实验二 图论、动态规划求解
什么是动态规划算法，常见的动态规划问题分析与求解
什么是动态规划算法，常见的动态规划问题分析与求解理解动态规划动态规划中递推式的求解⽅法不是动态规划的本质。
我曾经给学校参加NOIP的同学多次讲过动态规划，我试着讲⼀下我理解的动态规划，争取深⼊浅出。
希望你看了我的答案，能够喜欢上动态规划。
0. 动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移⽅程的定义。
引⾃维基百科dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的⽅式去解决。
本题下的其他答案，⼤多都是在说递推的求解⽅法，但如何拆分问题，才是动态规划的核⼼。
⽽拆分问题，靠的就是状态的定义和状态转移⽅程的定义。
1. 什么是状态的定义？⾸先想说⼤家千万不要被下⾯的数学式吓到，这⾥只涉及到了函数相关的知识。
我们先来看⼀个动态规划的教学必备题：给定⼀个数列，长度为N，求这个数列的最长上升（递增）⼦数列（LIS）的长度.以 1 7 2 8 3 4 为例。
这个数列的最长递增⼦数列是 1 2 3 4，长度为4；次长的长度为3，包括 1 7 8; 1 2 3 等.要解决这个问题，我们⾸先要定义这个问题和这个问题的⼦问题。
有⼈可能会问了，题⽬都已经在这了，我们还需定义这个问题吗？需要，原因就是这个问题在字⾯上看，找不出⼦问题，⽽没有⼦问题，这个题⽬就没办法解决。
所以我们来重新定义这个问题：给定⼀个数列，长度为N，设为：以数列中第k项结尾的最长递增⼦序列的长度.求中的最⼤值.显然，这个新问题与原问题等价。
⽽对于来讲，都是的⼦问题：因为以第k项结尾的最长递增⼦序列（下称LIS），包含着以第中某项结尾的LIS。
上述的新问题也可以叫做状态，定义中的“为数列中第k项结尾的LIS的长度”，就叫做对状态的定义。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题1. 线性规划问题简介线性规划是一种常见的数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
2. 动态规划方法概述动态规划是一种通过将问题分解为子问题并逐步解决的方法。
它适合于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
对于线性规划问题，动态规划方法可以通过将问题分解为多个子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
3. 动态规划方法求解线性规划问题的步骤步骤1: 定义状态首先，我们需要定义状态变量。
对于线性规划问题，状态变量可以是目标函数的值，或者是满足约束条件的变量取值。
步骤2: 定义状态转移方程接下来，我们需要定义状态之间的转移关系。
对于线性规划问题，状态转移方程可以表示为：dp[i] = max(dp[i-1] + a[i], a[i])其中，dp[i]表示第i个状态的最优值，a[i]表示第i个状态的值。
步骤3: 初始化状态在动态规划方法中，我们需要初始化第一个状态的值。
对于线性规划问题，我们可以将第一个状态的值设置为目标函数的初始值。
步骤4: 递推求解最优解接下来，我们可以使用状态转移方程递推求解最优解。
通过计算每一个状态的最优值，我们可以得到整体问题的最优解。
步骤5: 回溯求解最优解最后，我们可以通过回溯的方式求解最优解的具体取值。
通过追踪每一个状态的转移路径，我们可以找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
4. 动态规划方法求解线性规划问题的实例为了更好地理解动态规划方法求解线性规划问题的过程，我们来看一个具体的实例。
假设有一个线性规划问题，目标是最大化目标函数：maximize 3x + 4y约束条件为：2x + y <= 10x + 3y <= 15x, y >= 0我们可以按照以下步骤使用动态规划方法求解该线性规划问题：步骤1: 定义状态我们定义状态变量为目标函数的值，即dp[i]表示目标函数的值为i时的最优解。
动态规划-图论
§1动态规划模型如图所示，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间距离，试求一条从A到E的路线，使总距离为最短。
Mattlab求解：首先利用Excel建立两个工作表edge和n分别存储图的上三角阵和顶点数量。
其中edge=99999 5 2 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 8 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 1 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999n=9,然后在Matlab调入以上数据。
同时将自编的动态规划软件“dynamic.m”调入当前目录之中，在Matlab命令窗口输入dynamic,回车后则在窗口显示出路径Path 和距离distance§2 最小生成树例1 某工厂要架设局域网联通工厂各个部门。
已知工厂有7个部门，各个部门间铺设网线的距离如上图所示，计算出铺设网线的最短距离。
Matlab 的算法：首先，将上图的邻接矩阵存储为G ,顶点数存储为N ；即：G=99999 50 60 99999 99999 99999 99999 50 99999 99999 65 40 99999 99999 60 99999 99999 52 99999 99999 45 99999 65 52 99999 50 30 42 99999 40 99999 50 99999 70 99999 99999 99999 99999 30 70 99999 99999 9999999999 45 42 99999 99999 9999925314765060 4565524050703042N=7,然后调入到Matlab 命令窗口中，另外将自编程序prim.m 存放到当前目录中，最后，输入prim 后回车。
