高中数学平行关系
高中数学平面向量共面与平行关系分析
高中数学平面向量共面与平行关系分析在高中数学的学习中，平面向量是一个重要的概念。
平面向量的共面与平行关系是其中的一个重要考点。
本文将通过具体的题目举例，分析这一考点，并给出解题技巧和使用指导。
一、共面关系的概念和判断方法共面关系是指三个或三个以上的向量在同一个平面上。
对于三个向量a、b、c，如果它们满足以下条件之一，即可判断它们共面：1. 向量a、b、c线性相关，即存在不全为零的实数k1、k2、k3，使得ka+kb+kc=0。
2. 向量a、b、c所在的平面上存在一条公共直线。
例如，考虑以下题目：已知向量a=2i+j，b=i-2j，c=3i-4j，判断向量a、b、c是否共面。
解：我们可以通过判断向量a、b、c是否线性相关来判断它们是否共面。
设ka+kb+kc=0，则有2ka+ka+3ka=0，2kb-2kb-4kb=0，得到方程组：2k+1k+3k=0，2k-2k-4k=0。
解方程组得到k=0，即ka+kb+kc=0。
因此，向量a、b、c线性相关，它们共面。
二、平行关系的概念和判断方法平行关系是指两个向量的方向相同或相反。
对于两个向量a、b，如果它们满足以下条件之一，即可判断它们平行：1. 向量a与向量b的坐标分量的比值相等，即a1/b1=a2/b2=...=an/bn。
2. 向量a与向量b的方向向量相等或相反。
例如，考虑以下题目：已知向量a=2i+j，b=4i+2j，判断向量a、b是否平行。
解：我们可以通过判断向量a与向量b的坐标分量的比值是否相等来判断它们是否平行。
计算得到a1/b1=2/4=1/2，a2/b2=1/2。
因此，向量a、b平行。
三、解题技巧和使用指导1. 判断共面关系时，可以利用线性相关的概念。
如果三个向量线性相关，则它们共面；如果三个向量线性无关，则它们不共面。
2. 判断平行关系时，可以利用坐标分量的比值相等的概念。
如果两个向量的坐标分量的比值相等，则它们平行；如果两个向量的坐标分量的比值不相等，则它们不平行。
高中数学知识点精讲精析 平行关系的判定
1.5.1 平行关系的判定（一）直线与直线平行的判定方法1.利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 推理模式：3.判定方法：○1○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.4.利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；5.利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；6.利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；7.利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；8.利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.a l a l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒α ab（二）直线与平面平行的判定方法1.利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2.利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）.3.利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面.（三）平面和平面平行的判定方法1.利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2.利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；符号表示：a βb βa ∩b = P β∥α a ∥α b ∥α3.证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明.利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾. （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行.用符号表示是：a ∩b ，a α，b α，a ∥β，b ∥β，则α∥β.（3）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β. （4）平行于同一个平面的两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒4.利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；5.利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．6.利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；例1 如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD//平面EFGH.证明：∵EH // FG , EH Ë平面BCD ，FG Ì平面BCD ，∴EH // 平面BCD .又∵EH 在平面ABD内，∴EH // BD .又∵ EH 在平面 EFGH内 , BD 不在平面 EFGH内 ,∴ BD // 平面 EFGH .点评：转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 此题属于教材（必修②人教A 版）中第64 页的3 题的演变, 同样还可证 AC // 平面EFGH . 例2.正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN求证：MN∥平面BEC分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC 中与MN 证法（一）：作NK ∥AB 交BE 于K ，作MH ∥AB 交BC 于H ∴MH ∥NK∵ABCD 与ABEF 是两个有公共边AB 的正方形 ∴它们是全等正方形 ∵AM=FN ∴CM=BN又∠HCM=∠KBN ，∠HMC=∠KNB ∴△HCM ≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN 是平行四边形 ∴MN ∥HK ∵HK ⊂平面BEC MN ⊄平面BEC ∴MN ∥平面BEC证法（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行 过N 作NP ∥BE ，连MP ，∵NP ∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN ，AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP ∥BC ∴平面MNP ∥平面BCE ∴MN ∥平面BCE例3（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？（2）空间四条平行直线可确定几个平面？（3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？ 答案：（1）1个或3个（2）1个，4个或6个 （3）1个，3个或4个[例2]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E.F 分别为棱BC.C1D1 的中点. 求证：EF ∥平面BB1D1D.证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ， OE=1/2DC. ∵ DC ∥D1C1， DC=D1C1 ， F 为D1C1 的中点，∴ OE ∥D1F ， OE=D1F ， 四边形D1FEO 为平行四边形.F EN KA P BM HD C∴ EF∥D1O.又∵ EF不在平面BB1D1D， D1O不在平面BB1D1D，∴ EF∥平面BB1D1D.例4 已知直线l//平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）.A.平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面答案;D。
新版高中数学北师大版必修2课件1.5.2平行关系的性质
5.2 平行关系的性质
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探究一
探究二
易错辨析
正解取D1D的中点G,连接EG,GC, ∵E是A1A的中点,G是D1D的中点,∴EG������ AD. 由正方体性质知AD������ BC,∴EG������ BC. ∴四边形EGCB是平行四边形,∴EB������ GC.① 又∵G,F分别是D1D,C1C的中点,∴D1G������ FC. ∴四边形D1GCF为平行四边形,∴D1F������ GC.② 由①②知EB������ D1F,∴四边形BED1F是平行四边形. 纠错心得1.立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能直
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5.2 平行关系的性质
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做一做2 平面α∥平面β,平面γ∥平面δ,且 α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,则交线a,b,c,d的位置关系是 ( )
A.互相平行 B.交于一点 C.相互异面 D.不能确定 解析:由面面平行的性质定理,可知答案为A. 答案:A
探究一
探究二
易错辨析
探究二平面与平面平行的性质及其应用
【例2】 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面 A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面 AB1C1?并证明你的结论.
