复变函数论第四版第一章练习

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复变函数论第1章第2节

−
1 3
1 3
( 4) z − 1 + z + 1 < 4 z −1 + z +1 = 4
表示到1, 的距离之表示到 –1的距离之和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 和为定值的点的轨迹是椭圆, 是椭圆
z − 1 + z + 1 < 4表示该椭圆内部 ,
有界的单连通域. 有界的单连通域作业：作业： P42 6 (2)(3)(4)(5)(8)
(1) D 为开集；为开集；
( 2) D 中任意两点可用全在 D 中的折线连接 .
定义1.6 定义1.6 区域 D 连同它的边界 C 一起构成闭区域，闭区域，
记作 D = D + C .
练习判断下列点集是否有界?是否为区域？判断下列点集是否有界是否为区域？是否为区域
y
r2
(1) 圆环域 r1 < z − z0 < r2 ; 圆环域: (2) 上半平面 Im z > 0; 上半平面: (3) 角形域 φ1 < arg z < φ 2 ; 角形域: (4) 带形域 a < Im z < b. 带形域: 答案 (1)有界有界; 有界 (2) (3) (4)无界无界. 无界
称点集 0 <| z − z0 |< ρ 为点 z0 的去心 ρ
邻域，邻域，记作 N ρ ( z0 ) − { z0 }.
若平面上一点 z0 的任意邻定义1.2 对于点集 E ，定义1.2
的无穷多个点，域都有 E 的无穷多个点，则称 z0 为 E的聚点或
极限点 .
若 z0 属于 E，但非 E 的聚点，则称 z0 为 E 的的聚点，

复变第一章作业答案

Ａ.1 复数与复变函数（第一章）1.1 复数1．选择题 (1) Re()iz =( B )（A ）Re()iz - （B ）Im()z - （C ）Im()z （D ）Im()iz (2) 下列对任意复数z 均成立的等式为（ A ）（A ）22zz= （B ）()22zz=（C ）()22arg arg z z = （D ）()22Re Re z z =(3) 复数2z =所属区域为（ B ）（A ）01z << （B ）0arg 2z π≤≤ （C ）12z << （D ）11z i>- (4) 设复数z 满足：arg(2)3z π+=，且5a r g (2)6z π-=，则z =（A ）（A ）1- （B ）i（C ）12- (D ）12i +2. 将下例函数化为三角表达式和指数表达式 (1) i +1 解因 2|1|=+i ，ππk i Arg 24)1(+=+，0,1,2,k =±±所以，1cos 2sin 244i k i k ππππ⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭24i k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(2) i解 cos 2sin 222i k i k ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22k e ππ+=，0,1,2,k =±±(3) 21i -解 241cos 2sin 2244k i k i k ππππππ--⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 0,1,2,k =±±3. 证明：当1z<时，()2Im 12z z -+<.证因()()222Im 1Im 12z z x iy x y i xy -+=-++-+=22y xy y xy +≤+,又因1y z ≤=<,且22221x y x y z ⋅≤+=<,所以,()2Im 12z z -+<4. 填空题(1) 设8214z i i i =-+,则复数z x iy =+的形式为 13i -复数z 的模为辐角主值为 arctan3-(2) 设121i z i-=+，则其实部为12-虚部为32-共轭复数为1322i-+(3) 设复数5z i =-，则其三角形式5cos sin 22i i ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭指数形式 25i eπ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4) 当z 满足12z i =+条件时，21zz +是实数． (5) 设811i z i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则663322z z +-的值为___1__5．选择题(1) 设12z i =+，则3Im z =（ A ）（A ）-2 （B ）1 （C ）8 （D ）14(2) 设)2z i =-，则100501z z ++的值为（ A ）（A ）i - （B ）i （C ）1 （D ）-16．计算下例各题的值(1) 8(1)i -+解8833(1)cos 2sin 244i k i k ππππ⎤⎫⎛⎫⎛⎫-+=+++⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎦()()()42cos 616sin 616k i k ππππ=+++16=(2) 13(1)i + 解132244(1)sin )33k k i i ππππ+++=+,0,1,2k =解()()16cos 2sin 2k i k ππππ=+++⎡⎤⎣⎦=22cos sin 66k k i ππππ++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 0,1,,6k =(4) 10(1)-解10(1)-102cos 2sin 233k i k ππππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1010102cos sin 33i ππ-⎛--⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()1121--+1.2 复变函数7. 选择题 (1) 12(1)-=（Ｄ）（A ）无定义（B ）－１（C ）cos()2k ππ+（D ）sin()2i k ππ+(2) 方程()2Re 1z =所代表的曲线为（Ｃ）（A ）圆周（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线 (3) 下例正确的是（Ｄ）（A ）()Ln z 在1z =-处无定义（B ）(1)0Ln -= （C ）(1)Ln -的虚部等于π （D ）(1)Ln -的实部等于０(4) 若z e 为纯虚数，则z 有（Ｃ）（A ）Re()0z = （B ）Im()z k π=（C ）Im()2z k ππ=+ （D ）Im()2z π=(5) 下例中为单值函数的为（ A ）（A ）rg a z （B ）rg A z （C（D ）求z 的值 (1) 23iz e π-= 8.解 2223333cos sin 33i ii i z e e ee i ππππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2312e ⎛=- ⎝⎭(2) 211z e -=解因211z e -=，有211z Ln -=，所以，()11ln 112z iArg =++＝()()1122i k π+ 0,1,2,k =±±(3)(1)z Ln =解(1)z Ln =()ln 11iArg =+ln 223i k ππ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭0,1,2,k =±±(4) ln(1)z i =-解 ln(1)z i =-()1ln 1arg 1ln 224i i i i π⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭9. 选择题 (1) 设函数1z e i =-则Im z =（ C ）（A ）4π- （B ）4π （C ）24k ππ- （D)24k ππ+(2) 设0y >，则sin()iy 的模为（Ｄ）（A ）2y ye e i -- （B ）2y ye e i -- （C ）2y ye e -- （D ）2y ye e --(3) 设{}01D z z =<<，则D 为（Ｂ）（A ）无界区域（B ）复连通域（C ）单连通域（D ）闭区域(4) 下例正确的是（Ｄ）（A ）z e 为单调函数．（B ）z e 为有界函数．（C ）z e 为多值函数．（D ）z e 为周期函数．10. 判断正误(1) 因为12(1)i i +<+，所以12(1)i i +<+. ( × )(2)sin ,cos z z为有界函数． ( × )(3)2()2Ln z Lnz=．( × )(4) {}Re()D z z z=≤所表示的为整个复平面.( √ )11. 计算下例各值(1) (1)i i + 解()1ln22124(1)i i k iLn i ii eeππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+==12ln 242k i eππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,0,1,2,k =±±(2)解))l n 11221i A r g i k eπ+===,0,1,2,k =±±(3) 32(1)-解 (3233ln2212322(1i k Ln eeππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-==()()3l n 232i k ee ππ+=⋅=±12. 计算下例各值(1) cos(2)i -解 ()(2)(2)12121cos(2)22i i i i i ie e i e e ---+--+-==+ 11cos 2sin 222e e e e i --+-=⋅+⋅(2) sin i解1s i n 22i i i i e e e e i ii ⋅-⋅---==(3) ()tan 2Arc i解()()221211t a n 2l n 22122323ii i i A r c i L n L n i k i ππ+-⎡⎤=-=-=-++⎢⎥-⎣⎦1ln322i k π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,1,2,k =±±。

