线性空间练习题
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小 测 验 九
一、填空题
1、已知三维欧式空间 中有一组基 ，其度量矩阵为 ，则向量 的长度为。
2、设 在此积之下的度量矩阵为。
3、在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为。
4、在欧氏空间 中，已知 ，则 ， 与 的夹角为（积按通常的定义）。
5、设 为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式：。
二、已知二次型
线性空间练习题
一、单项选择题
R3中下列子集（ ）不是R3的子空间．
A． B．
C． D．
二、判断题
1.设 则 是 的子空间.
2、已知 为 上的线性空间，则维( ）＝2.
3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组 线性表出，则维(W)＝s
4、设 是线性空间V的子空间，如果 则必有
三、1．已知 , 是 的两个子空间，求 的一个基和维数．
7．设 是一个欧氏空间， ,并且 ，则 线性无关。( )
8．若 都是欧氏空间 的对称变换，则 也是对称变换。( )
三、计算题
1．把向量组 ， 扩充成 中的一组标准正交基.
2．求正交矩阵 ，使 成对解角形。
四、证明题
1．设 ， 为同级正交矩阵，且 ，证明： ．
2．设 为半正定矩阵，且 ，证明： ．
3．证明： 维欧氏空间 与 同构的充要条件是，存在双射 ，并且 有
2．已知 关于基 的坐标为（1，0，2），由基 到基 的过渡矩阵为 ，求 关于基 的坐标．
四、设 是数域P上的n维列向量空间，
记
1.证明： 都是 的子空间；
2. 证明： .
线性变换练习题
一、填空题ห้องสมุดไป่ตู้
1．设 是线性空间 的一组基， 的一个线性变换 在这组基下的矩阵是 则 在基 下的矩阵 ＝_________，而可逆矩阵T＝_________满足 在基 下的坐标为_________.
3．在 维欧氏空间 中，向量 在标准正交基 下的坐标是 ，那么 ＝_________， ＝_________．
4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．
5．已知 是一个正交矩阵，那么 ＝_________， ＝_________．
二、判断题
1．在实线性空间 中，对于向量 ，定义 ，那么 构成欧氏空间。( )
2．设 为数域 上秩为 的 阶矩阵，定义 维列向量空间 的线性变换 ： ,则 ＝_______， ＝______， ＝_____.
3．复矩阵 的全体特征值的和等于________，而全体特征值的积等于_______.
4．设 是 维线性空间 的线性变换，且 在任一基下的矩阵都相同，则 为________变换 .
3．在线性空间 中定义变换 ： ，则 是 的一个线性变换. （ ）
4．若 为 维线性空间 的一个线性变换，则 是可逆的当且仅当 ＝｛0｝. （ ）
5．设 为线性空间 的一个线性变换， 为 的一个子集，若 是 的一个子空间，则 必为 的子空间. （ ）
三、计算与证明
1．设 ，问 为何值时，矩阵 可对角化?
2、在线性空间P4中，求由基 到基 的过渡矩阵，并求 在基 下的坐标，其中
3、设
1) 证明：在 与A可交换的矩阵的全体W是一个子空间；
2) 求W的维数和一组基；
3) 写出W中矩阵的一般表达式。
4、证明： 是 的一组基，并求 在此基下的坐标。
5、V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
证明：W1、W2皆为V的子空间，且
并求一个可逆矩阵 ，使 .
2．在线性空间 中定义变换 ：
（1）证明： 是 的线性变换.
（2）求 与
（3）
3．若 是一个 阶矩阵，且 ，则 的特征值只能是0和1.
欧氏空间练习题
一、填空题
1．设 是一个欧氏空间， ，若对任意 都有 ，则 ＝_________．
2．在欧氏空间 中，向量 ， ，那么 ＝_________， ＝_________．
6、设 是 的任意两个非平凡子空间，证明：
（1）t为何值时二次型f是正定的？
（2）取 ，用正交线性替换化二次型f为标准形
三、设 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
（1）令 ，证明 是一个单位向量；
（2）若 与 正交，求
四、设 为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：
证明：
（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。
5．数域 上 维线性空间 的全体线性变换所成的线性空间 为_______维线性空间，它与________同构.
6．设 阶矩阵 的全体特征值为 ， 为任一多项式，则 的全体特征值为________.
二、判断题
1．设 是线性空间 的一个线性变换， 线性无关，则向量组 也线性无关. （ ）
2．设 为 维线性空间 的一个线性变换，则由 的秩＋ 的零度＝ ，有 （ ）
是Pn+1的一个子空间，则a＝，而维(W)＝.
4、设Pn是数域P上的n维列向量空间， 记
则W1、W2都是Pn的子空间，且W1＋W2＝， ＝.
5、设 是线性空间V的一组基， ，则由基 到基 的过渡矩阵T＝，而 在基 下的坐标是.
二、计算与证明
1、在线性空间P2×2中，
1）求 的维数与一组基.
2）求 的维数与一组基.
2．在 维实线性空间 中，对于向量 ，定义 ，则 构成欧氏空间。 ( )
3． 是 维欧氏空间 的一组基， 与分别是V中的向量 在这组基下的坐标，则 。( )
4．对于欧氏空间 中任意向量 ， 是 中一个单位向量。( )
5． 是 维欧氏空间的一组基，矩阵 ，其中 ，则A是正定矩阵。( )
6．设 是一个欧氏空间， ，并且 ，则 与 正交。( )
（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.
五、已知 是对称变换，证明： 的不变子空间 的正交补 也是 的不变子空间．
小测验(六)
一、填空题
1、已知 是 的一个子空间，则维（V）
＝， V的一组基是.
2、在P4中，若 线性无关，则k的取值围是.
