1−1；因为k n≥2，k n∈N∗，所以2×q n−1−1≥2，且公比q为正整数，解得q≥2，所以最小的公比q=2．所以k n=2n−1．法二：因为数列{a n}是正项递增等差数列，所以数列{a kn}的公比q>1，若k2=2，则由a2=32，得q=a2a1=32，此时a k3=a2q=(32)2=94，由n+12=94，解得n=72∉N∗，所以k2>2，同理k2>3；若k2=3，则由a3=2，得q=2，此时a kn=2n−1，另一方面，a k n =k n +12，所以k n +12=2n−1，即k n =2n −1，所以对任何正整数n ，{a k n }是数列{a n }的第2n −1项．所以最小的公比q =2． 所以k n =2n −1．【解析】(1)设等差数列的公差为d ，运用等差数列的求和公式，解得d ，即可得到所求通项公式；(2)方法一、{a k n }为公比q 的等比数列，由等比数列的通项公式可得a k n ，再由等差数列的通项公式，可得k n+1=qk n +q −1，运用构造等比数列法，结合题意可得所求通项公式；方法二、因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q >1，讨论若k 2=2，若k 2=3，结合等差数列和等比数列的通项公式，可得q =2，进而得到所求通项公式． 本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查方程思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)设椭圆E 的焦距为2c(c >0)，因为直线A 1B 1的倾斜角的余弦值为2√23，所以√a 2+b2=2√23， 于是a 2=8b 2，即a 2=8(a 2−c 2)，所以椭圆E 的离心率e =√c 2a2=√78=√144．(2)由e =√144可设a =4k(k >0)，c =√14k ，则b =√2k ，于是A 1B 1的方程为：x −2√2y +4k =0， 故OA 2的中点(2k,0)到A 1B 1的距离d =|2k+4k|3=2k ，又以OA 2为直径的圆的半径r =2k ，即有d =r ，所以直线A 1B 1与以OA 2为直径的圆相切． 因为圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称， 所以直线A 1B 1与圆C 相切．(3)由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而k =1，设OA 2的中点(2,0)关于直线A 1B 1：x −2√2y +4=0 的对称点为(m,n)，则{nm−2⋅√24=−1,m+22−2√2⋅n2+4=0.解得m =23,n =8√23．所以，圆C 的方程为(x −23)2+(y −8√23)2=4．【解析】(1)表示出余弦值√a 2+b 2=2√23，即可得a 2=8(a 2−c 2)，进而可求出e ；(2)根据离心率设a =4k ，则可表示出的A 1B 1方程，则可求出OA 2的中点到A 1B 1距离，又以OA 2为直径的圆的半径r =2k ，即有d =r ，所以直线A 1B 1与以OA 2为直径的圆相切．而因为圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称，所以直线A 1B 1与圆C 相切．(3)由面积求出半径，则k =1，设OA 2的中点(2,0)关于直线A 1B 1：x −2√2y +4=0 的对称点为(m,n)，则可求出m ，n ，从而求出C 的方程．本题是直线与椭圆的综合，考查了椭圆方程的求法，与圆的结合，综合能力较强，属于中档题．19.【答案】解：(1)设游泳池每平方米的造价为√3t ，休息区每平方米造价为2t(t >0)，在矩形ABCD 中，BC =Rsinθ，OB =Rcosθ， 所以游泳池面积为：S 矩形ABCD =2OB ⋅BC =2R 2sinθcosθ=R 2sin2θ．在矩形BEFG 中，EF =Rsin π6=R2，BE =Rcos π6−Rcosθ=R(√32−cosθ)，所以休息区面积为：2S 矩形BEFG =2BE ⋅EF =R 2(√32−cosθ)． ∴f(θ)=√3t ⋅R 2sin2θ+2t ⋅R 2(√32−cosθ)=tR 2(√3sin2θ−2cosθ+√3)，(π6<θ<π2).(2)f′(θ)=tR 2(2√3cos2θ+2sinθ)=2tR 2(−2√3sin 2θ+sinθ+√3)=−2tR 2(2sinθ−√3)(√3sinθ+1)， 令f′(θ)=0，解得sinθ=√32或sinθ=−√33．又θ∈(π6,π2)，∴θ=π3．∴当π6<θ<π3时，f′(θ)>0，当π3<θ<π2时，f′(θ)<0， ∴f(θ)在(π6,π3)上单调递增，在(π3,π2)上单调递减， ∴当θ=π3时，f(θ)取得最大值f(π3)=(1+2√3)tR 2．【解析】(1)求出游泳区和休息区的面积，得出f(θ)的解析式； (2)利用导数判断f(θ)的单调性，再计算最大值和极大值点即可．本题考查了函数解析式的求解，函数单调性与函数最值的计算，属于中档题． 20.【答案】解：(1)由f(x)=lnx −1x ,g(x)=ax +b ，得ℎ(x)=f(x)−g(x)=lnx −1x −则ℎ′(x)=1x +1x2−a，因为ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以，∀x∈(0,+∞)，ℎ′(x)=1x +1x2−a≥0，即∀x∈(0,+∞)，a≤1x +1x2，令1x=t,H(t)=t+t2,t>0，H(t)=t+t2在(0,+∞)上单调递增，且H(t)能取到(0,+∞)上一切实数，所以a≤0，故实数a的取值范围为(−∞,0]．(2)设切点为(x0,lnx0−1x0)，则切线方程为y−(lnx0−1x0)=(1x0+1x02)(x−x0)，因为直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象的切线，所以a=1x0+1x02，ax0+b=lnx0−1x=−ln1x0−1x0，所以b=−ln1x0−2x0−1，令1x0=u(u>0)，a+b=φ(u)=−lnu+u2−u−1，则φ′(u)=−1u +2u−1=2u2−u−1u=(2u+1)(u−1)u当u∈(0,1)时，φ′(u)<0，φ(u)在(0,1)上单调递减；当u∈(1,+∞)时，φ′(u)>0，φ(u)在(1,+∞)上单调递增，所以a+b=φ(u)≥φ(1)=−1．所以a+b的最小值为−1，(3)当b=−3时，令F(x)=lnx−1x −ax+3，则F′(x)=1x+1x2−a=−ax2+x+1x2．当a≤0时，F′(x)>0，F(x)在(0,+∞)上单调递增，F(x)在(0,+∞)上至多一个零点，故a>0.令方程−ax2+x+1=0的大根为x0，则−ax02+x0+1=0．当x∈(0,x0)时，F′(x)>0，F(x)在(0,x0)上单调递增；当x∈(x0,+∞)时，F′(x)<0，F(x)在(x0,+∞)上单调递减．因为F(x)在(0,+∞)上有两个零点，所以F(x0)=lnx0−1x0−ax0+3=lnx0−2x0+2>0，构造函数G(x)=lnx−2x+2，则G′(x)=1x +2x2>0恒成立，即G(x)单调递增，又G(1)=0，所以a =1x 0+1x 02∈(0,2)．取x 1=e −x 0∈(0,x 0)，则F(e −x 0)=−x 0−e x 0−ae −x 0+3=(−x 0−e x 0+3)−ae −x 0<0，根据零点存在性定理，F(x)在(0,x 0)上至少有一个零点，又F(x)在(0,x 0)上单调递增， 所以F(x)在(0,x 0)上只有一个零点． 同理，F(x)在(x 0,+∞)上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为(0,2)．【解析】(1)由导数与单调性关系可知，∀x ∈(0,+∞)，ℎ′(x)=1x +1x 2−a ≥0，分离系数后结合函数的性质可求，(2)结合导数的几何意义及导数与单调性关系可求；(3)结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理即可求解．本题综合考查了导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性及利用导数研究函数的零点，试题具有一定的综合性．21.【答案】解：(1)B 2=[1202][1202]=[1604]；(2)∵|A|=2≠0， ∴A−1=[10012]，∴A −1B 2=[10012][1604]=[1602]．