复变函数论习题集

第一章复习题1、设32z i =--，则arg z =_________________. A) 2ar 3ctg B) 3ar 2ctg C) 2ar 3ctg π- D) 2ar 3ctg π+ 2、设cos cos z i θ=+,则z =____________.A)1 B) cos θ C) D) θ3、设12,w z z w z z =⋅=+,则1arg w _________ ()2arg Re 0w z ≠A) = B) ≤ C) < D) ≥4、设(),,0,1,2,3,4i k k z re w k θ===则arg k w =____________.A) B) 25k θπ+ C) 25k θπ+ D) 22,0,15k n n θππ++=± 5. 若12z iz =,则1oz 与2oz 的关系是__________A)同向 B)反向 C)垂直 D)以上都不对6.复平面上三点: 134,0,34i i+-+,则__________ A)三点共圆 B)三点共线C)三点是直角∆顶点 D)三点是正∆顶点7.简单曲线(即约当曲线)是__________曲线.A)连续 B)光滑 C)无重点的连续 D)无重点光滑8.设函数w z =,其定义域E 为1z <,则值域M 为____________. A) 1w < B) [)0,1 C) ()1,1- D) {}|01,0x yi x y +≤<=9.函数1w z=将Z 平面上直线1x =变成W 平面上_________ A ）直线 B ）圆 C ）双曲线 D ）抛物线10. 4(1)i +=___________A ）2B ）2-C ）4D ）4-11.区域12z <<的边界是1z =，2z =，它们的正方向_____________A ）1z =，2z =都是“逆时针”B ）1z =“顺时针”， 2z =“逆时针”C ）1z =，2z =都是“顺时针”D ）1z =“逆时针”， 2z =“顺时针”12.极限0lim ()z z f z →与z 趋于0z 的方式__________________A ）无关B ）有关C ）不一定有关D ）与方向有关13.函数238()8z f z z +=+的不连续点集为____________A ）{2,1--±B ）{}2-C ）{2,1D ）{2,1-± 14. 53(cos sin )(cos3sin3)i i e i ϕθθθθ-=+，则ϕ=_________________ A ）2θ B ）4θ- C ）4θ D ）14θ-15.扩充复平面上，无穷远点∞的ε-邻域是指含于条件_________的点集A ）z ε<B ）z ε>C ）1z ε<D ）1z ε>二、多项选择题：1.若12z iz =，则12oz z 是______________A ）锐角B ）钝角C ）直角D ）等腰E ）正 2.表示实轴的方程是_____________（其中t 是实参数） A ）Re 0z = B ）Im 0z = C ）11z t i -=- D ）12z t -= E ）3z t = 3.函数2w z =将Z 平面的曲线_____________变成W 平面上的直线(,)z x iy w u iv =+=+A ）3z = B) 224x y += C ）224x y -=D ）4xy =E ）229y x -=4.函数1()1f z z=-在单位圆1z <内______________ A ）连续 B ）不连续 C ）一致连续 D ）非一致连续 E ）解析5.对无穷远点∞，规定________________无意义A ）运算∞+∞B ）运算∞-∞C ）∞的实部D ）∞的虚部E ）∞的幅角三、填充题：1.复数z x iy =+，当0,0x y <≥时，其幅角的主值arg z =___________________________2.复数i z r e θ=的n 将方根k k w ==____________________________________________3.具备下列性质的非空点集D 称为区域：（1）____________________________________________________（2）_________________________________________________________________4.设D 为复平面上的区域，若_____________________________________________________, 则称D 为单连通区域.5.设E 为一复数集,若_______________________________________________则称在E 上确定了一个单值函数()w f z =.6.在关系式00lim ()()z z f z f z →=中,如果__________________________________就称()f z 在点0z 为广义连续的.7.设12z z i ==,指数形式:12z z =______________________________________ 8. Z 平面上的圆周一般方程可以写成：其中：9．考虑点集E 若，则称0z 为点集E 的聚点。

