二次函数一般式配成顶点式设计.
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2
3 2 1 （ 2 x ）4 8
化简:去掉 中括号
方形式，后 一项去括号 之后再与尾 项合并。
y 3x 6 x 5
2
5 2 提取二次项系数 3 x 2 x 3 5 配方:加上再减去一 2 3 x 2 x 1 1 次项系数一半的平方 3
b，c的值吗？
例4：y ax bx c
2
b a（x x) c a b b 2 b 2 2 a x x （ ）（ ） c a 2a2 2 a 2 b b b 2 a（x x 2 ） - c a 4a 4a 2 b 2 b 4ac （x ） 2a 4a 若该函数顶点是（- 1,2），且经过（3， - 4）
1 对称轴x 3
2 y x 2x （ 2）
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x顶 1 2 1
2 y顶 1 4 1
2
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1
1 2 （ 4） y x 4 x 3 2
b 4ac b 2 （4）当a>0时， x , ymin 2a 4a
2 b 4 ac b 当a<0 时， x , ymax 2a 4a
归纳 二次函数一般式的配方法：
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“理”：前三项化为平方形式，
； (4)“化”：化成顶点式二次函数。
2
你能求出原函数解析式吗？
例5： y 2 x 3x 1
2
3 （ 2 x x） 1 提取：二次项系数 2 配方:加上再减去 3 9 9 2 （ 2 x x - ） 1 一次项系数绝对 2 16 16 值一半的平方 3 9 9 整理:前三项 2 （ 2 x x ） - 2 1 化为完全平 2 16 16
2
(2) y 2( x 1)
2
(3) y 3x
2
1 2 (4) y ( x 2) 3 2
如何配成完全平方式？
2 例题1：y=x -2x+c
=x2-2x+1-1+c 2 =（x -2x+1）-1+c =(x-1)2+c-1
若该函数的最小值是5， 你能求出c的值吗?
例2： y x - bx - 3
b 4ac b 2 h ,k 2a 4a 2 2、二次函数 y ax bx c
其中 （1）抛物线的对称轴是直线
（2）抛物线的顶点坐标是
的性质：
b x 2a
b 4ac b2 , 2 a 4 a
这是确定 抛物线顶 点与对称 轴的公式
（3）当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
（3）y 2 x 8x 8
2
（ 4） y
1 2 x 4x 3 2
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
2 2 1 2 1 x顶 y顶 23 3 43 3 1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
2 2 3x 1 3
2
整理:前三项化为平方形式, 后两项合并同类项
3x 1 2. 化简:去掉中括号
1、二次函数 y = ax2 + bx + c (a、b、c为常数，a≠0)的图象是一条抛 2 物线，它的表达式也可以是 y a x h k ，
观察：
二次函数顶点式 y a( x h) k 的特 殊形式：
2
(1)当h=0时， y ax k；
2
(2)当k=0时，y a( x h) ；
2
(2)当h=0，k=0时，y ax
2
巩固
4、确定下列二次函数图形的开口方向、 对称轴和顶点坐标：
(1) y 2 x 3
后一项去括号后与尾项合并。
因为抛物线 y ax bx c 的顶点是最低（高）点，
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
b 所以当 x 2a
时，二次函数
4ac b 4a
2
有最小（大）值
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x顶 4 2 0.5
4 0.5 3 4 y顶 5 4 0.5
复习2： 2 (1)、抛物线 y a( x h) k 与抛物线 2 y ax 形状相同，位置不同。 2 (2)、把抛物线 y ax 上下、左右平移， 可以得到抛物线 y a( x h) 2 k，平 移的方向、距离要根据h、 y k的值来决定。 2 （3）抛物线的 y a( x h) k o x 开口方向 对称轴 、 顶点坐标
22.3
二次函数配方
------字母表达式
• 汇英中学 数学组 闫东 2014-9-18
复习1：
1、抛物线 y ( x 2) 5 可以由抛物线 2 y x 向 平移 个单位，再向 平 移 个单位而得到。
2
2、抛物线的开口方向是 、 对称轴是 、顶点坐标是 3、抛物线的增减性：
2
b 2 b 2 x bx （- ）（ - - ）- 3 2 2 2 2 b b 2 （x bx ） - -3 4 4 2 b 2 b 12 （x ） 2 4 若对称轴是 2，你能求出
2
原函数解析式吗？
例3：y x bx c
2
2
b 2 b 2 x bx （ ）（ - ） c 2 2 2 2 b b 2 （x bx ） - c 4 4 2 b 2 b 4c （x ） 2 4 若对称轴是 2，最小值是 - 4你能求出
