二项式定理的应用—赋值法

变式探究
1．(2009 年福州模拟)已知(1－x)5＝a0＋ a1x＋a2x2＋a3x3＋ a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5) 的值等于________．
解析：已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， ∴a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，则 (a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256. 答案：－256
7 7 6
Hale Waihona Puke Baidu
求(1)a1 a3 a5 a7 (2)a0 a2 a4 a6 解 : 设f ( x) (3x 1)
7
f (1) a0 a1 a2 a7
(1) a1 a3 a5 a7 2 2 8128 (2) a0 a2 a4 a6 f (1) (a1 a7 ) 8256
练一练
已知(1－2x) ＝a0＋a1x＋a2x ＋…＋a7x . 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1 |＋|a2 |＋…＋|a7 |.
7 2 7
【解析】
令 x＝1 则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1 ① ②
－
2 ∴a8＝4C8 ＝ 4C 10 10＝180.故选 A.
答案：A
2.若
( x 1) a0 a1( x 1) a2 ( x 1) ... a5 ( x 1)
则
5
2
5
a0
=（ ）
A．32
B．1
C．-1
D．-32
2．(2009 年台州模拟)已知(1－x)10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2 ＋…＋a10(1＋x)10，则 a8＝( A．180 B．－180 ) C．45 D．－45
所以 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 (a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47
（ 3） 因为a1, a3 , a5 , a7是负数
求展开式中各项系数和常用赋值法： 令二项式中的字母为1
令 x＝－1 则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37 (1)∵a0＝C0 7＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2 －1－37 (2)(①－②)÷ 2 得：a1＋a3＋a5＋a7＝ ＝－1094. 2 －1＋37 (3)(①＋②)÷ 2 得：a0＋a2＋a4＋a6＝ ＝1093. 2
(4)解法一：∵(1－2x)7 展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零，而 a1， a3，a5，a7 小于零， ∴|a0| ＋ |a1| ＋ |a2| ＋ … ＋ |a7| ＝ (a0 ＋ a2 ＋ a4 ＋ a6) － (a1 ＋ a3 ＋ a5 ＋ a7)，∴(3)－(2)即可，其值为 2187. 解法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，即(1＋2x)7 展开式中各项的 系数和，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.
6 13
2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1) 2 4
7
f (1) a0 a1a2 a3 a7
7
例 已知(3 x 1) a0 x a1 x a6 x a7
7 7 6
求 (3) a0 a1 a2 a7
解析：令 1＋x＝y，则 x＝y－1,1－x＝2－y， 由(2－y)10＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a8y8＋a9y9＋a10y10 知 a8 是(2－y)10 的展开式中 y8 的系数．
10 r 由 Tr＋1＝Cr · (－y)r，令 r＝8 得 T9＝C8 22· (－y)8. 102 10·
例 已知(3 x 1) a0 x a1 x a6 x a7
7 7 6
求(1)a1 a3 a5 a7
(2)a0 a2 a4 a6
(3) a0 a1 a2 a7
例 已知(3 x 1) a0 x a1 x a6 x a7