【解析】第一问直接矩阵相乘，第二问先求矩阵的逆，然后相乘． 第一问考查矩阵乘法，第二问考查矩阵的逆的求解．22.【答案】解：(1)设P(ρ,θ)为圆C 上任意一点，则圆C 的圆心坐标为C(2,π3)，半径为2，得圆C 过极点， 所以，OP =OA ⋅cos(θ−π3)， ρ=4cos(θ−π3)．所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π3)．(2)由(1)得ρ=4cos(θ−π3)=2cosθ+2√3sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2√3ρsinθ，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，得x2+y2=2x+2√3y，即x2+y2−2x−2√3y=0.(∗)设A(1+√22t1,√22t1),B(1+√22t2,√22t2)，将直线l的参数方程代入(∗)，整理得t2−√6t−1=0，t1+t2=√6,t1t2=−1所以，|PA|+|PB|=|t1−t2|=√(t1−t2)2=√(t1+t2)2−4t1t2=√6+4=√10．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的根和系数的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)由f0(x)=e x sin(x+π4)得f1(x)=f0′(x)=√22e x(2cosx)，同理，f2(x)=√22e x(2cosx−2sinx)，f3(x)=√22e x(−4sinx)；(2)由(1)得，当n=4k(k∈N)时，f4k(x)=(−4)k×√22e x(sinx+cosx)；当n=4k+1(k∈N)时，f4k+1(x)=(−4)k×√22e x(2cosx)；当n=4k+2(k∈N)时，f4k+2(x)=(−4)k×√22e x(2cosx−2sinx)；当n=4k+3(k∈N)时，f4k+3(x)=(−4)k e x(−4sinx)．所以，f4k(x)+f4k+1(x)+f4k+2(x)+f4k+3(x)=(−4)k×√22e x(5cosx−5sinx)=5(−4)k×e x cos(x+π4)，所以，S4n=f0(x)+f1(x)+⋯+f4n−1(x)=5×∑(n−1k=0−4)k×e x cos(x+π4)=[1−(−4)n]e x cos(x+π).【解析】(1)由f0(x)=e x sin(x+π4)求导得f1(x)=f0′(x)=√22e x(2cosx)，同理求出f2(x)，f3(x)；(2)由(1)对n分四类：4k，4k+1，4k+2，4k+3(k∈N)求出相应的f n(x)，找出规律，求出S4n=f0(x)+f1(x)+⋯…+f4n−1(x)．本题考查了数列与函数的综合问题，考查了求导的运算法则、分类原则，属于中档题．24.【答案】解：(1)由题意得，S n=1+12+13+⋯+1n，则S2=1+12=32，S4=1+12+13+14=2512，…(2分)(2)由T n=7n+1112得，当n=1，2时，T1=7+1112=32，T2=7×2+1112=2512，所以S2n=T n，当n=3时，T3=7×3+1112=83，S23=S8=1+12+13+14+15+16+17+18=761280>83=T3，于是猜想，当n≥3时，S2n>T n.…(4分)下面用数学归纳法证明：①当n≥3，显然成立；②假设n=k(k≥3)时，S2k>T k；那么当n=k+1时，S2k+1=S2k+12+1+12+2+⋯+12>7k+1112+(12k+1+12k+2+⋯+12k+2k−1)+(12k+2k−1+1+12k+2k−1+2+⋯+12k+1)>7k+1112+12k+2k−1×2k−1+12k+1×2k−1=7k+1112+13+14=7(k+1)+1112，这就是说，当n=k+1时，S2n>T n．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有S2n>T n．综上得，当n=1，2时，S2n=T n；当n≥3时，S2n>T n.…(10分)【解析】(1)令n=1，4代入S n=1+12+13+⋯+1n，求出S2，S4的值；(2)令n=1，2，3代入S2n与T n，并比较大小关系，进行猜想：当n≥3时，S2n>T n，再用数学归纳法证明，再证明n=k+1成立时需用上假设，注意在证明过程的放缩目标，一定与结论有关系．本题考查数列求和问题，主要考查数列与不等式的综合问题，以及用数学归纳法证明与正整数有关的命题，还有放缩法的应用，难度很大．第1页，共21页。
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知命题，2210x +>，命题p 的否定是（ ）A.x R ∀∈，2210x +≤B.x R ∃∈，2210x +>C.x R ∃∈，2210x +<D.x R ∃∈，2210x +≤2.函数()13f x x =-的定义域是（ ） A.[)2,+∞ B.()3,+∞ C.[)()2,33,+∞ D.()()2,33,+∞ 3.已知命题:12p x -<<，:11q x -<则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.幂函数()f x kx α=过点()4,2，则k α+=（ ）A.32B.3C.12D.2 5.若正实数x ，y 满足2x +y =1.则xy 的最大值为（ ） A.14B.18C.19D.116 6.若关于x 的不等式ax +b <0的解集为(2，+∞)，则bx +a <0的解集为（ ） A.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7.函数y = ）A.(],2-∞B.[]1,2C.[)2,+∞D.[]2,38.如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）A. B.C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题9.已知函数2x (21),x x Z -≤≤∈且则()f x 的值域是________________10.设m =，n =p =m ，n ，p 的大小顺序为______. 11.若()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 12.已知二次函数()21f x ax x =-+，若任意[)12,1,x x ∈+∞且12x x ≠都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.三、新添加的题型）A.lg （lg 10）=0B.lg （ln e ）=0C.若e=ln x ，则x=e 2D.ln （lg 1）=014.若a ，b ，R c ∈，0a b <<，则下列不等式正确的是（ ）A.11a b <B.2ab b >C.a c b c >D.()()2211a c b c +<+15.下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）A.当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，故0x <时，的最大值是2-.B.当1x >时，21x x +≥-21x x =-取等，解得1x =-或2， 又由1x >，所以取2x =，故1x >时，的最小值为22421+=- C.由于222299442444x x x x +=+-≥=+++， 故2294x x ++的最小值是2 D.当,0x y >，且42x y +=时，由于24x y =+≥=，12≤，又112412x y +≥=≥=，故当,0x y >，且42x y +=时，11x y +的最小值为4 16.已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，下列说法正确的是（ ）A.函数()sgn y x =是奇函数B.对任意的x ∈R ，()sgn 1x e =C.函数()sgn x y e x =⋅-的值域为(),1-∞D.对任意的x ∈R ，()sgn x x x =⋅四、解答题17.已知集合}|13A x x =-<<，集合(){}2|25250B x x k x k =+--<，k ∈R . （1）若1k =时，求B R ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.18.