分析:先找出过DE与平面AB1C1平行的平面,可直接找出过D、E 与△AB1C1的三边平行的直线,进而确定平面,然后确定其与棱AB的 交点,即可找出E点位置,然后利用定理进行证明即可.
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系知识结构图】第 3 课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行” 、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
基础练习】1．若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l1, l2与同一平面所成的角相等, 则l1,l2互相平行.④若直线l1, l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直。
4. 已知a、b、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a∥c，b∥c a∥b；②a∥r，b∥r a∥b；③α∥c，β∥c α∥β；④α∥r，β∥r α∥β；⑤a∥c，α∥c a∥α；⑥a∥r ，α∥r a∥α．其中正确的命题是①④范例导析】例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．求证：AB∥平面EFG．证明：∵面EFGH是截面．∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．∴ EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EH∥GF．∴ EH∥面ABD．又∵ EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB∴EH∥AB．∴ AB∥面EFG．例2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证 :MN ∥平面 AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采 用任何一种转化方式。
简证：法 1：把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。
即在平面 ABB 1A 1内找一条直线与 MN 平行，如图所示作平行线即可 法 2 ：把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。
高中数学平面向量的夹角与平行关系判断
高中数学平面向量的夹角与平行关系判断在高中数学中，平面向量的夹角与平行关系是一个重要的概念。
掌握了这些概念，不仅可以帮助我们解决向量的运算问题，还可以应用到几何问题中。
本文将以具体的题目为例，详细介绍夹角与平行关系的判断方法，并给出相应的解题技巧。
一、夹角的判断夹角是指两个向量之间的夹角，其大小可以用余弦定理计算。
假设有向量a和向量b，它们的夹角θ满足以下公式：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模。
例题1：已知向量a = (3, 4)和向量b = (1, -2)，求向量a和向量b的夹角。
解析：根据余弦定理，可以得到：cosθ = (3×1 + 4×(-2)) / (√(3^2 + 4^2) × √(1^2 + (-2)^2))计算得到cosθ = -5 / √29，再利用反余弦函数求得夹角θ ≈ 2.65弧度。
通过这个例题，我们可以看出夹角的计算方法是基于向量的数量积和模的概念，因此在解题过程中需要熟练掌握这些知识点。
二、平行关系的判断平行关系是指两个向量之间的方向相同或相反。
在数学中，可以通过向量的坐标表示来判断两个向量是否平行。
例题2：已知向量a = (2, -3)和向量b = (4, -6)，判断向量a和向量b是否平行。
解析：如果向量a和向量b平行，那么它们的坐标比例应该相等。
我们可以通过计算坐标比例来判断是否平行：2 / 4 = -3 / -6化简得到1 = 1，说明向量a和向量b是平行的。
通过这个例题，我们可以得出判断向量平行关系的方法，即比较两个向量的坐标比例是否相等。
三、举一反三除了以上的基本题型外，还有一些稍微复杂一些的题目，需要我们灵活运用夹角和平行关系的判断方法。
例题3：已知向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，向量c = (5, 6)，判断向量c是否与向量a平行。
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中有着重要的作用。
本文将重点讨论向量的平行与垂直关系的判定及其在解题中的运用。
一、向量的平行关系判定两个向量平行的判定方法有多种，我们可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向相同且长度成比例：若向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=k*b（k为非零实数），则向量a与向量b平行。
例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=2*(2i+3j)，因此向量a与向量b平行。
2. 内积为零：若向量a与向量b的内积等于零，即a·b=0，则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的内积为a·b=(3i-2j)·(2i+3j)=6-6=0，因此向量a与向量b垂直。
二、向量的垂直关系判定两个向量垂直的判定方法同样有多种，我们也可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向互为相反且长度成比例：若向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-k*b（k为非零实数），则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=-2i-3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-2*(2i+3j)，因此向量a与向量b垂直。
2. 外积为零：若向量a与向量b的外积等于零，即a×b=0，则向量a与向量b 平行或共线。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的外积为a×b=(3i-2j)×(2i+3j)=13k，由于外积不等于零，因此向量a与向量b不平行也不垂直。