动态规划问题求解步骤
动态规划问题求解步骤动态规划问题是指在具有重叠子问题和最优子结构特性的问题中，通过将问题分解成更小的子问题，利用已解决的子问题的解来求解原问题。
动态规划问题的求解过程可分为以下几个步骤。
1. 定义状态：首先，我们需要明确问题的状态。
状态是指问题的子问题所依赖的变量或参数，即决定子问题解的输入。
状态可以是多个变量组成的元组，也可以是一个单一的变量。
定义好状态有助于我们更好地理解问题的本质，并能够将问题分解成更小的子问题。
2. 定义初始状态：在动态规划问题中，初始状态是问题的边界条件或者基本情况。
我们需要确定初始状态的值，并将其作为问题求解的起点。
初始状态的设置应符合问题的需求，并满足问题求解的逻辑。
3. 确定状态转移方程：状态转移方程是动态规划问题的核心。
通过定义状态之间的转移关系，我们可以将原问题分解为一系列的子问题，并通过已解决的子问题的解来求解当前问题的解。
状态转移方程的推导需要通过分析子问题间的关联关系，并根据问题的特点来定义。
状态转移方程应具备递推性，即当前问题的解可以通过之前子问题的解得到。
4. 确定计算顺序：在确定了状态转移方程后，我们需要确定求解问题的顺序。
一般来说，动态规划问题可以采用自底向上或自顶向下的方式进行求解。
自底向上的求解方式从初始状态开始，按照计算顺序逐步求解，直至得到最终问题的解；而自顶向下的求解方式则从最终问题的解开始，通过递归或备忘录等方式来求解子问题，最终得到初始状态的解。
5. 计算最优解：在得到了问题的所有状态和状态转移方程后，我们可以利用动态规划的思想来计算最优解。
根据计算顺序，我们先计算出初始状态的值，然后按照状态转移方程逐步计算，直到得到最终问题的解。
在计算的过程中，我们可以使用辅助数组或表格来存储和更新中间状态的值，以便于后续的计算，并最终得到问题的最优解。
通过以上步骤，我们可以较为系统地解决动态规划问题。
这种求解方法具有重用已解决子问题的解、减少重复计算和提高时间效率等优势，适用于诸如最优路径、最长子序列、最大连续子数组和背包问题等多种场景。
动态规划求解TSP问题
f5(i, )=min{Cij+f6(1, )}=Ci1, d5(i, 1), i=2, 3, 4, 5 f5(i, )的值列表如下：
1
i 2
f5(i, ) 2
5 3
5 1 2 7
2
2 3 3
3
4 5
7
2 5
6
4 4
5
7
对于k=4, 有
f4(i, S4)=min{Cij+f5(j, S5)}, jS4, f4(i, S4。并且有 xn=(i, ), i=2, 3, …, n,
xn+1=(1, )
4
动态规划模型构造
决策变量：dk=(i, j), 其中i为当前所在的城市, j为下一站将要到达的城市。 状态转移方程：若当前的状态为 xk=(i, Sk) 采取的决策为 dk=(i, j) 则下一步到达的状态为 xk+1=T(xk, dk)=(j , Sk\{j})
9
(i, S3) (2, {3, 4}) (2, {3, 5})
J {3} {4} {3} {5}
Cij 3 5 3 1
S4 {4} {3} {5} {3}
Cij+f4(j, S4) 3+f4(3, {4})=3+6=9* 5+f4(4, {3})=5+11=16 3+f4(3, {5})=3+11=14* 1+f4(5, {3})=1+13=14*
(1, S1) (1, {2, 3, 4, 5})
J {2} {3} {4} {5}
Cij 2 7 2 5
S2 {3, 4, 5} {2, 4, 5} {2, 3, 5} {2, 3, 4}
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化方法，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学建模方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数。
在实际问题中，线性规划经常出现，例如资源分配、生产计划、运输问题等。
动态规划方法是一种将问题分解为子问题并逐步求解的方法。
它的基本思想是通过对问题的分析，将大问题分解为小问题，并将小问题的解组合起来得到整个问题的最优解。
动态规划方法适用于具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。
下面以一个具体的线性规划问题为例，介绍动态规划方法的求解步骤：假设有一个生产厂家需要生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源，并且有一定的利润。
资源的供应是有限的，且每种产品的生产数量也是有限的。
现在需要确定生产哪些产品以及生产的数量，使得总利润最大化。
首先，将问题转化为数学模型。
假设产品A的单位利润为5，产品B的单位利润为8，产品A的生产需要消耗1个资源，产品B的生产需要消耗2个资源。
假设资源的供应量为10，且产品A和产品B的生产数量都不能超过5。
定义状态变量和决策变量。
假设状态变量为i，表示第i个资源的剩余量，决策变量为x，表示生产产品A的数量。
建立状态转移方程。
根据题目要求，可以得到状态转移方程为：f(i) = max(f(i-1), f(i-1) + 5 * x)其中，f(i)表示剩余资源为i时的最大利润。
确定边界条件。
当剩余资源为0时，最大利润为0，即f(0) = 0。
通过递推求解。
根据状态转移方程和边界条件，可以递推求解出剩余资源为10时的最大利润。
最后，根据求解出的最大利润，可以确定生产产品A和产品B的数量，以及最终的利润。
以上是动态规划方法求解线性规划问题的基本步骤。
在实际应用中，可能会涉及更多的约束条件和决策变量，需要根据具体情况进行建模和求解。