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，4=AD 米.（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.参考答案1.D【解析】1.利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．命题:p x R ∀∈，2210x +>的否定是：x R ∃∈，2210x +≤故选：D2.C【解析】2.先根据函数的解析式建立不等式组，再解不等式组求定义域即可.解：因为函数的解析式：()13f x x =- 所以2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x x ≥⎧⎨≠⎩故函数的定义域为：[)()2,33,+∞ 故选：C3.B【解析】3.解绝对值不等式可得q ：02x <<，然后再利用充分条件、必要条件的定义即可求解. p ：:12p x -<<，q ：11111x x -<⇔-<-<⇔02x <<，所以p q ⇒/，且q p ⇒， 所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B.4.A【解析】4.根据幂函数可得1k =，代入()4,2得12α=，从而得解. 幂函数()f x kx α=过点()4,2，所以()1,442k f α===，解得12α=， 所以32k α+=. 故选：A.5.B【解析】5. 根据基本不等式求最值.1218x y xy +≥≥≤ 当且仅当122x y ==时取等号， 即xy 的最大值为18 故选：B6.C【解析】6.根据不等式解集得对应方程的根，再解不等式得结果.因为关于x 的不等式ax +b <0的解集为(2，+∞)，所以2为方程0ax b +=的根，且0a <即20,2a b b a +==- 因此10202102bx a ax a x x +<⇒-+<⇒-<⇒<故选：C7.D【解析】7.根据复合函数单调性“同增异减”的判断原则，结合二次根式有意义的条件，即可求得f(x)的单调减区间．令2430x x -+-≥，即()()130x x --≤，解得函数定义域为[]1,32t y =单调递增，t =[)1,2上单调递增，在[]2,3上单调递减∴y =[]2,3故选：D8.A【解析】8.先求出12x ≤≤时，AEF 的面积y 的解析式，再根据二次函数的图象分析判断得解. 由题得12x ≤≤时，2(1)22,42,,2BE x x CE x CF x DF x =-=-=-==-， 所以AEF 的面积y 211142(22)(42)2(2)34222x x x x x x =-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅-=-+， 它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.故选：A9.{}0,1,3-【解析】9.将定义域内的x 代入函数解析式，由此求得函数值域.依题意，函数定义域为{}2,1,0,1--，而()()()()200,11,13f f f f -==-=-=，所以函数的值域为{}0,1,3-.故填：{}0,1,3-.10.m n p >>【解析】10.不妨设m n >，由此得出m n >成立，同理得出n p >，即可得出结果.由题可得0m =>，0n =>，0p =>，不妨设m n >>，所以1113->-1>+，所以4231>+，所以11>121120>成立，所以m n >，同理可得n p >，所以m n p >>.故答案为：m n p >>11.3【解析】11.由()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，列方程组，求出42()133f x x x =++，由此能求出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 解：()f x 对于任意实数x 都有12()21f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ∴12()21122()1f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫-=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得42()133f x x x=++， ∴141213123232f ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭⨯． 故答案为：3．12.[)1,+∞【解析】12.不妨令12x x >，根据条件可得()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，可知该函数()g x 在[)1,+∞上单调增，分0a =和0a ≠，结合一次和二次函数求参即可. 不妨令12x x >，∵()()12121f x f x x x ->-∴()()1212f x f x x x ->-，即()()1122f x x f x x ->-令()()221g x f x x ax x =-=-+ ∴()g x 在[)1,+∞上单调增①0a =，()21g x x =-+，显然不成立②0a ≠，0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥， 故答案为：[)1,+∞.13.AB【解析】13.利用对数的概念逐个分析判断即可解：lg(lg 10)=lg 1=0，lg(ln e )=lg 1=0，所以A ，B 均正确；C 中若e =ln x ，则x=e e ，故C 错误；D 中lg 1=0，而ln 0没有意义，故D 错误.故选：AB14.BD【解析】14.利用不等式的性质即可判断.对于A ，由0a b <<，则110a b>>，故A 不正确； 对于B ，由0a b <<，则2ab b >，故B 正确；对于C ，当0c 时，a c b c =，当0c ≠时，a c b c <，故C 不正确；对于D ，由210c +>，0a b <<，所以()()2211a c b c +<+，故D 正确.故选：BD15.BCD【解析】15.利用基本不等式使用条件，取等号的条件和利用基本不等式求最值的方法，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据基本不等式，可判定是正确的；对于B 中，当1x >时，211111x x -++≥=-，当且仅当211x x -=-取等，即1x =时，最小值为1，所以B 不正确；对于C 中，由于222299442444x x x x +=+-≥=+++， 当且仅当22944x x =++，即243x +=时，此时不成立，所以C 项不正确； 对于D 中，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是x=4y ，第二次是x=y ，所以不正确.故选BCD.16.ABD【解析】16.作出()sgn y x =的图象可判断A ，由0x e >可判断B ，分别讨论0x >，0x =和0x <，利用函数的图象和性质可判断CD .A. 由函数的图象可知函数sgn()y x =是奇函数，所以该选项正确；B. 因为0x e >，所以对任意的x ∈R ，sgn()1x e =，所以该选项正确；C. 当0x >时，sgn()1x -=-，因为此时e 1x >，所以sgn()x y e x =⋅-的值域为(,1)-∞-；当0x =时，sgn()0x -=，因为此时=1x e ，所以sgn()x y e x =⋅-的值域为{0}；当0x <时，sgn()1x -=，因为此时01x e <<，所以sgn()x y e x ⋅-＝的值域为(0,1)；所以函数sgn()x y e x ⋅-＝的值域为(,1)[0,1)-∞-⋃，所以该选项错误.D. 当0x >时，sgn()=1=||x x x x x ⋅⋅=；当0x =时，sgn()=010||x x x ⋅⋅==；当0x <时，sgn()=(1)||x x x x x ⋅⋅-=-=，所以对任意的,sgn()x R x x x ∈⋅＝.所以该选项正确. 故选：ABD17.（1）[)5,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[)3,+∞.【解析】17.