3 2 1 （ 2 x ）4 8
化简:去掉 中括号
方形式，后 一项去括号 之后再与尾 项合并。
y 3x 6 x 5
2
5 2 提取二次项系数 3 x 2 x 3 5 配方:加上再减去一 2 3 x 2 x 1 1 次项系数一半的平方 3
b，c的值吗？
例4：y ax bx c
2
b a（x x) c a b b 2 b 2 2 a x x （ ）（ ） c a 2a2 2 a 2 b b b 2 a（x x 2 ） - c a 4a 4a 2 b 2 b 4ac （x ） 2a 4a 若该函数顶点是（- 1,2），且经过（3， - 4）
1 对称轴x 3
2 y x 2x （ 2）
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x顶 1 2 1
2 y顶 1 4 1
2
顶点坐标为 1,1
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝1
1 2 （ 4） y x 4 x 3 2
b 4ac b 2 （4）当a>0时， x , ymin 2a 4a
2 b 4 ac b 当a<0 时， x , ymax 2a 4a
归纳 二次函数一般式的配方法：
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“理”：前三项化为平方形式，
； (4)“化”：化成顶点式二次函数。
2
你能求出原函数解析式吗？
例5： y 2 x 3x 1
2
3 （ 2 x x） 1 提取：二次项系数 2 配方:加上再减去 3 9 9 2 （ 2 x x - ） 1 一次项系数绝对 2 16 16 值一半的平方 3 9 9 整理:前三项 2 （ 2 x x ） - 2 1 化为完全平 2 16 16
2
(2) y 2( x 1)
2
(3) y 3x
2
1 2 (4) y ( x 2) 3 2
如何配成完全平方式？
2 例题1：y=x -2x+c
=x2-2x+1-1+c 2 =（x -2x+1）-1+c =(x-1)2+c-1
若该函数的最小值是5， 你能求出c的值吗?
例2： y x - bx - 3
b 4ac b 2 h ,k 2a 4a 2 2、二次函数 y ax bx c
其中 （1）抛物线的对称轴是直线
（2）抛物线的顶点坐标是
的性质：
b x 2a
b 4ac b2 , 2 a 4 a
这是确定 抛物线顶 点与对称 轴的公式
（3）当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
（3）y 2 x 8x 8
2
（ 4） y
1 2 x 4x 3 2
解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上
2 2 1 2 1 x顶 y顶 23 3 43 3 1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
2 2 3x 1 3
2
整理:前三项化为平方形式, 后两项合并同类项
3x 1 2. 化简:去掉中括号
1、二次函数 y = ax2 + bx + c (a、b、c为常数，a≠0)的图象是一条抛 2 物线，它的表达式也可以是 y a x h k ，
观察：
二次函数顶点式 y a( x h) k 的特 殊形式：
2
(1)当h=0时， y ax k；
2
(2)当k=0时，y a( x h) ；
2
(2)当h=0，k=0时，y ax
2
巩固
4、确定下列二次函数图形的开口方向、 对称轴和顶点坐标：
(1) y 2 x 3
后一项去括号后与尾项合并。
因为抛物线 y ax bx c 的顶点是最低（高）点，
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
b 所以当 x 2a
时，二次函数
4ac b 4a
2
有最小（大）值
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x顶 4 2 0.5
4 0.5 3 4 y顶 5 4 0.5
复习2： 2 (1)、抛物线 y a( x h) k 与抛物线 2 y ax 形状相同，位置不同。 2 (2)、把抛物线 y ax 上下、左右平移， 可以得到抛物线 y a( x h) 2 k，平 移的方向、距离要根据h、 y k的值来决定。 2 （3）抛物线的 y a( x h) k o x 开口方向 对称轴 、 顶点坐标
22.3
二次函数配方
------字母表达式
• 汇英中学 数学组 闫东 2014-9-18
复习1：
1、抛物线 y ( x 2) 5 可以由抛物线 2 y x 向 平移 个单位，再向 平 移 个单位而得到。
2
2、抛物线的开口方向是 、 对称轴是 、顶点坐标是 3、抛物线的增减性：
2
b 2 b 2 x bx （- ）（ - - ）- 3 2 2 2 2 b b 2 （x bx ） - -3 4 4 2 b 2 b 12 （x ） 2 4 若对称轴是 2，你能求出
2
原函数解析式吗？
例3：y x bx c
2
2
b 2 b 2 x bx （ ）（ - ） c 2 2 2 2 b b 2 （x bx ） - c 4 4 2 b 2 b 4c （x ） 2 4 若对称轴是 2，最小值是 - 4你能求出