需要注意的是，动态规划方法虽然可以有效地求解线性规划问题，但对于复杂的问题，可能需要较大的计算量和时间复杂度。
动态规划求最短路径的两种方法
动态规划1．最短路线问题解（1）：将上图该画成下图：记a （1,2）=4，a(1,3)=5，依次类推，表示每个点和值的关系。
逆序递推方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态：逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。
例如，当K=4时，状态 它们到F 点需经过中途 点E ，需一一分析从E 到 F 的最短路：先说从D1到F 的最短路 有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。
这说明由 D1 到F 的最短距离为7，其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段 第2阶段 第3阶段 第4阶段 第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为：s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析：s 表示每个点到终点的最短距离，那么最短路程为17。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。
在线性规划中，我们需要找到一组变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列线性约束条件。
动态规划方法可以帮助我们高效地解决这类问题。
首先，我们需要明确线性规划问题的数学模型。
假设我们有n个变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn) ≤ b1, g2(x1, x2, ..., xn) ≤ b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn) ≤ bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)是一个关于变量x1, x2, ..., xn的线性函数，g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn)是关于变量x1, x2, ..., xn的线性不等式，b1, b2, ..., bm是常数。
接下来，我们可以使用动态规划方法求解线性规划问题的最优解。
具体步骤如下：1. 定义状态：我们需要定义子问题的状态。
在这里，我们可以将线性规划问题的状态定义为子问题的目标函数值。
2. 确定状态转移方程：我们需要确定子问题之间的转移关系。
在这里，我们可以使用递推的方式来定义子问题之间的关系。
假设dp[i]表示目标函数值为i时的最优解，那么我们可以得到状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i - c1] + v1, dp[i - c2] +v2, ..., dp[i - cn] + vn)，其中ci表示第i个约束条件的系数，vi表示第i个约束条件的常数。
3. 初始化边界条件：我们需要初始化子问题的边界条件。
在这里，我们可以将dp[0]初始化为0，表示目标函数值为0时的最优解。
4. 递推求解：我们可以使用动态规划的递推方式来求解子问题的最优解。
从dp[1]开始，依次计算dp[2], dp[3], ..., dp[k]，直到dp[m]，其中m为目标函数的最大值或最小值。
浙江工业大学算法实验2 动态规划算法实现
实验2 动态规划算法实现一、实验目标：1.熟悉动态规划算法实现的基本方法和步骤；2. 学会动态规划算法的实现方法和分析方法：二、实验内容：问题1：最长公共子序列的问题，测试数据X={ABCBDAB} Y={BDCABA}X={zhejiang university of technology} Y= {zhejiang university city college}1-1实验代码及截图#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;//求得两个字符串的最大公共子序列长度int LCSLength(int m, int n,char* x, char* y,int **c, int **b){int i, j, len;//i=0 || j=0for (i = 0; i < m + 1; i++) c[i][0] = 0;for (j = 0; j < n + 1; j++) c[0][j] = 0;//i,j>0for (i = 1; i <= m; i++){for (j = 1; j <= n; j++){if (x[i] == y[j])//if (x[i - 1] == y[j - 1]){c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;b[i][j] = 1;}else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]){c[i][j] = c[i - 1][j];b[i][j] = 2;}else{c[i][j] = c[i][j - 1];b[i][j] = 3;}}}len = c[m][n];return len;}//构造最长公共子序列void LCS(int i, int j, char *x, int **b){if (i == 0 || j == 0) return;if (b[i][j] == 1){LCS(i - 1, j - 1, x, b);cout << x[i - 1];//c[i][]对应str1的第i-1个元素}else