复变函数第四版余家荣答案

复变函数第四版余家荣答案【篇一：1第一章复数与复变函数】京1第一章复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念①在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。

为此，需要扩大数系。

我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为z?x?iy，2其中，i满足i??1。

我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，y?imz。

特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复数0?0?i?0。

z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。

2.复数的代数运算2.1 四则运算设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2（z2?0） ??i2222z2x2?y2x2?y22【注】：(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。

(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；②.用复数z1?x1?iy1除以非零复数z2?x2?iy2，就是要求出这样一个复数z?x?iy，使得z1?z2?z。

按乘法的定义，为求出z需要解方程组?x2x?y2y?x1??x2y?xy2?y12.2 共轭复数复数x?iy和x?iy互称为对方的共轭复数，如果记z?x?iy，则用记其共轭复数，即?x?iy?x?iy。

复变函数作业答案

2 ，0 r
i
3． 6 z
24 xy 2 z 3 6 y 2 z 。
j
+ (3xz 2 1)
F
( z 3 4 xy )
+ (6 y 2 x 2 )
k
则 F =0 ，故存在函数
u
，使
d u = ( z 3 4 xy )dx (6 y 2 x 2 )dy (3xz 2 1)dz 0 ,即微分方程的解为 u( x, y , z ) c, c 为常数五．势函数 u 向量势为 G
1 = 1 ( 1 ) ( 1)n 1 nz 2 n 2 ， R 1 ； 2 2 2 (1 z ) 2z 1 z n1
2 1 (1i ) z 2 22 n 2 n z 2 2． e sin z = (e e (1i ) z ) sin z ，R ； 2i 4 n 0 n!
2
3
3 0 0 2 0 1 sin 2 3 cos 2 1
四． 4a ，
2
五．
1 4 a 4
向量分析与场论作业 2 一． 1. 二．1.
x2 y2 z ;
b 三． 10 3
2. 0;
3. |grad u |.
四． 1 ( 2 e 4 )
3
五．1． u 1 3
六．
f ( z ) 连续 u, v 连续 f ( z ) 连续，
复变函数论作业 3 一．1．全平面，二． 1． b 三． (2) (0,0), (
f ( z ) 3z 2 2i ； 2． 1， 3,3 ； 3． cos x cosh y i sin x sinh y

《复变函数》第1章

实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第2页
共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称为复球面.
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院刘素芳邓卓燊编写
第一章复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数．复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1

大学物理-第一章复变函数论基础例题 2

结论：对于函数 f (z) = z2 沿着不同的路径积分相同。
例3：试证证：
( a 在 L 之外) ( a 在 L 之内)
的奇点为：z = a
1. a在L外，f (z)在包括L的闭区域内解析，由单通区域的柯西定理，得到
2. a在L之内，点a是
的奇点。
现以a为圆心，ε为半径，作一小圆L' 。 L' 可认为是由L连续变形而3t 2)]2 (1 3i)dt 86 6i
1i
1
3
3. 沿折线 (1) 从1+i 到 2+i 线段的方程 x=t，y=1 (1≤t ≤2)，则
z = t + i，dz = dt，所以
(2) 从2+i 到2+4i 线段的方程 x=2, y=t (1≤t ≤4)，则 z = x + iy，dz = idt，所以
第一章复变函数论基础例题
1.4 复变函数的积分柯西定理
例.1 计算解：1. 直线方程 y = x 的参数方程为
则有：z = x +i y = (1+i)t 和 dz=(1+i)dt
2. (i) 由0→1直线的参数方程为 x =t , y = 0 (0≤t ≤1) 则：z = t，dz =dt
z = x+iy = t+it2，dz = d(t+i t 2) = (1+i 2t)dt
2. 1+i 到 2+4i 的直线方程： y=3x –2。其参数方程为 x = t，y=3t –2 (1≤t ≤2)
则： z = x + iy = t + i (3t –2)
dz =d [t + i (3t –2)] = (1+3i) dt