三、运用示例向量的平行与垂直关系在解题中有着广泛的应用。
下面通过几个具体的题目来说明。
题目一：已知向量a=3i-4j，向量b=-2i-6j，判断向量a与向量b的关系。
高中数学 3-2-1 空间向量与平行关系课件 新人教A版选修2-1
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共 线，也不垂直，∴l 与 α 斜交．
图2
证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标 系．
设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)， B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴A→D1＝ (－ 2, 0,2)，C→D1 ＝(0，－ 2,2)， B→O1＝ (－ 1，－ 1,2)， ∴B→O1＝12A→D1＋12C→D1， ∴B→O1与A→D1、C→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1.又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一 是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是 证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共 面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面 的法向量垂直．
迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中， OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝ 2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是 O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
图3
解析：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量，
高一数学 空间中的平行关系
济南市长清第一中学
考点二 平面与平面平行的判定与性质
1、设直线l，m，平面α，β，下列条件能得 出α∥β的有( )
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β； ②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β； ③l∥α，m∥β，且l∥m； ④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
高中数学一年级
空间中的平行关系复习课
目录
1 知识回顾 2 考点一 直线与平面平行的判定与性质 3 考点二 平面与平面平行的判定与性质 4 考点三 线面、面面平行的综合应用
知识回顾：
一、直线与直线平行
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
2、判定直线与直线平行的常用方法： （1）三角形中利用中位线定理 （2）构造平行四边形 （3）平行线的传递性 （4）平行线分线段成比例
故面GFH∥面ACD
方法二 取BE的中点M,连接GM,FM
G, M , F分别是CE, BE, AE的中点
GM // BC, FM // AB
又 GM 面GMF , FM 面GMF , AB 面ABC, BC 面ABC
GM FM M, AB BC B 面GMF // 面ABC
GF 面GMF
GF // 面ABC
考点一 直线与平面平行的判定与性质
1.“直线与平面内无数条直线平行”是“直线//平面”
的（ ）
A． 充要条件
B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
答案：C
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平 面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G， 过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：
高中数学必修2平行关系习题课
面面平行
性质定理
a
b
[例 1]
如图所示，已知三棱锥 A—BCD 被一平
面所截，截面为▱EFGH，求证：CD∥平面 EFGH.
[证明]
∵EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.
又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD， ∴EF∥平面BCD. 而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD， ∴EF∥CD. 又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH.
平行关系习题课
学习目标 1、掌握线线、线面、面面平行的判定； 2、掌握平行关系的相互转化
复习回顾
a b a / / a / /b
判定定理
线线平行
线面平行
性质定理
判定定理
b a / / / / b / / a b A
1．求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线 和它们的交线平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
2．过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A1，C1，B 的平面与底 面 ABCD 所在的平面的交线为 l，则 l 与 A1C1 的位置关系 是________．
3.
如图所示，P 为▱ABCD 所在平面外一点，点 M，N 分别 为 AB，PC 的中点，平面 PAD∩平面 PBC＝l. (1)求证：BC∥l； (2)MN 与平面 PAD 是否平行？证明你的结论．
E F
[例2]
如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面
α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中 点．求证：MN∥平面α.