if (b[i][j] == 2){LCS(i - 1, j, x, b);}else{LCS(i, j - 1, x, b);}}int main(){char str1[1000], str2[1000];int i, m, n, len;cout << "请输入第一个字符串：";gets_s(str1);cout << "请输入第二个字符串：";gets_s(str2);m = strlen(str1);n = strlen(str2);int **c = new int*[m + 1]; //行for (i = 0; i < m + 1; i++)c[i] = new int[n + 1];//列int **b = new int*[m + 1];for (i = 0; i < m + 1; i++)b[i] = new int[n + 1];len = LCSLength(m, n, str1, str2, c, b);cout << "最长公共子序列的长度为：" << len << endl;cout << ("最长公共子序列为：");LCS(m, n, str1, b);cout << endl;system("pause");return 0;}实验截图：1-2实验总结：实验最开始考虑到穷举，但很明显时间复杂度过于庞大，利用最长公共子序列的最优子结构性质，结合书上代码进行实验，但实验中很明显没有考虑多种最长公共子序列的情况，这个可能要留待后续继续学习改进。
(完整版)动态规划问题常见解法
(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题，解决的是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索是一种自顶向下的解法，通过保存子问题的解来避免重复计算，提高效率。
动态规划是一种自底向上的解法，通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化，且每种物品可以选择任意个。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似，只是在状态转移方程上有所不同。
二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。
常见的解法有两种：递归和动态规划。
递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模，直至问题规模减小到边界情况。
动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
常见的解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是通过维护一个距离表，不断选择距离最短的顶点来更新距离表，直至找到目标顶点。
Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作，逐步缩小问题规模，直至找到目标顶点或发现负权环。
总结：动态规划是一种解决最优化问题的常见方法，它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式，来得到整个问题的最优解。
在解决动态规划问题时，可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略，具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。
动态规划求解方法
动态规划求解方法动态规划(Dynamic Programming)是一种常见的求解优化问题的方法，它通过将问题分解成更小的子问题，并保存子问题的解来降低时间复杂度。
动态规划通常使用一个表格来记录子问题的解，然后根据递推关系计算出更大问题的解。
动态规划的求解方法一般包含以下几个步骤：1.定义问题：首先，需要明确要解决的问题是什么。
动态规划通常适用于求解具有最优子结构性质的问题，即原问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解得到。
2.确定状态：接下来，需要确定动态规划的状态。
状态是问题中会变化的量，它包含了问题的关键信息。
在动态规划中，状态可以是一个或多个变量。
3.建立转移方程：然后，需要建立问题的转移方程。
转移方程描述了问题状态之间的关系，用来计算子问题的最优解。
转移方程可以通过观察问题的特点或者使用递推关系得到。
4.确定初始条件：接下来，需要确定边界条件或初始条件。
边界条件是问题中的一些特殊情况，它们通常是一些最小子问题的解。
初始条件是指将边界条件中的解赋值给表格中对应的位置。
5.使用递推关系计算：最后，使用递推关系将表格中的其他位置的解计算出来。
通常，可以使用自底向上的方法，从表格的第一个位置开始计算，依次填充整个表格。
动态规划的优点在于它可以将一个复杂的问题分解成多个子问题，然后通过记录子问题的解来减少重复计算。
这样，可以大大提高求解问题的效率。
动态规划通常适用于求解满足最优化原理和无后效性条件的问题。
最优化原理是指问题的最优解具有递归的结构，即解可以通过子问题的最优解得到。
无后效性条件是指问题的当前状态决定了未来的决策，与过去的决策无关。
动态规划在算法设计和实现中有很多经典的应用，例如最长公共子序列问题、0/1背包问题、最短路径问题等。
下面简要介绍其中的两个经典应用。
1.最长公共子序列问题：给定两个字符串s1和s2，求它们的最长公共子序列。
最长公共子序列是指在两个字符串中以相同的顺序出现的最长的子序列。
数学建模Lingo求解动态规划二
6 4 5 7 2 5 35
2 9 2 6 3 5 37
6 5 1 7 9 2 22
7 3 9 3 5 2 32
4 8 7 9 7 8 41
2 5 4 2 2 1 32