复变函数一(第一章)

a,c,b,z构成一个圆内接
四边形或在同一侧
c
za ca 圆： Im( )0 z b cb
复数的乘幂：
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
z | z | (cos nArgz i sin nArgz)
n n
令z
n
z
n
| z | [cos( nArgz ) i sin( nArgz )]
则A'称为A在球面上的球极射影。
由于A(x,y,0), A' (x',y',u') ,N(0,0,1)三点共线，所以有
（x-0）:(y-0):(0-1)=( x'-0):( y'-0):( u'-1)从而有
( x' )2 ( y' )2 又 | z | zz (1 u' )2
2
x'iy' z x iy 1 u'
课程简介
课程名称教材对象主要任务
主要内容
复变函数《复变函数》(第四版)
复变函数（自变量为复数的函数）
研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。复数与复变函数、解析函数、复变函数级数、留数等。
学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。
准备知识与参考书目
复数与多元函数知识
1、准备知识
微积分与级数知识
广义积分与曲线积分
2、参考书目
①《复变函数教程》 ②《复变函数》 ③ 《应用复分析》方企勤北京大学出版社中国科学技术大学出版社史济怀、刘太顺任福尧复旦大学

复变函数第一章习题课

(3)
17
代入极坐标下拉普拉斯方程, 看是否满足.
∂ ∂v 1 ∂ 2 v ∂ sin ϕ 1 sin ϕ + = − + − ρ 2 ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ρ ρ ρ sin ϕ sin ϕ = 2 − 2 ≡ 0. (4)
ρ
ρ
可见, 前面假设的量函数v满足Laplace方程. 进一步, 应用C-R条件(求势函数u)
∂u 1 ∂v cosϕ ∂u ∂v sin ϕ = = 2 , = −ρ = . ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂ρ ρ ρ
(5)
18
于是u的全微分为
cos ϕ ∂u ∂u cos ϕ sin ϕ du = dρ + dϕ = dρ + dϕ = d − . (6) 2 ∂ρ ∂ϕ ρ ρ ρ
9
消掉u的具体办法: Eq. (1a)左右对左右对ϕ求偏导, 得到
1 ∂ 2v ∂ 2u = , 2 ∂ϕ∂ρ ρ ∂ϕ
接着Eq. (1b)左右乘ρ然后对ρ求偏导, 得到
∂ ∂v ∂ 2u =− , ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ∂ϕ
比较上面两式, 即可得到Eq. (3b).
两边同乘x2, 考虑到y/x=t, 所以得到
(1 + t 2 ) F ' ' (t ) + 2tF ' (t ) = 0.
(3)
F '' 2t 或者 F ' = − 1 + t 2 . 一次积分后, 得F ’(t)=C1/(1+t2). 再
次积分, 得到
F (t ) = C1arctg(t ) + C2 , (C1,2为积分常数)

复变函数习题解答(第1章)