P
D1
C1
高中数学选择性必修1 知识点
高中数学选择性必修1知识点1. 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则(1)平行关系：当b ≠0时，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；(2)垂直关系：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.注意：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若a ∥b ，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2成立的条件是x 2y 2z 2≠0. 2．空间两点间的距离公式：设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2＝|P 1P 2—→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.3．空间向量的夹角公式：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 21＋a 21b 21＋b 22＋b 23. 4. 对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内⇔存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式．爪型定理：对空间任意一点O ，则OP xOA yOB =+()1x y +=⇔P A B 、、三点共线.对空间任意一点O ，则OP xOA yOB zOC =++()1x y z ++=⇔P A B C 、、、四点共面.5.①设u 1，u 2分别是直线l 1，l 2的方向向量，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2；l 1⊥l 2⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. ②设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l ⊄α，则l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0；l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得 u ＝λn .③设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2；α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.6. 已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设AP →＝a ，则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a·u )u .在Rt △APQ 中，由勾股定理，得PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝a 2－(a ·u )2.常用：点P 到直线AB 的距离为22PA AB d PA AB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭.7. 已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则点P 到平面α的距离PQ ＝|AP →·n ||n |. 8. 若异面直线 l 1，l 2 所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝⎪⎪⎪⎪u ·v |u ||v |＝|u ·v ||u ||v |.9. 设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪u ·n |u ||n |＝|u ·n ||u ||n |.10. 若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.注意：两异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，两向量所成角的范围是[0，π]，线面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]，两个平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. 11. 当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； α的取值范围为0°≤α<180°.12. 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. 若直线与x 轴平行或重合，则k ＝0.13. 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1，当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率不存在． 14．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝y x. 15. 对于斜率分别为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2，有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.注意：(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l 1与l 2不重合．(2)k 1＝k 2⇒l 1∥l 2或l 1与l 2重合(斜率存在)．(3)l 1∥l 2⇒k 1＝k 2或两条直线的斜率都不存在．16. l 1与l 2的斜率都存在，分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则k 1＝－1k 2. 17. 设直线l 与坐标轴的交点为(a ，0) 、(0，b )，则a 叫做直线l 在x 轴上的截距, b 叫做直线l 在y 轴上的截距．截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.18. 点斜式方程：y －y 0＝k (x －x 0)；斜截式方程：y ＝kx ＋b ；两点式方程：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)；截距式方程：x a ＋y b＝1 19. 把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． ①方程是关于x ，y 的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列． ③x 的系数一般不为分数和负数．20. 当A ，B ，C 满足下列条件时，直线Ax ＋By ＋C ＝0有如下性质:①当A ≠0，B ≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A ≠0，B ＝0，C ≠0时，直线只与x 轴相交，即直线与y 轴平行，与x 轴垂直；③当A ＝0，B ≠0，C ≠0时，直线只与y 轴相交，即直线与x 轴平行，与y 轴垂直；④当A ＝0，B ≠0，C ＝0时，直线与x 轴重合；⑤当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线与y 轴重合．21. 已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)．(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0. (2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.22. 与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )，；与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0.23. ⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0. 24. 点到直线的距离公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 25. 两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为0，C 1≠C 2)之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.。
人教A高中数学必修二2.2直线与平面平行的判定
典型例题
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于 经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中， E，F分别AB，AD的中点．
求证：EF//平面BCD．
证明：连接BD.
AA EF
D
B
C
因为, E，F分别AB，AD的中点 所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
因为 EF 平面BCD,BD 平面BCD
由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD.
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中，
（1）与AB平行的平面是 平面
平面
；
（2）与 AA平行的平面是平面
（3）与AD平行的平面是 平面
平面
；