5 8 3 7 6 4 43
9 2 3 1 5 3 38
60 55 51 43 41 52
使用LINGO软件，编制程序如下：
model: !6发点8收点运输问题; !集合部分; sets: warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数; min=@sum(links:cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J):@sum(wareho uses(I):volume(I,J))=demand (J)); !产量约束; @for(warehouses(I):@sum(ven dors(J):volume(I,J))<=capac ity(I));
2.运用Lingo软件求解最短路问题
例1 求下图的最短路.
7
2 7
4 7
1 9
1
6
2 6 3 6
6
5
用动态规划方法求解。
定义 f (i ) 是由 p i 点出发至终点 原理可得
p N 的最短路程，由最优化
f ( i ) min { c f ( j )}, i 1 , 2 , ,N 1 ij j f ( N ) 0
（3） @wrap(index,limit)
该函数返回j=index-k*limit,其中k是一个整数，取适 当值保证j落在区间[1，limit]内。该函数相当于index模 再加1。该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种通过将问题分解成子问题并以最优子结构性质递归地求解的方法。
在线性规划问题中，我们希翼找到一组变量的最优值，使得目标函数达到最大或者最小值，同时满足一组线性约束条件。
首先，我们需要明确线性规划问题的数学模型。
假设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn) ≤ b1, h(x1, x2, ..., xn) ≤ b2, ..., 其中g和h为线性函数，b1, b2, ...为常数。
接下来，我们将问题转化为动态规划的形式。
定义状态变量dp[i1, i2, ..., in]表示在决策变量x1, x2, ..., xn取值为i1, i2, ..., in时的最优解。
则我们可以得到如下的状态转移方程：dp[i1, i2, ..., in] = max/min {dp[i1-a1, i2-a2, ..., in-an] + c}其中，a1, a2, ..., an为决策变量的系数，c为常数项。
这个方程的意义是，在决策变量x1, x2, ..., xn取值为i1, i2, ..., in时，最优解可以通过在决策变量取值为i1-a1, i2-a2, ..., in-an的情况下的最优解加之c来得到。
我们可以使用动态规划的方法，从决策变量的边界条件开始，逐步计算出所有状态变量的最优解。
具体步骤如下：1. 初始化边界条件：根据约束条件设置决策变量的取值范围，并计算出边界条件下的最优解。
2. 逐步计算状态变量的最优解：从边界条件开始，按照状态转移方程计算出所有状态变量的最优解。
可以使用递归或者迭代的方法进行计算。
3. 根据最优解得到最优解决策：根据计算得到的最优解，反向推导出决策变量的取值，得到最优解决策。
4. 检验最优解：将最优解代入目标函数和约束条件中，验证是否满足所有约束条件，并计算目标函数的值。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划方法是一种常用的优化算法，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学优化问题，其目标是在一组线性约束条件下，最大化或者最小化一个线性目标函数。
动态规划方法通过将问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
首先，我们需要定义线性规划问题的数学模型。
假设我们有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1,x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)是一个线性函数，g1(x1, x2, ..., xn), g2(x1, x2, ..., xn), ..., gm(x1, x2, ..., xn)是一组线性函数，b1, b2, ..., bm是一组常数。
接下来，我们可以使用动态规划方法来求解线性规划问题。
动态规划方法的核心思想是将原问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示子问题的最优解，其中i表示决策变量的个数，j表示目标函数的取值。
具体的求解过程如下：1. 初始化dp数组。
将dp数组的所有元素初始化为无穷大（对于最小化问题）或者负无穷大（对于最大化问题），并将dp[0][0]初始化为0。
2. 逐步求解子问题。
从dp[1][1]开始，挨次计算dp[i][j]的值。
对于每一个dp[i][j]，我们需要考虑两种情况：选择第i个决策变量和不选择第i个决策变量。
如果选择第i个决策变量，则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j-c[i]] + f[i]，其中c[i]表示第i个决策变量的系数，f[i]表示第i个决策变量的目标函数系数。
如果不选择第i个决策变量，则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j]。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
在线性规划问题中，我们希望找到一组变量的最优值，使得满足一组线性约束条件的目标函数达到最大或最小值。