复变函数习题解答(第1章)p44第一章习题(一)[ 13, 16, 17 , 20]13. 试证arg z ( -π arg z ≤π )在负实轴(包括原点)上不连续，除此而外在z平面上处处连续．记f(z) = arg z，D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}，D1 = { z∈ | Re(z) 0}，D2 = { z∈ | Im(z) 0}，D3 = { z∈ | Im(z) 0}．(1) 首先，f(z)在原点无定义，故f(z)在原点处不连续．(2) 设a∈ ，且a 0．则f(a) = π．考察点列z n = | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π))，n∈ +．显然，-π 1/n-π≤π，故f(z n) = 1/n-π．而lim n→∞z n = lim n→∞( | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π)) ) = a，但lim n→∞f(z n) = lim n→∞(1/n-π) = -π≠f(a)．故f(z)在a处不连续．(3) 下面证明f(z)在D1, D2, D3这三个区域上都连续．设z = x + i y，x, y∈ ．(3.1) 在D1上，f(z) = arctan(y/x)，因arctan(y/x)是{(x, y)∈ 2 | x 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D1上的连续函数．(3.2) 在D2上，f(z) = arccot(x/y)，因arccot(x/y)是{(x, y)∈ 2| y 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D2上的连续函数．(3.3) 在D3上，f(z) = arccot(x/y) -π，因arccot(x/y) -π是{(x, y)∈ 2 | y 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D3上的连续函数．(4) 最后证明f(z)是D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}上的连续函数．?a∈D，因为D = D1?D2?D3，故存在k (k = 1, 2, 3)，使得a∈D k．因D k是开集故存在r 0，使得U r(a) = { z∈ | | z Ca | r } ?D k．根据(3)，f(z)在D k上是连续的，故?ε 0，?η 0，使得?z∈D k，当| zCa | η时，| f(z) -f(a) | ε．设δ= min { r, η}，则?z∈D，当| zCa | δ时，z∈U r(a) ?D k，又因| zCa | δ η，故必有| f(z) -f(a) | ε．所以，f在a处连续．由a的任意性，f(z)是上的连续函数．[连续性部分的证明可以用几何的方法，而且写起来会简单些．但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从这里看出θ(z) = arg(z)作为(x, y)的二元函数，在D1, D2, D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：θx = y/(x2 + y2)，θy = -x/(x2 + y2)．证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A, B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合A?B上也连续．问题：若f在区域A, B上都连续，且A ?B ≠?，问f在A?B 上是否必连续？] 16. 试问函数f(z) = 1/(1 Cz )在单位圆| z | 1内是否连续？是否一致连续？(1) f(z)在单位圆| z | 1内连续．因为z在内连续，故f(z) = 1/(1 Cz )在\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | 1内连续．(2) f(z)在单位圆| z | 1内不一致连续．令z n= 1 C 1/n，w n= 1 C 1/(n + 1)，n∈ +．则z n, w n都在单位圆| z | 1内，| z n-w n | → 0，但| f(z n)-f(w n)| = | n - (n + 1) | = 1 0，故f(z)在单位圆| z | 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 Cx )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z∈ | Im(z) = 0, 0 Re(z) 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(?) 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，则?ε 0，?N∈ +，使得?n N，有| z n -z0| ε．此时有| x n -x0| ≤ | z n -z0| ε；| y n -y0| ≤ | z n -z0| ε．故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(?) 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则?ε 0，?N1∈ +，使得?n N1，有| x n -x0| ε/2；?N2∈ +，使得?n N2，有| y n -y0| ε/2．令N = max{N1, N2}，则?n N，有n N1且n N2，故有| z n -z0| = | (x n -x0) + i (y n -y0)| ≤ | x n -x0| + | y n -y0| ε/2 + ε/2 = ε．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．20. 如果复数列{z n}合于lim n→∞z n = z0≠∞，证明lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0≠∞时，结论是否正确？(1) ?ε 0，?K∈ +，使得?n K，有| z n -z0| ε/2．记M = | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |，则当n K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | = | (z1-z0) + (z2-z0) + ... + (z n-z0) |/n≤ ( | z1-z0 | + | z2-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n= ( | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |)/n + ( | z K +1-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n≤M/n + (n-K)/n (ε/2) ≤M/n + ε/2．因lim n→∞ (M/n) = 0，故?L∈ +，使得?n L，有M/n ε/2．令N = max{K, L}，则当n K时，有23 | (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | ≤ M /n + ε /2 ε /2 + ε /2 = ε．所以，lim n →∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0．(2) 当z 0 ≠ ∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (-1)n n ，n ∈ +．显然lim n →∞ z n = ∞．但?k ∈ +，有(z 1 + z 2 + ... + z 2k )/(2k ) = 1/2，因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于∞．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]p45第一章习题(二)[ 6, 8, 9, 11, 12 ]6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．(z *表示复数z 的共轭)此题应该要求b * z + a * ≠ 0．| a z + b | = | (a z + b )* | = | a * z * + b * | = | a * z * + b * | | z | = | (a * z * + b *) z | = | a * z * z + b * z | = | a * | z |2 + b * z | = | b * z + a * |．故| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．8. 试证：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件为1*****w z w z w z = 0．两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如z'z 312我们将采用下述的观点来证明：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转．记f 1(z ) = z - z 1 (将z 1变到0的平移)；f 3(z ) = z - w 1 (将0变到w 1的平移)；那么，三角形z 1z 2z 3与三角形w 1w 2w 3同向相似4 ? 存在某个绕原点的旋转位似变换f 2(z ) = z 0 z ，使得f 2 ( f 1(z k )) = f 3(w k )，(k = 2, 3)，其中z 0∈ \{0}? 存在z 0∈ \{0}，使得z 0(z k - z 1) = w k - w 1，(k = 2, 3) ? (w 2 - w 1)/(z 2 - z 1) = (w 3 - w 1)/(z 3 - z 1)? 