平面
；
D A
D A
C B
C B
作业 P56 2
a
b
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该 直线与此平面平行．
a
图形语言
b
a
b
a //
a
// b
符号语言
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得 到线面平行的结论．
怎样判定直线与平面平行？
（1）定义法：证明直线与平面无公共点； （2）判定定理：证明平面外直线与平面内直线平 行．
直线与平面平行的判定
人教版高二数学必修2
复习引入
直线与平面有几种位置关系？ 有三种位置关系：在平面内，交、平行．
a
a A
a //
其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多， 而且是学习平面和平面平行的基础．
怎样判定直线与平面平行呢？
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定 直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
2019-2020学年高中数学北师大版必修2一课三测：1.5.2 平行关系的性质 含解析
5．2平行关系的性质填一填1.直线与平面平行的性质文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．图形语言符号语言a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b判一判1.如果一条直线和一个平面平行,则这条直线只和这个平面内一条直线平行．（×）2．若a∥α，则在α内存在直线与a平行．(√）3．若平面α，β平行，γ∩α＝a，γ∩β＝b，在β中除了b之外还有无数条直线平行于直线a。
（√)4．平面α，β，γ满足γ∩β＝a，γ∩α＝b,则a∥b。
（×)5．若一条直线与平面平行，那么这条直线与这个平面没有公共点．（√)6．若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的直线互相平行．（×）7．若两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．（√)8．已知两个平面平行，想一想1.两个平面平行,那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？提示：不一定．因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点,它们平行或异面．2．两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？提示：平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点,则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点,所以它们平行．3．利用线面平行性质定理解题的步骤是什么？提示：4．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤是什么?提示:思考感悟：练一练1.已知直线m，n及平面α，β有下列关系:①m，nβ②nα③m∥α④m∥n。
现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论,组成一个真命题是________．答案：①②③⇒④或①②④⇒③2．设有不同的直线a，b和不同的平面α,β，γ,给出下列三个命题，其中正确的命题有（)①若a∥α，b∥α,则a∥b②若a∥α，a∥β,则α∥β③若α∥β，aα，则a∥βA．0个B．1个C．2个D．3个答案：B3．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n,则m,n的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案：A4．如图，在三棱锥S －ABC 中,E ，F 分别是SB ，SC 上的点，且EF ∥平面ABC ,则（ )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BCC ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能 答案：B 5．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ABCD 所在的平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．答案：平行知识点一 直线与平面平行性质的应用1。
高中数学人教A版必修二教师用书19-20 第8章 8.5.3 平面与平面平行
8.5.3平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能应用这两个定理解决问题．( 重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．( 难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习,培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.1．平面与平面平行的判定( 1)文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行．( 2)符号语言:a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒β∥α.( 3)图形语言:如图所示．2．平面与平面平行的性质定理( 1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行．( 2)符号语言:α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b.( 3)图形语言:如图所示．( 4)作用:证明两直线平行．思考:如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗?[提示]不一定．它们可能异面．1．已知平面α内的两条直线a,b,a∥β,b∥β,若要得出平面α∥平面β, 则直线a,b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．垂直A[根据面面平行的判定定理可知a,b相交．]2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面A[因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]3．已知平面α∥平面β,直线l∥α,则( )A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交C[假设l与β相交,又α∥β,则l与α相交,与l∥α矛盾,则假设不成立,则l∥β或l⊂β.]4．已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD＝EF,平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′,则EF与E′F′的位置关系是( ) A．平行B．相交C．异面D．不确定A[由面面平行的性质定理易得．]平面与平面平行的判定【例11111A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证:( 1)E、F、B、D四点共面;( 2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究]( 1)欲证E、F、B、D四点共面,需证BD∥EF即可．( 2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AN∥平面BDFE即可．[详解]( 1)连接B1D1,∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点,∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．( 2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点,∴MF∥A1D1,MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形,∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE,DF⊄平面BDFE,∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M,∴平面MAN∥平面EFDB.平面与平面平行的判定方法:( 1)定义法:两个平面没有公共点．( 2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．( 3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.( 4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.1．如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形．点M,N,Q分别在P A,BD,PD上,且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.[证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD,∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q,∴平面MNQ∥平面PBC.