（1）若1k =，化简集合B ，利用补集和并集的定义进行计算可得答案；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集，分52k <-，52k =-和52k >-分别求出集合B ，列出不等式可得实数k 的取值范围． （1）若1k =，{}25|2350|12B x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭则R B =[)5,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，A B =5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集， (){}()(){}2|25250|250B x x k x k x x k x =+--<=-+< 当52k <-时，5,2B k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不合题意； 当52k =-时，B φ=，不合题意； 当52k >-时，5,2B k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，只需3k ≥； 综上可得：实数k 的取值范围是[)3,+∞．18.(1) 8(0,)(6,)3+∞ (2) DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米.【解析】18.（1）设DN x =，则4AN x =+，利用平行线分线段成比例可表示出AM ，则()234AMPNx S AN AM x +=⋅=，利用()23450x x +>，解不等式求得结果；（2）由（1）知()234AMPNx S x +=，利用基本不等式求得最小值，同时确定等号成立条件求得DN . （1）设DN 的长为()0x x >米，则4AN x =+米 DN DC AN AM = ()34x AM x +∴= ()234AMPN x S AN AM x+∴=⋅= 由矩形AMPN 的面积大于50得：()23450x x+> 又0x >，得：2326480x x -+>，解得：803x <<或6x > 即DN 长的取值范围为：()80,6,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知：矩形花坛AMPN 的面积为：223(4)32448483242448x x x y x x x x +++===++≥=当且仅当483xx=，即4x=时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米。
江苏省南通市2021届高三上学期新高考期中备考数学试卷Ⅰ含答案
（新高考）2020-2021学年上学期高三期中备考卷数学1注意事项：1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数31i 2iz a -=-为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】由3221i 1i (1i)(2i)2i 2i 2(2)i2i 2i (2i)(2i)44a a a a a z a a a a a a -+++++--++=====---+++为纯虚数， 可得2020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得2a =． 2．已知集合{|(2)(2)5}A x x x =+-<,2{|log ()1,}B x x a a =->∈N ，若AB =∅,则a 的可能取值组成的集合为（ )A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．(,1)-∞【答案】A【解析】{|(2)(2)5}{|33}A x x x x x =+-<=-<<，2{|log ()1,}{|2,}B x x a a x x a a =->∈=>+∈N N ，因为A B =∅，所以0a =．3．为了评估某家快递公司的服务质量,某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分,评分均在区间[50,100]上,分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90),[90,100],其频率分布直方图如图所示．规定评分在60分以下表示对该公司的服务质量不满意,则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】A【解析】由频率分布直方图可知,评分在区间[50,60)上的频率为1(0.0070.020.030.04)100.03-+++⨯=，所以评分在区间[50,60)上的客户有0.0350015⨯=（人）， 即对该公司的服务质量不满意的客户有15人．4．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(1)0f -=,若3(log 8)a f =-，2(log 4)b f =-，23(2)c f =，则a ,b ，c 的大小关系是（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减且(1)0f -=， 所以(1)0f =， 又2321>，所以23(2)0c f =<，而321log8log 42->->-=-，所以0b a >>，所以c a b <<．5．已知四边形ABCD 中，E ,F 分别为BC ，CD 的中点，2AB DC =,0AD AB ⋅=，若||2||2AB AD ==,则AF DE ⋅=( ) A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】A【解析】依题意，可知四边形ABCD 为直角梯形，AB DC ∥，AB AD ⊥， 且1113()2224DE DA AB DC AD AB =++=-+，14AF AD AB =+，所以22113131()()4242164AF DE AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-+=-+=．6．已知在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别为1A D ,AC 上的点，且满足13A D MD =,2AN NC =,则异面直线MN 与11C D 所成角的余弦值为（ ）ABCD．4【答案】A【解析】取线段AD 上一点E ，使2AE ED =，连接ME ，NE ,如图所示， 因为13A D MD =,2AN NC =，所以113MD CN DE A DAC AD ===,所以NE CD ∥,1NE AA ∥,又11CD C D ∥,所以易知MNE ∠为异面直线MN 与11C D 所成的角．设该正方体的棱长为3a ,则223EN CD a ==，113ME AA a ==，所以在MNE Rt △中，MN ===，所以225cos 55ENa MNE MNa∠===．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线分别为1l ，2l ，点A 是x 轴上与坐标原点O 不重合的一点，以OA 为直径的圆交直线1l 于点O ,B ，交直线2l 于点O ，C ，若2||3|BC OA =，则该双曲线的离心率是（ ）A ．333B ．2C ．33或2 D 3【答案】C【解析】由题意,不妨设1:b l y x a=,2:bly x a=-， 设BOA θ∠=，则tan b aθ=，设||4(0)OA m m =>，由2||3|BC OA ，得||23BC m =，由对称性知,BC OA ⊥,且线段BC 被OA 平分． 如图，设BC 与OA 交于点D ，则||3BD m =，连接AB ，由于OA 为直径，所以OB AB ⊥，则||||sin 4sin AB OA m θθ==，||||cos 4cos OB OA m θθ==, 由||||||||OA BD OA AB ⋅=⋅，得224316sin cos m m θθ=，3sin 2θ=, 因为π02θ<<，所以π23θ=或2π23θ=，即π6θ=或π23θ=．又tan b aθ=，所以3b a=3b a =当3b a =223a b =，则22233a c a =-，离心率23e =当3b a=时，223b a =，则2223c a a -=,离心率2e =．8．若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(1,)e B ．1(,1)eC ．1(,)e+∞D ．