13131212w w z z w w z z ----= 0? 111***-*****12w w z z w w z z ----= 011*****w z w z w z = 0．[证完]9. 试证：四个相异点z 1, z 2, z 3, z 4共圆周或共直线的充要条件是(z 1 C z 4)/(z 1 C z 2) : (z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)为实数．在平面几何中，共线的四个点A , B , C , D 的交比定义为(A , B ; C , D ) = (AC /CB ) : (AD /DB )．这是射影几何中的重要的不变量．类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z 1, z 2, z 3, z 4的交比定义为[z 1z 2, z 3z 4] = (z 1 C z 3)/(z 2 C z 3) : (z 1 C z 4)/(z 2 C z 4)．本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数．(?) 分两种情况讨论(1) 若(z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)为实数，则(z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)也是实数．设(z 1 C z 4)/(z 1 C z 2) = t ，t ∈ ．则z 4 = (1 C t )z 1 + t z 2，故z 4在z 1, z 2所确定的直线上，即z 1, z 2, z 4共线．因此，同理，z 1, z 2, z 3也共线．所以，z 1, z 2, z 3, z 4是(2) 若(z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)为虚数，则(z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)也是虚数．故Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)) ≠ k π，Arg ((z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)) ≠ k π．而Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)) C Arg ((z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)) = Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2) : (z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)) = k π．注意到Arg ((z C z 4)/(z C z 2)) = Arg ((z 4 C z )/(z 2 C z ))是z 2 C z 到z 4 C z 的正向夹角，若Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)) = Arg ((z 3 C z 4)/(z 3 C z 2))，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的同侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小相同，故z 1, z 2, z 3, z 4是共圆的．若Arg ((z 1 C z 4)/(z 1 C z 2)) = Arg ((z 3 C z 4)/(z 3 C z 2)) + π，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的异侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小互补，故z 1, z 2, z 3, z 4也是共圆的．(?) 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t∈ \{0, 1}，使得z4 = (1 Cs)z3 + s z2，z4 = (1 Ct)z1 + t z2，那么，z3Cz4 = s (z3 Cz2)，即(z3Cz4)/(z3Cz2) = s；而z1Cz4 = t (z1 Cz2)，即(z1Cz4)/(z1Cz2) = t，所以，(z1Cz4)/(z1Cz2) : (z3Cz4)/(z3Cz2) = t/s∈ ．(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，Arg ((z4Cz1)/(z2Cz1)) = Arg ((z4Cz3)/(z2Cz3))因此(z4Cz1)/(z2Cz1) : (z4Cz3)/(z2Cz3)是实数．也就是说(z1Cz4)/(z1Cz2) : (z3Cz4)/(z3Cz2)是实数．若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg ((z4Cz1)/(z2Cz1)) + Arg ((z2Cz3)/(z4Cz3)) = (2k + 1)π，故Arg ((z1Cz4)/(z1Cz2) : (z3Cz4)/(z3Cz2))= Arg ((z1Cz4)/(z1Cz2)) C Arg ((z3Cz4)/(z3Cz2))= Arg ((z1Cz4)/(z1Cz2)) + Arg ((z3Cz2)/(z3Cz4))= Arg ((z4Cz1)/(z2Cz1)) + Arg ((z2Cz3)/(z4Cz3)) = (2k + 1)π，所以，(z1Cz4)/(z1Cz2) : (z3Cz4)/(z3Cz2)仍为实数．[证完]这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．11. 试证：方程| z -z1 |/| z -z2 | = k ( 0 k ≠ 1，z1≠z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为ρ，且z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius 圆．设0 k ≠ 1，z1≠z2，z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．?z∈ ，| z -z0 | = ρ?| z - (z1 -k2 z2)/(1-k2)| = k | z1 -z2|/| 1-k2 |?| z(1-k2)- (z1 -k2 z2) | = k | z1 -z2 |?| (z -z1) -k2 (z-z2)| = k | z1 -z2|?| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | z1 -z2|?| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | (z -z1)- (z-z2) |?| (z -z1)/k-k (z-z2) |2 = | (z -z1) - (z-z2) |2?| z -z1 |2/k2 + k2 | z-z2 |2 = | z -z1 |2 + | z-z2 |2?(1/k2 - 1)| z -z1 |2 = (1-k2 ) | z-z2 |2?| z -z1 |2/k2 = | z-z2 |2?| z -z1 |/| z-z2 | = k．[证完]直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的．命题：若复数z, w≠ 0，则| | z | w /| w| - | w| z /| z| | = | w -z |．证明：我们用z*表示复数z的共轭．| | z | w /| w| - | w| z /| z| |2= | | z | w /| w| |2 + | | w| z /| z| |2- 2Re[( | z | w /| w|) (| w| z /| z|)* ]= | z |2 + | w|2- 2Re( w z* ) = | w -z |2．5或更直接地，| | z | w /| w| - | w| z /| z| |= | | z | w /| w| - | w| z /| z| | | z*/| z| | | w*/| w| |= | (| z | w /| w| - | w| z /| z|) (z*/| z|) (w*/| w|) |= | (| z | (z*/| z|) - | w| (w*/| w|)) | = | w -z |．12. 试证：Re(z) 0 ? | (1 -z)/(1 + z) | 1，并能从几何意义上来读本题．Re(z) 0 ?点z在y轴右侧?点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧?点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧?点z到点-1的距离大于点z到点1的距离?|1 + z | | 1 -z | ?| (1 -z)/(1 + z) | 1．不用几何意义可以用下面的方法证明：设z = x + i y，x, y∈ ．| (1 -z)/(1 + z) | 1 ?|1 + z | | 1 -z | ?|1 + z |2 | 1 -z |2? 1 + z2 + 2Re(z) 1 + z2- 2Re(z) ?Re(z) 0．[由本题结论，可知映射f(z) = (1 -z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]???-?±≠≥?≤≡??αβχδεφγηι?κλμνοπθρστυ?ωξψζ∞????? ?∏∑? ⊥∠ √§ψ∈???????∠?????§ #?→←↑↓?∨∧??????∑ΓΦΛΩ??m∈ +，?m∈ +，★?α1, α2, ..., αn?lim n→∞，+n→∞?ε 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，?ε 0，?δ 0，?[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。