平面与平面平行的性质[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些?[提示]必须具备三个条件:①平面α和平面β平行,即α∥β;②平面γ和α相交,即α∩γ＝a;③平面γ和β相交,即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．线线、线面、面面平行之间有什么联系?[提示]联系如下:【例2】如图,已知平面α∥平面β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且P A＝6,AC＝9,PD＝8,求BD的长．[详解]因为AC∩BD＝P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为α∥β,α∩平面PCD ＝AB ,β∩平面PCD ＝CD ,所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PBBD ,即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.1. 将本例改为:已知平面α∥β∥γ,两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6,DE DF ＝25,则AC ＝ .15 [由题可知DE DF ＝ABAC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15.]2．将本例改为:若点P 在平面α,β之间( 如图所示),其他条件不变,试求BD 的长．[详解] 与本例同理,可证AB ∥CD . 所以P A PC ＝PB PD ,即63＝BD －88,所以BD ＝24.3．将本例改为:已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ,直线a 与这三个平面依次交于点A、B、C,直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证:ABBC＝EFFG.[证明]连接AG交β于H,连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ,平面ACG∩β＝BH,平面ACG∩γ＝CG,所以BH∥CG.同理AE∥HF,所以ABBC ＝AHHG＝EFFG.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤:平行关系的综合应用【例3】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M 是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:GH∥平面P AD.[证明]如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.∵ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴P A∥MO,而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,∴P A∥平面BMD,又∵P A⊂平面P AHG,平面P AHG∩平面BMD＝GH,∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD,GH⊄平面P AD,∴GH∥平面P AD.1．证明直线与直线平行的方法( 1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等,两直线平行;三角形中位线的性质;平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．( 2)基本事实4.( 3)线面平行的性质定理．( 4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法:( 1)线面平行的判定定理．( 2)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.求证:CD∥平面EFGH.[证明]由于四边形EFGH是平行四边形,∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD＝CD,∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,∴CD∥平面EFGH.1．三种平行关系的转化.2．常用的面面平行的其他几个性质( 1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．( 2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．( 3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．( 4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例．( 5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．1．判断正误( 1)α内有无数多条直线与β平行,则α∥β.( )( 2)直线a∥α,a∥β.则α∥β.( )( 3)直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,则α∥β.( )( 3)α内的任何直线都与β平行,则α∥β.( )[答案]( 1)×( 2)×( 3)×( 4)√2．a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交D[如图①②③所示,a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③3．若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D[由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确．] 4．用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若A1A>A1C1,则截面的形状可以为．( 填序号)①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形．②⑤[当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形．]5．如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱AB,AC上的点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD .求证:BC＝2EF.[证明]因为平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG＝EG,平面ABD∩平面BCD＝BD,所以EG∥BD,又G为AD的中点,故E为AB的中点,同理可得,F为AC的中点,所以BC＝2EF.11。
高中数学平行关系图解教案
高中数学平行关系图解教案
一、教学目标
1. 理解平行关系的定义和性质。
2. 掌握平行线与平行线、平行线与直线的性质和定理。
3. 能够通过图解的方式解决相关问题。
二、教学准备
1. 教师准备：课件、白板、彩色笔等。
2. 学生准备：书写工具、教科书。
三、教学过程
第一步：引入
教师通过引入实际生活中的例子，引起学生对平行关系的兴趣，并提出学习的重点和目标。
第二步：讲解平行线的定义和性质
1. 讲解平行线的定义：两条直线平行的定义是：如果两条直线在同一平面内，且不相交，
那么这两条直线是平行的。
2. 引导学生理解平行线的性质：平行线的性质包括：同位角相等、内错角相等、内外夹角
互补等。
第三步：讲解平行线与平行线、平行线与直线的性质和定理
1. 讲解平行线与平行线的性质和定理：如同位角定理、内错角定理等。
2. 讲解平行线与直线的性质和定理：如平行线切割等定理。
第四步：通过图解解决相关问题
1. 给出一些实际问题，要求学生通过图解的方式解决。
2. 学生进行讨论和解答，教师进行点评和总结。
第五步：课堂小结
对本节课的重点内容进行总结，并强调学生应该掌握的知识点和技能。
四、作业布置
布置综合练习题，要求学生巩固所学知识，掌握相关技能。
五、教学反思与评价
通过本节课的教学实施和学生的表现，反思教学过程中存在的不足之处，并对教学效果进行评价。
高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.5.1.1直线与平面平行的判定2
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知四边形ABCD,ABEF都是正方
形,M∈AC,N∈BF,且AM=FN.求证:MN∥平面BCE.
证明:如图所示,作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点
Q,连接 PQ,
∴MP∥NQ.
∵AM=FN,
∴MP=
2
2
=
2
2
= .
∴MPNQ, ∴四边形 MNQP 为平行四边形.
面不平行 直线在
平面内
——有无数个公共点
直线在平面内
②按是否在平面内分类 直线不在 直线和平面相交
平面内 直线和平面平行
【做一做1】 若直线l在平面α外且直线l上所有的点到平面α的距
离都相等,则直线l与平面α的位置关系是
.
答案:l∥α
2.直线与平面平行的判定定理
直线与平面平行的判定定理告知我们,可以通过直线间的平行来
直线与
个公共点 P,我们称直线 a 与
平面相交
平面 α 交于点 P
a∩α=P
如果直线 a 与平面 α 没有公
直线与
共点,我们称直线 a 与平面 α
平面平行
平行
a∥α
名师点拨直线与平面的位置关系有两种分类方法:
直线和
——无公共点
平面平行
①按公共点个数分类
直线和
有且只有
——
直线和平 平面相交
一个公共点
证明直线与平面平行.通常我们将其记为“若线线平行,则线面平行”.