线性规划问题可以用以下标准格式表示：目标函数：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束条件：x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z是目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数中变量的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件中变量的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ是变量。
动态规划方法可以用来求解线性规划问题的最优解。
下面我们将介绍动态规划方法的步骤：1. 确定子问题：将线性规划问题分解为子问题，每个子问题都是一个小规模的线性规划问题。
2. 定义状态：定义状态变量，表示子问题的解。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，确定状态转移方程，用于计算子问题的解。
4. 初始化边界条件：初始化边界条件，即最小规模的子问题的解。
5. 递推计算：根据状态转移方程，递推计算子问题的解。
6. 求解原问题：根据子问题的解，求解原问题的解。
下面我们通过一个具体的例子来演示动态规划方法求解线性规划问题。
假设我们有一个线性规划问题如下：目标函数：max Z = 2x₁ + 3x₂ + 4x₃约束条件：x₁ + x₂ + x₃ ≤ 52x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 10x₁, x₂, x₃ ≥ 0我们将该问题转化为动态规划问题的步骤如下：1. 确定子问题：将线性规划问题分解为子问题，每个子问题都是一个小规模的线性规划问题。
图论算法及matlab程序的三个案例
图论实验三个案例单源最短路径问题 1.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。
其基本思想是，设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
设v 是图中的一个顶点，记()l v 为顶点v 到源点v 1的最短距离，,i j v v V∀∈，若(,)i j v v E∉，记i v 到jv 的权ij w =∞。
Dijkstra 算法：① 1{}S v =,1()0l v =；1{}v V v ∀∉-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-； ② S φ=，停止，否则转③；③()min{(),(,)}j l v l v d v v =，j v S∈，v S ∀∈；④ 存在1i v +，使1()min{()}i l v l v +=，v S ∈； ⑤ 1{}i S S v +=，1{}i S S v +=-，1i i =+，转②； 实际上，Dijkstra 算法也是最优化原理的应用：如果121n n v v v v -是从1v 到nv 的最短路径，则121n v v v -也必然是从1v 到1n v -的最优路径。
在下面的MATLAB 实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i 行第j 行元素表示顶点i v 到jv 的权ijw ，若i v 到jv 无边，则realmaxij w =，其中realmax 是MATLAB 常量，表示最大的实数(1.7977e+308)。
function re=Dijkstra(ma)%用Dijkstra算法求单源最短路径%输入参量ma是距离矩阵%输出参量是一个三行n列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点n=size(ma,1);%得到距离矩阵的维数s=ones(1,n);s(1)=0;%标记集合S和S的补r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;%初始化for i=2:n;%控制循环次数mm=realmax;for j=find(s==0);%集合S中的顶点for k=find(s==1);%集合S补中的顶点if(r(2,j)+ma(j,k)<r(2,k))r(2,k)=r(2,j)+ma(j,k);r(3,k)=j;endif(mm>r(2,k))mm=r(2,k);t=k;endendends(1,t)=0;%找到最小的顶点加入集合S end re=r;1.2 动态规划求解最短路径动态规划是美国数学家Richard Bellman 在1951年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。
动态规划-图论
§1动态规划模型如图所示，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间距离，试求一条从A到E的路线，使总距离为最短。
Mattlab求解：首先利用Excel建立两个工作表edge和n分别存储图的上三角阵和顶点数量。
其中edge=99999 5 2 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 8 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 1 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999n=9,然后在Matlab调入以上数据。
同时将自编的动态规划软件“dynamic.m”调入当前目录之中，在Matlab命令窗口输入dynamic,回车后则在窗口显示出路径Path 和距离distance§2 最小生成树例1 某工厂要架设局域网联通工厂各个部门。
已知工厂有7个部门，各个部门间铺设网线的距离如上图所示，计算出铺设网线的最短距离。