(,)e +∞【答案】C【解析】由题意知，2()x f x m e -'=-+，当0m ≤时,()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增，没有两个不同的零点; 当0m >时，2()0x f x m e-'=-+=，得2ln x m =+,2ln x m >+，()0f x '>，函数()f x 在(2ln ,)m ++∞上单调递增; 2ln x m <+,()0f x '<，函数()f x 在(,2ln )m -∞+上单调递减，故()f x 在2ln x m =+处取得最小值， 所以ln (2ln )(2ln )0mf m m m e+=-++<，得1m e>, 所以m 的取值范围为1(,)e+∞．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知241(3)x x+的展开式中各项系数之和为A ，第二项的二项式系数为B ，则（ ）A ．256A =B ．260A B +=C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含2x 项的系数为54【答案】ABD【解析】令1x =,得241(3)xx+的展开式中各项系数之和为44256=，所以256A =，选项A 正确；241(3)x x+的展开式中第二项的二项式系数为14C 4=，所以4B =，260A B +=，选项B 正确;241(3)x x +的展开式的通项公式为244831441C (3)()3C r r r r r r r T x xx---+==, 令830r -=,则83r =,所以展开式中不存在常数项,选项C 错误；令832r -=，则2r =,所以展开式中含2x 项的系数为42243C 54-=，选项D 正确．10．已知函数π()sin()(03)4f x x ωω=+<≤的图象的一条对称轴为直线π8x =，()f x '为函数()f x 的导函数，函数()()()g x f x f x '=+，则下列说法正确的是（ ）A ．直线π8x =是()g x 图象的一条对称轴B ．()g x 的最小正周期为πC ．π(,0)8是()g x 图象的一个对称中心D ．()g x 【答案】BD【解析】因为π()sin()4f x x ω=+的图象的一条对称轴为直线π8x =，所以ππππ842k ω+=+，k ∈Z ，所以82k ω=+，k ∈Z ,又03ω<≤，所以2ω=,所以π()sin(2)4f x x =+，所以π()2cos(2)4f x x '=+,所以ππ()sin(2)2cos(2)224422g x x x x x =+++=-1)(tan )3x ϕϕ=+=,ππ4k ϕ≠+，且3ππ4k ϕ≠+，所以()g x π,故A 、C 错误,B 、D 正确．11．如图，直接三棱柱111ABC A B C -，ABC △为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ,F 分别是AC ,11AC 的中点，D ,M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值13C ．直线11B C 与BD 所成角为π2D ．若D 为1AA 的中点,则四棱锥1D BB FE -的外接球表面积为5π【答案】BCD【解析】A 项,当M ，B 重合时,FM （即BF )与BD 是相交直线，故该说法错误；B 项,由已知可得111B F AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11CAAC ，所以1B F ⊥平面11CAAC ，在矩形1AEFA 中，DEF △的面积11121122S EF A F =⨯⨯=⨯⨯=，又111112B F AC==，所以三棱锥D MEF -的体积111111333M DEFVS B F -=⨯=⨯⨯=， 所以该说法正确；C 项，由1AA ⊥平面111A B C ,得111AA B C ⊥,又1111B CA B ⊥，所以11B C ⊥平面11A B BA ,所以11B C BD ⊥,所以该说法正确；D 项，由题意可得四边形1BB FE 为矩形，连接BF ，则矩形1BB FE 外接圆的圆心为BF 的中点1O ，且112O F O B ==， 过1O 作1O N EF ⊥与点N ，连接DN ，1O D ，则112O N =,1DN =，1O N DN ⊥，故12O D =，所以1O 就是四棱锥1D BB FE -的外接球的球心，所以外接球半径R =, 故外接球的表面积24π5πS R==，故该说法正确．12．若存在两个不相等的实数1x ，2x ,使1x ，2x ，122xx +均在函数()f x 的定义域内，且满足1212()()()22x xf x f x f ++=,则称函数()f x 具有性质T，下列函数具有性质T 的是（ ） A ．()2xf x =B ．2()|2|f x xx =-C ．()lg f x x =D ．()sin f x x x =+【答案】BD【解析】对于A ，因为函数()f x 的定义域为R ，()20xf x =>,所以1212()()2222x x f x f x ++=≥121222()2x x x x f ++==，由于12xx ≠，所以1212()()()22f x f x x xf ++>恒成立,故A 不具有性质T ；对于B ，函数()f x 的定义域为R ，取11x =21x =，则1212x x +=， 所以1212()()()12x xf x f x f +===,所以1212()()()22x x f x f x f ++=成立,故B 具有性质T；对于C ，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当10x >，20x >时，122x x +≥由于12x x ≠，所以122x x +>()lg f x x =在(0,)+∞上单调递增， 所以1212()()()22f x f x x xf ++<恒成立，故C 不具有性质T ；对于D ，函数()f x 的定义域为R ，易知()f x 为奇函数，取210x x =-≠,则1202x x +=，所以21()()0f x f x +=，12()(0)02x x f f +==，所以1212()()()22x x f x f x f ++=成立,故D 具有性质T ．第Ⅱ卷三、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现,故又称勾股定理为商高定理．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从6，7，8，9,10这5个正整数中随机抽取3个数,则恰好构成勾股数的概率为 ． 【答案】110【解析】从6，7,8,9，10这5个正整数中随机抽取3个数，可能的情况有(6,7,8)，(6,7,9)，(6,7,10)，(6,8,9)，(6,8,10)，(6,9,10),(7,8,9)，(7,8,10)，(7,9,10),(8,9,10)共10种,其中恰好构成勾股数的情况有1种，为(6,8,10)， 所以所求概率为110．14．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，且离心率23e =，点P 是椭圆上位于第二象限内的一点,若12PF F △是腰长为4的等腰三角形,则12PF F △的面积为 ．【解析】由题意知24c =，则2c =，又23c e a==,∴3a =，由椭圆的定义得12||||26PF PF a +==，又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P在第二象限,∴2||4PF =,1||2PF =，过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则||1PD =，2||DF =∴12PF F △的面积为122⨯=15．已知正实数a ,b 满足2(2)4ab a b +=，则a b +的最小值为 ． 【答案】2【解析】由2(2)4ab a b +=，得24(2)a a b b +=，故22224()(2)4a b a a b b b b +=++=+≥=（当且仅当b =2a =, 所以a b +的最小值为2．16．已知数列{}na 的前n 项和为nS ,且12a=，11122n n a a +=+，则n S = ;若12nn Sna t ≤+恒成立，则实数t 的取值范围为．(本题第一空2分，第二空3分） 【答案】12(1)2nn +-，[4,)+∞ 【解析】由12a =,11122n n a a +=+，得111(1)2n n a a +-=-，111a -=，所以数列{1}n a -是首项为1,公比为12的等比数列，所以111111()22n n n a ---=⨯=,1112nn a -=+， 12211111112(1)2(1)222122nn n n n S a a a n n n --=+++=+++++=+=+--． 