因此,对于线面平行的问题通常转化为线线平行的问题来解决.也
就是说,证明一条直线和一个平面平行,只要在这个平面内找到一
高中数学知识点总结及公式大全立体几何中的平行与垂直问题
高中数学知识点总结及公式大全立体几何中的平行与垂直问题高中数学知识点总结及公式大全：立体几何中的平行与垂直问题在高中数学中，几何是一个重要的分支，而立体几何更是其中的重要内容之一。
在立体几何中，平行和垂直是我们经常遇到的问题。
本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，并提供一些常用的公式。
一、平行与垂直的概念在几何中，平行和垂直是两个基本的关系。
平行指的是两条直线永远不会相交的情况，可以想象成两条铁轨永远平行。
垂直则指的是两条直线相互成直角，可以想象成两根彼此垂直的木棍。
二、平行与垂直的判定方法1. 平行关系的判定方法：(1) 同位角相等定理：如果两条直线被一组相交线段所切割，且这些相交线段的对应角相等，则这两条直线是平行的。
(2) 平行线的性质定理：如果一条直线上的两个点分别与另一条直线上的两个点相连，且相连的线段互相平行，则这两条直线是平行的。
(3) 平行线的判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。
2. 垂直关系的判定方法：(1) 两条直线相交且相交角为90度，则这两条直线是垂直的。
(2) 垂直线的性质定理：如果一条直线与另一条直线相互垂直，且这两条直线各自还与第三条直线相交，则第三条直线与这两条直线也是垂直的。
(3) 垂直线的判定定理：如果两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线是垂直的。
三、常用公式在立体几何中，我们经常使用一些公式来求解问题。
下面是一些常用的公式：1. 立方体的表面积公式：立方体的表面积等于6倍的边长平方。
2. 立方体的体积公式：立方体的体积等于边长的立方。
3. 正方体的表面积公式：正方体的表面积等于6倍的边长平方。
4. 正方体的体积公式：正方体的体积等于边长的立方。
5. 圆柱体的表面积公式：圆柱体的表面积等于2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h为高。
6. 圆柱体的体积公式：圆柱体的体积等于πr²h，其中r为底面半径，h为高。
人教版高中数学新教材必修第二册课件8.5.1直线与直线平行8.5.2直线与平面平行
证明： a //
a与没有公共点
又因为b在内
a
a与b没有公共点
b
又 a与b都在平面内
且没有公共点
a // b
讲
课
人
：
邢
启 强
18
学习新知
直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这 条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平
a
注意：
b
1、定理三个条件缺一不可。
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
3
学习新知 8.5.1直线与直线平行
基本事实４：在空间平行于同一条直线的两条直线互
相平行．
———平行线的传递性
推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.
它给出了判断空间两条直线平行的依据.
讲
课
人
：
邢
启 强
4
典型例题
例１、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是 边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形.
启 强
7
学习新知
讲
课
人
：
邢
启 强
8
讲
课
人
：
邢
启 强
9
学习新知
在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用 广泛，而且是学习平面与平面平行的基础.怎样判定直线与平面平行呢？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共 点，但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平 面没有公共点呢?
讲
课
人
：
邢
启 强
2
高中数学平行关系图解教案
高中数学平行关系图解教案一、教学目标1. 理解平行线的定义及其性质。
2. 掌握判断直线平行的方法。
3. 能够应用平行关系解决实际问题。
二、教学内容与重点1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。
2. 平行线的判定：通过同位角相等、内错角相等等性质来判断直线是否平行。
3. 平行线的性质：平行线间的距离处处相等，以及平行线与第三条直线相交时产生的同位角、内错角等的关系。
三、教学方法采用直观教学与探究学习相结合的方式，通过图解示例和实际操作，引导学生自主发现平行关系的规律。
四、教学过程1. 引入新课：通过展示两条铁轨的图片，引出平行线的概念。
2. 讲解定义：详细解释平行线的定义，并用图示辅助说明。
3. 探讨判定方法：通过几个具体的图例，让学生观察并总结判断平行线的几种方法。
4. 验证性质：通过作图和测量，让学生亲自验证平行线的性质。
5. 应用实践：布置相关的练习题，让学生在实际问题中运用平行关系进行解题。
6. 小结回顾：总结本节课的重点内容，确保学生对平行关系有清晰的认识。
五、教学评价通过课堂提问、作业检查和小测验等方式，评估学生对平行关系的理解和掌握情况。
六、教学反思课后，教师应根据学生的反馈和学习效果，对教学方法和内容进行调整和优化。
七、教案实施注意事项1. 在讲解平行线的定义时要清晰准确，避免产生歧义。
2. 在探讨判定方法时，要引导学生通过观察和思考来自主发现规律。
3. 在验证性质时，要注重培养学生的实验操作能力和精确度。
4. 在应用实践中，要鼓励学生发挥创造性思维，解决实际问题。
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第4节 平行关系最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行. (2)判定定理与性质定理2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫作平行平面. (2)判定定理与性质定理[常用结论与微点提醒] 1.平行关系中的两个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2.线线、线面、面面平行间的转化诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( ) (2)若直线a ∥平面α，P ∈α，则过点P 且平行于直线a 的直线有无数条.( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ) 解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a ∥α，P ∈α，则过点P 且平行于a 的直线只有一条，故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材习题改编)下列命题中正确的是( )A.若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B.若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b α，则b ∥α 解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选D. 答案 D3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α.“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交.当α∥β时，由m α可知，m∥β.∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.答案 B4.(2018·西安模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.m∥α，n∥α，则m∥nB.m∥n，m∥α，则n∥αC.m⊥α，m⊥β，则α∥βD.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n α，B 不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D错.答案 CB1C1D1中，E为DD15.(教材练习改编)如图，正方体ABCD－A的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1 平面ACE，EO 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】(1)(2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)(2018·安庆模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝23BD1，则下面说法正确的是________(填序号).①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.解析(1)①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN 面APC，所以MN∥面APC是错误的.对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN 平面APC，C1Q 平面APC.所以C1Q∥面APC是正确的.对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.对于④，由①知MN 面APC，又MN 面MNQ，所以面MNQ∥面APC是错误的.答案(1)B(2)②③规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】 (1)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且m ，n α，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析 (1)若m ，n α，α∥β，则m ∥β且n ∥β；反之若m ，n α，m ∥β且n ∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的充分不必要条件.