3、已知a是数域P中的一个固定的数，而
一、填空题
1、已知三维欧式空间 中有一组基 ，其度量矩阵为 ，则向量 的长度为。
2、设 在此积之下的度量矩阵为。
3、在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为。
4、在欧氏空间 中，已知 ，则 ， 与 的夹角为（积按通常的定义）。
5、设 为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式：。
二、已知二次型
线性空间练习题
一、单项选择题
R3中下列子集（ ）不是R3的子空间．
A． B．
C． D．
二、判断题
1.设 则 是 的子空间.
2、已知 为 上的线性空间，则维( ）＝2.
3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组 线性表出，则维(W)＝s
4、设 是线性空间V的子空间，如果 则必有
三、1．已知 , 是 的两个子空间，求 的一个基和维数．
7．设 是一个欧氏空间， ,并且 ，则 线性无关。( )
8．若 都是欧氏空间 的对称变换，则 也是对称变换。( )
三、计算题
1．把向量组 ， 扩充成 中的一组标准正交基.
2．求正交矩阵 ，使 成对解角形。
四、证明题
1．设 ， 为同级正交矩阵，且 ，证明： ．
2．设 为半正定矩阵，且 ，证明： ．
3．证明： 维欧氏空间 与 同构的充要条件是，存在双射 ，并且 有
2．已知 关于基 的坐标为（1，0，2），由基 到基 的过渡矩阵为 ，求 关于基 的坐标．
四、设 是数域P上的n维列向量空间，
记
1.证明： 都是 的子空间；
2. 证明： .
线性变换练习题
一、填空题ห้องสมุดไป่ตู้
1．设 是线性空间 的一组基， 的一个线性变换 在这组基下的矩阵是 则 在基 下的矩阵 ＝_________，而可逆矩阵T＝_________满足 在基 下的坐标为_________.
3．在 维欧氏空间 中，向量 在标准正交基 下的坐标是 ，那么 ＝_________， ＝_________．
4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．
5．已知 是一个正交矩阵，那么 ＝_________， ＝_________．
二、判断题
1．在实线性空间 中，对于向量 ，定义 ，那么 构成欧氏空间。( )
2．设 为数域 上秩为 的 阶矩阵，定义 维列向量空间 的线性变换 ： ,则 ＝_______， ＝______， ＝_____.
3．复矩阵 的全体特征值的和等于________，而全体特征值的积等于_______.
4．设 是 维线性空间 的线性变换，且 在任一基下的矩阵都相同，则 为________变换 .
3．在线性空间 中定义变换 ： ，则 是 的一个线性变换. （ ）
4．若 为 维线性空间 的一个线性变换，则 是可逆的当且仅当 ＝｛0｝. （ ）
5．设 为线性空间 的一个线性变换， 为 的一个子集，若 是 的一个子空间，则 必为 的子空间. （ ）
三、计算与证明
1．设 ，问 为何值时，矩阵 可对角化?
2、在线性空间P4中，求由基 到基 的过渡矩阵，并求 在基 下的坐标，其中
3、设
1) 证明：在 与A可交换的矩阵的全体W是一个子空间；
2) 求W的维数和一组基；
3) 写出W中矩阵的一般表达式。
4、证明： 是 的一组基，并求 在此基下的坐标。
5、V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
证明：W1、W2皆为V的子空间，且
并求一个可逆矩阵 ，使 .
2．在线性空间 中定义变换 ：
（1）证明： 是 的线性变换.
（2）求 与
（3）
3．若 是一个 阶矩阵，且 ，则 的特征值只能是0和1.
欧氏空间练习题
一、填空题
1．设 是一个欧氏空间， ，若对任意 都有 ，则 ＝_________．
2．在欧氏空间 中，向量 ， ，那么 ＝_________， ＝_________．
6、设 是 的任意两个非平凡子空间，证明：
（1）t为何值时二次型f是正定的？
（2）取 ，用正交线性替换化二次型f为标准形
三、设 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
（1）令 ，证明 是一个单位向量；
（2）若 与 正交，求
四、设 为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：
证明：
（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。
5．数域 上 维线性空间 的全体线性变换所成的线性空间 为_______维线性空间，它与________同构.
6．设 阶矩阵 的全体特征值为 ， 为任一多项式，则 的全体特征值为________.
二、判断题
1．设 是线性空间 的一个线性变换， 线性无关，则向量组 也线性无关. （ ）
2．设 为 维线性空间 的一个线性变换，则由 的秩＋ 的零度＝ ，有 （ ）
是Pn+1的一个子空间，则a＝，而维(W)＝.
4、设Pn是数域P上的n维列向量空间， 记
则W1、W2都是Pn的子空间，且W1＋W2＝， ＝.
5、设 是线性空间V的一组基， ，则由基 到基 的过渡矩阵T＝，而 在基 下的坐标是.
二、计算与证明
1、在线性空间P2×2中，
1）求 的维数与一组基.
2）求 的维数与一组基.
2．在 维实线性空间 中，对于向量 ，定义 ，则 构成欧氏空间。 ( )
3． 是 维欧氏空间 的一组基， 与分别是V中的向量 在这组基下的坐标，则 。( )
4．对于欧氏空间 中任意向量 ， 是 中一个单位向量。( )
5． 是 维欧氏空间的一组基，矩阵 ，其中 ，则A是正定矩阵。( )
6．设 是一个欧氏空间， ，并且 ，则 与 正交。( )
（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.
五、已知 是对称变换，证明： 的不变子空间 的正交补 也是 的不变子空间．
小测验(六)
一、填空题
1、已知 是 的一个子空间，则维（V）
＝， V的一组基是.
2、在P4中，若 线性无关，则k的取值围是.
3、已知a是数域P中的一个固定的数，而