Matlab 的算法：首先，将上图的邻接矩阵存储为G ,顶点数存储为N ；即：G=99999 50 60 99999 99999 99999 99999 50 99999 99999 65 40 99999 99999 60 99999 99999 52 99999 99999 45 99999 65 52 99999 50 30 42 99999 40 99999 50 99999 70 99999 99999 99999 99999 30 70 99999 99999 9999999999 45 42 99999 99999 9999925314765060 4565524050703042N=7,然后调入到Matlab 命令窗口中，另外将自编程序prim.m 存放到当前目录中，最后，输入prim 后回车。
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西华大学上机实验报告一、实验目的掌握网络图的计算机输入，求解最小树、最短路、最大流问题二、实验内容或设计思想首先将欲求的网络用计算机语言表达，再用lingo计算软件求出模型问题的解。
最小树应用破圈方法求解最大流算法用找流量可增链的方法求解网络最短路运用了动态规划，函数迭代、矩阵运算等的基本原理求解三、实验环境与工具计算机，lingo软件四、实验过程或实验数据最小树问题给定5个点,各点之间的距离如下程序所示。
试用LINGO软件解最小树问题。
link (city,city):dist,x;endsetsdata:dist=3 5 3 999999 9999993 7 54 9999999 6 0 6 7999999 4 6 0 45999999 6 7 5 0;enddataN=@size (city);min=@sum(link: dist*x);@for(city(k) |k#gt#1:@sum(city(i) |i#ne#k:x(i,k))=1;@for(city(j) |j#gt#1#and#j#ne#k:U(j)>=U(K)+x(k,j)-(n-2)*(1-x(k,j))+(n-3)*x(j,k);););@sum(city(j) |j#gt#1:x(1,j))>=1;@for(link:@bin(x););@for(city(k) |k#gt#1:@bnd(1,U(k),999999);U(k)<=n-1-(n-2)*x(1,k););End在LINGO中，使用SOLVE命令求解如下：Global optimal solution found.Objective value: 19.00000Objective bound: 19.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 7Variable Value Reduced Cost N 5.000000 0.000000 U( 1) 0.000000 0.000000 U( 2) 1.000000 0.000000 U( 3) 1.000000 0.000000 U( 4) 2.000000 0.000000 U( 5) 2.000000 0.000000 DIST( 1, 1) 3.000000 0.000000 DIST( 1, 2) 5.000000 0.000000 DIST( 1, 3) 3.000000 0.000000 DIST( 1, 4) 999999.0 0.000000 DIST( 1, 5) 999999.0 0.000000 DIST( 2, 1) 3.000000 0.000000 DIST( 2, 2) 7.000000 0.000000 DIST( 2, 3) 5.000000 0.000000 DIST( 2, 4) 4.000000 0.000000 DIST( 2, 5) 999999.0 0.000000 DIST( 3, 1) 9.000000 0.000000 DIST( 3, 2) 6.000000 0.000000 DIST( 3, 3) 0.000000 0.000000 DIST( 3, 4) 6.000000 0.000000 DIST( 3, 5) 7.000000 0.000000 DIST( 4, 1) 999999.0 0.000000 DIST( 4, 2) 4.000000 0.000000 DIST( 4, 3) 6.000000 0.000000 DIST( 4, 4) 0.000000 0.000000 DIST( 4, 5) 45.00000 0.000000 DIST( 5, 1) 999999.0 0.000000 DIST( 5, 2) 6.000000 0.000000 DIST( 5, 3) 7.000000 0.000000 DIST( 5, 4) 5.000000 0.000000 DIST( 5, 5) 0.000000 0.000000 X( 1, 1) 0.000000 3.000000 X( 1, 2) 1.000000 5.000000 X( 1, 3) 1.000000 3.000000 X( 1, 4) 0.000000 999999.0 X( 1, 5) 0.000000 999999.0 X( 2, 1) 0.000000 3.000000 X( 2, 2) 0.000000 7.000000 X( 2, 3) 0.000000 5.000000 X( 2, 4) 1.000000 4.000000 X( 2, 5) 0.000000 999999.0 X( 3, 1) 0.000000 9.000000 X( 3, 2) 0.000000 6.