(2)当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 答案 (1)A (2)②③④考点二 直线与平面平行的判定与性质(多维探究) 命题角度1 直线与平面平行的判定【例2－1】 (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点. (1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积.(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT 平面PAB ，MN 平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453. 命题角度2 直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】 (2018·宜春质检)如图，五面体ABCDE ，四边形ABDE是矩形，△ABC 是正三角形，AB ＝1，AE ＝2，F 是线段BC 上一点，直线BC 与平面ABD 所成角为30°，CE ∥平面ADF . (1)试确定F 的位置； (2)求三棱锥A －CDF 的体积.解 (1)连接BE 交AD 于点O ，连接OF ，∵CE ∥平面ADF ，CE 平面BEC ，平面ADF ∩平面BEC ＝OF ， ∴CE ∥OF .∵O 是BE 的中点，∴F 是BC 的中点.(2)∵BC 与平面ABD 所成角为30°，BC ＝AB ＝1， ∴C 到平面ABD 的距离为h ＝BC ·sin 30°＝12. ∵AE ＝2，∴V A －CDF ＝V F －ACD ＝12V B －ACD ＝12V C －ABD ＝12×13×12×1×2×12＝112.规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【训练2】(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB 平面ABC，EF 平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC 平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD 平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB 平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC 平面ABC，∴AD⊥AC.考点三面面平行的判定与性质(典例迁移)B1C1中，E，【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－AF，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB，∴A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移探究1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B 平面A1BD1，DM 平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM 平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.【迁移探究2】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC 的值.解 连接A1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1.又由题设A 1D 1D 1C 1＝DCAD ，∴DC AD ＝1，即ADDC ＝1.规律方法 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【训练3】 (2018·东北三省四校联考)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点.(1)若线段AC 上存在点D 满足平面DEF ∥平面ABC 1，试确定点D 的位置，并说明理由； (2)证明：EF ⊥A 1C .(1)解 点D 是AC 的中点，理由如下：∵平面DEF ∥平面ABC 1，平面ABC ∩平面DEF ＝DE ，平面ABC ∩平面ABC 1＝AB ， ∴AB ∥DE ，∵在△ABC中，E是BC的中点，∴D是AC的中点.(2)证明∵三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AA1，∴四边形A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1.∵AA1⊥底面ABC，AB 平面ABC，∴AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C1C，∵A1C 平面AA1C1C，∴AB⊥A1C.又AB∩AC1＝A，从而A1C⊥平面ABC1，又BC1 平面ABC1，∴A1C⊥BC1.又∵E，F分别是BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，从而EF⊥A1C.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·安康模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 AB1C1中，过A1B12.(2018·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB 平面ABC，A1B1 平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE ∥AB.答案 B3.(2018·广东省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是()A.a α，若b∥a，则b∥αB.α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥βC.a⊥b，b⊥c，则a∥cD.a∩b＝A，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β解析选项A中，b α或b∥α，不正确.B中b与β可能斜交，B错误.C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误.利用面面平行的判定定理，易知D正确.答案 D4.(2018·合肥模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条解析如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.答案 C5.(2018·吉安模拟)设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是()A.l α，m α，且l∥β，m∥βB.l α，m β，且l∥mC.l⊥α，m⊥β，且l∥mD.l∥α，m∥β，且l∥m解析借助如图所示的长方体模型，可以判定选项A，B，D不一定推出α∥β.对于选项C，由l⊥α，l∥m，得m⊥α，又m⊥β，从而α∥β.答案 C二、填空题6.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.可以填入的条件有________.解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.答案①或③7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2 2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝12AC＝ 2.答案 28.(2018·郑州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).解析①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.答案②三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.解(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH 平面ACH，BE 平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.10.(2018·张家口检测)如图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝2，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点.(1)证明：DF ∥平面PBE ；(2)求点F 到平面PBE 的距离.(1)证明 取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG .又DF 平面PBE ，EG 平面PBE ，故DF ∥平面PBE .(2)解 由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ，连接BD .∵V D －PBE ＝V P －BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ，由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23，∴S △PBE ＝12×23×（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝ 6. 又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63，即点F 到平面PBE 的距离为63.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n 不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.答案 D12.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.解析设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案 113.(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，图①如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB 平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.图②在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.。