复变函数论钟玉泉第四版答案清晰版

复变函数论钟玉泉第四版答案清晰版对于学习复变函数论这门课程的同学来说，钟玉泉老师编写的《复变函数论》第四版是一本非常重要的教材。

然而，在学习过程中，课后习题的解答往往是检验和巩固知识的关键环节。

拥有一份清晰准确的答案，对于理解和掌握这门课程的知识要点至关重要。

复变函数论是数学中的一个重要分支，它在数学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

这门课程的特点是概念抽象、定理繁多、计算复杂。

对于初学者来说，往往会感到有些吃力。

而课后习题则是帮助我们深入理解这些概念和定理的有效途径。

钟玉泉第四版教材中的习题涵盖了复变函数的基本概念、解析函数、复变函数的积分、级数、留数等重要内容。

每一道习题都经过精心设计，旨在帮助学生巩固所学知识，培养解决问题的能力。

一份清晰版的答案应该具备以下几个特点。

首先，答案的思路要清晰明了。

对于每一道习题，都应该详细地阐述解题的思路和方法，让学生能够明白为什么要这样做，而不是仅仅给出一个最终的结果。

其次，答案的步骤要完整规范。

无论是计算过程还是推理过程，都应该一步一步地展示出来，避免跳跃性过大，让学生能够跟上解题的节奏。

再者，答案的表述要简洁准确。

使用简洁的语言来表达解题的关键步骤和要点，避免冗长和复杂的表述，让学生能够快速抓住重点。

在解答复变函数的习题时，常常需要运用到一些基本的概念和定理。

比如，柯西黎曼方程是判断函数是否解析的重要依据；柯西积分定理和柯西积分公式在计算复变函数的积分时经常会用到；留数定理则是计算某些类型积分的有力工具。

清晰版的答案应该在运用这些概念和定理时，给予明确的说明和解释，让学生能够更好地理解它们的应用场景和条件。

以一道关于解析函数的习题为例。

题目可能会给出一个复变函数，要求判断它在某个区域内是否解析，并求出其导数。

在解答这道题时，清晰版的答案应该首先回顾解析函数的定义和判定条件，即函数在某点可导且在该点的某个邻域内处处可导。

然后，根据题目给出的函数，计算其偏导数，判断是否满足柯西黎曼方程。

复变函数习题第一章答案

（1）
34 3 5 ； z = ( )2 + ( )2 = 2 2 2
5 arg z = − arctan( ) . 3 (3 + 4i )(1 + 2i ) 2 3 + 4i 2 − 5 + 10i 2 (2) z = ( ] =( ) =[ ) 2 2 1 − 2i 5 1 +2
= (−1 + 2i ) 2 = −3 − 4i ，
x + 1 + i ( y − 3) = (1 + i )(5 + 3i ) ，即 x + 1 + i ( y − 3) = 2 + 5i ，
根据复数相等的概念，有
1
x +1 = 2 x =1 ，即 . y − 3 = 8 y = 11
⒊ 将下列复数化为三角式和指数式：（1） − 5i ；（3） 1 + i 3 ；解 (1) （2） − 1 ；（4）
− i 2
π
π
π
.
(2) 这里 x = −1 , y = 0 ,则 z =
(−1) 2 + (0) 2 = 1 ,
从而有 cos θ = −1 , sin θ = 0 ; 得 arg z = π , 则三角式与指数式分别为:
z = [cos(π ) + i sin(π )] , z = e πi .
5
（1） x + y = 4 ；
2 2
（2） y = x ；（4） ( x − 1) + y = 1 ．
2 2
（3） x = 1 ；解
ω=
x 1 y , = 2 −i 2 2 z x +y x + y2

复变函数与积分变换第一章习题解答

x +I+ i(y-3) =l+i成立，试求实数x,y为何值。 5+3i x +I+ i(y-3) = [x +I+ i(y-3)X5-3i) s+3i (s+3iXs-3i) 34
Arg(i8 -4i21 +i)=arg(i8 -4i21 +i)+2k兀= arg(13i)+2k兀 =-arctan3 +2k冗 k = 0,士1,士2,···.
=
5x+3y-4 = 34 { -3x+ 5y -18 = 34
或{ 5x+3y
7 。
I 3. 证明虚单位 i 有这样的性质： -i=i" = 1 4. 证明
1) I z 1
2
=
z歹
6) Re(z) =—（弓+z), Im(z) =—(z-歹） 2 2 i
1
1
2
值才成立？
5. 又寸f壬1可z' z勹 z 1 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
— . . —.. '—
。
n
2) R(
3) 事实上
罕 P(z) =X+iY=X- i Y; 可＝霄芦（因)
P(z)
立 +a,, P( 司=a。了"+a1 产+···+a,
4
l 3. 如果 z =e;r, 试证明
1 (1) z" +— = 2cosnt ; n z
II
·+anz n = 页 =a +a1 z+a产 +··
(2)

复变函数第四版(第一章)

}
练习求
的所有根.
[解] 因为 z3 8 所以
z 3 8 23 1 23 cos i sin

2cos

2k
3
zi
3sin

8
2k
30

(k 0,1,2)
于是原方程的所有根为
z0

2(cos

3

i sin
)
3
1 i
x1 y1

t ( x2 t( y2

x1 ), y1 ).
( t )
因此, 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2z1). (<t<+)
由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2z1). (0t1)
}
例3 求下列方程所表示的曲线:
1) | z i | 2;
i(i) (1 i)(1 i)
22 22
所以
Re( z) 3 , Im( z) 1 , z z ( 3)2 ( 1 )2 5 .
2
2
2
22
练习设
z 1 2i 1 i
, 求 Re( z), Im( z)与z.
答案：Re( z) 1 , Im( z) 3，z 1 3 i.
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .

复变函数第一章习题答案~

显然 z ≠ 0时，tan(Argzபைடு நூலகம்) =
由此得 :
z2 + z1 ≤ z2 + z1 z2 − z1 ≥ z2 − z1
( 三角不等式)
还容易看出 z = z , argz = -arg z . 3．复数的三角表示根据 x = r cos θ , y = r sin θ 可以得到 z = r (cos θ + i sin θ ). 上式称为复数的三角表示. 4．复数的指数表示由欧拉公式 e iθ = cos θ + i sin θ 可以得到复数的指数表示式: z = re iθ . 5．复数的球面表示 (1) 南极、北极的定义
θ
1
θ + 2π
n
1
+ i sin
θ + 2π
n
)
θ + 4π
n
θ + 4π
n
)
wn−1 = r n (cos
θ + 2(n−1)π
n
+ i sin
θ + 2(n−1)π
n
)
1.任一非零复数开 n 次方，有且仅有 n 个不同的根； 2.它们均匀分布在以原点为中心 r n 为半径的圆周上.
1
π π + 2kπ + 2kπ 8 4 4 4 wk = 1 + i = 2 ( cos + isin ) 4 4 ( k = 0,1, 2, 3) （见图）
本讲小结： 1、复数的各种表示法 2、复数的四则运算、共轭运算
§3
1．乘积与商
设
复数的乘幂与方根
z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ 1 ) = r1e iθ1 , z2 = r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r2 e iθ 2 ,