又12n n n na n -=+，所以11112(1)()2(1)2222n n n n nn n t S na n n -+≥-=+--+=-恒成立， 即14(1)2n n t +≥-，n *∈N 恒成立．令12n n n b +=，则111210222n nn n n n n nb b +++++-=-=-<，所以{}n b 是递减数列， 所以1012n n +<≤，10112n n +≤-<,即4t ≥， 实数t 的取值范围为[4,)+∞．四、解答题：本大题共6个大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分)在①1cos 3B =，②2b =，ABC △的周长为8，③3c =，ABC △的外接圆半径为2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中,并加以解答．在ABC △中,角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ,2cos b a C =， ？，求sin A ．注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分． 【答案】见解析． 【解析】若选条件①，由正弦定理2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =， 又()B A C π=-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=,sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0πA <<，0πC <<，所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =， 则22cos cos(π)cos(π2)cos2(12sin )2sin 1B A C A A A A =--=-=-=--=-，又1cos 3B =，所以212sin13A -=,22sin 3A =，sin 3A =．若选条件②,由正弦定理,2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =, 又π()B A C =-+,所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=,sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0πA <<，0πC <<,所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =，所以a c =,因为ABC △的周长为8，2b =,所以3a c ==，由余弦定理可得2223231cos 2233A +-==⨯⨯，所以sin 3A =．若选条件③，由正弦定理，2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =, 又π()B A C =-+,所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=， sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0πA <<，0πC <<，所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =，所以a c =， 又3c =，所以3a =，因为ABC △的外接圆半径为2，所以34sin A =，所以3sin 4A =． 18．（12分）已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且122(2,)nn S S n n *-=+≥∈N ，数列{}nb 中，1122ab ==．（1）求{}n a 的通项公式； （2)若2211nn bb -=+，212n n n b b a +=+，求数列{}n b 的前10项和．【答案】（1）2n na =；(2）139．【解析】(1）由122(2)nn SS n -=+≥①，可得1222(3)n n S S n --=+≥②，①-②1122()nn n n S S S S ----=-,所以12(3)n n a a n -=≥，又21122aa a +=+，12a =，所以24a =，所以212a a =，故{}na 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n na =．（2）由题意得2211nn b b --=，2122n n n b b +-=,所以212112n n n b b +--=+,则1212312n n n bb ----=+，2232512n n n b b ----=+，…，25312b b -=+，13112b b -=+，所以11212112(12)1(222)123(2)12n n n n bb n n n n -----=-++++=-+=+-≥-，所以2122(2)n n bn n -=+-≥，所以221(2)n n b n n =+-≥，所以1221223(2)n nn bb n n +-+=+-≥，易得12b b +也适合上式,所以{}nb 的前10项和为23612910(222)(117)139b bb b ++++=++++-+++=．19．（12分）在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成A ，B 两个评分小组,给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：(1)分别计算这两个小组评分的平均数和方差,并根据结果判断哪个小组评分较集中；（2）在评分较集中的小组中,去掉一个最高分和一个最低分,从剩余的评分中任取2名观众的评分，记X 为这2个人评分之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）9.1Ax =，20.266A s =；9.0B x =，20.056B s =;B 组的评分更集中一些;（2）分布列见解析；67280EX =． 【解析】（1)1(8.39.39.69.48.59.68.88.49.49.7)9.110Ax=+++++++++=； 1(8.69.19.28.89.29.19.29.38.88.7)9.010B x =+++++++++=． 22221[(8.39.1)(9.39.1)(9.79.1)]0.26610A s =-+-++-=; 22221[(8.69.0)(9.19.0)(8.79.0)]0.05610B s =-+-++-=． 根据方差的概念及实际含义可知,B 组的评分的几种程度更高一些． （2）从B 组评分中去掉一个最高分9.3，去掉一个最低分8.6， 易知X 的所有可能取值为0，0.1，0.3，0.4,0.5． 从8人的评分中任取2人的评分，共有28C28=种等可能的结果，把B 组成绩按照从大到小排成一列为8.7，8.8，8.8，9.1，9.1,9.2，9.2，9.2，则222223C C C 5(0)2828P X ++===，12111223C C C C 82(0.1)28287P X +====, 1222C C 41(0.3)28287P X ====，11111223C C C C 82(0.4)28287P X +====，1113C C 3(0.5)2828P X ===，所以X 的分布列是X的数学期望521236700.10.30.40.52877728280EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分)如图,在多面体ABCDP 中，ABC △是边长为4的等边三角形，PA AC =，22BD CD ==，42PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：DE ∥平面PAC ；（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角?若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1）证明见解析；（2)当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角．