高级计量经济学总结

高级计量经济学

第1章 经典回归模型相关理论

相关分析是研究变量间相互关系的最基本方法。相关指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。相关指的是线性相关。

1．相关的分类：

（1）按强度分：完全相关，强相关，弱相关，零相关。

（2）按变量个数分：简单相关（按形式：线性、非线性相关；按符号：正、负、零相关。）

复相关，偏相关。

2．相关的度量：

简单线性相关系数，简称相关系数，用 ρ 表示。

r 的统计表达式是

r =

∑∑∑===----T

t t T t t T

t t t y y T x x T y y x x T 12121

)(1

-1)(1-1))((1-1=

∑∑∑===----T t t T t t T

t t t y y x x y y x x 12

12

1)()()

)((

其中T ，样本容量；x t ，y t 变量的观测值；x ,y 变量观测值的均值。 3．简单相关系数的检验

查相关系数临界值表

6．偏相关系数

以3个变量x t , y t , z t ,为例（多于3个变量的情形与此相似。），假定控制z t 不变，测度x t , y t

偏相关关系的偏相关系数定义如下。

t t t z y x ,ρ= 控制z t 不变条件下的x t , y t 的简单相关系数。

7．复相关系数

（2）计算y t 与t y ˆ的简单相关系数，则称t t y y r ˆ是y t 与x t 1, x t 2, …, x t k -1的复相关系数。

复相关系数t t y y r ˆ与简单相关系数r 的区别是简单相关系数r 的取值范围是[-1，1]，复相关系数t t y y r ˆ的取值范围是[0，1]。

简单线性回归模型

（熟知各个估计量、统计量，学会分析EViews 输出结果）

简单线性回归模型如下， y t = β0 + β1 x t + u t

模型包含的经济意义。边际系数，弹性系数等。对经济问题，有时y t 对固定的t 只能取一个

或若干个值。但从建模原理上认为y t ，u t 是随机变量。对固定的t ，它们的值服从某种分布。

假定条件：

(1) u t ~ N (0, σ 2 ), (2) Cov(u i , u j ) = 0, (3) x i 是非随机的。(4) Cov(u i , x i ) = 0.

1．最小二乘估计（OLS ）：最小二乘法估计参数的原则是以“残差平方和最小”。

1

ˆβ= ∑∑---2

)())((x x y y x x t t t

ˆβ= x y 1ˆβ- 2．最小二乘估计量0

ˆβ和1ˆβ的特性： （1）线性特性，（2）无偏性，（3）最小方差性。 3．OLS 回归直线的性质： (1) 残差和等于零，∑ u t = 0

(2) 估计的回归直线 t y ˆ =0

ˆβ+1ˆβ x t 过（x ,y ）点。 (3) y t 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数，t y

ˆ=y 。 4．注意分清4个式子的关系：

真实的统计模型，y t = β0 + β1 x t + u t （通常是见不到的。）

估计的统计模型， y t =0

ˆβ+1ˆβ x t +t u ˆ （对上式的估计。） 真实的回归直线，E(y t ) = β0 + β1 x t （通常是见不到的。）

估计的回归直线，t y ˆ=0

ˆβ+1ˆβ x t （对上式的估计。）t u ˆ= y t - t y ˆ 5．y t 的分布和1

ˆβ的分布（保证正态分布是进行t , F 检验的基础。） y t ~ N (β0 + β1 x t , σ 2 )。 1

ˆβ ~ N (β1, ∑-2

)

(1

x x t σ 2 )。

6．σ 2 的估计：（σ 2 是对每一个u t 而言，但估计时却是用整个样本的残差计算而得。）

2ˆσ

= )2()(2-∑T e t , s.e . = 2ˆσ （s.e .越小越好），分母为什么是（T-2）？ 7．拟合优度的测量（评价模型的一个重要指标） R 2 =

∑∑--2

2)()ˆ(y y y y

t t = （回归平方和）/（总平方和）= SSR/SST

2R =1-

)1/()/(--T SST k T SSE = 1- SST

SSE

k T T --1

8．回归参数的显著性检验（用以检验相应变量是否为重要解释变量。）

H 0：β1 = 0； H 1：β1 ≠ 0

t =

)

1ˆ

(1ˆβββs -=

)

1ˆ

(1ˆββs = ∑-2

1

)

(ˆˆx x t σ

β~ t (T -2)

若 | t | > t α (T -2) ，则 β1 ≠ 0； 若 | t | < t α (T -2) ，则 β1 = 0。

（EViews 输出结果中相应概率小于0.05回归系数有显著性。）

9．回归参数的置信区间（给出模型参数真值的可信范围）

1ˆβ- t α (T -2) )ˆ(1

β

s < β < 1ˆβ+ t α (T -2))ˆ(1

βs

10．单方程回归模型的预测 (1) 单个y T +1的点预测。

根据估计的回归函数，t y ˆ =0ˆβ+1ˆβ x t ，得1ˆ+T y =0

ˆβ+1ˆβ x T +1 单个1ˆ+T y

的区间预测是 1ˆ+T y

± t α(T -2) s (1ˆ+T y

) = 1ˆ+T y ± t α(T -2) σˆ∑

--+

++2

2

1)()

(11x x x x T t T E(y T +1)的区间预测是

1ˆ+T y

± t α(T -2) s (E(1ˆ+T y )) = 1ˆ+T y ± t α(T -2) σˆ∑

--++2

2

1)()(1x x x x T t T （单个1ˆ+T y 的预测区间比E(y T +1)的预测区间多u t 的一个标准差。）

1.3 多元线性回归与最小二乘估计

1．假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理

y t = β0 +β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 + u t ,

对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释

变量。u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。使y t 的变化偏离了E( y t ) = β0 + β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 决定的k 维空间平面。

当给定一个样本（y t , x t 1, x t 2 ,…, x t k -1）, t = 1, 2, …, T , 时，上述模型表示为 Y = X β + u ,

假定 ⑴ E(u ) = 0, Var (u ) = σ 2I .

假定 ⑵ E(X 'u ) = 0. 假定 ⑶ rk(X 'X ) = rk(X ) = k .

假定 ⑷ 解释变量是非随机的，且当T → ∞ 时T – 1X 'X → Q , 其中Q 是一个有限值的非退化矩阵。

最小二乘法 (OLS) 公式： β

ˆ= (X 'X )-1 X 'Y 估计的回归模型： Y = X β

ˆ+ u ˆ β

ˆ的方差协方差矩阵： Var(βˆ) = E[(βˆ–β) (βˆ–β)']= σ 2 (X 'X )-1 2. 残差的方差 s 2 = u

ˆ'u ˆ/ (T - k ) , s.e . = s 3．β

ˆ的估计的方差协方差矩阵是 ∧

Var (βˆ) = s 2 (X 'X )-1 4. 调整的多重确定系数 2R = 1 - )1/()/(--T SST k T SSE = 1- )

()

1(k T T --(1- R 2)

5. OLS 估计量的分布