工程数学复变函数(第四版)第1讲

29
设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根, 如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如
3
记作 z = z , n为整数
n 1/ n
i 2π 3 −i 2π 3
1有个 ,1, e 三值
3 2π i 3 3
,e
这因 1 =1 是为 i 2π −i 2π e = e =1 及 e = e =1 在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
θ +2kπ
n
= r (cos
1 n
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
)
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
2 2
9
§2 复数的几何表示 1. 复平面由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复数与复平面上的点成一一对应, 并且把"点z" 作为"数z"的同义词, 从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.
4
第一章复数与复变函数 §1 复数及代数运算
5
1. 复数的概念在实数范围, 方程 x2=−1 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =−1 从而i是方程x2=−1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)

《复变函数》第四版习题解答第1章

+
2kπ
= − arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
所以
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
2
Re⎨⎧ (3
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1 + 3i ， | i8 − 4i21 + i |= 10
( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i) + 2kπ
= −arctan3 + 2kπ k = 0,±1,±2,".
=
arg a i
en
时，有
( ) | zn + a| =
⎜⎜⎝⎛
i
e
arg n
a
⎟⎞n ⎟⎠
+ |a|eiarg a
=
1+ a
ei arg a
= 1 + |a|
故1+ | a | 为所求。
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
（1）i；
（4）1− cosϕ + isinϕ(0 ≤ ϕ ≤ π) ；

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复变函数论第一章练习题 2014-03
一、复数的表示、运算------充分掌握非零复数的三种表示及其互相转换（要善于根据不同问题选用适当的表示以简化计算）；熟悉掌握复数运算，与共轭有关的等式，模的性质等，并能灵活运用。

1. 设(1)(2)(3)(3)(2)
i i i z i i +--=++，求||.z 2. 将复数23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i θθθθ+-和复数tan ()2
z i πθθπ=-<<分别化为指数形式和三角形式.
3. 设0,2x π
<<试求复数1tan 1tan i x z i x
-=+的三角形式，其中x 为实数. 4．求复数(1cos sin )n i θθ++()πθπ-<<的模和辐角.
5. 设3||),4z z i π=-=
求z . 6.已知210x x ++=，求1173x x x ++值.
7.若0,z ≠∈证22||2.z z zz -≤
8. 试证：（1）1Re 0||1;1z z z -≥⇔≤+ （2）设||1,z =则|| 1.az b bz a
+=+ 9. 设0,arg ,z z ππ≠-<≤ 证明|1|||1||arg z z z z -≤-+.
10.试证：满足||||2||z z ααβ-++=的复数z 存在的充要条件为||||αβ≤；求满足条件时||z 的最大值和最小值.
11. 设(1)(1)n n i i +=-，求整数n 之值.
12. 一个向量顺时针旋转
3π后对应的复数为1，求原向量对应的复数. 13. 24(49)0.z iz i ---=解方程
二、复数在几何上的应用
1. 设,x y 为实数，12,z x yi z x yi ==且有1212z z +=，则动点(,)x y 的轨迹是（）
（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线
2.设12,,,n z z z 是以原点为圆心的单位圆周上的n 个点，如果这n 个点是正n 边形的n 个
顶点，证明：120.n z z z ++
+=
三、复平面上的点集（含点列的极限）
1.试求点集11{|,,}z z i m n m n
=+∈的聚点、孤立点. 2．满足不等式0arg(1),2Re 34z z π
<-<<<的所有点z 构成的集合是（）
（A ）有界单连通区域（B ）无界单连通区域（C ）有界多连通区域（D ）无界多连通区域
3.下列复数列是否有极限？如果有，求出其极限值.
（1）1,,1,,1,,1,,
;i i i i ----（2）2343434,(),,(),.666i i i +++ 4.求极限lim(1)n n x iy n
→∞++ 5.设0lim ,n n z z →+∞=≠∞试证10lim .n n z z z n →+∞+
+=
四、曲线变换
1. 函数z i w z i
-=+（定义在扩充z 平面上的线性变换）把z 平面上的直线,x a y b ==分别变成什么曲线？ 2.求映射3w z =把z 平面上的直线(1)z i t =+映射成w 平面上的像的曲线方程.
五、函数的极限和连续性及其等价刻画定理1.2，1.3.
1. 讨论下列函数在0z =的连续性：
（1）22Re(),0,()||0,0.z z f z z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
（2）2(Re ),0,()||,0.z z g z z z ⎧≠=⎨=⎩ 2.下列函数能否补充定义()f ∞的值，而使之成为在点∞广义连续的函数.
（1）(),0;az b f z ad bc cz b +=-≠+（2）()(cos sin ),().x f z e y i y z x iy =+=+
3.求下列极限：
2221413(1)lim ;(2)lim ;(3)lim .(1)11
z z z z z iz z z z →∞→∞→-++--+ 4.设Ω为平面中有界区域，f 在Ω中一致连续，证明：对任意0,z ∈∂Ω极限0lim ()z z f z →存在.。