【解析】（1）因为22BD CD ==ABC △是边长为4的等边三角形， 所以22222(22)(22)16BDCD BC +=+==，所以BDC △是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒．又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥，因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC 平面ABC BC =，所以DE ⊥平面ABC ．因为PC PB ==4PA AC AB ===， 所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==，所以PA AC ⊥,PA AB ⊥，又ACAB A =，所以PA ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥,因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，所以DE ∥平面PAC ．（2）存在满足题意的T ,连接AE ，以E 为原点，EC ,EA ,ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设存在(,0,0)T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤， 设平面BAD 的法向量为1111(,,)x y z =n，则由(2,0,2)BD =，(0,AD =-，得111100x z z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z=，得11x =-,13y =，故1(1,3=-n ；设平面TAD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则由(,0,2)DT λ=-，(,AT λ=-，由2122200x z x λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z=，得22x λ=,23y=故22(,3λ=n ，由1221cos ,0-++〈〉==n n ,得12103λ-+=，故32λ=， 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时,二面角T DA B --为直二面角． 21．(12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b+=和椭圆22222:1x y C c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ,2C 的离心率分别为1e ，2e ,且满足12:2:3e e =，A ,B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C的另一个交点为P ,且18||5PB =．（1）求椭圆1C 的方程;（2)与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ,N ，求||MN 的最大值．【答案】（1）2193x y 2+=;（232【解析】(1）由题意知1ce a =，222222c b c a e --==因为12:3e e =22232c c a a c-=⋅,222223a c a c -=， 将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即2222(2)(23)0a c a c --=，所以2232a c =， 又222ab c =+，所以3a b =,2c b =，所以(2,0)A b ,(0,)B b -，所以直线AB 的方程为2y x b =-, 与椭圆22122:13x y C b b +=联立并消去y ，得2222)3x x b b +-=，整理得10x=，2625x =，所以62(,)55b bP , 因为18||5PB =,226218(0)()555b b b -++=， 得3b =3a =，椭圆1C 的方程为2193x y 2+=．（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得||2MN =．当直线MN 的斜率存在时，设直线:(0)MN y kx m k =+≠,与椭圆222:163x y C +=联立并消去y , 得222(12)4260kx kmx m +++-=,因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以2222164(12)(26)0Δk m k m =-+-=，整理得22630km +-=(*）， 将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得222(13)6390k x kmx m +++-=,由(*)式可得2222222364(13)(39)12(93)36Δk mk m k m k =-+-=+-=．设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ,则2613M N kmx x k -+=+,223913M N m x x k -=+，所以2|||13M N MN x x k =-==+ 设213k t +=，则1t >，||2MN ==，2<所以当4t =，即1k =±时，||MN 最大,．22．（12分）已知函数()ln xf x x x aea =-+，其中a ∈R ．（1）若()f x 在定义域内是单调函数，求a 的取值范围;（2）当1a =时，求证：对任意(0,)x ∈+∞，恒有()cos f x x <成立． 【答案】（1)1[,)e+∞；(2）证明见解析．【解析】（1）因为()ln xf x x x ae a =-+,所以()ln 1x f x x ae '=+-,要使()f x 在定义域内是单调函数，需满足()0f x '≥或()0f x '≤．①若()0f x '≥,则ln 1xx a e +≤，令ln 1()(0)x x G x x e +=>，得1ln 1()x x x G x e--'=，易知(1)0G '=，且函数1ln 1y x x=--在(0,)+∞上单调递减，当0x >时，1xe>,所以在区间(0,1)上，()0G x '>；在(1,)+∞上()0G x '<,所以ln 1()xx G x e +=在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减，此时ln 1()x x G x e+=无最小值，不满足题意;②若()0f x '≤，则ln 1x x a e+≥，由①知，()G x 的最大值为1(1)G e=，所以当1a e≥时，()f x 在定义域上单调递减,满足题意．综上，a 的取值范围是1[,)e+∞．(2）当1a =时，()ln 1xf x x x e =-+，要证()cos f x x <，即证ln cos 1x x x e x <+-，当01x <≤时，ln 0x x ≤，而cos 11cos11cos10xe x +->+-=>，所以ln cos 1xx x e x <+-成立，即()cos f x x <成立．当1x >时，令()cos ln 1(1)xh x ex x x x =+-->，则()sin ln 1x h x e x x '=---，设()sin ln 1(1)xg x ex x x =--->,则1()cos x g x e x x'=--， ∵1x >，所以1()cos 110xg x ex e x'=-->-->，所以当1x >时，()g x 单调递增， 所以()sin 10g x e x >-->,即()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()cos110h x e >+->,即()cos f x x <成立． 综上,对任意(0,)x ∈+∞，恒有()cos f x x <成立．。
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16．已知函数
f(x)＝
| ln x |, 2 − ln x,
0
x
x
e,
e,
若
a，b，c
互不相等，且
f(a)＝f(b)＝f(c)，则
a＋b＋c
的取值范围是
________．
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d(a1 ∈Z，d∈Z)，前 n 项的和为 Sn ，且 S7＝49,24<S5<26.
