高中数学平行关系

第4节 平行关系

最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题

.

知 识 梳 理

1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义

直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行. (2)判定定理与性质定理

2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面. (2)判定定理与性质定理

[常用结论与微点提醒] 1.平行关系中的两个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2.线线、线面、面面平行间的转化

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( ) (2)若直线a ∥平面α，P ∈α，则过点P 且平行于直线a 的直线有无数条.( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ) 解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.

(2)若a ∥α，P ∈α，则过点P 且平行于a 的直线只有一条，故(2)错误. (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(教材习题改编)下列命题中正确的是( )

A.若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面

B.若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b α，则b ∥α 解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选D. 答案 D

3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α.“m∥β”是“α∥β”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交.

当α∥β时，由m α可知，m∥β.

∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.

答案 B

4.(2018·西安模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A.m∥α，n∥α，则m∥n

B.m∥n，m∥α，则n∥α

C.m⊥α，m⊥β，则α∥β

D.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

解析A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n α，B 不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D错.

答案 C

B1C1D1中，E为DD1

5.(教材练习改编)如图，正方体ABCD－A

的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.

解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O

为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位

线，则BD1∥EO，而BD1 平面ACE，EO 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行

考点一与线、面平行相关命题的判定

【例1】(1)(2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n β.有下列命题：

①若α∥β，则m∥n；

②若α∥β，则m∥β；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；

④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.

其中真命题的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

(2)(2018·安庆模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，

A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝2

3BD1，则下面说法正确的是

________(填序号).

①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.

解析(1)①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；

②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；

④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.

(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，

易得AM，CN交于点P，即MN 面APC，所以MN∥面APC是错误的.

对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN 平面APC，C1Q 平面APC.

所以C1Q∥面APC是正确的.

对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.

对于④，由①知MN 面APC，又MN 面MNQ，所以面MNQ∥面APC是错误的.

答案(1)B(2)②③

规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.

2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否