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 4) 0.000000 6.000000 X( 3, 5) 1.000000 7.000000 X( 4, 1) 0.000000 999999.0 X( 4, 2) 0.000000 4.000000 X( 4, 3) 0.000000 6.000000 X( 4, 4) 0.000000 0.000000 X( 4, 5) 0.000000 45.00000 X( 5, 1) 0.000000 999999.0 X( 5, 2) 0.000000 6.000000 X( 5, 3) 0.000000 7.000000 X( 5, 4) 0.000000 5.000000 X( 5, 5) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 0.0000002 19.00000 -1.0000003 0.000000 0.0000004 3.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 4.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 3.000000 0.0000009 4.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.00000012 0.000000 0.00000013 2.000000 0.00000014 3.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 2.000000 0.00000017 0.000000 0.00000018 3.000000 0.00000019 1.000000 0.00000020 0.000000 0.00000021 0.000000 0.00000022 2.000000 0.00000023 2.000000 0.000000最大流问题给定6个点,各点之间的距离和流量如下程序所示。
试用LINGO软件解最大流问题。
model:sets:nodes/1.. 6/;arcs(nodes,nodes)/1,2 1,4 2,3 2,4 3,5 4,6 5,2 5,4 5,6 6,1/:cap,flow; endsetsmax=flow(6,1);@for(arcs(i,j):flow(i,j)<cap(i,j));@for(nodes(i):@sum(arcs(j,i):flow(j,i))=@sum(arcs(i,j):flow(i,j)));data:cap=4,5,1,3,2,5,1,3,2,1000;enddataendend在LINGO中，使用SOLVE命令求解如下：Global optimal solution found.Objective value: 6.000000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostCAP( 1, 2) 4.000000 0.000000CAP( 1, 4) 5.000000 0.000000CAP( 2, 3) 1.000000 0.000000CAP( 2, 4) 3.000000 0.000000CAP( 3, 5) 2.000000 0.000000CAP( 4, 6) 5.000000 0.000000CAP( 5, 2) 1.000000 0.000000CAP( 5, 4) 3.000000 0.000000CAP( 5, 6) 2.000000 0.000000CAP( 6, 1) 1000.000 0.000000FLOW( 1, 2) 4.000000 0.000000FLOW( 1, 4) 2.000000 0.000000FLOW( 2, 3) 1.000000 0.000000FLOW( 2, 4) 3.000000 0.000000FLOW( 3, 5) 1.000000 0.000000FLOW( 4, 6) 5.000000 0.000000FLOW( 5, 2) 0.000000 1.000000FLOW( 5, 4) 0.000000 1.000000FLOW( 5, 6) 1.000000 0.000000FLOW( 6, 1) 6.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 6.000000 1.0000002 0.000000 0.0000003 3.000000 0.0000004 0.000000 1.0000005 0.000000 0.0000006 1.000000 0.0000007 0.000000 1.0000008 1.000000 0.0000009 3.000000 0.00000010 1.000000 0.00000011 994.0000 0.00000012 0.000000 1.00000013 0.000000 1.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 1.00000016 0.000000 0.00000017 0.000000 0.000000最短路问题给定10个点,各点城市之间的距离和路线如下程序所示。
试用LINGO软件解网络最短路。
!最短路问题;!最短路问题;model:data:n=10;enddatasets:cities/1..n/: F; !10个城市;roads(cities,cities)/1,2 1,32,4 2,5 2,63,4 3,5 3,64,6 4,85,7 5,7 5,96,8 6,107,108,109,10/: D, P;endsetsdata:D=5 43 5 87 5 1210 18 7 54 10589;enddataF(n)=0;@for(cities(i) | i #lt# n:F(i)=@min(roads(i,j): D(i,j)+F(j)););!显然，如果P(i,j)=1,则点i到点n的最短路径的第一步是i --> j，否则就不是。