6
，且
a>b，则双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1的离心率 e 为(
)
15
5
13
A. B. C.
D.
33 3
3
5．设函数
f
(x)
=
sin
1 2
x
+
−
3
cos
1 2
x
+
|
|
2
的图象关于原点对称，则
θ
的值为(
)
A． −
B.
C． −
D.
66
33
6．过抛物线 y2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦 AB，CD，则四边形 ACBD 面积的最小值为( )
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．若集合 A＝{0,1,2}，B＝{x|x2－3x≤0}，则 A∩B 为( )
A．{1,2}
B．{0,1,2}
C．{0,1,2,3}
D．{x|0≤x≤3}
2．已知复数 z 满足(2－i)z＝1＋2i(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为( )
都相切，则实数 b 的最大值为( )
A.
2
e
2 3
B.
3
e
2 3
C.
2
e
3 2
D.
3
e
3 2
3
2
3
2
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错 的得 0 分) 9．已知 0<b<a<1，c>1，则下列各式中不成立的是( ) A．ab<ba B．cb>ca C．logac>logbc D．blogca>alogcb 10．下列四个命题中正确的是( ) A．函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与函数 y＝logaax(a>0 且 a≠1)的定义域相同
A．1 B．－1 C．0 D．i
3．已知定义域为
R
的奇函数
f(x)，当
x>0
log2 (x −
(7 − 3),
2x), x
0 3, 2
x
3, 2 则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…
＋f(2020)等于( )
A．log25 B． − log2 5
C． −2
D．0
4．两正数 a，b 的等差中项为 5 ，等比中项为 2
长．
3
19.(12 分)如图，四棱锥 S－ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，P 为侧棱 SD 上
的点． (1)求证：AC⊥SD； (2)若 SD⊥平面 PAC，求二面角 P－AC－S 的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE∥平面 PAC.若存在，求 SC∶SE 的值；若不存在， 试说明理由．
a1 a2，a3 a4，a5，a6，a7 a8，a9，a10，a11，a12，a13，a14，a15 …… 记数阵中的第 1 列 a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，Tn＝5n2＋3n，则 bn＝________， a1 025＝________.(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
江苏省南通市 2020-2021 学年高三第一学期期中考试考前热身练
数学试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4 页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间 120 分钟，满分 150 分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列
an
1 an+1
的前
n
项的和为
Tn，求
Tn.
18．(12 分)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcos A＋ 3 a＝c. 3
(1)求 cos B；
(2)如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形 ABCD 中，D＝2B，且 AD＝1，CD＝3，BC＝ 6 ，求 AB 的
13．若 A，B 互为对立事件，其概率分别为 P(A)＝ 1 ，P(B)＝ 4 ，且 x>0，y>0，则 x＋y 的最小值为________．
y
x
14．已知正方形 ABCD 的边长为 2，P 为平面 ABCD 内一点，则 (PA + PB) (PC + PD) 的最小值为________．
15．将数列{an}中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的 2 倍，且从第二行起每一行均构 成公比为 2 的等比数列．
12．把函数
y
=
sin
x
+
3
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
1 2
(纵坐标不变)，再将图象向右平移 个 4
单位长度得到函数 g(x)的图象，则下列说法不正确的是( )
A．g(x)在
−
6
,
6
上单调递增
B．g(x)的图象关于
6
,
0
对称
C．g(x)的最小正周期为 4π
2
D．g(x)的图象关于 y 轴对称 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
A．8 B．16 C．32 D．64
1
7．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，当 n≥2 时，an＋2Sn－1＝n，则 S2 019 的值为( )
A．1 008 B．1 009 C．1 010 D．1 011
8．设点 P 为函数 f(x)＝ 1 x2＋2ax 与 g(x)＝3a2ln x＋b(a>0)的图象的公共点，以 P 为切点可作直线与两曲线 2
B．函数 y＝ x 与函数 y＝3x 的值域相同
C．函数 y＝|x＋1|与函数 y＝2x＋1 在区间[0，＋∞)上都是增函数
D． y = lg 1+ x 是奇函数 1− x
11．设 l，m，n 表示不同的直线，α，β，γ 表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是( ) A．若 m∥l，且 m⊥α，则 l⊥α B．若 m∥l，且 m∥α，则 l∥α C．若 α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则 l∥m∥n D．若 α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且 n∥β，则 l∥m