复变函数论第四版第一章练习

复变函数论 第一章 练习题 2014-03

一、复数的表示、运算------充分掌握非零复数的三种表示及其互相转换（要善于根据不同问题选用适当的表示以简化计算）；熟悉掌握复数运算，与共轭有关的等式，模的性质等，并能灵活运用。

1. 设(1)(2)(3)(3)(2)

i i i z i i +--=++，求||.z 2. 将复数23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i θθθθ+-和复数tan ()2

z i πθθπ=-<<分别化为指数形式和三角形式.

3. 设0,2x π

<<试求复数1tan 1tan i x z i x

-=+的三角形式，其中x 为实数. 4．求复数(1cos sin )n i θθ++()πθπ-<<的模和辐角.

5. 设3||),4z z i π=-=

求z . 6.已知210x x ++=，求1173x x x ++值.

7.若0,z ≠∈证22||2.z z zz -≤

8. 试证：（1）1Re 0||1;1z z z -≥⇔≤+ （2）设||1,z =则|| 1.az b bz a

+=+ 9. 设0,arg ,z z ππ≠-<≤ 证明|1|||1||arg z z z z -≤-+.

10.试证：满足||||2||z z ααβ-++=的复数z 存在的充要条件为||||αβ≤；求满足条件时||z 的最大值和最小值.

11. 设(1)(1)n n i i +=-，求整数n 之值.

12. 一个向量顺时针旋转

3π后对应的复数为1，求原向量对应的复数. 13. 24(49)0.z iz i ---=解方程

二、复数在几何上的应用

1. 设,x y 为实数，12,z x yi z x yi ==且有1212z z +=，则动点(,)x y 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线

2.设12,,,n z z z 是以原点为圆心的单位圆周上的n 个点，如果这n 个点是正n 边形的n 个

顶点，证明：120.n z z z ++

+=

三、复平面上的点集（含点列的极限）

1.试求点集11{|,,}z z i m n m n

=+∈的聚点、孤立点. 2．满足不等式0arg(1),2Re 34z z π

<-<<<的所有点z 构成的集合是（ ）

（A ）有界单连通区域 （B ）无界单连通区域（C ）有界多连通区域 （D ）无界多连通区域

3.下列复数列是否有极限？如果有，求出其极限值.

（1）1,,1,,1,,1,,

;i i i i ----（2）2343434,(),,(),.666i i i +++ 4.求极限lim(1)n n x iy n

→∞++ 5.设0lim ,n n z z →+∞=≠∞试证10lim .n n z z z n →+∞+

+=

四、曲线变换

1. 函数z i w z i

-=+（定义在扩充z 平面上的线性变换）把z 平面上的直线,x a y b ==分别变成什么曲线？ 2.求映射3w z =把z 平面上的直线(1)z i t =+映射成w 平面上的像的曲线方程.

五、函数的极限和连续性及其等价刻画定理1.2，1.3.

1. 讨论下列函数在0z =的连续性：

（1）22Re(),0,()||0,0.z z f z z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

（2）2(Re ),0,()||,0.z z g z z z ⎧≠=⎨=⎩ 2.下列函数能否补充定义()f ∞的值，而使之成为在点∞广义连续的函数.

（1）(),0;az b f z ad bc cz b +=-≠+（2）()(cos sin ),().x f z e y i y z x iy =+=+

3.求下列极限：

2221413(1)lim ;(2)lim ;(3)lim .(1)11

z z z z z iz z z z →∞→∞→-++--+ 4.设Ω为平面中有界区域，f 在Ω中一致连续，证明：对任意0,z ∈∂Ω极限0lim ()z z f z →存在.